О задаче с обобщенными операторами дробного дифференцирования для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.6

О ЗАДАЧЕ С ОБОБЩЕННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

ДРОБНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ВНУТРИ ОБЛАСТИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

© 2012 О.А. Репин1 С.К. Кумыкова2

Для вырождающегося гиперболического уравнения исследована задача с операторами дробного дифференцирования Сайго в краевом условии на характеристической части границы области. Доказана однозначная разрешимость поставленной задачи.

Ключевые слова: интеграл и производная Римана — Лиувилля дробного порядка, интегральные уравнения Фредгольма, гипергеометрическая функция Гаусса, резольвента ядра.

1. Постановка задачи

Рассмотрим уравнение

\у\1пхх - Пуу = 0, (1.1)

где I = т при у > 0 и I = п при у < 0, т, п — положительные постоянные в конечной области П, ограниченой характеристиками

2 т+2 2 т+2

АС : ж--- у— = 0, ВС : х +--- у= 1,

т+2 т+2

2 , п+2 2 , п+2

АВ : х -—— (-у=0, ВВ : х + —~(-у)^ = 1, п + 2 п + 2

уравнения (1.1).

Пусть П = П П (у > 0), П2 = П П (у < 0), I — интервал 0 < х < 1 прямой у = 0. Задача. Найти решение

Г и1(х,у), (х,у) е П1,

к \ и2(х,у), (х,у) е П2

уравнения (1.1) из класса

С(П) п С 1(П1 и I) п С1 (П2 и I) п С2(П1 и п2),

хРепин Олег Александрович ([email protected]), кафедра математической статистики и эконометрики Самарского государственного экономического университета, 443090, Российская Федерация, г. Самара, ул. Советской Армии, 141.

2Кумыкова Светлана Каншубиевна ([email protected]), кафедра теории функций и функционального анализа Кабардино-Балкарского государственного университета, 360004, Российская Федерация, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 173.

удовлетворяющее краевым условиям

аг(х) (i-f^-'ulQfm) (x)+ +bi(x) (i-P"0'2*- 1 u[e((i)(t)^ (x) = Yi(x) Ух G I,i = 1, 2,

(1.2)

и условию сопряжения

lim uy(x,y) = a(x) lim uy(x,y) + ß(x), (1-3)

где ß1 = 2mm4, ß2 = 2J+4; eßi)(x), e(i)(x) - точки пересечения характеристик уравнения (1.1), выходящих из точки (x, 0) G I, с характеристиками AC, AD, BC, BD соответственно; ai(x), bi(x), Yi(x), a(x), ß(x) - заданные непрерывные функции, причем

a2(x) + b2(x) = 0 yx G I (i = 1, 2), (1.4)

ai(x), bi(x), Yi(x), a(x), ß(x

) G C 1(I) П C2(I),

I-ßifi^ßi-1 f, I-ßifi^ßi-1 f (i = i, 2) - обобщенные операторы дробного дифференцирования [1; 2, с. 326-327; 3, с. 14].

Отметим, что в случае, когда в краевом условии (1.2) вместо обобщенных операторов присутствуют операторы Римана — Лиувилля, эта задача исследована в [4], а когда = I - в [5].

Настоящая работа обобщает результаты работ [4; 5].

2. Единственность решения задачи

Теорема. В области Q не может существовать более одного решения сформулированной задачи, если a(x) = 1 и выполнены условия

ai(1)[ai(1)+ bi(1)] > 0 и bi(0)[ai(0) + bi(0)] < 0, i = 1, 2, (2.1)

i(x)=0,

bi(x)

ai(x)

^ 0, либо bi (x) = 0,

i(x)

bi(x)

< 0 yx G I (2.2)

Доказательство. Переходя к доказательству единсвенности решения задачи, положим

т(x) = u(x, 0), V1 (x) = lim uy(x,y), V2(x) = lim uy(x,y).

