CC BY
30
УДК 517.956
ЗАДАЧА СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С ОБОБЩЕННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ ДРОБНОГО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В КРАЕВОМ УСЛОВИИ1
© 2008 Е.Ю. Арланова2
В работе поставлена и исследована нелокальная задача для уравнения смешанного типа, представленного в верхней полуплоскости уравнением дробной диффузии, в нижней — уравнением влагопереноса. Доказана однозначная разрешимость задачи. Решение выписано в явном виде.
Ключевые слова: уравнение смешанного типа, краевая задача, дробные интегралы и производные.
1. Постановка задачи
Рассмотрим уравнение смешанного типа:
( uxx — Da u, y > 0, ,
0 = \ Xх , y (1.1)
l y2Uxx — Uyy + aux, y < 0, |a| ^ 1.
Здесь Dq+ —частная дробная производная Римана—Лиувилля порядка
а, 0 < а < 1 от функции u(x, y) по второй переменной [1]:
y
1щ+ )(х, у) = Г J«ÏI2La. (1.2)
V dy Г(1 - а) J (у - 01_а
0
Пусть D = D+UD-, где D+ = {(x, y) : 0 ^ x, y ^ 1} — квадрат, D— —область, расположенная в нижней полуплоскости (y < 0) и ограниченная характеристиками уравнения (1.1) при y < 0 и интервалом J = (0, 1) прямой y = 0;
1 Представлена доктором физико-математических наук, профессором О.А.Репиным.
2Арланова Екатерина Юрьевна ([email protected]), кафедра прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета, 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
©о(х) = у — , - л/xj и ©i(x) = |—-—, - V1 — х\—точки пересечения характеристик уравнения (1.1) при у < 0, выходящих из точки x е J, с характеристиками ^ = = ^ и rl = x + ^" = ^ соответственно; (/д+^ф)(х), (^^ф) (х)—
операторы М. Сайго, введенные в [2]; ф(х) е С(/) П С2(/), ф1(у), Ф2ОО— заданные функции, такие, что у1_аф1(у), у1_аф2СУ) е C(D+), ф1 (0) = фг(0) = 0. Для этого уравнения рассмотрим и исследуем следующую задачу. Задача: Найти решение u(x, у) уравнения (1.1) при |й| < 1 в области D, удовлетворяющее краевым условиям
u(0, у) = фо(у), u(1, у) = ф1(у), (1.3)
а-3 „ \ / , 1 -а 1 а-3
о(0] (х) = ß Cf0))(*)+
I 3-a fa а-3
+с,гг+4М-2, 4-1 (i> 0))(х) + ф(х),
(1.4)
(1.5)
*0+ "у
где A, B, C, a\, Ь\ —заданные константы, такие что
Г- /1 + а\
л/ттА - ГI —— IВ Ф 0,
a — 1 a + 3
< < , > 0,
а также условиям сопряжения
lim у1~аи{х, у) = lim и(х, у) (х е /), (1.6)
у—0+ у—0—
lim y1—а (у1—аu(x, y)) = lim uy(x, y) (x e J). (1.7)
у—*0+ 'У у—*0—
Будем искать решение u(x, у) поставленной задачи в классе дважды дифференцируемых функций в области D, таких, что
у1~аи(х, у) е C(D+), и(х, у) е С(ЁГ), (1.8)
у1—а (у1—аu) e C (D+ U {(x, у) : 0 < x < 1, у = üj),
у / \ (1.9)
uxx e С (D+U D~), uyyeC{D~).
