CC BY
70
УДК 517.956.6
РЕШЕНИЕ В ЯВНОМ ВИДЕ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНОЙ ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ
С. А. Сайганова
Самарский государственный технический университет,
443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
E-mail: [email protected]
Для уравнения смешанного типа с частной дробной производной Римана—Ли-увилля исследована нелокальная задача, краевое условие которой содержит обобщённый оператор дробного интегро-дифференцирования. Доказана однозначная разрешимость задачи.
Ключевые слова: краевая задача, дробные производные и интегралы, дифференциальное уравнение дробного порядка, функция Миттаг—Лефлера.
1. Постановка задачи. Рассматривается уравнение
" 1)
(1)
*ХХ
Uxx - D+,yu = 0 (y > 0, 0 < a < 1),
xuxx + yuyy + pux + qu,y = 0 (y < 0, 2 < P, Q < 1,9 ^ p),
где О0а+ у — частная дробная производная Римана—Лиувилля порядка а (0 < а < 1) от функции и(х, у) по второй переменной [1, с. 341]:
, а ч , . д 1 ¡'у и(х, і) , , .
(О0+,у и) (х, у) = - I * (0 < а < 1 у > 0).
Результаты настоящей работы являются продолжением исследований, проведённых для уравнения (1) в [2]. Уравнение (1) рассматривается в области
О, которая представляет собой объединение квадрата О+ = {(х,у) : 0 ^ х, у ^ 1}, единичного интервала I = (0,1) прямой у = 0 и области О-, лежащей в нижней полуплоскости (у < 0) и ограниченной характеристиками АС: х + у = 0, ВС: у/х + л/~у = 1 уравнения (1), отрезком [0,1] прямой у = 0, А(0,0), в(l, 0).
В настоящей работе используется п/^ (х) —оператор обобщённо-
го дробного интегро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса ^(а, Ь; с; г), введённый в [3] (см. также [1, с. 326-327]) и имеющий при действительных а, в, п и х > 0 вид
(С8'’f) (-) = <
-а—/3 гx / t\
^0)/ J0 (x - г)а~ F [a + в, -n; a; 1 - -j f (t) dt
(a > 0),
Ш” (lSt"'l,-"',l-"f) (x) (a < 0,n = [-a] + 1),
Светлана Александровна Сайганова, аспирант, каф. прикладной математики и информатики.
в частности ^1о+°’п/) (х) = f (х)• Отметим, что если а> 0, то справедливы следующие формулы:
(ia+-a,vf) (х) = (ia+f) (х), (i-+'a,v/) (х) = (DV) (х), (2)
где (io+f) (х) и (Dß+f) (х) — операторы дробного соответственно интегрирования и дифференцирования Римана—Лиувилля порядка а > 0 [1, с. 42, 44]:
№+f) М = ^ 1° dt (а > х > »)• (3)
(D+f) (х) = (I) гП—О) J° (х — »>-+« dt (а> 0'n = [а1 + 1)- (4)
где [а] — целая часть а.
Для уравнения (1) ищется решение в области D, удовлетворяющее краевым условиям
u(0,y) = ip°(y), u(l,y)= V\(y), 0 <y< 1, (5)
/ i_a 1+q-p p+q-i \ p+q-3 p+q-i i
(l02+ ’ 2 ’ 2 ta u [ö°(t)lj (х) = Ах 2 и(х, 0) + Вх 2 +£ (6)
(0 < х < 1, 2 <p, q < 1, q ^ p, ^ > 0),
а также условиям сопряжения
lim y^u^, y) = lim и(х, y) (0 ^ х ^ 1), (7)
y——°+ y——°-
lim y1-a (y1-аu(x, y))y = lim (-y)auy(х, y) (0 < х < 1). (8)
y— 0+ y y— 0-
Здесь 9°(х) = х/4 — гх/4 — точка пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точек (х, 0) с характеристикой AC; ^>°(y), ^1(y) — заданные функции, такие, что y1-a^°(y), y1-a(pi(y) G C(0, 1); А и В —действительные константы, на которые ниже накладываются дополнительные условия.
