О нелокальной задаче для одного уравнения гиперболического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.3

О нелокальной задаче для одного уравнения

ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

© 2011 г. О.А. Репин1, С.А. Сайганова2

Самарский государственный экономический университет, ул. Советской Армии, д. 141, г. Самара, 443090, matstat@mail. ги

2Самарский государственный технический университет, ул. Молодогвардейская, 244, г. Самара, 443100, [email protected]

Samara State Economic University, Sovetskaya Armia St., 141, Samara, 443090, matstat@mail. ru

2Samara State Technical University, Molodogvardeyskaya St., 244, Samara, 443100, postman@samgtu. ru

В характеристической области для гиперболического уравнения, которое при y > 0 является уравнением 1-го рода, а при y < 0 —

2-го, исследована задача со смещением с краевыми условиями, содержащими обобщенные операторы дробного интегро-дифференцирования и линейно связывающими след искомого решения и его нормальной производной на линии перехода. При некоторых условиях на заданные функции в краевых условиях, а также для различных значений параметров операторов дробного интегро-дифференцирования доказаны теоремы об однозначной разрешимости рассматриваемой задачи.

Ключевые слова: нелокальная задача, оператор, краевые условия, интегральное уравнение.

A problem with shifted in characteristic domain for a hyperbolic equation which is an equation of the first kind on condition that y > 0 and is an

equation of the second kind on condition that y < 0 is studied. Boundary condition of this problem contain generalized operators of fractional inte-

gro-differentiation and linearly connect trace of required solution with its normal derivative on the transition line. On some requirements for given functions containing in boundary conditions and for different values ofparameters of operators of fractional integro-differentiation, theorems of the unique solvability of the problem are then proved.

Keywords: non-local problem, operator, boundary conditions, integral equation.

Рассмотрим уравнение

a > 0, 0 < x < 1,

w

uxx uyy = 0

(1)

в области D , ограниченной характеристиками

l+2 l+2

2 - 2 -

AC :x-—y 2 = 0, BC :x +—y 2 = 1,

AD: x -

l + 2 2_ l + 2

l+2

(- y) T = 0,

l + 2' 2 l+2

BD: x+7+2(- y)Y = 1

кЫх)= X

ф)

J (x - t)a-1 F\a + ß, -q;a;1--\pi)dt

fo+Av)x)=(d j (ia+n П(р\х)

a< 0, 0 < x < 1, n = [-a]+1,

\-a-ß

(2)

fcß'V)x) = bi)

Г(а)

уравнения (1).

Пусть D1= D П (y > 0), D2 = D П (y < 0),

I = (0, l). 60 (x) (i = 1,2) - точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (x,0) е I с характеристиками AC и AD .

Для (1) в области D изучим нелокальную краевую задачу со смещением по терминологии А.М. Нахуше-ва [1].

Будем считать l = m, m > 0 при y > 0 и l = n , -1 < n < 0 при y < 0.

Заметим, что при y > 0 (1) - уравнение гиперболического типа 1-го рода, y = 0 не является характеристикой этого уравнения. При y < 0 (1) -уравнение гиперболического типа 2-го рода, y = 0 - огибающей семейства характеристик уравнения (1) и одновременно его характеристика.

Следуя [2-4], введем обобщенные дробные интегралы и производные с гипергеометрической функцией Гаусса

-а-р x, ч _ , ( t 4

a> 0, 0 < x < 1,

:J(t-x)a 1FI a + ß,-q;a;j— \p(t)dt,

(¡a-ß, px)=\n (an,ß-n,px)

а< 0 , 0 < х < 1, п = [-а]+1,

которые при а + ¡3 = 0 обращаются в хорошо известные операторы Римана-Лиувилля [4, с. 42-43]

(с-а'>)(х)= (/0>)(х) = х(х-0а-1^>й, а >0,

I(а) 0

0 < х < 1,

(ра+ Ахй -:'а'\\х)=(-^ )п (ю^Ах),

а > 0, 0 < х < 1 , п = [а] +1, (3)

ка-^Ах)=(¡А)=({- ху-1А >*,

a> 0, 0 < x < 1,

(Da-p)(x)=(/1--a,a^p)(x)=f- d У kn-aPk)

x

x

0

а >0, 0 < х < 1 , п = [а] +1.

Обозначим через НЛ[0,1] (0 < Л < 1) пространство функций, на отрезке [0,1] удовлетворяющих условию Гельдера фиксированного порядка Л, через Н;0 [0,1] - его подпространство

Н0 [0,1]= ф(х)еНЛ[0,1], ф(0) = ф(1) = 0}.

