Научная статья на тему 'Нелокальная краевая задача для системы уравнений первого порядка типа Лыкова'

Нелокальная краевая задача для системы уравнений первого порядка типа Лыкова Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
52
25
Поделиться
Ключевые слова
NONLOCAL VALUE BOUNDARY PROBLEM / SYSTEM OF DIFFERENTIAL EQUATIONS / INTEGRAL EQUATIONS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Репин Олег Александрович, Кумыкова Светлана Каншубиевна

Доказана однозначная разрешимость задачи со смещением для системы дифференциальных уравнений первого порядка типа Лыкова. Доказательство проведено для различных значений параметров обобщённых операторов дробного интегро-дифференцирования, входящих в краевое условие.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Репин Олег Александрович, Кумыкова Светлана Каншубиевна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Nonlocal boundary value problem for a Lykov's type system of first-order

In this paper we prove the unique solution of the problem with a shift to a Lykov's type system of differential equations of first order. The proof is given for different values of the generalized operators of fractional integro-differentiation included in the boundary condition.

Текст научной работы на тему «Нелокальная краевая задача для системы уравнений первого порядка типа Лыкова»

УДК 517.956.32

НЕЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ТИПА ЛЫКОВА

О. А. Репин1, С. К. Кумыкова2

1 Самарский государственный экономический университет,

443090, Самара, ул. Советской Армии, 141.

2 Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова,

360004, Нальчик, ул. Чернышевского, 173.

E-mail: matstat@mail.ru, bsk@rect .kbsu.ru

Доказана однозначная разрешимость задачи со смещением для системы дифференциальных уравнений первого порядка типа Лыкова. Доказательство проведено для различных значений параметров обобщённых операторов дробного инте-гро-дифференцирования, входящих в краевое условие.

Ключевые слова: нелокальная краевая задача, система дифференциальных уравнений, интегральные уравнения.

Введение. Одномерный поток влаги u = u(£, t) в коллоидном капиллярнопористом теле поликапиллярной структуры связан с влажностью w = w(£, t) в точке £ в момент времени t обобщённым законом переноса влаги [1]

dw D o du Z2

u = —DP^Σ 2 ~Tü ’

0Ç a0 dt

где О — коэффициент диффузии, р — плотность, а0 — коэффициент пропорциональности, зависящий от пористости тела, его капиллярных свойств и вязкости жидкости.

Если и и и> связаны законом сохранения массы

д'Ш ди

р~т + Щ =0'

то получим следующую систему дифференциальных уравнений:

dw D ґо du dw du

~2 <

2

u = -Т)рҐщ - a2 f2 Tv (1)

Произведя замену pw = v, x = t/a®, y = i/a0, а затем обозначив a = -a0/D (a — безразмерная величина), системе (1) придадим следующий вид:

y2ux + Vy - au = 0, Vx + Uy = 0. (2)

Дифференцируя первое уравнение системы (2) по x, а второе по y и исключив vxy, получим уравнение А. В. Лыкова для определения u(x, y):

y‘2‘uxx — uyy — aux = °. (3)

Олег Александрович Репин (д.ф.-м.н., профессор), зав. кафедрой, каф. математической статистики и эконометрики. Светлана Каншубиевна Кумыкова (к.ф.-м.н., доцент), доцент, каф. теории функций.

Отметим, что уравнение (3) было приведено А. В. Бицадзе [2] как пример уравнения, для которого при |a| ^ 1 корректна по Адамару задача Коши с начальными данными на любом участке xo < x < xi линии у = 0 параболического вырождения, хотя нарушено известное условие Геллерстедта [3]:

1_m

lim у 2 a(x, у) = 0, y^o

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

а А. М. Нахушевым [4] — как пример уравнения, для которого при |a| = 1 задача Дарбу поставлена некорректно и характеристики не являются равноправными носителями граничных данных.

