Краевая задача для дифференциального уравнения с частной дробной производной Римана-Лиувилля Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 3 (2015). С. 70-75.

УДК 517.956.6

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНОЙ ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ

РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ

О.А. РЕПИН

Аннотация. Для дифференциального уравнения, содержащего уравнение диффузии дробного порядка, исследована в бесконечной области нелокальная задача, краевое условие которой содержит линейную комбинацию обобщенных операторов дробного интегро-дифференцирования.

Для различных значений параметров этих операторов с помощью метода Трикоми доказана единственность решения рассматриваемой задачи. Существование решения получено в замкнутом виде как решение соответствующего уравнения с дробными производными разных порядков.

Ключевые слова: краевая задача, обобщенный оператор дробного интегро-дифференцирования, функция Райта, дифференциальное уравнение дробного порядка

Mathematics Subject Classification: 35M10

1. Постановка задачи

Рассмотрим уравнение в частных производных второго порядка

Пхх - D^u = 0, (y> 0, 0 < а < 1), (-y)mUxx - Uyy = 0, (m> 0, y < 0),

где D0i+ y - частная дробная производная Римана-Лиувилля порядка а от функции u(x, y) по второй переменной [1, с.34]

y

u) (x,y) = ^ FTT^ f U(x4dt (0 < а < 1, y > 0)

ду Г(1 - а)У (у - ()<

0

в области П, которая представляет собой объединение верхней полуплоскости П+ = {(ж, у) : —то < ж < +то,у > 0} и области П-, лежащей в нижней полуплоскости (у < 0) и ограниченной характеристиками

2 2

АС : £ = х — —2(—у) ^ =0, ВС : п = ж + -—2(—у) ^ = 1 — + 2 — + 2

и отрезком [0,1] прямой у = 0.

Введем обозначения. Пусть I = (0,1) - единичный интервал прямой у = 0,

(m+2)x 4

2

m + 2 , .

- точка пересечения характеристик уравнения (1), выходящих

©о(х) = x - i

из точек (x, 0) (x £ I), с характеристикой AC.

O.A. Repin, Boundary value problem for partial differential equation with fractional RlEMANN-LiouviLLE DERIVATIVE.

© Репин О.А. 2015.

Поступила 25 мая 2015 г.

_ оператор обобщенного дробного интегро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса ^(а, Ь; с; г), введенный в [2] (см. также [1, с. 326-327], [3, с. 14], [4, с. 12], [5, с. 133]) и имеющий при действительных а, в, П и х > 0 вид

ж

х I -таг f(x - t)a-1F(а + ß, -п; а; 1 - 1 )/ (t) dt (а > 0),

1°+^/) (x)=^ Г(а) 0( ) ( ^ /; ; 1 )f () (

(l°«+n'e-n>n-n/) (x) (а ^ 0, n = [-а] + 1). В частности,

d" f ГО dl" 1 Jn

(lo°;°'n/ (x) = /(x), (lOi-0/ (x) = (I°+/) (x), (l-e/ (x) = (D0V) (x), (3)

где 1°+ и - операторы дробного интегрирования и дифференцирования порядка а > 0 [1, с.42, 44].

Для уравнения (1) изучим краевую задачу: найти решение u(x,y) уравнения (1) в области П, удовлетворяющее условиям:

y1-au|y=° = 0 (-то <x ^ 0, 1 ^ x< то), (4)

A (l°t'e-1-a«[0°(t)]) (x) + B (#1>i-1-A/i-1-4(t, 0)) (x) = g(x), (x G I) (5) а также условиям сопряжения

lim y1-au(x,y) = lim u(x,y), (x G I), (6)

y—°+ y—°-

lim y1-a(y1-au(x,y))y = lim uyfoy^ (x G I). (7)

y—y—>-°-

Здесь ß = , a и b - действительные числа, причем a > max {—ß,ß - 1},

A и B - вещественные константы разных знаков, g(x) заданная функция, такая, что g(x) G C 1(I) П C2(I).

Будем искать решение u(x, y) поставленной задачи в классе дважды дифференцируемых функций в области П таких, что

u(x, y) стремится к нулю при (x2 + y2) ^ то, y1-au(x,y) G C(П+), u(x,y) G C(П-),

У1-а(y1-au)y G C(П+ U {(x,y) : 0 < x < 1,y = 0}), ux1 G C(П+ U П-), uyy G C(П-).

Отметим, что в публикациях [6], [7] нами для уравнения (1) были исследованы нелокальные краевые задачи. Данная работа является продолжением исследования отмеченных задач и их обобщением.

2. Единственность решения задачи

Пусть существует решение поставленной задачи.