Для функций р(х) > 0 будем употреблять обозначение НЛ (р; [0,1]), при этом р(х) е НЛ [0,1].

Постановка задачи 1 и единственность ее решения

Задача 1. Найти решение уравнения (1)

^MfeУ) (xу)6 Db

u2 (x, У), (x, y)e D2

из

и условию сопряжения

u1„ (Х + °) = u2„ (X- 0),

(5)

где 2Д = -т-, 2Д = -п-, 0 < 2Д - 2Д < 1, Д-1, т + 2 п + 2

Л, 2, аг, Ьг - действительные числа, причем Ал,

Д-2 > 0 (г = 1,2 ), |а1 , Д -1 < а2 < 2Д-Д -1, 0 < \ < 2Ру, 0 < Ь2 <02 - а2 . ФФ (х) - заданные функции, такие что

ф(х) е НЛ[0,1], 0 < 1 + а1 - Д < Л < 1,

(С -Д1,-Ь1-1+2Д1,0Щ1 )(х)е нЛ (р!;[0,1]), (6) где Л) = тш(Л-а!-Д, Ь +1 -2Д), р^х) = х^1 , 0 < ^ < Л +1,

Ф2 (х)еНЛ [0,1], 0 < 1 + а2-Д2 + Ь2 <Л1 < 1,

(l ß+^-1)(x)eH 0fe2 (Р2; [°,lj)

(7)

где p2 (x) = x^2, 0 < < 02 +1.

В настоящей работе излагаются результаты, обобщающие ситуации из [5, 6].

Пусть существует решение задачи 1. Введем обозначения:

lim ui(x, y) = Ti(x); lim U2 (x, y) = ^2 (x)

y ^+0 y ^-0

lim ui (x,y) = vi(x); lim u2 (x,y) = V2(x). (8)

y ^+0 y y ^-0 y

Известно [7, с. 103], что решение задачи Коши

ly = 0 x 6 1

du ¥

y=0 = v1(x), x 61, для урав-

нения (1) при y > 0 в характеристических координа-

тах 4 = x -

2

:y

m+2 2

TJ = x + -

2

m + 2 m + 2

T „(t)^)1-^ dt

y

m+2 2

имеет вид

u(4 T) Л ri (t)(T-%) dt

+

T

+ Y 2 i

/1(t )dt

(t-t )ß1 (t-4)ß

(9)

где 01 =

Г(2^1)

02 ="

4 fß1 Г(1 - 2ß1)

Г2(ß1)' '2 2^m + 2) Г2(1 -ß) Используя (9) и учитывая (2), находим u[eo)(x)J=Y1r(ß1 )(l 0ß+,0,ß1 -1X1(t ))x

x(x)+y 2Г(1 -ß1 )l 0+ß1,2ß1 -1,ß1 -1V1(t ))x). Подставляя (10) в (4), на основании соотношений

(10)

[2]

а > 0,

класса

u(x, y) 6 C(D)П C1 (D1 UI)П C1 (D2 UI)П C2(D1 U D2), 0 >+0 удовлетворяющее условиям

a4 0,-ß-e<t2ß -1u[^((i)(t )])x)+

+ Ai2 (iarßi, 0,,_Ä "4 (t, 0))x) = щ (x), i = 1,2 (4)

(Cß,V )(x) = x-a-ß-T(l0+ )(x),

teH o^a+v )t >)cx)=(ra+)x)

(11)

будем иметь

АхгРД )1 0а++ДьЬ1 +1-2Д1,-Д1 -а1-1(^ ))(х)+

+ (Л12 + Л„Г2Г(1 -Д Ж +1-Д1,Ь1,-Д1 "а1,1 (/ ))х х(х) = Ф1(х). (12)

Подействуем на обе части равенства (12) операто-

х-(а1 +1-Д1 \-Ьь1-2Д , ,

ром 1011 1 , а затем применив 2-ю фор-

мулу из (11) и очевидное свойство (0;0, ^^ )(х)= / (х),

получим А1У1ГД1 ^ -1,1-2Д1,1-2Д1Ч(г ))(х) +

+ (А12 + ЛцГ2Г(1 -Д Ж(х)=(/ +1-Д1 >-Ь+,1-2Д+Ф1(г ))х) Последнее соотношение на основании 2-й формулы из (3) перепишем в виде

(Л12 + Л11Г2Г(1 -Д )>1(х) =

Ш1 (х) - ЛппГ(Д1)(р^1-2Д1 Г1(/))х), (13)

где Я1(х) = (10"+а1 +1-Д1 2Д1ф^ ))(х).

