О разрешимости в замкнутой форме нелокальной задачи для одного вырождающегося гиперболического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

О РАЗРЕШИМОСТИ В ЗАМКНУТОЙ ФОРМЕ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

© 2008 г. Р.Н. Салихов

Самарский государственный технический университет, 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244, [email protected]

Samara State Technical University, 443100, Samara, Molodogvardeyskaya St., 244, [email protected]

Рассматривается нелокальная краевая задача для уравнения гиперболического типа с краевыми условиями, содержащими операторы дробного интегро-дифференцирования. Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, интегральное уравнение, операторы дробного интегро-дифференцирования, класс функций, существование и единственность решения, класс Гельдера.

A nonlocal boundary value problem for the hyperbolic equation with fractional integral operators in boundary conditions is considered. Existence and uniqueness of a solution are proved.

Keywords: differential equation, integral equation, generalized fractional integrals and derivatives, function class, existence and uniqueness of a solution, Holder space.

Постановка задачи

Рассмотрим уравнение

Uyy+oaiy-

I У\2т uxx+yuw+auv=°>

(1)

1

- оператор Эрдейи-Кобера, действующий на функцию f (х) по формуле [2]

{E«fq>){x) = ^-^]{x-t)a-XtPf(t)dt- (4)

I (а) д

Г(х) - гамма-функция Эйлера; F(a,b,c;x) - гипергео-

где т > —; а - заданная действительная постоянная.

2

Пусть I) - конечная односвязная область плоскости независимых переменных х и у, ограниченная метрическая функция Гаусса; Нл[а,Ь] (0 < Л < 1) -

характеристиками АС: х-

2

2т+\

2т+ 1

(-у) 2 =0;

ВС: х + -

2

2т+1

(~у) 2 =1 уравнения (1) и отрез-

2т + 1

ком J = AB = {х: 0 < х < 1}.

Введем следующие обозначения:

©0(х) =

i „Л

m0

\

m0

©l( х) =

m0

1 + х 2 '

1-х m0 .

. Ta,ß,rj j<x,ß,ri

точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки х е./ с характеристиками АС и

4

ВС соответственно; тп =-

2т + \

операторы обобщенного дробного интегро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса, введенные в [1] и имеющие при действительных а(а>0),/3,7]еЯ и х>0 вид

(/«/'V)(x) =

= --- J(x - t)a~lF(cc + ß,-t],a\\ - -)<p(t)dt.

Г(ог) о х

,-a-ß 1

(2)

(3)

класс функций, удовлетворяющих условию Гельдера порядка Л на отрезке |а,h |: 11= n' (a.h)- класс гельдеровских функций с интегрируемыми особенностями на концах отрезка.

В дальнейшем потребуются следующие леммы [3]: Лемма 1. Пусть 0<-а< Л <1, rj>ß-\,

(р(х) е НЛ[ОД]. Тогда xß(р){х) ,

(1 - x)ß(l£:ß'r'<p)(x) е НЛ+а[0,1].

Лемма 2. Пусть 0<-а<Л<1, /e<min{0,77 + l}, <р(х)еНя[ ОД]. Тогда (/q/'VX*), е H™n{Ä+a'~ß}[ОД].

При — -т<а<\ регулярное решение и(х,у)

уравнения (1) в области I) , удовлетворяющее условиям:

м(х,0) = т(х) , 0<jc<1, lim (-y)auv(x,y) = v(x),

0<х<1, где т(х) e Cl(J) n C2(J), v(x)eC\j), дается формулой [4]

u(x, y) = (5)

2

= ЩР1)т{х + (1 - 2t)^{-yT« )tP~x (1 - tf~l dt -Г2 iß) о 2

Г(а)

1-х

2Г (1 — ß)

2

2

0

х

где niQ = -

4

,ß =

2т -1 + 2«

2т + 1 2(2»? +1)

В настоящей работе развиваются результаты [5-7], посвященных нелокальным задачам с краевыми условиями, содержащими обобщенные дробные интегралы и производные (2), (3).

В области D поставим и изучим следующую задачу. Задача. Найти в области Б решение и(х,у)еС(0) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям:

(Е1-2 р, 2/?-1Я1 (0К0)(х) + ф) = (6)

+ С(х)(1^^у(0)(х) = <р2{х), (7)

где ^4(х),5(х),С(х),я1(х),^(х) и <р2(х) - известные функции; . [!\. . а2. Р2 ■ у2 • ■ (Ь • /з ~ действи-

„ 2/и-1 + 2а 1 тельные постоянные; В =-, — т < а < 1.