2. Единственность решения задачи
Пусть существует решение исследуемой задачи. Введем обозначения
Г(а) lim у1—au(x, у) = T1(x), lim u(x, у) = T2(x), (2.1)
у—0+ у—0—
Г(а) lim у1—а (у1—au(x, у)) = v1(x), lim щ(x, у) = v2(x). (2.2)
у— 0+ у у— 0—
Решение уравнения (1.1) в квадрате 0 ^ x, у ^ 1, удовлетворяющее условиям (1.3) и
Г(а) lim у1_ам(х, у) = ti(x)(x е 7), (2.3)
у— 0+
выражается формулой [3]
и(х, у) = ^ фо(п)С| (х, у, 0, п) ¿п - ^ фКпОъ (х, у, 1, п) ¿п+
1 (2.4)
+ J Х1(^)а (х, у, ъ, о)
о
где для функции Грина имеем
и=-ж
дО (х, у, Ъ, п) (У - п)в-
1,р/ \х-1+2п\\_ \х+1+2п\
'1, в
(у -
Л)Р )
1, в
(у - п)в
дЪ
Е
5дп(х - Ц, + 2п) о,р / |х-^+2и|\
5дп(х + % + 2и) о,р/_|х+|+2и|\
|х + ^ + 2и| е1.Р\ (у-л)р / п
= У_-_
«.Р47 Т(ап + [1)Г(6 - |3и)'
а
а > в-
п=о
Далее находим, что
у
у
1 г
"2 2 ] Ф1(Т
р_! 5дп(х - 1 + 2и) о, р / |х - 1 + 2и|
|х - 1 + 2п| 1' в\ (у - п)в
_ .р-1 5ёп(х + 1 + 2и) о, р / |х + 1 + 2и|\ ^ |х + 1 + 2и| V СУ-Т1)Р /
4 Ё /
1,р/ |х-^ + 2и|\_ ^р/ |х+-хг + 2и|
1,в
1,в
Так как ^а^уКх, у)) = у), а у) = ыхх, то
(у
у
1 г
"2 Л] Ф1(Т
(2.5)
р_! 5дп(х - 1 + 2и) о,р/ |х - 1 + 2и|
|х - 1 + 2п| 1'в
_ .р_1 5ёп(х + 1 + 2и) о, р / |х + 1 + 2и|\
^ \х+1+2п\ V СУ-Т1)Р / 1
\ 1 /
(у - п)в
р I |х - ^ + 2и| | _ Р I \х + ^ + 2п\
¿Ъ
у
У
2
У
У
ч2 У
1 ^ д2 у ~2 ^ J
о
5ЙП(Х + 1 + ¡X + 1 + 2п\^ |
у
_ р-1 5§п(х - 1 + 2п) о, Р / |х - 1 + ^ |х - 1 + 2и| V
_ .р-1 5ёп(х + 1 + 2и) о, р / |х + 1 + 2и| У ^ \х+1+2п\ V СУ-Т1)Р /
х+2и п=—ет 0
1
п=—ж \ ^ /
1
2
2' ^ J дх2 1И ув
п=—ет 0 у
Поскольку п е 2, то для выполнения условия 0 < х + 2п < 1 необходимо положить п = 0. Тогда можно записать, что
ч2 У
п» , ^ 3 Г , о,р / х \ ^
,2 У
Су - л)13-1 о,р / 1-х
0
—(х — 1) 1 в\ (у — п)в
е,''--т +
(У~ 1 о,р/ х+1
+-:—е
Х+1 (у — Т|)Р
X
1 1
X о
Введем обозначения
X
у в 0
1
ув о
h =
I5 =
I6 =
У 0
Г д2
J дх2 0
y
ff.
J дх2
(У ~ о,р/__х
(У ~ о,р -е
1, И (у - n)ß 1 - х
(s I —-
-(Х - 1) 1.Р\ СУ - Г|)Р
У 0 ff.
J дх2
(у - n)ß
-1
0, ß
+ 1 (у-л)Р
х + 1
фо(пУп,
ф1(л)^п>
Так как
дх2 1 ß\ yß j д^2 1 ß\ yß /'
то
I1 =
92 =
ff. 1
J дх2*1
ff. 1
J ^
,в ув 1 дЪ2 1,в ув оо Интегрируя дважды по частям и учитывая, что т(0) = т(1) = 0, будем иметь
Щ-^гК®^
Аналогично находим
'1, ß
p/_izi
x'KDdl,
0
х
у
о,р/ Г (у-о,р
0
..,в-1 /
1-х yß
y
(у - n)ß-1
0, ß
-1 1 ß V о - л)13
1х
ф0'(лУл,
У 0, ß " .р
, _и,р, х+ i\ f СУ - л)13 1 0,р/ х+ 1
0
Таким образом, получается следующее выражение:
ув-
D^yu = (D^yu)y = I4+ 1-{I5 + /б) + \y^(h + h ~ /3). В работе [4] доказано равенство
lim у1-а (D-Wx, у)) = Г(а + 1) lim у1-а (у1-аи(х, у))
>0+ ^ 'V л;—> 0+ ^ '
(2.6)
х
X
X
X
1
Для функции (¿) справедливы следующие соотношения [5]:
1
[1,6, ч _ ц-а, 6+|3, ч
Р ^ " Р ^ " Щ; _ а)Г(§ + р)'
ТО /
1
-^"(-ХОЛ =
Г(Ц)'
ТО /
о
1 0, Ь, а
—е Л—кпм = --г—-,
{ а,^ > Г(5)'
Нш е^ОО = 0, п ^ | агд г| >
а + 6
-11 + е, е > 0, а ^ с? > 0.