Лемма 1. Пусть ф(х) = 0, 0<Д1 < 12, Л11 >0 и Л12 > 0, а функция Т1 (х) в точке х = х0 (0 < х0 < 1) принимает положительный максимум (отрицательный минимум). Тогда ^(х0 )< 0 (^(х0 )> 0).

Доказательство леммы 1 непосредственно следует из соотношения (13) на основании свойства строгой положительности (строгой отрицательности) производной

дробного порядка (р1-2Д1г1 )х) в точке положительного максимума (отрицательного минимума) [1].

Рассмотрим далее уравнение (1) в области Р2. Известно, что его решение с начальными данными

и(х,0) = Г2(х) Ух е I, Ну (х,- 0) = У2(х) Ух е I в ха-

2 п+2

рактеристических координатах £= х--(- у) 2 ,

п + 2

2 п+2

7= х +--(- у) 2 при у < 0 в классе Л2 [8] моп + 2

жет быть записано в виде

4

и(ё, 7) = 1 (7 - (4 - г +

4

1

+ |(п- О-32 (' -^)-32 N(/. (14)

§

Здесь г 2 (х) - интеграл дробного порядка (1 - 232) от некоторой функции T(х), непрерывной и интегрируемой на интервале I.

Г2 (х) = Г(1 - 2¡2ÍI!-+2¡2 т)х), (15)

N (t ) = -

2cosKß2 !(1 - 2ß2 Из (14) имеем

T (t)- V2 (t)

где

_ 42 + ^11Г2Г(1 -¡1) 73 AllУlГ(Pl) '

й «= А^ГЙ) "'+23,0А'(' ))х

Найдем функциональное соотношение между Г 2 (х) и —2 (х).

Используя (17), получим

(t ))x).

(20)

ko =[2(1 - 2ß2 )]2ß2-1

-1 Г(2 - 2ß2 )

Г2 (1 -ß2 )

^(^Г^ ^^-1 ¡2-1Т (/ ))х)-

- *0Г(1-32 )10+32'232-1 ¡2-1-2 (/ ))(х). Подставив и^2) (х)] в (4), с учетом (11) получим

^+1-3 Ь2, ¡2 - а2 Т({))(х) +

+к21а++1-232,¡2 -^2(о)(х)=А2(х), (16)

где к1 = А2'| (| , к2 = А22 - к0Г(1 - ¡2)А21. 2cosя■¡2

К обеим частям соотношения (16) применим оператор I¡2 а2 1 Ь2'1 232 . На основании (11)

кТ(х) + к2У2 (х) = Я2 (х), (17)

T (*) = - f V2 (*) + 1 g 2 (*) -kj k1

Подставляя соотношение (21) в (15), находим ,2 (*) = - ^^ (ll~2ß2V2 (t))(*) +

(21)

И! I . g 2 (, ))*).

(22)

Учитывая условие сопряжения (5), класс решений, в котором мы находим решение задачи, вводя обозначения г(х) = г, (х) = г2 (х), -(х) = -1 (х) = -2 (х), из (21) и (22) получим

,3 (£2М))(х)+Г4 (¡¿^-(О)х) = (х), (23)

где ,4 = M0,-¡, Я4 (х) = 14 (^ Я2 (4) - й (х).

к

2

где

g2 (x) = (f 0+ или

k2v2 (x) = -k1T(x) + g2 (x) -

-iß-Ö2 -1,-Ü2.1-2ß2

Ф2 (t))x)

+

Применив к обеим частям равенства (23) оператор

вычи v(t)dt

г.1 - 2ß 1

Uq 1 , после стандартных вычислении получим

Г4

(18)

(19)

ГэГ(1 - 2ß2 + 2ß1)0(* -1 )+2ß "2ß

■ = f (*), (24)

где /(х) = — (в^-231 §4 (/))(х), (24) - это интегральное

73

уравнение Вольтерра 2-го рода, ядро которого имеет

Лемма 2. Пусть А2(х) = 0, -0,5 < ¡2 < 0 , А21 < 0 слабую особенность, поскольку 0 < 2Д - 2Р2 < 1. и а22 > 0, функция г2(х) в точке х = х0 (0 < х0 <1) Исследуем гладкость правой части /(х) уравне-

принимает положительный максимум (отрицательный ния (24). Для этого потребуются некоторые свойства

минимум). Тогда — (х0) > 0 (-2 (х0) < 0). операторов дробного интегрирования и дифференци-

Доказательство леммы 2 следует из соотношения рования, рассмотренные в [9]. (19) и известного представления [7, с. 130] функции Т (х) в точке х = х0 :

Лемма 3. Пусть 0 < -а < Л < 1 и ß<min[0, tj +1].

