О краевых задачах с операторами М. Сайго для уравнения смешанного типа с дробной производной Текст научной статьи по специальности «Математика»

А.В. Ефимов

О КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ С ОПЕРАТОРАМИ М.САЙГО ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ

Для уравнения смешанного типа с дробной производной поставлены и исследованы две нелокальные задачи в области, параболическая часть которой — верхняя полуплоскость. Отличительной особенностью данной работы является наличие обобщенных операторов в смысле М.Сайго в краевом условии. Доказана однозначная разрешимость обеих задач.

Введение. Рассмотрим уравнение

- D^U, у > 0;

0 = J 11 ’у (1)

[(-y)mUxx -Uyy = 0, у < 0, m >-1, m ф 0,

которое имеет вырождение первого (m > 0) и второго рода (-1 < m < 0). Здесь D “+ - частная

дробная производная Римана-Лиувилля порядка а (0 < а < 1) от функции U(х, у) по второй переменной [1, с. 341]:

(d”+, yU )х, у) = d -1— 1 Щ ^ dt, (0 < а < 1, у > 0). dy Г(1 - а)0(у -1)1а

Обозначим через J = (0,1) единичный интервал прямой у = 0; (/0“+ f )(х), (d“ f )(х) - операторы дробного интегродифференцирования в смысле Римана-Лиувилля; (/0+b h f )(х)- обобщенный оператор дробного интегродифференцирования с гипергеометрической функцией Г а-усса F(a, b; c; z), введенный в [2] (см. также [1], с. 326-327) и имеющий при действительных а > 0, ß ,h и х > 0 вид

((,h f)х) = ХГ^-1 (х - t)a-1F(а + ß,-h;а;1 - -) f (t)dt.

Г (а) 0 х

Заметим, что

(/ 0+-a,h f )(х) = (/ 0+ f)х), (/ 0-+а,а h f )(х) = (d0+ f )(х). (2)

Вариант 1. Пусть m > 0, D = D + и D , где D + = {(х,у): -¥ < х <¥, у > 0}, D - область,

2 m+ 2 2 m+2

ограниченная характеристиками AC: X = х--------(-у) 2 = 0, BC: h = х +-------------(-у) 2 = 1

m + 2 m + 2

и отрезком [0,1] прямой у = 0, у < 0.

в0(х) - аффикс точки пересечения характеристики уравнения (1), выходящей из точки (х,0) £ J, с характеристикой AC .

Для уравнения (1) изучим следующую нелокальную краевую задачу.

Задача 1. Найти решение U(х, у) уравнения (1) в области D, удовлетворяющее краевым условиям:

у1-0 U| = 0, -¥< х < 0, 1 < х <¥, (3)

A х‘~2ß+b (/0-+ß-c’b’ct2 ß-1u [e0(t)]) (х)+a2 (/0-+cA-1+2ß+c-bU (t ,0)) (х) +

+A3 (/0-+2ß-c,2ß-1,-1+2ß+c-bUy (t,0)) (х) = g(х), х £ J, (4)

а также условиям сопряжения:

lim у1-0 U (х, у) = lim U (х, у) (х £ J), (5)

у®0+ у®0-

^\-а D .1- а

у®0+

lim у1~а (у1- а U (x, у))у = lim Uу(x, у) (х £ J). (6)

Здесь g(x)е C1(J) n C2(J) - заданная функция; ß =---------—----, 0< ß <1; A^A2,A3,c,b -

2(— + 2) 2

действительные числа, причем A1 и А2 числа одинаковых знаков, А1 и А3 - противоположных знаков, а с < 0 .

