Краевая задача со смещением для уравнения смешанного типа с дробной производной Текст научной статьи по специальности «Математика»

го аппарата / С.В. Ненахов, Ю.Н. Челноков // Бортовые интегрированные комплексы и современные проблемы управления: сб. тр. междунар. конф. М.: МАИ, 1998. С. 59-60.

3. Сергеев, Д.А. Оптимальное управление ориентацией орбиты космического аппарата / Д.А. Сергеев, Ю.Н. Челноков // Проблемы точной механики и управления: сб. науч. тр. ИПТМУ РАН. Саратов: Изд-во СГТУ, 2002. С. 64-75.

4. Челноков, Ю.Н. Оптимальная переориентация орби-УДК 517.956.32

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ

О.А. Репин1, С.А. Сайганова2

1 Самарский государственный экономический университет, кафедра математической статистики и эконометрики; 2Самарский государственный технический университет, кафедра прикладной математики и информатики E-mail: [email protected], [email protected]

Для уравнения смешанного типа с частной дробной производной Римана - Лиувилля исследована нелокальная задача, краевое условие которой содержит линейную комбинацию обобщенных операторов дробного интегродифференцирования. Доказана однозначная разрешимость рассматриваемой задачи.

Ключевые слова: краевая задача, оператор, дробная производная, интегральное уравнение.

ты космического аппарата посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты / Ю.Н. Челноков // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып. 8. С. 231-234.

5. Челноков, Ю.Н. Об определении ориентации объекта в параметрах Родрига - Гамильтона по его угловой скорости / Ю.Н. Челноков // Изв. АН СССР. Сер. Механика твердого тела. 1977. № 3. С. 11-20.

6. Понтрягин, Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л.С. Понтрягин. М.: Наука, 1974. 331 с.

A Boundary-Value Problem with Shifted for a Mixed Type Equation with Fractional Derivative

O.A. Repin1, S.A. Sayganova2

1 Samara State Economic University, Chair of Mathematical Statistics; 2Samara State Technical University, Chair of Applied Mathematics and Informatics E-mail: [email protected], [email protected]

A non-local problem for a mixed type equation with partial fractional derivative of Riemann - Liouville is studied, boundary condition of which contains linear combination of generalized operators of fractional integro-differentiation. Unique solvability of the problem is then proved.

Keywords: boundary-value problem, operator, fractional derivative, integral equation.

ВВЕДЕНИЕ

Рассмотрим уравнение

0 =

- D

0+, yu,

y > 0,

(-y)mUxx - Uyy, y < 0, m > 0,

(1)

где — частная дробная производная Римана - Лиувилля порядка а, 0 < а < 1, от функции

и(х, у) по второй переменной [1, с. 341]

(Do+, yu) (Х У) =

d

1

i u(x, t)

dy Г(1 - a) J (y - t)a

dt

(0 < a < 1, y > 0).

Настоящая работа является продолжением исследований [2, 3] для уравнения (1). Это уравнение рассматривается в области Б, которая представляет собой объединение верхней полуплоскости Б+ = {(х, у) : —го < х < го, у > 0} и области Б-, лежащей в нижней полуплоскости (у < 0) и ограниченной характеристиками

AC : С = x -

2

m + 2

. m + 2

(-y)— =0,

BC: n = x +

2

m+2

! \ m+2

(-y) 2 = 1

уравнения (1), а также отрезком [0, 1] прямой у = 0. Обозначим через I = (0, 1) единичный интервал

прямой y = 0, а через 0o(x) = f - i

'm+2 ,

2

m + 2

точку пересечения характеристики уравнения (1),

выходящей из точки (x, 0) е I, с характеристикой AC.

u

ff

2

Пусть /^ (х) — оператор обобщенного дробного интегродифференцирования, введенный в

[4] (см. также [1, с. 326-327]) и имеющий при действительных а, в, П и х > 0 вид

(/оУ'п/) (x) = <

x

x ' ' ла-1- ' 1

т,/ ч / (x - t)a-1F a + в; -n; a;1 -- /(t) dt (a > 0) Г(а) J \ x)

о

(dXy (/oT'e-n'n-n/) (x) (a < 0, n = [-a] + 1),

в частности

(47'n/) (x) = /(x). (2)