Решение п(х, y) поставленной задачи ищется в классе дважды дифференцируемых в области D функций таких, что
y1—аu(x, y) g C(D+), u^,y) G C(D-), uxx G C (D+ U D-),
uyy G C (D-), y1-a (y1-au)y G C (D+ U^y): 0 <х< 1, y = 0}). ()
2. Единственность решения задачи. Пусть решение исследуемой задачи существует. Введём обозначения:
lim y^u^, y) = т1(х), lim u/х, y) = т2(х),
y— 0+ y— 0-
lim y1-a {y^u^, y)y) = ц(х), lim (—y)auy(х, y) = V2(х).
y— 0+ y— 0-
Известно [4, с. 108], что решение уравнения (1) в области 0+, удовлетворяющее условиям (5) и
ІІШ у аи(х, у) = Т1 (х), 0 ^ х ^ 1,
У^0+
записывается в виде
f У 0
У
и(х, у) = (х, у; о, п)^п-
■)о
Г У [■1
- Ф1 (п)&а(х, у; 1, + Г(ап Ті(()С(х,у,(, 0)йі; (10)
00
где
ах у, С, п) = ^8-1 Е
1,в (_ |х - С + 2п|
_ 1,в V (у - п)в
—еЛ
1,в ( |х + С + 2п|
1,в V (у - п)в
п=—оо
*■* <г> = Ег(, + ап)Г({ - вп), а>в,а> 0,г є С;
п=0
^.к
м,.Л ^_____________ *
к=0 к!Г
ем(г) = 1]
(1-к)а
Также известно (см., например, [5, 6]), что функциональное соотношение между т\(х) и VI(ж), принесённое из параболической области 0+ на линию у = 0, имеет вид
Р1(х) = Щ+0) т"(х)- (11)
Используя результаты работы [7], нетрудно найти функциональное соотношение между т2(х) и V2 (х), принесённое из гиперболической области Она линию у = 0. Оно имеет вид
к2 (/02+29,™-1^2(і)) (х) = хр-1(А - к1)т2(х) + Бхр+£, (12)
= хр-1
к2 \^0+ ^2(ь)) (х)
где
2р-9Г(2д - 1) 2Р+39-1Г(2 - 2д)
к1 = Г(, - 2) , к2 = Г(2 - „) .
Применив к обеим частям (12) оператор ^10+2?’9 р,<ч ^ = 10+ 2,р ч’1 ч
получим
к2У2(х) = (А - к1) (/02+-2,р - 1 -9ір- 1Т2(І)) (х) + Б (/02+-2,р- 1 -9ір+є) (х).
153
Справедливы следующие утверждения.
Лемма 1. Если функция т1(х) достигает положительного максимума (отрицательного минимума) на отрезке [0, 1] в точке х = хо (0 < х0 < 1), то v1(ж0) ^ 0 (и1 (х0) ^ 0).
Доказательство леммы 1 непосредственно следует из соотношения (11).
Лемма 2. Если функция т2(х) достигает положительного максимума (отрицательного минимума) на отрезке [0, 1] в точке х = х0 (0 < х0 < 1), В = 0, А — к1 < 0, то и2(х0) > 0 (и2(х0) < 0).
Доказательство леммы 2 аналогично доказательству леммы 1 из [2].
Теорема 1. Пусть А — к1 < 0 и В = 0. Если существует решение исследуемой задачи для уравнения (1), то оно единственно.