2(2»? +1) 2

Существование и единственность решения задачи

На основании решения задачи Коши (5) и формул (2)-(4) найдем значения п(х. у) в точках ©о(х) и

©1<х>:

и[® о ] = К0 0)(х) -

- Кг *))(*) , (8)

М[©1 ] = ^о (/^"^(О) (*) -

(9)

где К(] =

F(ß) 2Г(1 - ß) 0

Подставим вьфажения (8), (9) в краевое условие (7):

+в{х){1^л'Г1 +

+ С{х){1^Л'ЪуШх) = <р2(х) ■ (Ю)

Примем -\ +Р, у2 = ~а2 +Р ■ Выра-

жая г(х) из краевого условия (6) и используя известные свойства операторов дробного интегро -дифференцирования [2], из выражения (10) получим

- В(хЩ +Р-\Шх) +

+ С(х)(1^'&'ГзуШХ) = £(Х), (11)

где £(х) = <р2 (х) - А(х)К0 <Рх (ОХ*) -

- £(хЖ0 (/^ п (0)(х).

Решение данной задачи будем искать для двух случаев:

1) Vx е J А(х) = О , В(х)Ф О, С(х) = В(х),

/2 =-а2-1 + ^. «3 =«2 +1-/?, /з =-«2 -1 + /?;

2) Vx е J А(х) =А= const, В(х) = В = const, С(х) — С — const, а1(х) = 0, а2=а1, «3=^+1-/?,

А =>02+2^-1, уъ=-ах-\ + р.

При выполнении условий 1) вьфажение (11) примет вид

- (A-2 {t)v{t)){x) -

v(0)(x) =

g(x)

В(х)

(12)

Пусть «2 + Р > 0. На вьфажение (12) подействуем оператором /,_ - ' ' - ' :

- A:o(42M2/,-W/moxx) - KtftwM-wMm+ + (/l-2ÄÄ-Ä,2/?-lK0)(jc) = (I-a2-ß,-h2ß-lтХх) , (13)

B(t)

а на вьфажение (13) - оператором j^-1'0'0:

= ,I2ß-lfifiI-a2-ß,-ß2,2ß-\ g(0)(x)

0+ 1- ; •

В [8] получена формула

Л"

х|м а(1-м)а с(и-х) 1v(u)du-

- cos + l)x~a~é (1 - х)а~с f(x) .

(14)

(15)

Используя (15), перепишем (14) в виде интегрального уравнения с ядром Коши

{-К0а1{х) + К1 со$2ф1~2р -со^2я/к1~2р {\-х)2р~1~Р'+Рг)у{х) + ЯП 2жр) и1~2р ((1 - и- Ку)

-———-——у(и)с1и =

К 0 и — X

= ^Р-^г^-Ь-ЬМ-1 Щ(х). (16)

Щ)

Произведя замену «(м) = м1"2^(а-м)2у8"1_А+А -Кх)у(и) в (16), придем к характеристическому сингулярному интегральному уравнению относительно функции о Ян):

s ч / ч с2 г a>(u)du Cj (х)со(и) + — J-= с3 (х),

Ж о и-х

(17)

где

Cj(x) =

- ^0а1(х)х2/?"1 + ^ cos2^jg - cos2^g(l - xfp~l~h+h

(1-х)

Iß-l-ßi+ßz

-к.

с2 = sin2Л-/?, Сз(х) = •

B(t)

Таким образом, в этом случае мы свели задачу (в смысле разрешимости) к характеристическому сингу-

0

лярному интегральному уравнению (17). Будем предполагать, что выполняется условие

с2(х) + с2 (18)

Пусть Я](х) = ха2(х), a2(x)eHAl, 2/3-1-& + (32 >0, К, Ф (Х-х)2^-^ s тогда Ci(x) £ яшти1,2А2/»-1-А+А} _

Рассмотрим правую часть интегрального уравнения (17) с3 (х), которая при выполнении условий 1) будет иметь вид

сз(х) = (/^о^-А-А^-1 _

- К0 (I^-1A0Iia2 •2Р~11?} +РЛ <PY W)(X) .