Данная работа посвящена исследованию однозначной разрешимости нелокальной краевой задачи для системы дифференциальных уравнений Лыкова первого порядка.

1. Постановка задачи. Рассмотрим систему (2) в области D, ограниченной характеристиками AC : x-у2/2 = 0, BC : x+y2/2 = 1 и отрезком J: 0 ^ x ^ 1 прямой у = 0.

Задача. Найти решения u(x, у), v(x, у) системы (2) из класса C(D) П C 1(D U J), имеющие непрерывные вторые производные в области D, причём ux(x, 0), uy(x, 0) могут иметь интегрируемые особенности при стремлении x к точкам A и B, и удовлетворяющие условиям

v(x, 0) = <^(x), 0 ^ x ^ 1, (4)

А(х)(-С 4 Й1 и[воС0])(х) +

+ В(х)^'№' 4 М1 и[$1(£)]^(ж) = С(х), 0 <х< 1, (5)

где |а| < 1; <£>(х), А(х), В(х), С(х) —известные функции такие, что

<р(х) е С2(3) П С3(7), <р'(0) = <р'(1) = 0, (6)

А(х), В(х), С(х) е С 1(7) П С3(7), А2(х) + В2(х) = 0 для У(х) е [0,1]; 51, 62, Ц1, Ц2 — действительные постоянные, на которые ниже будут наложены определенные условия.

Здесь во (х) и 01 (х) — точки пересечения характеристик системы (2), выходящих из точки (х, 0) (0 < х < 1), с характеристиками АС и ВС соответственно; (/0у,п/)(х) и (/а_в'п/)(х) — обобщённые интегралы и производные с гипергеометрической функцией Гаусса Е(а, Ь; с; г), введённые в [5] (см. также [6, с. 326, 327]) и имеющие при действительных а, в, п и х > 0 следующий вид:

™—а—в гх . +.

(10+/)(х) = Г(а) ]0 (х - *)а—1Е{а + в, -п;а;1 - х)/(^ (7)

где 0 < х < 1, а > 0;

(С5'”/)(х) = (± )"(С+М—~,—"лм- (8)

где 0 < x < 1, a < 0, n = [—а] + 1;

(ia-e’nf)(x) = (1 rxa—J (t — x)a-lF(a + ^, —n;a;l——Xx^f{t)dt, (9)

где 0 < x < 1, а > 0;

(i;-5’’' f )(x) = (—d-; y\r;+n’e-n’n-n f )(x), (10)

где 0 < x < 1, a< 0, n = [—a] + 1.

При в = —a операторы (7)-(10) сводятся к дробным интегралам и производным Римана—Лиувилля [6, с. 42, 44]:

1 гx

(ioV )(x) = (i0Ta’n f )(x) = ra)Jo(x—t)a-if (t)dt, (ii)

где 0 < x < 1, a > 0;

( d \ n

(DoV)(x) = (I0-+a’a’nf)(x) = (-) (/n+-af)(x), где 0 < x < 1, a > 0, n = [a] + 1;

i /•1

(I?-f )(x) = (Ii--a’n f )(x) = YâjJx(t — x)a-1f (t)dt, (12)

где 0 < x < 1, a > 0;

( d \ n

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(Dfx) = (I--a’a’nf)(x) = (— -) (in--af)(x),

где 0 < x < 1, a > 0, n = [a] + 1.

2. Однозначная разрешимость исследуемой задачи. Дифференцируя первое уравнение системы (2) по x, а второе — по y, получим

I y2uxx + Vyx — aux = 0,

|^vxy + uyy = 0.

Исключая vxy из системы, получим уравнение А. В. Лыкова для определения u(x, y):

y2‘uxx — uyy — aux = 0. (13)

В характеристических координатах £ = x — y2/2, n = x + y2/2 уравнение (13) преобразуется в хорошо известное уравнение Эйлера—Пуассона— Дарбу (ЭПД).