Доказательство. Пусть и(х, у) —решение однородной задачи, но и(х, у) ф 0 в области О = 0+ и АВ и АА1 и А2В, где А1(0, 1), А2(1, 1). Пусть Q £ О — точка положительного максимума. В силу однородных условий Q не может принадлежать АА1 и А2В. На основании принципа экстремума для нелокального параболического уравнения [8, с. 47] Q не может принадлежать 0+ иА1А2 и поэтому Q £ I = АВ, т. е. Q(ж0, 0). По лемме 1 v1(ж0) ^ 0, х0 £ I. Так как т^1(х) = т2(х) = т(х), то тах т(х) = т(х0). По лемме 2 и2(х0) > 0,
I
что противоречит условию (8). Следовательно, и(х, у) ф 0 и, в частности, т1(х0) =0 на I. Но тогда на основании равенства т1(х) = т2(х) из (12) следует, что ^(х) = 0. Откуда получаем, что и(х, у) ф 0 ив области О-. Теорема 1 доказана. □
3. Существование решения задачи. Существование решения исходной задачи приведём для случая р = д и сведём её к дифференциальному уравнению дробного порядка. Из равенства (12) имеем
т2(х) = Ш1 х1-р {12-2Ч’Ч-Р’Ч-^2(Ь)) (х) + Ш2х1+£, (13)
где т1 = к2/(А — к1), т2 = В/(к1 — А), А < к1. Последовательно применяя формулы [3]
ха+в+п (1а+в' пф)) (х) = (10+-а-п -а-в<р(г)) (х), а > 0, в,п £ К, (10+г> 7^) (х) = (10+7,5^^) (x), а > 0, 7^ £ К
приведём равенство (13) к виду
т2(х) = т1 (12-2ч’р+Ч-2’Ч-1гр-1и2(г)) (х) + т2х1+£. (14)
Полагая в соотношении (14) р = д, дважды дифференцируя обе части этого равенства по переменной х и учитывая (2) и (4), имеем
т2'(х) = т-1 (Ъ0+£Ч-1и2(^ (х) + т2(1 + г)ех£-1.
Согласно условиям сопряжения (7) и (8) т\(х) = т2(х) при 0 ^ х ^ 1, а v1(х) = = v2(x) при 0 < х < 1. Обозначив т1(х) = т2(х) = т(х), v1(х) = v2(х) = V(х) и учитывая соотношение (11), приходим к дифференциальному уравнению дробного порядка 2д (1 < 2д < 2) вида
(^+ія ‘и(і)^ (ж) = (ж) + \2х£ (15)
где А1 = Г(1 + а)/т\, Л2 = —т2(1 + е)е/т1.
Известно (см., например, [9, с. 102]), что решение дифференциального уравнения дробного порядка а> 0
(Ъ^ [Г(1-т)^С0]) (х) = ар(х) + Ьх^, (16)
где а > 0, т > 0, ‘ > —1, 0 < х < б < те, даётся формулой
^ = Г(ТУ ++1) Е«т ^ (ах“'). (17)
Здесь Еа,т,[(г) — специальная функция типа Миттаг—Леффлера:
. . п Л ТГ Г[а(гт +1) +1]
Еа, т, I (у) / у Спу , С0 = 1, Сп = II ^ Т~. , ч “¡Т,
’ , 1=0 г=0 Г!а(гт + 1 + 1) + 1]
(п = 1, 2, ...) с а > 0, т > 0, I е М,
а(^т +1) = 0, —1, —2, ... (; = 0, 1, 2, ...),
введённая в работе [10], при т = 1 с точностью до множителя совпадает
с функцией Миттаг—Леффлера (см. [1, с. 33], [11, с. 17]):
^ Уп
Е«, 1,г(г)=Г(а1 + 1)Еа,аг+1(у), Еа,в(у) ^ Г(ОППТД) (а > 0, в > 0).
п=0
Уравнение (15) суть не что иное, как уравнение вида (16) с <^(х) = V(х), а = 2д, т = 1/2 + 1/(2д), а = А1, Ь = А2, ‘ = е — 1, и поэтому решение вида (17) для уравнения (15) даётся формулой
х'+’ Е-2+*, * (* - 2 +-)(А1х1+в >• (18)
Подставляя (18) в (14) (с т2(х) = т(х), v2(x) = V(х), р = д), получаем выражение для т (х):
Т (ж) = (** і2,+'_1 Е2„2 + *, * ( * - И ^‘^ )) (ж). (19)
Подставляя (19) в формулу (10) (с т1(х) = т(х)), получаем в явном виде решение и(х, у) исследуемой задачи для уравнения (1).