В силу предположения а2 + р > 0, используя известные свойства операторов дробного интегро-дифференцирования, получим

сз(х) = (/^о^-А-А.2/»-! М1Хх) _

I'd)

-К^-^^Шх) .

Пусть 0<а2+/?<^ <1, -/ь < mill (0.2/7J = 0 .

/j(x) е 1Г-10.1|. <р2(х) е Н^2 [ОД], тогда, согласно лемме 2, имеем

,га2-р,-р2,2Р-1 ^(Оч/ч с Hmm{h-a?-P,lh.}yQ п Bit)

Пусть также q\ (х) е Нн [ОД], 0 < 1 — 2/7 < 2, < 1. С учетом неравенства 0 < /3 < —, используя лемму 1,

получим

(/оТ^СОХ*)^^-!^

с3(х) £ H^U2-a2+ß^ß2+2ß-1^2ß-l][0 ц Найдем далее G(x) = С^~1С2 =

в(х) = argG(x); G(0) =

с1(х) + /с2 cos 2тг/? + /' sin 2 nß cos 2^0-/'sin 2^0 1

=

Выберем argG(O) = Anß, где 0 < ß < —, тогда

arg G(1) = -2arctg

K sin 2 nß

- K0a2 (1) + K1 cos 2nß

Решение уравнения будем искать в классе функций Н*[0,1] П С[0,1), тогда индекс уравнения "0(1)"

2я-

К,

К

выполнение неравенств

Kt sin 2 nß

- К0а2 (1) + Кх cos 2nß О < argG(l) < л, и индекс уравнения % = 0 . Следуя [2], найдем ^ = 1 - 2ß,

( V ■ о ^

■<о.

1

д =--arctg

л

K sin 2лß

- Kai (1)+ K cos 2nß

Z0( х^ехр-1-2л

- 2arctg

J^Wln(x)-

_0 t X

Kx sin 2 лР

ln(1 - x)

Согласно [2, теорема 30.2], уравнение (17) разрешимо единственным образом в классе Н [0,1] П С[0,1),

и его общее решение дается

формулой

су(х) =

С1( х)Сз(х) c2Z0( х)

с2 (х) + с2 л{с\ (х) + с\ )

xJu

oV t

f'o

/'1

c3 (t) dt

, (19)

Д-/^ (/)(/-х)

При выполнении условий 2) выражение (11) примет вид

- Ж1(/0аг|+1-/г'/?1'/г-1-аГ1/1-2/?у(/))(х) + (20)

+ (С- жоаГ-1 +1~А/?2 +2/?-1-а1 +/?_1г(/))(х) = я(0 . Пусть с^ +1 - (3 > 0 . На выражение (20) подействуем оператором "А.о .

- АК1Х1~213у{х) + (С - ВК) х

X (/0Т А - V +1~р'р1 +2Р^а1 +/МК0)(*) =

Воспользуемся вновь формулой (15). В результате получим

- АК^-УуЮ + (С - ВК,) х

л

xx-Aj

1 „«1 +1-/3/

_А-ггГ'< ' - (1 - г/)""1 V(M)^M

- (С - ВК!) cos я-00 - щ )х"1 (1 - х)-"1 v(x) =

= (I-r i+A-A.og(i))W (21)

Умножим (21) на x^1 :

[-Д^х1-2^1 -(С-ВК,)cosл(Р-а1)ха1+1-Р+л х х (1 -хГ 1 ]v(x) + (С - ) х

л-

1 „«1+1-

XJ-

0

(1-й)

-ax-ß-ß2

v(u)du

= хА(/оТ1"1+Д"/?ЬОЯ(0)(х).

и—х

,0

Сделав в (22) замену ®(x) = xöl+1 ^(l-x)'

\-al-ß-ß2

(22)

v(x),

Пусть a2(l)<—-cos2л-/?, что влечет за собой

придем к характеристическому интегральному уравнению с ядром Коши:

ч ч с2 г a>(u)du q (х)а>(и) + — \ — = с3 (х),

Л о и -х

где q(x) = -АКр-^-Р+Ь (1 - X)ai+ß+ßi --(C-BKJcosMiß-aJx2131, с2 = (С - sin л-(/7 - , с3(х)=хЛ(1-:^-^°8тх).