Используя общее решение уравнения ЭПД [7] и возвращаясь к прежним координатам (x, y), выпишем общее решение уравнения (13):

и(х, у) = Ф

1 2

Г у , X 1 а + 3 , х а —3

х + —(1 — 2г) г 4 (1 — ¿) 4 (Ц-

Г-1 г у2

— у ф' х+ —(1 — 2г) г-(1 — г)—(г. (14) ]о ^ 2

На основании (14) и второго уравнения системы (2) (ух = —иу) имеем

, Г У2 , ,1 а + 3 , ч а —3

у(х, у) = У (2г - 1)Ф х + ^-(1 - 2г) г— “+"(1 - г)~4Т(Ц+

7о 12 ]

+ / ф

1 2

У , Л 1 + а , х а —1

х + —(1 — 2г) г 4 (1 — г) 4 (г—

- у2 I (2г - 1)ф' х + У-(1 - 2г) г—^ (1 - г)<и. (15)

о2

Здесь Ф(х) и Ф'(х) — произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции.

Полагая в (15) у = 0, найдём

1 + а

ь(х, 0) = ф(х) / г 4 (1 — г) 4 (г

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Принимая во внимание условие (4) и формулу [8, п. 1.5 (1), с. 23]

/ га—1 (1 - г)в—1м = В (а, в), Ив а> 0, Ив в> 0,

о

где В(а, в) —бета-функция, будем иметь

^(х)

Ф(х) =

(16)

На основании формулы (14) и определений (7), (9) вычислим и[в0(х)] и и[в1(х)] [9]:

1 — а г\ а — 3

ф'(г) (х)

и[во(х)]=г(11^)(С-а,0, 4 Ф(г)](х) — г

/ п + 1 \/ а+" о а+3 \ / п + 3 \/ а+3 " а+3

и[*і(х)]=г( (Ч_4 ,0- 4 Ф(г))(х) — г( (іі4 - 2 - 4 ф'(і))(х).

*3 _____________ /7 \ / 3 — а 1 а — 3

4

4

Подставив и[в0(х)] и и[в1(х)] в краевое условие (5) и воспользовавшись формулами композиций [6, с. 327]

№8я (1?+-“+’7)«)(*) = (іо“++7,8+і,п/(*))(*),

(1Г-вп №?-“+’7 )(г))(х) = (і^Г'^” ! (())(х),

(17)

где ^ > 0, будем иметь

0

1

0

л(х)г(!^)(С * *•443-1 ф((^(і)+

+ B(x)r( )(/"+ 4р’и’- 4^_Р1 Ф(і))(я) = F(x), (18)

где

Е(х) = С(х)+ А(х)^-^) (-01+ 4аЛ—2'а 4 —51 Ф'(г^(х)+

+ В(х)г(-+а )(/£+^ 'М2—2'—^—т Ф/(г))(х).

Справедливы следующие утверждения.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Теорема 1. Если

61 = ^, ¿2 = 0, Ц1 + Ц2 = -^^ <Ц1 < -^, В(х) = 0 (19)

или

61 = , 62 = 0, Ц1 + Ц2 = -а'+1, -1+а < Ц1 < , А(х) = 0, (20)

то решение задачи (2), (4), (5) существует и единственно.

Доказательство. Пусть справедливы условия (19) теоремы 1. Тогда в силу формулы (12) уравнение (18) принимает вид

Г( 4 ) A(x) ф(х) + (d (м1+^Wt))(x) =__________1___F(x)

г() B(x) ( ) V 1- ()J() г(1±“) B(x)

или

г( 1-a) АМФ(х)_ 1 d í1 $(t)dt = 1 F(x) (21)