Введем обозначения

lim y1-au(x, y) = T1(x), lim u(x,y) = T2(x), (8)

y—°+ y—°-

lim y1-a(y1-au(x,y))y = V1 (x), lim Uy(x,y) = V2(x), (x G I). (9)

y—°+ y—°-

Известно (см. например, [6]), что решение уравнения (1) в полуплоскости y > 0, удовлетворяющее условию (4) и условию

дается формулой

lim y1au(x,y) = т1 (x), (x G I), (10)

y—°+

1

u(x,y) = y G(x, y, t)r1(t)dt, (11)

°

где

г-и Г(а) 1 1,а , . . л

С(ж,у,*) = -^-у2 Ч,1 (—|ж — ф 2)

еа в(г) = г?-утТл-, а > в, а > 0- функция типа Райта [8, с. 23].

, а=ог(ап+— вп)

Также известно [9], что функциональное соотношение между т1(х) и (ж), принесенное из области П+ на линию у = 0, имеет вид

^(ж) = г(1+ ) гГ(ж). (12)

1(1 + а)

Найдем функциональное соотношение между т2 (ж) и (ж), принесенное на линию у = 0 из гиперболической части П- области П.

Используя решение задачи Коши для уравнения (1) при у < 0, в работе [10] выписано и[0о(ж)]. Оно имеет вид

и[0о(ж)] = 71Г(в) (Св-Ч(*)) (ж) — 72Г(1 — в) (1о+в,2в-1,в-1^)) (ж), (13)

где

_ Г(2в) _1 / 4 \2в Г(1 — 2в) 71 = Г2(в), 72 =2 V— + 2) Г2(1 — в). Подставляя (13) в (5), учитывая (8)-(9) и применяя соотношение [1, с. 327]

получим

(1оТ,П ^^/) (ж) = (10*Т,в+г,п/) (ж) (7 > 0), (14)

к1 (1о"^в,Ь,в-1-аГ2(^)) (ж) + к2 (^Т-^-1^-1^)) (ж) +

+В (#1,Ь°1+в,в-в°1*2(*)) (ж) = 0(ж), (15)

где

к1 = А71Г(в), к2 = —А72Г(1 — в).

Подействуем на обе части соотношения (15) оператором 10+ в, ь,2в 1. Непосредственные вычисления с использованием формул (14) и (3) показывают, что

Т2(ж) = —кз (1о+2в(ж) — к4 (10+в(ж) +

+£ (1о-+в°в,-Ь,2в-1у(*)) (ж), (16)

где

к = 72(1 — в) к = В (17) к3 = — ^ТвТ, к4 = А^Тв). (17)

Оценим интеграл

1

I = J т^ж)^^)^. 0

В силу условий сопряжений (6), (7) и соотношения (12), имеем

1

Г(1 + а) У 0

Интегрируя по частям и учитывая, что Т1(0) = Т1(1) = 0, получим

/ = -

1

Г(1 + а)

[т1 (х)]2^х ^ 0.

Теперь найдем оценку интеграла / снизу. При $(х) = 0 равенство (16) принимает вид

Т2(х) = -кз (/01+2в(х) - (/оУ(х)

кз

Г(1 - 2в)

^(¿)(х - г) 2в ¿г-

к4

Г(1 - в)

^2(г)(х - г)-в ¿г,

и, следовательно,

кз

1 ж

/ = - Г(1 -3 2в)! ^ (х - г)-2в ^(г)^ -

00

1 ж

щк-в) / (х - г)-в

Далее воспользуемся известной формулой для гамма-функции Г(^) [11, с. 387]

5м 1

км V 2

(^) (к > 0, 0 1).

18)

Полагая в ней к = |х - г|, ^ = 2в получим

1

|х - г|

-2в

Г(2в) еов(пв)

52в-1 еов^х - ^0 < в < 0

при к = |х - г|, ^ = в будем иметь

|х - г|

-в

Г(в) ео8 (Пв)

1 еов(з|х -

0

Применив эти формулы и формулу Дирихле перестановки порядка интегрирования в повторном интеграле, приходим к соотношению

Г / 1 \ 2

/ = - кз вт(пв) у 52в-1 0

(х) еов(зх)^х I +

0

1

2

+ ( у ^2(х) вт^х^х 0

к4 ЯП ( ^ )

- I /-1

1

2

(х) еов(зх)^х I +

+ (у ^2(х) в1п(8х)^х 0

> 0.

:19)

1

ж

1

2

1

Из (18) и (19) вытекает, что I = 0, и, следовательно, согласно (18)

i

J [т^х)]2^ = 0. 0

Отсюда в силу равенств т^(0) = т^(1) = 0 получаем т1(х) = 0 для всех х Е I. Это, согласно формуле (11),

1

и(х,у) = J С(х, у, 0

дает возможность утверждать, что и(х,у) = 0 в области П+.