Будем искать решение U(х, у) поставленной задачи в классе дважды дифференцируемых функций в области D, таких, что

у1-"U(х,у)е C(D +), U(х,у)е C(D~), (7)

у!-а (у!-аи)у е C(D + и {(х, у):0 < х < 1, у = 0}),

Uxx е C2(D + и D-), Uyy е C2(D). (8)

Единственность решения задачи 1. Пусть существует решение исследуемой задачи. Введем обозначения:

lim у1_“U(х, у) = t1 (х), lim U (х, у) = t2 (х), (9)

у®0+ у®0-

lim у1_“ (у^U (х у))у = ^(хХ lim Uy (x, у) = V 2(х). (10)

у®0+ 7 у®0- 7

Известно [3], что функциональное соотношение между t1( х) и V 1( х), принесенное из параболической части D + на линию у = 0, имеет вид

V i( х) = ^7^ t '( х). (11)

Г(1 + a)

Найдем соотношение между 12( х) и V 2( х), принесенное на линию у = 0 из гиперболической части D- области D. Используя формулу (19) из [4], имеем

U [в 0 (х)] = Г1 r(ß)(/ ß+0, ß-1t 2)(х) - Г2 Г(1 - ß )(l 1-ß ,2 ß-1, ß-1V 2)(х), (12)

где

Г(2 ß) 1

71 • * = 2

4

2ß

v— + 2

Г(1 - 2 ß) Г 2(1 - ß)

Подставляя (12) в (4) и применяя ряд свойств обобщенных операторов дробного интегродиф-ференцирования, получаем

Т2 (х) = к(/ 1+2(п 2 (0 )(X) + ^ (X), (13)

где

к = А\У2Г(1 -()-Аз , ^1(х) =--------1-----(/0+°’-1+2(-bg(/))(х). (14)

А^ВД + А2 ’ А^ВД + А^0+ 1 ;

Единственность решения задачи доказывается по схеме, предложенной в [4]. Существование решения задачи 1. Для доказательства существования решения задачи сведем ее к дифференциальному уравнению дробного порядка. Дифференцируя обе части (13) дважды по х, полагая Т1 (х) = Т2 (х) = Т(х), V1 (х) = V 2 (х) = V (х) и учитывая (11), придем к дифференциальному уравнению дробного порядка 1 + 2( :

(Д,+2(п(о)(х) - Г(ка) V(х) = -—Кх. (15)

кк

Известно (см. [1], прим. 42.1 и 42.2, с. 601-602), что общее решение дифференциального уравнения дробного порядка а > 0 вида

(да+ у)(х) - 1у(х) = Н(х) (а > 0, п = -[-а]) (16)

задается формулой

у(х) = £скха-кЕад+а-к (1ха) + }(х - 0а-1 Еа„ [1 (х - Г)а ]И«)Л. (17)

к=1 0

Здесь с1,...,сп - произвольные постоянные, а Еа1+а-к (1ха) и Еа,1+а-к [1(х - /)а ] - специальные случаи функции Миттаг-Леффлера Еа ((г), определяемой равенством

^ гт

Еа,((г) = £--() (а > 0, ( > 0), Еа(г) ° Еал(г),

т=0 Г (ат + ()

и являющейся целой функцией от 7 (см. [5, 18.1], [1, с.33], [6, с. 117]).

Уравнение (15) - уравнение вида (16) с у(х) = V(х), а = 1 + 2Ь, 1 = Г(1 + а)/К и

Н(х) = -¥"(х) / К . Так как 0 < Ь < 1, то 1 < 1 + 2Ь < 2, и поэтому общее решение вида (17) для уравнения (15) с К ф 0 дается формулой

V (х) сх х Е1+2р д+2ь

Г(1 + а) х1+2 д

К

+ с х2д-1Е

Т1,Г -^1+2 Д ,2Д

К](х - І)2д Еі

^ л

1+2 Д ,1+2Д

Г(1 + а) К

(х - І)

1+2Д

^Г(1 + а) х1+2 ьЛ К

(і )йі,

(18)

где с и с2 - произвольные постоянные.