г(^) B(x) () г(^ + щ) dxjx (t _ x)-1+4-^1 г(^) B(x) • ( ) К уравнению (21) применим формулу обращения [6, с. 38, 39], [10, с. 47, 48]

sinпц d í1 F(t)dt

x п dx Jx (t _ x)1-^

интегрального уравнения Абеля

f1 f(t)dt Jx (t _ x)M

и в результате получим

1

= F (x), 0 < ц < 1,

Ф^) + f K(x,t)Ф(t)dt = F1(x), (22)

x

где

K(x, t) = Sinп(^ + щ)г( 1+^) B(t) (t _ x)^+^1,

F¡ (x) = пГ( »±5 + дО F (i)di

sinn(^ + дОГ(B(t)(t - x)Ч5 +«'

Уравнение (22) есть интегральное уравнение Вольтерра второго рода со слабой особенностью в ядре. Для исследования гладкости правой части Fi(x) уравнения (22) преобразуем интегралы, входящие в F(x).

Нетрудно видеть, что при ¿i = (1 — а)/4, 52 = 0 имеем

ы*) = (С4 а *"1'а* ф//(/))(х) = (-0;а'"1'а =

а 1 р X 1 _!

х 2 /х т,/ ч/ /1 - а а а ¿\7

= г(1 - |) I Ф(г)(х - г) 2 Е(~,1 - 2 ;1 - 2; 1 - йК

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Известное свойство гипергеометрической функции Е(а; Ь; Ь; г) = (1 - г)—“ [8, п. 2.8 (4), с. 109] позволяет записать 31 (х) следующим образом:

1 г х ,

11.,,, а а — 1

Ых) = г(1 - о) уо Ф (г)(х - г) 2г 2 ^ =

= г(1л/ха) / Ф/(хг)г^(1 - г)—а^. (23)

Ч1 - о) ^0

Так как ц1 + (а + 3)/4 < 0, ц1 + ц2 = -(а + 1)/4, то

^(х) = (-1—+а+3'М2—2'—^—М1 Ф/(г))(х) = (^——М1+^)Ф/(г))(х) =

= г (0+- + Ц1) I IX (‘ - х) *+3+"1 *<*>* =

= )++| +)“ 1о1 Ф'/(1 - (1 - х)г)(1 - г)а+3 +'“*' (24)

Соотношения (23), (24) и условия (6) позволяют утверждать, что Е(х) е С([0, 1]) П С 1(3). Отсюда заключаем, что Е1(х) е С(3) П С2(3).

Таким образом, уравнение (22) есть интегральное уравнение Вольтерра второго рода при В (х) =0 со слабой особенностью в ядре и правой частью Е1(х) е С(3)ПС2(3). В этом классе функций уравнение (22) имеет единственное решение Ф(х), которое может быть построено методом последовательных приближений [10].

По найденным Ф(х) и Ф(х) решения и(х, у), у(х, у) задачи (4), (5) для системы (2) находятся по формулам (14), (15).

При выполнении условий (20) теоремы 1 уравнение (22) принимает вид

Ф(х) + [ к1(х,г)Ф(г)м = Е2(х), (25)

где

K1(x, t) = ------Га-^т, F2(x) = ^ ( л F(x).

145

еш вм____________________ f2W=____________

r(1-2) A(x)(t — x) -« ’ 2(x) r(1-2)A(x)

Уравнение (25) также является интегральным уравнением Вольтерра второго рода при A(x) = 0 со слабой особенностью в ядре K\(x, t) и правой частью F2(x) G C(J) П C 1(J).

Далее аргументация доказательства теоремы 1 аналогична. □

Теорема 2. Если ß1 = — (a + 1)/4, ß2 = 0, ¿1 + ¿2 = (a — 1)/4, (a — 5)/4 <

< ¿1 < (a — 1)/4, A(x) = 0 или ß1 = —(a + 1)/4, ß2 = 0, ¿1 + ö2 = (a — 1)/4, (a — 1)/4 < ¿1 < (a + 3)/4, B(x) = 0, то решение задачи (2), (4), (5) существует и единственно.

Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1.

