Нелокальная краевая задача для парабологиперболического уравнения с нехарактеристической линией изменения типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517. 956

О. А. Репин, С.В. Ефимова

НЕЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛОГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С НЕХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ЛИНИЕЙ ИЗМЕНЕНИЯ ТИПА

Поставлена и исследована новая нелокальная краевая задача для модельного парабологиперболического уравнения. Её новизна состоит в том, что в области гиперболичности уравнения задаётся условие, которое с помощью обобщенных операторов дробного интегродифференцирования связывает след нормальной производной искомой функции на линии перехода и её же след на характеристике уравнения.

Постановка задачи I

Рассмотрим уравнение

К - Uyy> У > 0

0=І2 0 (D

ІУ Uxx - uyy + a их’У < 0

XX уу

где а (\а \< 1)- действительная постоянная.

Как отмечалось в [1], уравнение (1) представляет собой простейшую модель уравнения смешанного парабологиперболического типа. Линия изменения типа у=0 не является характеристикой уравнения теплопроводности их — иуу = 0 , а характеристики

„С = )(х,у):х — ^ = 0,у £ БС = |(х,у):х + £ = 1,у Ц (2)

в качестве носителей задачи Дарбу, вообще говоря, неравноправны.

Пусть область В - объединение квадрата АБМЫ с вершинами А(0,0), 5(1,0), М(1,1), N(0,1), интервала АВ = (0,1) и характеристического треугольника АВС уравнения (1) с вершинами А, В

и С (— ,-1). Обозначим квадрат АБМИчерез В+ а треугольник АСВ - через П~.

2

Пусть 90(х) будет координатой точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки хе(0,1), с характеристикой АС, заданной формулой (2), так что 00(х) =

X I—

=(—,—V х ). Интервал (0,1) обозначим через I, а отрезок [0,1] - через I .

I \ х~а—Ь х х

((/,пф)(х) =-------[(х — х)а—1Е(а + / ,—Ц;а;1 —)ф(х— (0<х<1, а>0, Р,цеС) ; (3)

Г (а) 0 х

( а Т

(I®?»(х) = — ((—п*—пф)(х), (0<х<1, а<0, р,цеС, п=[-а] + 1) - (4)

^ ах 0

обобщенные операторы дробного интегродифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса Е (а, Ь; с; ¿) [2,3].

Если /=-а, то операторы (3) - (4) сводятся к дробным интегралам и производным Римана -Лиувилля [4,5]:

х

((+-1а>) (х) = (+ф) (х) = —— [(х — X)а—ф(X)—Х, (0<х< 1, а>0), (5)

Г (а )0

(—+,а,>)(х) = (0а+ф)(х) = [—^ ((—аф)(х) (0<х<1, а>0, р,ПеС, п=[а] + 1). (6)

Исследуем следующую краевую задачу I для уравнения (1).

Задача I. Найти функцию и(х,у)е С(В )пС2(В+иВ~), которая удовлетворяет уравнению (1) в области В и краевым условиям

и (0,у) = фДу),(у е I); и (х,1) = ф2(х),(х е I); (7)

А

С , a-3 N

a,b,------a r

10 + 4 u[do(t)] (x) + A-

V

а также условиям сопряжения 10

/

3-a , 1 a-3

■ ---,b—,-----

4 2 4

l0+

10 + 4 ’ 2 4 Uy(t,0)

( x) = g ( x), (8)

u(x,+0) = u(x,-0),(x е I) ; (9)

lim u (x, y) = lim u (x, y), (x е I). (10)

y ®+0 y y ®-0 y

Здесь ’gj)(x) - обобщенный оператор дробного интегродифференцирования (3)-(4);

j1 ( x), j2 (x) и g ( x) - заданные функции, такие, что

jj(x), j2(x)e C(I) nC2(I),g(x)e H1 (I) nC2(I),y(0) = jj(0) = 0, jj(1) = j2(0) ; (11)

a, b, 1 - действительные постоянные, такие, что

а -1 3 + а , _ 1 - а „ ^

-----< a <------, b > 0, a +-------< 1 < 1; (12)

4 4 4

Аь А2 - ненулевые действительные константы, на которые впоследствии будут наложены необходимые условия.

Отметим, что в [6] для уравнения (1) поставлена и исследована краевая задача с условием (7) и нелокальным условием вида (8).

Настоящая работа является продолжением исследований в этом направлении.

В дальнейшем потребуются следующие свойства операторов обобщенного дробного исчисления [2,3]:

(IO+M I0+*.a+»(.x) = (Cg'b+i'»(.r),(g > 0), (13)

((IoV'" )'V )W = (C'-i'a+>)(x). (14)

а также лемма 2.5 из работы [7]. Приведем ее формулировку.

Лемма 2.5. Пусть 0<-а<Я<1 и fi<min[0,h+1]. Если j(x)e H1 [0,1], то

(i^hj)(x)e Hmin[l+а•-b][0,1].