На основании работы [7] можно найти константы с1 и с2, а затем, используя (18), выписать явный вид для функции т(х):

1 (х) — с1 хЕ 2Ь +1,2

Г(1 + а) х 2ь +1

К

+ С2 Е 2Д +1

Г(1 + а) х 2д +1

К

-} (х - І)Е2Ь+1,2 [(х - І)2Д +1 Г(1К+а)] ^'(І)Л + ^ (х).

К

Вариант 2. Пусть -1 < т < 0, Б — Б + и Б-, где Б + - область, описанная выше, а Б- - об-

2 2-т

ласть, ограниченная характеристиками : X — х-------(-у) 2 — 0 ,

2-т

2

2-т

— 1

5С: ц = х +-(-у) 2 = 1 и отрезком [0,1] прямой у = 0, у < 0. Величина в0 (х) - аффикс

2 - т

точки пересечения характеристики уравнения (1), выходящей из точки (х,0) е J, с характеристикой АС. Для уравнения (1) изучим следующую нелокальную краевую задачу.

Задача 2. Найти решение V(х, у) уравнения (1) в области Б, удовлетворяющее краевым

условиям (3) и (4), а также условиям сопряжения (5) и (6). Здесь g(х) е С1 ^) п С2 ^) - задан-т1

ная функция; Ь =---------,----< Ь < 0 ; А1, А2, А3, с, Ь - действительные числа, причем А1 и

2(т + 2) 2

А2 числа одинаковых знаков, А1 и А3 - противоположных знаков, а с < 0 .

Будем искать решение V (х, у) поставленной задачи в классе дважды дифференцируемых функций в области Б, таких, что выполняются условия (7) и (8).

Единственность решения задачи 2. Пусть существует решение исследуемой задачи. Примем обозначения (9) и (10). Поскольку область Б + в задаче 2 та же, что и в задаче 1, то первое функциональное соотношение между т 1 (х) и V1 (х) будет иметь вид (11).

Найдем соотношение между т 2( х) и V 2( х), принесенное на линию у = 0 из гиперболической части Б- области Б. Известно [8], что обобщенное решение класса Я2 [9] уравнения (1) с начальными данными Коши

V(х,-0) = т2 (х) = Г(1 - 2Ь)(0+2ЬТ)х) = |Т(г)(х - г)-2ь Ж (х е J),

11т иу (х, у) — [2(1 - 2Д)]-2Д • ( Шп (ц - Х)2Ь V - Vц) — П2(х) (хє ^

у®0- ■' (ц-X )®0- ъ '

у®0-

можно представить в виде

(19)

где

и(X ,ц) — |т(І)(ц - І)-д (X - І)-д л +

0

+ ■ 1 д Іт(І)(ц - і)-д (І - X)-д^ - ¿0 2 (і)(ц - І)-д (і - X)-д л,

2 003 X X

Г(2 - 2Д)

‘0 —[2(1 - 2Д)]

2Д-1

0

T(x) и V 2(x) непрерывны в интервале (0,1) и интегрируемы на отрезке [0,1]. Из формулы (20) имеем

U [в о( x)] = 11-b ,2 b -1, b-1

1 0+

Г(1 b) T(x) - ¿0V2(х)Г(1 - b)

2 (21)

2008лр

Подставляя (21) в (4), применяя ряд свойств обобщенных операторов дробного интегродиффе-ренцирования, получаем

V 2 (х) = К1Т (х) + С (х), (22)

где

4 ГМ) + A2 Г(1 - 2b) .

К' = Дц! - b) - A3 • K2 = A, *0 Г (1 - b) - A, • C<x) = K «К

Или, воспользовавшись (19), имеем

V 2 (x) = K (D0-2 bt 2 ('))(x) + С (x). (23)

При g (x) ° 0 из (23) получим

V 2 (x) = К^-*2 bt 2 (t))(x). (24)

Единственность решения задачи вытекает из аналога принципа экстремума

А. В. Бицадзе [10].