Теорема 3. Если (a + 1)/4 < ¿1 < (a + 3)/4, ö2 = —1, ß1 = ¿1 — a/2, ß2 = — (¿1 + (1 — a)/4), A(x) = A = const = 0, B (x) = B = const =0 и выполняются условия (6), то решение задачи (2), (4), (5) существует.

Доказательство. При выполнении условий теоремы 3 соотношение (18) принимает вид

'1 — a \/ М+1—■ ,-1, -¿i

+ вг(1+р)(í+ 1-4,-№+1-4’•8-1-íl <ед)(*} = Fi(x), (26)

где

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Fs(x) = C (x) + Ar( ^ )(/01+3-°3 •4-3 -íl Ф^))^

+ вгГ^+Л f/íl+1-4 •4-1 -íl,-íl-1-4 Ф^) ) (x).

r-№+1-4 )•!•-2

Применив к обеим частям (26) оператор 10+ 4 ' ' 2 и используя первую

формулу композиций из (17), будем иметь

1 - а) ^ , , „^( 1 + а'

Лг(^)Ф(х} + вг(^) x

x (l0-ííl+1-4)Д"11Í-+ ^,-(í1+1-4^4-1 -íl*(t))(x) =

= (i-r 1-4)Л-2 Fs(t))(x). (27)

В работе [11, с. 349] получена формула

i0-P,Í,r (if--P,V(t)) (x) = xf-Í cosnpf (x) + j K(x,u)f (u)du, (28)

где 0 < p < 1 и

^ , í r(í~-rf()rr+f+r)x-r-Íuf+r-ÍF (p; r + 1; r + p; u) , 0 < u < x;

K (x, u) = < '

I p(^i)r((_f++r+2)uf-2F (r +12 - p; -P+r+2; Ю , x < u < 1.

_ r(f- 1)Г(-f+r+2)

Используя (28), полагая р = 61 + (1 - а)/4, г = -1/2, в = (а - 3)/4 и учитывая, что г(1/2) = у/П [8, п. 1.2 (10), с. 18], перепишем (27) в виде интегрального уравнения

(1 - а) ^(1 + а) /_ 1 - а) 5, а+з

( 4 ) + Вг(—) с°8 + ~)х 4

Ф(х) +

+ I кп(х,г)Ф(г)м + / К12(х,г)Ф(ь)(И = (-0+51+ 4 )'1' 2Ез(г)^(х), (29)

к 11(х, Ь)Ф(Ь)(Ь + I к 12(х, Ь)Ф(Ь)(Ь — \ -0+ 2

где

к11(х, г) = —(------------------+^х 2 г51 4 X

11( , ) г(о+3 - 61) г (61 - °+^)

т-,/% ,1 - а 1 г а + 1 г\

хЧ61 +~,2;61 -~;х), 0<г<х;

к12(х, г) = —(--+3) П,5+------------)г51 + х

12( , ) г (61 - °+^) г - 60

/1 а + 7 г а + 5 гх )

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

х Е(2 — - 61; “Г - 61; т)’ х<,< 1

Таким образом, существование решения задачи редуцировано к вопросу разрешимости уравнения (29). Исследуем гладкость его правой части. Найдем композиции обобщённых операторов правой части уравнения (29). Воспользуемся вначале первой формулой из (17):

-з(х) = /¿+5,+)'1'"2 (С341'"3'^ —51 Ф/(*))(х) = = (^0^^“2'—1Ф/(¡)}(х) = (-¿ф^)}^)-

Учитывая определение (11) и равенство Ф/(0) = 0, после интегрирования по частям можно записать

х [1 Ф/(хг)(г

-з(х) = [ (х - г) 2 Ф/(г)(г = *[

УП ,)0 V П .'0

\/1 - г

Откуда следует, что -3(х) е С(3) П С2(3).