y^0+ y^0-

Выписывая решение задачи Коши в области [6, с. 265], найдем u[©01)(x)]

и це!1^)]:

где

u^x)] = Y1Ioß+'0'ß1-1 т (x)+ Y2I10^ßl'2ßl-1'ßl-1V1(x), (2.3)

u[e(11)(x)] = Y1It'0'ß1-1 т (x)+ Y2IlZßl'2ßl-1'ßl-1V1(x), (2.4)

r(2ß1) 1 f 4 \2ßl Г(1 - 2ß1)

Y1 = -nro \ , Y2

\m + 2)

ВД) ' 2 \m + 2) Г(1 - ß1)'

Подставляя (2.3) и (2.4) в (1.2) и используя соотношения [2, с. 327]

(Iß;+ß'n (Iß+'a+nф) (t)) (x) = (i^Wф) (x) (Y > 0),

ha^ri hlAv+Vф\ (t)\ (x) = Ka+y'ß+S'V \ (x) ^ > 0)

(2.5)

после некоторых преобразований, получим

(х) I1-2в1,- (х) +__

Ао(х)'

г(х) = -А^х)^1 Ых) - Bl(x)IÍI2вl ^(х) + Аох, (2.6)

та та

Мх) = ^_>, В1(х) = ^^. (2.7)

где Iоа+, Il_ - операторы дробного интегрирования Римана — Лиувилля [2, с. 42].

Ао(х) = 71[а1(х) + &1 (х)] = 0,

72 в1(х) , , 7261(х)

л ( л , В1(х) = л < \ ■ Ао(х) Ао(х)

Аналогично в области П2 получаем соотношение

г (х) = А2 (хКо1;^2 ^(х) + B2(x)IÍI2в2 ^(х) + , (2.8)

Во(х)

где

Во(х) = 7з[в2(х) + 62 (х)] = 0,

74Д2(х) р , , 7462(х)

А2(х) = р , ч , В2(х) = „ , , ,

Во(х) Во(х)

Г(2^2) _ 1 ( 4 )2в2 Г(1 - 2&)

73 = т^д ч , 74 =

\п + 2;

Г(&) ' 2 \п + 2^ Г(1 - &) '

Покажем, что интеграл

1

I* = J т(х)^2(х) 3,х ^ 0.

0

При 72(х) = 0 (2.8) примет вид:

т (х) = A2(x)I01-2в2 ^(х) + В2 (х)/—2^ ^2 (х).

Рассмотрим интеграл

1 1 I* = I A2(x)v2(x)IЪ-2в2щ(х)в,х + ! В2(х)^2(х)!!—2в2^(х)0х = оо

1 х

1 I а V2(t)dt

= -Г А2{х)^2{х)ах ---7Г-;—+

Г(1 - 2&)У У (х - ¿)2^

оо

1 1 + / В2(х).2(х)аЛ

Г(1 - 2в2) У У (* - х)2в2

ох

Далее применим методику, восходящую к Ф. Трикоми [7, с. 385-386]. Воспользуемся формулой [7, с. 385] для функции Г(л):

J ес8(^) ^ = есв ((к> 0, 0 < ц < 1). о

Полагая в ней к = \х - £\, ¡1 = 2^2, получим

сю

1 1 I .2^2-1

\х - е\2^2 Г(2в2) есв(пв2)

о

есв(£\х - £\) &.

Откуда находим

Г(2в2)Г(1 - 2в2)cos(пв2)I* =

х сю

есв[4(х - £)] аг+

+ У В2(х)^2(х)а^у и2(£)а£ ! г2в2-1 есв[г(£ - х)] аг.

о х о

Пользуясь тем, что Г(2^2)Г(1 - 2^2) = 8т(2п,з2), поменяв порядок интегрирования, интегрируя по частям, после преобразований имеем

/

I * = г2в

1

А2(1)

-] А2(х) о

сю

-I г2в2-1

о

1

- I в2 (х)

^ (е)есв(ге)ае I + I / ^(Овт^к

В2(0)

ах I аг—

Ы£)со8(г£)аИ + П ^2(е)в1п(ге)ае

^2(е)ес8(ге)ае! + I / ыовт^к

ах I аг.