и

Потребуем выполнение неравенства с1(х) + с\ф 0. (24)

Предположим также, что Д > 0, —щ - [3 + Д > 0, аг + р + Р2> 0 . При выполнении данных требований

Cj(x) е HXl [ОД], ^ = тт{2Д ,-щ-р + р, щ+Р + Р2}.

Рассмотрим правую часть интегрального уравнения (23) с3 (x), которая теперь будет иметь вид

(')])(*)•

Пусть ^2(х)еЯД2[0Д],

^ е яЯ4 [0Д] ;

0<a1+l-jff</í2 <1. В силу того, что Д>0, согласно лемме2, имеем с3(х) е

Найдем далее G(x) = ci<»-/c2 = е"Нх), с1(х) + /с2

0(х) = argG(x) ; G{0) = -1 = cos ж + г sin ж = е1Ж . Выберем argC/YO) = л. тогда G = cosж{Р - Oj) + i sin ж{Р - aj = л{р-а1)

cos ж{Р - аг) - i sin ж{Р -аг) В силу того, что 0 < or, +1 - р < 1. получаем 0<argG(l)<2;r.

Решение уравнения (23) будем искать в классе функций H *[0,1] П С[0,1). Поскольку справедливо неравенство 0 < arg(7( 1) < 2л. индекс уравнения (23) "0(1)"

а1(х) = ха2(х), а2(х) е Hly , 2ß-1-ß3 + ß2>0 ,

2ж

= 0.

1

Следуя [2], найдем f.i0 = — , //, = /? 1 и

Z0(х) = exp

J_

2ж

} ^^- + ж 1п(х) -2 ж{р-ах) 1п(1 - х)

t — х

Согласно [2, теорема 30.2], уравнение (23) разрешимо единственным образом в классе Н '[0,1] п С[0,1), и его общее решение дается формулой (19). Таким образом, справедливы утверждения.

Теорема 1. Пусть и выполнены условия

^-т<а< 1 , Ухе./ А(х) = 0, В(х)Ф 0, С(х) = В(х), У2=~а2-]- + Р> а3=а2+\-Р, у3=-а2-\ + Р,

Кг Ф (1 -xfß-^-Pb+Pi s Й2(1) < ÄCos2;r/?,

К2

0<а2+Р<Л2<1, 0<1-2P<Á3<1, Р2 > 0, 5(х)еЯд2[0Д], ^(х) е Я^3 [ОД], (р2{х) е Я^2 [ОД] и выполняется (18). Тогда задача 1 имеет единственное решение.

1

Теорема 2. Пусть т>— и выполнены условия

-т<а <1, Vxe J A(x)=A = const, В(х) = В = const,

С(х) = С = const, а1(х) = 0, а2=аъ а3=а1+\-р, р3=Р2+2р-\, уъ--а1-\ + Р, Д > 0, -а1-/?+А> О, ах + Р + Р2> 0 , 0<а1+1-/?</12<1,

^2(х)еЯ^[0Д], (/0TAA^>i(O)(*)e ЯЯз[0Д],

(/oi+/?,/?2,/?-i-«1 ^ £ нл4 [0Д] и вьшолняется (24).

Тогда задача 1 имеет единственное решение.

Автор выражает благодарность профессору

0.А. Репину за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Литература

1. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric functions // Math. Rep. Kyushu. Univ. 1978. Vol. 11. № 2. P. 135-143.

2. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, 1987.

3. Saigo M., Kilbas A.A. Generalized fractional integrals and derivatives in Holder spaces // Transfom Methods and Special Functions, Sofia 94: Proceeding of International Workshop. Singapore, 1995. P. 282-293.

4. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М., 1981.

5. Репин О.А. Нелокальная краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Докл. РАН. 1995. Т. 335. № 3. С. 295-296.

6. Килбас А.А., Репин О.А. Задача со смещением для пара-боло-гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34. № 6. С. 799-805.

7. Репин О.А. Нелокальная задача для параболо-гиперболического уравнения с дробными производными в краевом условии // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск, 2005. С. 252-257.

8. Srivastava N.M., Saigo M. Multiplication of fractional calculus operators and boundary value problem involving the Eu-ler-Darboux equation // J. Math.Anal. and Appl. 1987. Vol. 121. № 2. P. 325-369.

Поступила в редакцию

29 февраля 2008 г.

о