Далее рассмотрим

-4(х) = -с"+51+^),1,—2 (-5—+ ^'—(51+^)' ^—51 Ф/(г))(х) =

з

4 51'0' ' 2 1

[1 —

±(1+ ;i■'о'; 3(£+- Ф/(,.))(в))(х) =

( х51—^ .а—5 /а + 3 Г 3 а + 3 Г г.,

(х г (о+з _ 61) I (х - г) 4 Е(~ - 61, 2; ~ - 61;1 - х)(гх

г (61 + 3—0

Поменяв порядок интегрирования, с учётом формулы

гх р1 гх г в /*1 гх

/ (г (в = / (в (г + (в (г

./0 Jо Jо ->х Jо

и свойства гипергеометрической функции Гаусса Е(а, Ь; а; г) = (1 - г)—ь получим

, , 1 ( 5 а + 3

14(х) = ---(-|-з------)-(----5-----)— х51 4 X

4( ) г(- 6^г(61 + 3—0) (х

4

í y\s)ds í t-2 (x — t)^ -Sl(s — t)¿1-^ dt+

Jo Jo

+ í Ф7^^ / t-2 (x — t)^-Sl (s — t)¿1-^dt x (o ) ( ) г ( — 2) Г (¿1 + 2-2)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

X

1 d ¿ д+з

-x01 4

r(^T2 — 5i)Г(5i + 2-2) dx

¿ g+3 a-j- ¿ / 1 a — 1 a — 1 s\ ...

X I s01 4 x 4 0l F(^ — - ,5i--------—; 5i-----------—; -J Ф (s)ds +

i ¿, _a+j a-3 St ti ( 1 a + 1 „ a + 1 x \t//n,

s1 4x4 1 F(^—-,—4-5i; —4-----5i; Ф (s)ds

В силу формулы г (-1/2) = -2у/П [12, п. 11.1, с. 773] окончательно имеем -4(х) = - г( 0+3 - 6^6, +^) (х Ц в 1—‘+3(х -в) 1

- г(* + 3—0)/ч0+1 - 60 (х Цв1—*+3(в - х) 1 ^

Дифференцируя по х, производя замену в первом интеграле в = хг, а во втором — в = 1 - (1 - х)г и учитывая формулу г(г)г(1 - г) = п/вт пг [8, п. 1.2 (6), с. 18], получим

I4 (x) = —]= \ п

(—+— — 5^x¿1 + У (1 — z) 1 z¿1 + Ф7^^—

(3 — a + 5i)(1 — x)2 У (1 — z)-1 (1 — (1 — x)z)0l 4 Ф7(1 — (1 — x)z)dz

— sinn(3 , a +5il(1 — x)2 y (1 — z) 2 (1 — (1 — x)z)01 4 Ф7(1 — (1 —

Отсюда следует, что I4(x) G C(J) П C2(J)

1

X

Теперь преобразуем первое слагаемое в правой части интегрального уравнения (29):

-5(х) = (í;+i1+^)д-2 С (г)) (ж) = (х (-0^ ;5l•0•; 2 С ю)м =

х51—3—3 [ (х - г) 2—1—51 г—3 С (г) (г

Ю

1 f1. . g—1

1

(1 - z)g—1—1 z-2C'(xz)dz

0

г ^

Откуда следует, что /5(x) G C(J) П C2(J).

Из явного вида ядер Кц(х, t) и Ki2(x, t), а также свойств слагаемых /з(х), /4(x), /5 (x) правой части уравнения (29) при

АГ(^) + BГ( ^) cos*(¿1 + ^)хЙ1-g+3 = 0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

следует, что уравнение (29) есть интегральное уравнение Фредгольма второго рода со слабой особенностью в ядре относительно Ф(х), где правая часть принадлежит классу C[0, 1] П C2(0, 1). В этом классе существует решение Ф(х) уравнения (29). Зная Ф(х) и Ф(х), используя формулы (14), (15), нетрудно найти решения u(x, у) и v(x, у) задачи (4), (5) для системы (2). Доказательство теоремы 3 закончено. □

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лыков А. В. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло и массообмена// Инж.-физ. ж., 1965. Т. 9, №3. С. 287-304. [Lykov A. V. Application of methods of thermodynamics of irreversible process to heat and mass transfer problems// Inzh.-fiz. Zh., 1965. Vol. 9, no. 3. Pp. 287-304].

2. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с. [Bitsadze A. V. Some classes of partial differential equations. Moscow: Nauka, 1981. 448 pp.]

3. Gellerstedt S. Sur une equation lineaire aux derivees partielles de type mixte // Ark. Mat. Astron. Fys. A, 1937. Vol. 25, no. 29. Pp. 1-23.

4. Нахушев А. М. О задаче Дарбу для гиперболических уравнений // ДАН СССР, 1970. Т. 195, №4. С. 776-779; англ. пер.: Nakhushev A.M. On the Darboux problem for hyperbolic equations// Sov. Math., Dokl., 1970. Vol. 195, no. 4. Pp. 1567-1570.

5. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric functions // Math. Rep. Kyushu Univ., 1978. Vol. 11, no. 2. Pp. 135-143.

6. Самко С. Г., Килбас А. А, Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с. [Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I. Integrals and derivatives of fractional order and some of their applications. Minsk: Nauka i Tekhnika, 1987. 688 pp.]

7. Смирнов М. М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. Минск: Высш. шк., 1977. 160 с. [Smirnov M. M. Degenerate hyperbolic equations. Minsk: Vyssh. shk., 1977. 160 pp.]

8. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. В 3-х т. Т. 1: Гипергеомет-рическая функция. Функция Лежандра. М.: Наука, 1973. 296 с.; ориг.: Erdelyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G. Higher transcendental functions. Vol. I / ed. H. Bateman. New York - Toronto - London: McGraw-Hill Book Co, Inc., 1953. 302 pp.

9. Репин О. А. О разрешимости задачи с краевым условием на характеристиках для вырождающегося гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения, 1998. Т. 34, №1. С. 110-113; англ. пер.: Repin O.A. Solvability of a problem with boundary conditions on characteristics for a degenerate hyperbolic equation // Differ. Equations, 1998. Vol. 34, no. 1. Pp. 113-116.

10. Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматлит, 1959. 232 с. [Mihlin S. G. Lectures on linear integral equations. Moscow: Fizmatlit, 1959. 232 pp.]

11. Srivastava N. M., Saigo M. Multiplication of fractional calculus operators and boundary value problems involving the Euler-Darboux equation// J. Math. Anal. Appl., 1987. Vol. 121, no. 2. Pp. 325-369.

12. Прудников А. П., Брычков Ю.А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. 799 с. [Prudnikov A. P., Brychkov Yu. A., Marichev O. I. Integrals and series. Elementary functions. Moskva: Nauka, 1981. 799 pp.]

Поступила в редакцию 20/XII/2010; в окончательном варианте — 26/II/2011.

MSC: 35L50; 35Q05, 47G20, 34B10

NONLOCAL BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A LYKOV’S TYPE SYSTEM OF FIRST-ORDER

O. A. Repin1, S. K. Kumykova2

1 Samara State Economic University,

141, Soviet Army st., Samara, 443090, Russia.

2 Kabardino-Balkarian State University,

173, Chernyshevskogo st., Nal’chik, 360004, Russia.

E-mail: matstat@mail.ru, bsk@rect.kbsu.ru

In this paper we prove the unique solution of the problem with a shift to a Lykov’s type system of differential equations of first order. The proof is given for different values of the generalized operators of fractional integro-differentiation included in the boundary condition.

Key words: nonlocal value boundary problem, system of differential equations, integral equations.

Original article submitted 20/XII/2010; revision submitted 26/II/2011.

Oleg A. Repin (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Head of Dept., Dept. of Mathematical Statistics & Econometrics. Svetlana K. Kumykova (Ph. D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of Function Theory.