(2.9)

В силу условий (2.1), (2.2) и того, что 8ш(пв2) > 0, заключаем, что интеграл I* > 0.

1

Аналогичными вычислениями получаем, что / т(х)^1(х)йх ^ 0. А так как

о

1

^(х) = V2(х) при а(х) = 1, в(х) = 0, то /т(х)щ(х)ах = 0 (г = 1, 2).

о

Таким образом, левая часть (2.9) равна нулю. Поскольку слагаемые справа неотрицательны, то они также равны нулю. В частности,

2

¡^г2^-1аг П ^(£)со8(г£)аИ =0,

У гад-1 аг П щ(е) 8т(гек I =0, (г = 1,2).

Так как г2в- > 0, то

1 1

У ^(о есв(ге)ае = 0, у ^(о вт^к = 0, (г = 1,2),

оо

для всех г е [0, то), в частности, при г = 2пк, к = 0, 1, 2, .... При этих значениях г функции вш(г£) и есв(ге) образуют полную ортогональную систему функций в Ь2.

1

1

2

2

1

П

2

1

х

х

2

2

2

1

Следовательно, v^(Ю) = 0 почти всюду, а так как они непрерывны по условию, то Vi(£) = 0 всюду. Отсюда из (2.6) и (2.8) легко заметить, что т(х) =0 и щ(х,у) = 0 в областях О и О.^, как решения задачи Коши с нулевыми данными.

3. Существование решения задачи

Пусть п ^ т. Удовлетворяя (2.6) и (2.8) условию сопряжения (1.3), получим при А2(х) = 0 соотношение

где

V2(x) + Вз(х)1—в2 ^(х) + ВА(х)1\22в1 а(х^2(х)+ +В5(х)10-2в1 а(х^(х) = / (х),

В2 (х) В (х) А (х)

Вз(х) = В^х, В4(х) = -1х1, в5(х) = 1( )

(3.1)

А2(х)

I (х) =

А2(х)

А2(х)'

И(х)

12 (х)

Ао(х)А2(х) Во(х)А2(х)

-В5(х)10-2р 1 в(х) - ВА(х)1—р 1 в(х). Действуя на обе части (3.1) оператором в0-2в2, имеем

(3.2)

V2(x) + В10-2в2 Вз (х)1—в2 V2(x) + В10-2в2 В4(х)1\-2Р1 а(х^2(х)+ +В072132 В5(х)Т1072в1 а(х)^(х) = В—'21 (х).

(3.3)

/0+ В5(х)10+ М(х)и2(х) = В0+ - ......

Исследуем вопрос разрешимости уравнения (3.3). Для этого преобразуем выражения, входящие в левую часть (3.3). Так же, как и в [4; 8], можно показать, что

В\-2в2 Вз(х)1{-2в2 ^(х) = ссв(2п02)В3(х^2(х)+

+

0+

8т(2пв2)

где

К(х^=и

в3 (г) ¿г

¿х.] (х - г)2в2 - г)2 0

X

ЪМ = ¿х I

В3 (г) ¿г

1

Т(2/32)Г(1 - 2в1) вт(2п02)

¿х.! (х - г)1-2в2 - г)2?2-0

в0-2132 ВА(х)1{-2131 а(х)^(х) =

X 1

У Кз(х,^2(№ + 1 К4(х,^2(№

0 X

при п > т,

I Кз(х,^2(№ + ] КА(х,£)12(£№ +

X ^

+ со&(2пв2)а(х)В4:(х^2(х) прип = т,

где

X

Кз (х>0= «Ю Ц

В4(г)йг

¿х } (х - г)1-2в2 (ю - г)2в1' 0

1

X

П

1

П

е

№,0 = /

¿х у

¿х У (ж - г)1-2& (С - г)2*'