Заметим, что если a > 0, то справедливы формулы

(/0+-a' n/) (x) = (J0+/) (x), (ZoT a' n/) (x) = (D0+ /) (x),

где (/£+/) (x) и (dq+/) (x) — операторы дробного интегродифференцирования Римана - Лиувилля порядка a > 0 [4, c. 42, 44]:

x

(/oV) (x) = -0) J (x - t)a-1/(t) dt (a > 0, x > 0), о

x

(D+ /) (x) = (dx)n f^^^) /(x - t)n-a-1/(t) dt (a > 0, n = [a] + 1). (3)

о

Для уравнения (1) изучим задачу со смещением (по терминологии А.М. Нахушева [5]): найти решение u(x, y) уравнения (1) в области D, удовлетворяющее краевым условиям:

y1-au|y=0 = 0 (-те <x < 0, 1 < x< те), (4)

A x1+6-2e (/a+b'-a-et2e-1u [tfo(t)]) (x) = A (/0+e' 0' e-a-b-1 u(t, 0)) (x) + g(x) (x e /), (5)

j-a+e, О, p-a-b-1 i (x) = A2 ^

а также условиям сопряжения

lim u(x, y) = c(x) lim y1 au(x, y) (x e /), (6)

y—>0- y—0+

lim uy(x, y) = d(x) lim y1-a (y1-au(x, y))y (x e /). (7)

y—0- y—0+ y

Здесь в = 2Г+4, 0 < в < 2, a > -в, b < 2в, g(x), c(x), d(x) — заданные функции такие, что

g(x) e C1 (T) П C2(T), c(x), d(x) e C2(7) П C3(I), c(x)d(x) > 0, [c(x)d(x)] < 0, (8)

2т+4 '

йх2

А1, А2 — действительные числа.

Будем искать решение и(х, у) поставленной задачи в классе дважды дифференцируемых функций в области Б таких, что

у1-а и(х, у) е С (Б+), и(х, у) е С (Б-), У1-а (у1-аи)у е С (Б+ и {(х, у) : 0 < х < 1, у = 0}) , 1+

e C(D+ и D-) , Uyy e c(d )

xx

1. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Пусть существует решение исследуемой задачи. Введем обозначения

lim y1-au(x, y) = ti(x), lim u(x, y) = т2(x), (9)

y—>0+ y—0-

lim y1-a (y1-au(x, y))y = Vi(x), lim Uy(x, y) = V2(x). (10)

y—>-0+ y y—0-

Известно (см., например, [6]), что решение уравнения (1) в полуплоскости y > 0, удовлетворяющее условию (4) и условию

lim y1-au(x, y) = т1 (x) (x e /), (11)

y— 0+

имеет вид

1

u(x, y) = G(x, y, t)T1 (t) dt, (12)

где

Г(а) a-1 1 ^ y2 1 e-, „ 2 11 2

G(x, y, t) = Чг^ y2 1 e1' I (-|x - t|y"

^ к 1 — х—> % к

Замечание. Решение и(х, у) может быть выражено в терминах специальных функций Райта р(7, %), определяемых для действительных 7, 5 и комплексного % посредством степенного ряда [7, ^ 225]

те к

= £ йщтщ •

Согласно (13)

1 > 2/ \ / « « е1 , 2 (%) = Р (" 2, 2

и, следовательно,

1

, , Г(а) а — С ( а а , , -а\ , ч , и(х, у) = -^ у2 1 р ^, И® - *1 У 2) п(*) с^

0

Также известно [8], что функциональное соотношение между Т1(х) и (х), принесенное из параболической части Б+ на линию у = 0 имеет вид

(х) = ЩГа) Т"(Х). (14)

Найдем соотношение между т2(х) и ^2(х), принесенное на линию у = 0 из гиперболической части Б- области Б.