Пусть max U(x, y) = t2(x0) > 0. Тогда, в соответствии с принципом экстремума для опера-

D+

торов дробного дифференцирования [11], из (24) и условия К1 > 0 заключаем, что V2(x0) > 0 . Поскольку t //(x0) = 0, то из (11) заключаем, что V j(x0) = 0.

Итак, V2 (x0) > 0, а V1 (x0) = 0, что противоречит условию сопряжения (6), откуда и следует

единственность решения задачи 2.

Существование решения задачи 2. Для доказательства существования решения исходной задачи сведем ее к интегральному уравнению дробного порядка. Из (19) с помощью второго выражения из (2) имеем

T(x) = Г(1 -2b) I70+-1,1-2bhT(t))(x). (25)

Выражая t1 (x) из соотношения (11), используя первое выражение из (2), получаем

t1 (x) = Г(1 + a)(l lfh+2b-V 1 (')](x).

Учитывая (25) и полагая t1 (x) = t2 (x) = t (x) и V1 (x) = V 2 (x) = V (x), будем иметь

T(X) = 70+b-‘J-2b'' (7*2b"V(')Уx) = (' “b'-‘-2b''V('^x) =

= Г, I + a) (11+:bV (') )

Г(1 - 2b)

Подставляя полученное значение T(x) в (22), приходим к интегральному уравнению дробного порядка

V (x) = B1 (i ¿+2bV (' )](x) + С (x), (26)

B K Г(1 + a)

где B1 = К —-----------—.

1 1 Г(1 - 2b)

Уравнение (26) можно переписать в виде:

B x

V(x) = С(x) + Г(1 +12b) JV(')(x - ')2b d'. (27)

Далее воспользуемся следующей теоремой (см. [6, с. 123]).

Теорема. Пусть функция f (x) e L[a,b]. Тогда интегральное уравнение

л x

--------i (x -t)1'p-1 u(t)dt

Г(1/p) w

где p > 0 , 1 - произвольный комплексный параметр, имеет единственное решение

u(x) = f (x) +1J(x -1)1'p 1 Ep [(x -1)1'p ;1/p]f (t)dt,

a

принадлежащие L[a, b]. Здесь

- функция типа Миттаг-Леффлера, которая является целой функцией (комплексной) переменной г = х + ¡у порядка р > 0 (см. [6, с. 117]). При т = 1 функция (28) совпадает с функцией Миттаг-Леффлера Е1/ (г) ° Е (г;1). Поэтому решение уравнения (27) будет иметь вид

Используя явный вид функций t (x) и V (x), можно получить решения задач 1 и 2 в каждой

из областей D + и D-, а, значит, и решения задач в заданном классе функций в области D, удовлетворяющие краевым условиям (3), (4) и условиям склеивания (5), (6).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

2. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric functions. // Math. Rep. Kyushu Univ. 1978. Vol. 11. №. 2. P. 135-143.

3. Геккиева С.Х. Об одном аналоге задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной. // Докл. АМАН. 2001. Т. 5. №. 2. С. 18-22.

4. Килбас А.А. Репин О.А. Задача со смещением для параболо-гиперболического уравнения. // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. №. 6. С. 799-805.

5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 3. М.: Наука, 1967. 234 с.

6. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функции в комплексной области. М.: Наука,

7. Килбас А.А., Репин О.А. Аналог задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа с дробной производной. // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. №. 5. С. 638-644.

8. СмирновМ.М. Уравнения смешанного типа. М.: Высшая школа, 1985. 304 с.

9. Кароль И.Л. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа. // Докл. АН СССР. 1953. Т. 88. № 2. С. 197-200.

10. БицадзеА.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.

11. НахушевА.М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. 301 с.

V (x) = C( x) + A1J (x - t)2ß E 1 [ (x -1)1+2ß ;1 + 2ß ] (t)dt

0

1+2ß

1966. 672 с.

Поступила 25.11.2003 г.