0

^Т2* В5(х)/о172в1 а(х)^2 (х) = <

Къ(х,е)и2(С) ¿Сприп > т,

К5 (х, С)^2 (СМС + а(х)^(х) при п = т,

где

К5(х,е)

а(С)

Г(2^2)Г(1 - 2^1)

B5(г)dt

B5(г)dt

¿х.] (х - г)1-2в2(t - с)2в ¿х.] (х - г)1-2в2(г - с)2в 00

Установим свойства ядер К^(х,С), г = 1, 5.

е

К1(х,е) = вз(е) -Ц

¿г

а [ [Вз(е) - Вз(г)Э

¿^ (х - г)1-2^ (с - г)2^ ¿х У (х - ¿)1-2в2 (с - г)2^-

00

Очевидно, гладкость ядра К1(х,С) будет определяться гладкостью первого слагаемого правой части. Поэтому ограничимся изучением свойств этого интеграла.

е

/1(х,е) = ад Ц

¿г

¿х У (х - г)1-2в2 (с - г)2в2 0

Вэ(0 d (С

(Г" К

1 - 2^2 ¿х \х

Используя формулу [9, с. 110] ¿

^ 1 - 2в2,1;2 - 2^2;-х

4

х

(а, в; 7; г) = а.га-1¥(а + 1, в; 7; г),

получим

Л(х,0 = - -

х

(!)

1-2в2

вз(е) _

х - с '

Аналогично исследуется ядро К2(х,С).

Из приведенных рассуждений видно, что ядра К1(х,С) и К2(х, С) допускают оценки К1 (х,С)=0(1)(х - С)-1, К2(х, С) = 0(1)(С - х)-1, где 0(1) означает ограниченную в I х I величину.

Установим свойства ядер Кз(х,С) и К^(х,С). В смысле гладкости они будут себя вести как интегралы

12(х,С) = а^ШО^ !

¿х

¿г

¿х .] (х - г)1-2в2 (с - г)2в1

0

е

1з(х,С) = а(С)В4(С)¿х I

¿г

¿х У (х - г)1-2в2 (с - г)2в1 •

0

X

X

е

X

¿

¿

X

После несложных вычислений будем иметь

1 - 2в2 а(С)В4(С) (С

1 - 2в1 (х - С)1-2(в2-в1^х/

12(х, С) = 2" Р - 2в1,1 - 2в1; 2 - 2в.; х) ,

т ( с) в1 а(С)В4 (С) /су /Р2 р [2Я 2в 2в ,+2Я . х\ 1з(х,С) = — 77—х)1-2(я2-я1п -) р ( 2в2 - 2вь в2;1 + 2в2; с ) •

1-2в2

в2 (С - х)1-2(в2-в1) \ х) * У™ ■ с /

Таким образом при п > т ядра К3(х,с) и К4(х,с) непрерывно дифференцируемы в квадрате 0 < с, х < 1 при с = х и допускают следующие оценки:

Кз(х, с) = 0(1)(х - с)2(в2-в1)-1, К4(х,с) = 0(1)(с - х)2(в-1)-

Из представления ядра К5(х,с) с учетом предыдущих вычислений имеем, что поведение К5(х,с) аналогично поведению в смысле гладкости ядер Кз(х,с), К4 (х,с), т. е. ядро К5(х,с) при п ^ т непрерывно дифференцируемо в квадрате 0 < с, х < 1 при с = х и допускает следующую оценку:

К5(х,с)=0(1)|х - с|2(в-1)-Таким образом, уравнение (3.3) принимает вид

1

Л! \ ! \ , [ К(x,С)v2(С)dС , (34)

А(х)^(х) + ---= Р (х), (3.4)