Сведения краевой задачи I к интегральному уравнению

Рассмотрим уравнение (1) в области D+ В области параболичности D+ решение задачи u( x,+0) = t ( x)( x e I ); u(0, y) = j1(y )( y e I ); u( x,1) = j2( x),( x e I ) для уравнения теплопро-

водности ux - Uyy = 0 даётся формулой [8], [9]

x 1 x

U ( x, y) = J t (X )GV (X ,0; x, y )dX + J ^(h )G (0,h; x, y)dh - J (X ,h; x, yOX У ,

где G(X ,h; x, y) = 1

expi-(y -h + 2n) l-expi-(y + h + 2n)

4( х — X) ] [ 4(х — X)

функция Грина первой краевой задачи для уравнения теплопроводности. Функция О (Х,Л;х,у) бесконечно дифференцируема по всем аргументам при 0<X <х, 0<у<1, 0<Л< 1, У^Л и обращается в нуль со всеми своими частными производными при х=Х..

Основное функциональное соотношение между т(х) и п(х), принесённое из области В+, имеет вид [8]

V (X) = —Р [ + [ Кг(х,Х )т (X )—Х + У (х), (15)

ЫП 0 д/х Х 0

1 1 I n2 I 1 1 2 I n2

где n (x) = lim u (x, y);

y ®+0

Кl(x,x)=-1=—X expi—tx\—p—1—y X nexH—tx\; (16)

(x — X) n=—¥ L X X - лР (x — X) n=—¥ L x X J

v n*0 v n*0

1 x

y(x) = Jji(h)Gy(0,h;x,0)Jh — Jj2(X)^y(X,1; x,0)JX . (17)

00 Изучим теперь уравнение (1) в области D", где оно описывает процесс переноса потока влаги в капиллярно-пористых средах и носит название уравнения влагопереноса [10].

Хорошо известно [11], что решение задачи Коши

u(x,—0) = t(x) (xe I); lim u (x, y) = n(x) (xe I)

y®0—0 y

для уравнения у 2ихх - и + аиу = 0, \а\ < 1 имеет вид

1

<(х, У) = С І*

где

X + (1 - 2і)

2

С =-

а-3 а+3 і

(1 - і) 4 і 4 & + С2 у І

С 2 =

х + (1 - 2ґ)

2

4Р

Г

(1 - а ] Г (1 + а ^ 2 ( 3 - а ^ Г ( 3 + а Л

2Г

4 V У 4 V У 4 V У 4 V У

а-1 а+1 (1 - і)^ і" &ґ, (18)

(19)

Используя (18), найдем ы[в0(х)~] [12], [13]:

ы[в0( X)] = С1Г

1 - а

1 -а а -3

(х) - С2Г

3-а 1 а-3

3 - а и —,—,—

^ ^ ■ т 4 2 4 ,

70 + V

V

4

(х).

(20)

Подставляя (20) в краевое условие (8) и учитывая формулу (13), получим

АСГ

а +-----,Ь,--------а

I 4 4 *

0+

(X) +

^2 - ЛС Г

3 -а

4

V У Л

3-а 1 а-3

а +--,Ь—,-----а

7-4 2 4

0+

V

Применив к обеим частям (21) оператор

а +---, Ь,---а

44

-і п_і_

(х) = 7 (х). (21)

, на основании (13) и (14) будем

иметь

Л14я Г (1 + а Л

4

* (х) +

ч

А2 /

2Г

л14я

3+а

4

У 1-1-1

12’ 2’ 2-! 1 п

0+

^ ^ -а-1-а-Ь -1 ^

I 4 ’ ’ 2

0+

V

(х) (X є I).

(22)

В силу формулы (5) перепишем (22) в виде

Л14я Г (1 + а Л

4

* (х) +

3+а

2Г

4

V (і )

л/х - і

&ґ =

с -а-1-а -1

I 4 ’ ’ 2

I

0+

(х) (х є I).

(23)

Подставляя v(х) из (15) в (23), меняя порядки интегрирования, после несложных вычислений получим интегральное уравнение

л14Р , л14Р л

1 / , Ч - Л2

'1 + а л

Г

4

V у

2Г

3 + а 4

V у

* (х) +

2Г

-а-1-а -Ъ - 1

I 4 27

^0+ /

(х) +

2 Г

3 + а

V V у

3 + а

ч^уу /

К1(ґ,Х)

л/х - і

&ґ =

* (+0) +

Л1

'3 + ал

2 Г

V V у

у (і)&

л/х - і

(24)

Уравнение (24) есть интегральное уравнение Вольтерра второго рода для функции т(х):

X

т (х) + |т (X) К (х,Х Щ = / (х), (25)

где

К (х, X) = -

т

2

л/Р

Л1

3+а

2Г

л/х - і

У У

4

2

f (x) = — m

‘7

(x) +

2 Г

\ / \

Л-х4п А С + Л1 А2 X y (t )dt

f 3 + а ) А2 2 Г V f 3 + а ^ 4л 0 V x _ t

4 V У 0 4 V У

i,V л:

m=-И—л + Г i 1 + a

4

v /

2 Г

4v л . , пч

f. + Л - А2’ С = Т (+0).