Используя формулу (19) из работы [2] (или формулу (22) из [3]), имеем

тв, 0 , в-1 (+\\ ( \ I ( т1-Р' 2в-1 , в-1

U [00(x)] = 71 (/в+0, e-1T2(t^ (x)+ 72 (/0+e 2в-1 ' e-1V2(t)) (x), (15)

где

71 = Г2в), 72 = -1(2 - 4в)2в Г(1 - 2в) • 71 Г(вГ 2{ Р) Г(1 - в)

Подставляя выражение (15) в краевое условие (5) и применяя последовательно соотношения [4]

ха+в+п (/0а+в'пр) (х) = (/0°+-а-п' -а-вр) (х), а > 0, (16)

1с7;''а+пр(*)) (х) = р) (х), а > 0, (17)

2

и вновь (16), после несложных вычислений получим

кх (/<

а+в, 0, в — а—Ъ—1 0+

Т2 (*}) (х) + к2

а+1-в, 2в-1,в-а-Ъ-1

Ы^) (х) = £(х),

где кх = Лх7х - А, к2 =

Применяя к обеим частям равенства (18) оператор (^0+ ясь на соотношения (17) и (2), будем иметь

к1 Т2 (х) + к2 (/¿-2в^г) (х) = (х),

-1

а+в, 0, в-а-Ъ-1\ 1 _ т-а-в, 0, 2в-Ъ-1 —

0+

(18)

опира-

(19)

гДе (х) = (^0+а в'0'2в Ъ ^ф) (х)-

Теперь рассмотрим соответствующую однородную задачу (#(х) = 0) и применим методику, использованную нами в [3]. Пусть к1 = 0:

А Г(2в) - А2Г(в) = 0. (20)

Тогда соотношение (19) принимает вид

где кз = -^2/^1. Оценим интеграл

Т2(х) = кз (/¿+ 2в(х) + (х)

I = J т2(х)^2(х) йх. 0

Согласно (9), (6) и (10), (7)

т2 (х) = с(х)т1 (х), (х) = й(х)^1(х),

и поэтому в силу соотношения (14) имеем

I =

1

Г(1+ а)

с(х)т1(х) й(х)т1'(х) йх.

Интегрируя по частям и учитывая, что согласно (4) и (11) Т1 (0) = т1 (1) = 0, получаем

1 1

I =

1

Г(1+ а)

1 С ^2 ¡ 2

2 т1 (х) 2 (с(х) й(х)) йх — (т1(х)) с(х) й(х) йх

00 Отсюда в силу условий (8) вытекает оценка сверху для интеграла (22):

I < 0.

Покажем, что для I справедлива аналогичная оценка снизу:

I > 0.

Используя идею Ф.Трикоми [9, с. 385-386], приходим к соотношению

I =

= кз 8Ш(пв) у ^2в-1 0

) -У-(/-—-

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

Пусть А1 < 0, А2 > 0, тогда из (25) следует, что I > 0.

1

1

2

Из (23) и (24) вытекает, что I = 0, и, следовательно, согласно (22) 1 2 1 2 У ^(ж) —2 (с(х) с?(ж)) (х — J (т1 (х))2 с(х) (¿(ж) (х = 0. о о

Отсюда в силу условия (8) и равенств т1(0) = т1(1) = 0 получаем, что

т1 (ж) = 0 V ж е I. (26)

Если же =0 и = 0:

А1Г(2в) — А Г(в) = 0, А = 0, (27)

то (19) есть однородное уравнение Абеля:

' Г1-20,

k2 (/с1-2в(x) = 0,

имеющее только тривиальное решение v2(x) =0 [1, с. 46]. Тогда в силу второй формулы в (21) v1 (x) = 0, соотношение (14) вместе c условиями T1 (0) = ti (1) = 0 приводит к равенству (26). Это согласно (12) означает, что u(x, y) = 0 в области D, что и доказывает единственность решения исходной задачи при выполнении условий (20) и (27).

2. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Согласно (12), для доказательства существования решения исследуемой задачи достаточно найти явное выражение для v1 (x). Покажем существование решения исходной задачи в следующих случаях: а) k1 =0, k2 = 0; б) k1 = 0, k2 = 0; в) c(x) = c = const; г) c(x) = c = const, d(x) = d = const. Заметим, что в силу (21) уравнение (19) принимает вид

k1 c(x) T1 (x) + k2 (l<1-2ed(t)v!(t)) (x) = g1 (x), (28)

где g1(x) = (1-+-e'2e"6_1 g(t)) (x).

Если k1 =0, k2 = 0, то (28) дает явное выражение для ^(x): tj. (x) = g1 (x)/k1 c(x), и v1 (x) находится по формуле (14).