с - х

где

К(х,с) = Кб(х, с)(с - х),

I ^ К1 (х,с)+г(2вК)Г(х1,с)2в ) + К5(х,с) при с < х,

Кб(х,с)^ -(ов ) г(2в2/(( 1-)2в1)

^ ^ 8т(2пв2) „ , сл , К4(х,с) _

-К2 (х,с) +--;-:—;-т при с > х,

П У Г(2в2)Г(1 - 2в1)

л( \ _ \ 1 + соъ(2пв2)Вз(х) прип > т, А(х) ^

{

1 + сов(2пв2)[Вз(х) + а(х)В4(х)] + а(х) прип = т, р (х) = д1;2в2 / (ху

Из установленных свойств ядер К^(х,с), г = 1, 5, заключаем, что ядро Кб(х,с) непрерывно дифференцируемо в квадрате 0 < х, с < 1 при с = х и допускает при п ^ т следующую оценку:

Кб (х,с)=0(1)(с - х)-1,

где 0(1) означает ограниченную в I х I величину.

Выясним гладкость Р(х) правой части уравнения (3.4).

X

Р(х) = £1-2в2 /(х) = ±[ / (г)dг =

р (х) = и°+ /(х) = Г(2в2) ¿х] (х - г)1-2в2 =

0

X

/(0) + [ / (г^г

Г(2в2)

х1-2^ 1 J (х - г)1-2в2 0

Из вида функции /(х), свойств функций аДх), ЬДх), 7®(х), а(х), в(х), г = 1,2 и свойств дробных интегралов нетрудно заключить, что правая часть

F(x) G C 1(I), причем при x ^ 0 она может обращаться в бесконечность порядка не выше 1 — 2ß2.

Таким образом, уравнение (3.4) при A(x) = 0 есть сингулярное интегральное уравнение [10, с. 157].

Условие A2( x) + K2(x,x) =0 гарантирует существование регуляризатора, приводящего уравнение (3.4) к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Отсюда и из единственности искомого решения следует существование решения сформулированной задачи.

Исследование случая m > n не представляет трудности и проводится аналогично случаю n > m.

Литература

[1] Saigo М. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric function // Math. Rep. Kyushu Univ. 1978. V. 11. № 2. P. 135-143.

[2] Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 161 с.

[3] Репин О.А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. Саратов: Изд-во Саратов. гос. ун-та, 1992. 688 с.

[4] Кумыкова С.К. Краевая задача со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 1. С. 93-104.

[5] Нахушев А.М. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения // ДАН СССР. 1969. Т. 187. № 4. С. 736-739.

[6] Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.

[7] Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: Иностр. лит., 1957. 443 с.

[8] Кумыкова С.К., Нахушева Ф.Б. Об одной краевой задаче для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14. № 1. С. 50-65

[9] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. М.: Наука, 1973. 296 с.

[10] Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 511 с.

Поступила в редакцию 3/IX/2012; в окончательном варианте — 3/IX/2012.

60

О.А. Репин, С.К. Ky-M-btKoeo,

ON A PROBLEM WITH GENERALIZED OPERATORS OF FRACTIONAL DIFFERENTIATION FOR A DEGENERATED INSIDE A DOMAIN HYPERBOLIC EQUATION

© 2010 O.A. Repin? S.K. Kumykova4

In this paper, we consider a problem with Saigo operators of fractional differentiation in a boundary condition on a characteristic part of a boundary. The unique solvability of this problem is proved.

Key words: integral and derivative of Riemann — Liouville fractional order, integral equations of Fredholm, Gauss hypergeometric function, kernel resolvent.

Paper received 3/IX/2012. Paper accepted 3/IX/2012.

3Repin Oleg Alexandrovich ([email protected]), the Dept. of Mathematical Statistics and Econometrics, Samara State University of Economics, Samara, 443090, Russian Federation.

4Kumykova Svetlana Kanshubievna ([email protected]), the Dept. of Function Theory and Functional Analysis, Kabardino-Balkarian State University, Nalchik, 360004, Russian Federation.