T (*0) =

sin2^ß2

*02ß2-1r(*0) +(1 -2ß2)? /(*0)-r2(ß dt 0 (*0 -1)2-2ß2

Если

p(x)eH1[0,1],

то

ß' е н min[^+a-ß][0,1] -

teßv)*)

Итак, доказано, что при у ^+0 -,(х0 )< 0 (-1(х0 )> 0), а при у ^-0 -2 (х0 )> 0 (-2 (х0 )< 0).

На основании условия сопряжения (5) и обозначений (8) получаем противоречие, которое и доказывает единственность решения задачи 1.

Доказательство существования решения задачи 1

Лемма 4. Пусть 0<а<Л< 1, Л-а < 1 и

p(x) =:

где

0< и<Л-а+1.

Если

Найдем функциональное соотношение между г,(х) и -,(х) из равенства (12). С этой целью на обе части (12) подействуем

г-(а1 +¡1), -(¿1+1-2Р1 ),0

q(x) е НЛ (p; [0,1]), то ^q^x) е Н0-а (p; [0,1]) -

Лемма 5. Пусть 0 <а< 1, 0 <Л< 1, Л + а< 1 и p(x) = xß, где 0 <и<Л +1. Если q(x)eH0(p; [0,1]),

то (^)х)еНЛ+а(р; [0,1]).

Используя (20), учитывая (6) и лемму 3, получим

g3 (x) е НЛ0 [0,1], Л0 = min[0 - a - ß, Ъх +1 - 2ß ];

оператором лемму 4 и (6) - Do+2ß g3 (t))(*)еНЛ0 +2ß -1(p1; [0,1]),

'0+

Аналогично тому, как поступали ранее, найдем

п(*)=гз (i 0+2N(t ))(*)+g3 (x),

p1(x) = x^1 , 0 <Ц! <Л0 +1; (18), (7) и лемму 3 -g2 (x) еНЪг [0,1].

Заметим, что

1

к

и

(Di-ЗД g2г(2Д - ip2 -2?2 g2 ф.

Из (7) и леммы 5 можно заключить, что (12+А -2Р2 g2 (t ))(x)eH02 +2А -2Д2 ^ [0,1]), P2 (x) = x^2 , 0 < ¿2 + 1.

Окончательно f (x)e C[0, 1]П C2 (0, l). А тогда, как известно [10], уравнение (24) имеет единственное решение.

Зная v(x), можно найти r(x), а значит, и решение

u(x, y) задачи 1 в заданном классе функций в области D , удовлетворяющее условиям (4), (5).

Литература

1. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в

частных производных. М., 2006. 287 с.

2. Saigo M. A remark on integral operators involving the

Gauss hypergeometric functions // Math. Rep. Kyushu. Univ. 1978. Vol. 11, № 2. P. 135-143.

Поступила в редакцию_

3. Saigo M. A certain boundary value problem for the Euler-

Poisson-Darboux equation // Math. Japan. 1979. Vol. 24, № 4. P. 377-385.

4. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и

производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, 1987. 688 с.

5. Кумыкова С.К., Нахушева Ф.Б. Об одной краевой задаче

для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области // Диф. уравнения. 1978. Т. 14, № 1. С. 50-65.

6. Салахитдинов М.С., Масутова А. Задача Гурса для од-

ного класса уравнений, вырождающихся внутри области // Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения: тез. докл. Междунар. конф. Новосибирск, 2007. С. 284-285.

7. СмирновМ.М. Уравнения смешанного типа. М., 1985. 304 с.

8. Кароль И.Л. Об одной краевой задаче для уравнения

смешанного эллиптико-гиперболического типа // Докл. АН СССР. 1953. Т. 88, № 2. С. 197-200.

9. Saigo M., Kilbas A.A. Generalized fractional integrals and

derivatives in Holder spaces // Transform Methods and Special Functions. Sofia 94: Sci Cult. Tech. Publ. Singapore, 1995. P. 282-293.

10. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. М., 1960. 299 с.

9 февраля 2010 г.