В силу условий сопряжения (8) т2(х) = т^1(х), и поэтому т2 (х) = 0, а в силу (9) и (12) и ^(х) = 0. А тогда и(х,у) = 0 ив области П-, как решение задачи Коши с нулевыми данными, что и доказывает единственность решения исходной задачи.

3. Существование решения задачи

Согласно (11), для доказательства существования решения исследуемой задачи достаточно найти ^1(х).

Продифференцируем обе части соотношения (16) по х дважды:

б/2 б/2 ( ) б/2 ( )

— т2(х) = -к3^ (10+2в^ф) (х) - к4 ^ (х) +

+Ъ £ (хт—Уо) (х)

или, (полагая т^1(х) = т2(х) = т(х), ^1(х) = ^2(х) = V(х)),

V) (х) - Л V) (х) - ^(х) = д1(х), (20)

где

- = _B = B = Г(1 + а) = 71Г(1 + а)Г(в)

= k2 = А72Г(1 - в)' ^ = кз = 72Г(1 - в) :

gi(x) = -AY^ (1о"+а"в"2'2"Ь,1+2в

В монографии [12, с.297] рассмотрено уравнение с дробными производными

(x) - л ( DL y i (x) - «y(x) = f (x)

(D+y) (x) - Л (D+y) (x) - ^y(x) = f (x), (21)

где х > 0, а > в > 0, Л, ^ € Д, /(х) задана на Д+ = [0, то) и выписано его решение в следующем виде

y(x) = / (x - t)a-1Ga>/8>A>/i(x - t)f (t)dt.

Здесь

Ga>/8>A>/i(z) = ^ П 1ф1

n=0

(n + 1,1)

(an + a, a - в)

Лг a-e

те

np=1r(a¿ + a¿fc) 1

A(z) = ^ckЛ Ck = пЦ^г^Ь^ k (k G N = {0,1,...}),

z,di,bj G C, aj,ej G R, i = 1,p, j = 1,q. Этой функции посвятили свои работы известные математики по специальным функциям Fox C. [13], [14] и Wright E.M. [15], [16], [17].

x

Уравнение (20) - это уравнение вида (21), а поэтому его решение дается формулой

x

v(x) = J(x - t)2eGi+2e,i+e,A,M(x - t)gi(t)dt, 0

~ . n

Gl+2e,1+e,A,^(x - t) = n (X - ¿)(1+2в)п 1Ф1

n=0 '

что и завершает доказательство существования решения исходной задачи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск. Наука и техника. 1987. 688 с.

2. M. Saigo A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric function // Math. Rep. Kyushu Univ. 1978. V. 11, № 2. P. 135-143.

3. Репин О.А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. Саратов. ун-т. 1992. 161 с.

4. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит. 2003. 272 с.

5. Нахушева З.А. Нелокальные задачи для основных и смешанного типов дифференциальных уравнений. Нальчик. 2011. 196 с.

6. Килбас А.А., Репин О.А. Аналог задачи Бицадзе-Самарского для смешанного уравнения с дробной производной // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, № 5. C. 638-644.

7. Килбас А.А., Репин О.А. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с частной производной Римана-Лиувилля и операторами обобщенного дробного интегрирования в краевом условии // Труды Института математики. Минск. 2004. Т. 12, № 2. C. 75-81.

8. Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.

9. Геккиева С.Х. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной // Изв. Кабар.-Балкар. научн. центра РАН. 2001. № 2(7). C. 78-80.

10. Килбас А.А., Репин О.А. Задача со смещением для параболо-гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, № 6. C. 799-805.

11. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука. 1981. 800 с.

12. A.A. Kilbas, H.M Srivastava, Y.Y. Trujillo Theory and applications of fractional differential equations. North-Holland. Math. Studies 204. Amsterdam-Boston ... Tokio. 2006. 523 p.

13. C. Fox The asymptotic expansion of generalized hypergeometric functions. Proc. London Math. Soc. (Ser. 2), 27. 1928. P. 389-400.

14. C. Fox The G and H functions as symmetrical Fourier kernels. Trans. Amer. Math. Soc. 98. 1961. P. 395-429.

15. E.M. Wright The asymptotic expansion of the generalized hypergeometric function. J. London Math. Soc. 10. 1935. p. 286-293.

16. E.M. Wright The asymptotic expansion of integral functions defined by Taylor Series. Philos. Trans. Roy. Soc. London A. 238. 1940. P. 423-451.

17. E.M. Wright The asymptotic expansion of the generalized hypergeometric function II. Proc. London Math. Soc. 46 (2). 1940. P. 389-408.

Олег Александрович Репин,

Самарский государственный экономический университет, ул. Советской Армии, 141, 443090, г. Самара, Россия E-mail: Matstat@mail .ru

(n + 1,1)

((1 + 2в )n +1 + 2в,в)

A(x - t)e