Используя полученное решение, непосредственно проверяем выполнение краевых условий (5), (6) и условий сопряжения (7), (8), а также принадлежность полученного решения u(x, у) поставленной задачи классу функций (9). Таким образом доказана следующая теорема.
Теорема 2. Если q = p, 1/2 < q < 1, A < k1, то решение задачи (5), (8) для уравнения (1) существует и определяется формулой (10), где ri(x) = = т(x) и задаётся соотношением (19).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Самко С. Г., Килбас А. А, Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с. [Samko S. G, Kilbas A. A., Marichev O. I. Integrals and derivatives of fractional order and some of their applications. Minsk: Nauka i Tekhnika. 688 pp.]
2. Kilbas A. A., Repin O. A. An analog of the Tricomi problem for a mixed type equation with a partional fractional derivative // Fract. Calc. Appl. Anal., 2010. Vol. 13, no. 2. Pp. 69-84.
3. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric function // Math. Rep. Kyushu Univ., 1978. Vol. 11, no. 2. Pp. 135-143.
4. Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с. [Pskhu A. V. Partial differential equations of fractional order. Moskva: Nauka, 2005. 199 pp.]
5. Геккиева С. Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной в полубесконечной области // Изв. Кабар.-Балкар. научн. центра РАН, 2002. №1(8). С. 6-8. [Gekkieva S.Kh. A boundary value problem for the generalized transport equation with fractional derivative in the semi-infinite domains // Izv. Kabar.-Balkar. nauchn. tsentra RAN, 2002. no. 1(8). Pp. 6-8].
6. Килбас А. А., Репин О. А. Аналог задачи Бицадзе—Самарского для уравнения смешанного типа с дробной производной // Дифференц. уравнения, 2003. Т. 39, №5. С. 638-644; англ. пер.: Kilbas A. A., Repin O.A. An Analog of the Bitsadze-Samarskii Problem for a Mixed Type Equation with a Fractional Derivative// Differ. Equ., 2003. Vol. 39, no. 5. Pp. 674-680.
7. Репин О. А., Шувалова Т. В. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения// Дифференц. уравнения, 2008. Т. 44, №6. С. 848851; англ. пер.: Repin O.A., Shuvalova T. V. Nonlocal boundary value problem for an equation of the mixed type with two degeneration lines // Differ. Equ., 2008. Vol. 44, no. 6. Pp. 876-880.
8. Нахушева В. А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М.: Наука, 2006. 173 с. [Nakhusheva V. A. Differential equations of mathematical models of nonlocal processes. Moskva: Nauka, 2006. 173 pp.]
9. Kilbas A. A., Saigo M. On Mittag-Leffler type function and applications// Integral Transform. Spec. Funct., 1998. Vol. 7, no. 1-2. Pp. 97-112.
10. Kilbas A. A., Saigo M. On solution of integral equation of Abel-Volterra type// Differ. Integral Equ., 1995. Vol. 8, no. 5. Pp. 993-1011.
11. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. 672 с. [Djrbashian M. M. Integral transforms and representations of functions in the complex domain. Moskva: Nauka, 1966. 672 pp.]
Поступила в редакцию 20/XII/2010; в окончательном варианте — 14/II/2011.
MSC: 35M10; 26A33, 33C05, 33E12
SOLUTION IN EXPLICIT FORM OF NON-LOCAL PROBLEM FOR DIFFERENTIAL EQUATION WITH PARTIAL FRACTIONAL DERIVATIVE OF RIEMANN-LIOUVILLE
S. A. Sayganova
Samara State Technical University,
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia.
E-mail: [email protected]
A non-local problem for a mixed type equation with partial fractional derivative of Riemann-Liouville is studied, boundary condition of which contains generalized operator of fractional integro-differentiation. Unique solution of the problem is then proved.
Key words: boundary value problem, fractional derivatives and integrals, fractional differential equation, Mittag-Leffler function.
Original article submitted 20/XII/2010; revision submitted 14/II/2011.
Svetlana A. Sayganova, Postgraduate Student, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science.