3 + а

4

V У

(27)

(28)

Единственность и существование решения краевой задачи I

В работе [8] установлено, что функция [К1(Х,Х)& (К1(х,Х) определено формулой (16))

X V х - X

бесконечно дифференцируема в замкнутом треугольнике {0 £ X £ х £ 1} и стремится к нулю вместе со всеми своими частными производными при совпадении аргументов х и £ .

Если в формуле (28) положить цф0, то

а2 ф а14ж

1

'1 + ал

+ -

1

Г

4

'1 + ал

2Г

4

(29)

V V у

а ядро К(х, £) в интегральном уравнении (25) обладает следующим свойством гладкости:

К(х,Х) е С(1 х 1) п С2(1 хI).

В соответствии с леммой 2.5 и условиями (12) имеем

с _a_1_a_b_ 1 ^

I 4 ’ ’ 2

1 I

0+

7

1_а I mm I l _ a--,b I _

(x) e H L 4 J (I)

у

и, следовательно, /(х) е С(I) п С2(1).

Теперь найдем с = т(+0) в формуле (28). Перейдя к пределу при х ® +0 в равенстве (24), получим

Г

л14л Г1 + а Л

4

с = lim

x ®+0

л1

'3 + а Л

2 Г

V V

2

4ж

f Т (X) dX f

л/ x _ t

+

+ lim

x®+0

c _a_1_a _b _ 1 "N

I 4 ’ ’ 2

I

0+

(x) + lim

x®+0

'3 + а Л

2Г

4

V v

Далее, в силу (4), (11), (12) и (16) имеем

4ж

■y (t )dt

л/x _ t

(xe I).

(30)

lim

x ®+0

_a_ 1 _a _b _1

I 4 27

0+

(x) =

1

'3 + а Л

x

Г

_а

x

lim d [xb+1 f (1_ z) 4 ~V(

x®+0 dx J

a а 1

x®+0 dx

_a _b —;

3 3 + а

24

_ a;1 _ z )7( xz )dz] =

Л Л

= ÜS, f Т (X )dX f

dt = 0 .

(31)

0 x *\/x ~t

Непосредственно проверяется, что функция у(х) в (17) бесконечно дифференцируема в замкнутом треугольнике {0<X<x<1} и lim y(x) = 0 .

Следовательно,

x ®+0

X

2

4

а _1

4

[ y(t) dt = 2 f Vx - ty'(t)dt; lim [У(t)dt = 0. (32)

0v x -1 0 x ®+0üV x -1

Таким образом, согласно (31) и (32) из (30) вытекает равенство —Ас = 0. Отсюда

Г\ 1 + а

4

V /

с=0, так как Лх Ф 0 .

Из вышеприведенных свойств К(х,Х) и правой части Д(х) интегрального уравнения (25)

— 2

следует, что оно разрешимо в классе С(I) П С (I) [14] и его решение имеет вид

X

т (X) = Д (х) + | Я( х,Х )Д (X №, (33)

0

где Я(х,Х) - резольвента ядра К(х,Х), аДх) дается формулой (27).

Тогда на основании (15) и (18) получаем, что краевая задача I для уравнения (1) с условиями (7) - (8) имеет единственное решение: и(х,у) е С(В) П С2(В + и В-).

Это приводит нас к следующему результату.

Т е о р е м а. Пусть (р1(х), р2 (х) и у(х) - заданные функции, удовлетворяющие условиям (11); а, Ь, X - действительные числа, удовлетворяющие требованию (12); А\ и А2 - ненулевые вещественные константы, для которых выполняется условие (29). Тогда краевая задача (7) -(10) для уравнения (1) разрешима и его единственное решение и(х,у) имеет вид (18), гдеу (х) -определенно соотношением (15), а т(х) - (33).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Нахушев А.М. К теории линейных краевых задач для уравнения второго порядка смешанного гиперболопараболического типа // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14. №1. С.66 - 73.

2. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric functions // Math. Rep. Kyushu. Univ. 1978. Vol. 11. N 2. P. 135 - 143.

3. Репин О.А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1992. 161 с.

4. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. - Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

5. Нахушев А.М. Элементы дробного исчисления и их применение. Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2000. 299 с.

6. Saigo M., Repin O.A., Kilbas A.A. On a non local boundary value problem for an equation of mixed parabolic type

// International Journal of Mathemat. and Statistical. 1996. Vol.5. №1. P. 104 - 117.

7. Saigo M., Kilbas A.A. Generalized fractional integrals and derivatives in Holder spaces // Transform Methods and Special Functions. Sofia 94. 1995. P. 282 - 293.

8. Капустин Н.Ю. О разрешимости в классе L2 задачи Трикоми для одного параболо-гиперболического уравнения с вырождающейся гиперболической частью // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22. № 1. С. 60 - 65.

9. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: Наука, 1957. 443 с.

10. Нахушев АМ. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995. 301 с.

11. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.

12. Репин О.А. Нелокальная краевая задача для параболо-гиперболического уравнения с характеристической линией изменения типа // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. № 1. С. 173 - 176.

13. Репин О.А. О разрешимости задачи с краевым условием на характеристиках для вырождающегося гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 1. С. 110 - 113.

14. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегродифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982. 304 с.