Если k1 = 0, k2 = 0, то (28) есть интегральное уравнение Абеля первого рода

k2 (/<1-2вd(t) V1 (i)) (x) = g1 (x), (29)

с 0 < в < 1. Согласно условию (8) g(x) e C1 (/) П C2(/). Функция g1(x) также непрерывна [10] и известное решение уравнения (29) (см., например [1, с. 39]) дает явное выражение для v1(x) в виде

x

(x) = fedxy dx тщ I(x - i)2e-1g1(i) dt

0

Если c(x) = c = 0 есть действительная постоянная, то уравнение (28) принимает вид

k1CT1(x) + k2 (/¿-2вd(t)v1 (i)) (x) = g1 (x). (30)

Продифференцировав обе части (30) дважды по x и учитывая (3), (14), получим

с^Г(1 + a) v1(x) + k2 (D01+2ed(t) V1 (t)) (x) = g'{(x). (31)

Как известно [1, с. 52], если

V2(x) = d(x) v1(x) = lim uy(x, y) e C ((0, 1]), (32)

У^ 0-

то верна формула

(/¿+2вV2 (t)) (x) = V2 (x) - Clx2e - c2x2e-1,

где

1

ci =

Г(2в +1)

(/k*V,)' (0+), C2 = f^ey (/o1-2^I*) (0+).

(33)

(34)

Если условие (32) выполняется, то, применяя оператор 10+2в к обеим частям (31) и учитывая (33), приходим к интегральному уравнению:

&2 d(x) Vi(x) + cki Г(1 + а) (/0+2вVi(t)j (x) = g2(x),

где

g2 (x) = (/¿+2в ¿'(t)) (x) + k2 [Cl x2e + C2 x2e-i ]. Если k2 d(x) = 0, то (35) есть интегральное уравнение Вольтерра второго рода

(35)

(36)

vi(x) + K(x, t) vi (t) dt = F(x)

(37)

с непрерывным ядром K(x, t) =

cki Г(1 + а)

(x — t)2e и свободным членом F(x) =

k2 d(x)

g2 (x),

к2 Г(1 + 2в) ¿(ж)

где функция д2 (ж) дается формулой (36), а постоянные С1, с2 — формулой (34).

Известно (см., например, [11]), что уравнение (37) имеет единственное решение VI (ж). Если с(ж) = с = 0, ¿(ж) = 6 = 0, то уравнение (28) сводится к дифференциальному уравнению дробного порядка (1 + 2в):

VI(*)) (ж) + кз VI(ж) = Ф(ж), (38)

ск1 Г(1+ а) _ , 1

где кз =

k2 d

ф(ж) = ¡ы g"(x')-

В работе [2] нами выписано в явном виде решение VI (ж) уравнения (38), что согласно (12) завершает доказательство существования решения исходной задачи.

Библиографический список

1. Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

2. Килбас, А.А. Аналог задачи Бицадзе - Самарского для смешанного уравнения с дробной производной / А.А. Килбас, О.А. Репин // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, № 5. С. 638-644.

3. Килбас А.А. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с частной производной Римана - Лиувил-ля и операторами обобщенного дробного интегрирования в краевом условии / А.А. Килбас, О.А. Репин // Труды Ин-та математики (Минск). 2004. Т. 12, № 2. С. 75-81.

4. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric function / M. Saigo // Math. Rep. Kyushu Univ. 1978. Vol. 11, № 2. P. 135-143.

5. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных / А.М. Нахушев. М.: Наука, 2006. 287 с.

6. Псху А.В. Решение краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными дробно-

го порядка / А.В. Псху. Нальчик: Изд-во НИИ ПМА КБНЦ РАН, 2001. 43 с. (Сообщ. Научн.-исслед. ин-та приклад. математики и автоматизации КБНЦ РАН).

7. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции. Т. 3. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. М.: Наука, 1967. 299 с.

8. Геккиева С.Х. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной / С.Х. Геккиева // Изв. Кабардино-Балкарского науч. центра РАН. 2001. № 2(7). С. 78-80.

9. Трикоми, Ф. Лекции по уравнениям в частных производных / Ф. Трикоми. М.: Из-во иностр. лит., 1957. 443 с.

10. Saigo, M. Generalized fractional integrals and derivatives in Holder space / M. Saigo, A.A. Kilbas // Transforms Methods Special Functions; Proc. Intern. Workshop (Sofia, 12-12 August). Singapore, 1995. P. 282-293.

11. Килбас А.А. Интегральные уравнения: курс лекций / А.А. Килбас. Минск: БГУ, 2005. 143 с.

x

1