(2.7)
(2.8)
(2.9) (2.10)
Z—ТO а, р 7 I О I 2
Воспользовавшись выражением (2.6) и приведенными выше формулами (2.7)—(2.10), совершив замену переменных (х — Ц)у—в = ^ (в первом интеграле) и (Ц — х)у—6 = 82 (во втором интеграле), получим
Г(а)
нш у1—а (яа;>( х, у)) у
= Г(а) Дт У"« (у^и(х, у))у ^ + ^ 1(<° Пт У1~^уи{х, у) = Ит /-«/-!(/! + /2) =
Г(а + 1) у—0+"
Г(а) г _р
=- ит у 1
2Г(а + 1) у—0+
2Г(а + 1) у—0+" х
0
х1
1х
+ -
(а+1).у^0+ 1 Р V / / J 1,р\ / /
2Г(а + 1) у—0
Ит у"р/ Г 2Г(а + 1) у—0+ * J
0
х1'(Ц№
+-
Г(а)
2Г(а + 1) у—
х1
Нш у—рур Г — 0+
Т'/(Ц) 0,2в/ Ц — х
-р 1 I -
№ =
-в
Г(а) Г т"(х — 81ур)
- ит 1
2Г(а + 1) у—0+
0
/и1 (х л1у' ) 0,2р , ч , -—-е^ (-«1)^1 +
" 81 Г(а)
(1хх)у
—р
Ит
2Г(а + 1) у—0+
с'/( х + 52ур)
Г Ь1 Т Л2У > 0,2р. . , J -—-е1>р (-82^82 =
0
Г(а)
2Г(а + 1)
ТО
0,2р, Г(а) „
1 р 2Г(а + 1)
Г(а)
хТО
е° рв(—52)^52 =
2Г(а + 1)
т'/( х)
х'/(х)
Г(а) Г(а) / Г(а + 1)
1 1
+
в
+
Таким образом, полученное функциональное соотношение между Т1(х) и У1(х) имеет вид
^ = шЬо^- (2Л1)
Найдем соотношение между Т2(х) и V2(x), принесенное на ] из гиперболической части D- области D. Используя решение задачи Коши [6,7]
Г1т1 I
Ф, У) = —г,-г—г.-г Г т
у2
х+ — (1 -20 2
д-3 д+3 (1 - 0 4 ? 4
Г1т1 1
-г\—>
найдем и[©о(х)] в форме
у2
а-1 а+1
(1 - 0 4 ? 4 <1г,
1-Д Г) Д^З \ / 3;^ _1 Д;^
М[0о(х)] =^1(/0; ' ' 4 т_(0 (х) + £2 /0+ 4
1 + /3 + ТГ
где = Г1 —I/Г1—-—I, к2 = —ГI — I /Г1—-—I. Подставляя в выражение (1.4) значение для и[©о(х)] и применяя к полученному равенству опе-
/ Я1 , Ы -±, ^ -аЛ'1 ( -Я1 - , 1 _Ь1, 0\
ратор /о+ 4 2 4 = /о+ 42 , получим
Л Ь. _ И / 1 \
= 7^-ГГ (7о+т2(0) (х). (2.13)
С - Ак2 I о+ При ф1(х) = о имеем
Ак\ - В (т~\ С-Ак2
Единственность решения задачи вытекает из аналога принципа экстремума А.В.Бицадзе [6].
Пусть тах и(х, у) = х(хо) > 0. Тогда, в соответствии с принципом экстремума для операторов дробного дифференцирования [7], из (2.13) и условия (А&1 - В)(С - Ак2) < о заключаем, что V2(хо) < о. Поскольку х"(хо) = о, то из (2.11) заключаем, что Vl(xо) = о. Из полученных условий V2(xо) < о и Vl(xо) = о следует единственность решения задачи.
3. Существование решения задачи
Для доказательства существования решения исходной задачи сведем ее к интегральному уравнению дробного порядка.
Выразим Т1(х) из соотношения (2.11). В результате получим
Т1(х) = Г(1 + а) (/2+ У1(0)(х). (3.1)
Полагая Т1(х) = Т2(х) = т(х) и У1(х) = У2(х) = v(x), подставляя (3.1) в соотношение (2.12), с учетом свойств операторов Римана-Лиувилля [1], приходим к интегральному уравнению Вольтерра второго порядка:
Ак\ - В С-Ак2
Перепишем (3.2) в виде
Ак\ - В ( з \
V« = ^гтг ( + а) (/о+л,(0)(х) + (3-2)
у{х) = g(x) + —тЦ- | Vх - гйг. (3.3)
Г1
, Лк1 — В Г(1 + а)
где к =--;—;—.
С-., г(3)
Функция g(x) е С[0, 1] П С2(0, 1), так как ф(х) е С[0, 1] П С2(0, 1), поэтому используя теорию интегральных уравнений [8], находим
х
v(x) = g(x) + k^ л/х-гЕъ з - (3.4)
0
Здесь бесконечный ряд
то и
— функция типа Миттаг—Леффлера, которая является целой функцией (комплексной) переменной z = х + ¿у порядка 1/а > 0 [8]. При ^ = 1 функция (3.5) совпадает с функцией Миттаг—Леффлера Еа= Еа, l(z). Подставяя (3.4) в (3.1), получим выражение для т(х):
т(х) = Г(1 + а) (/2+g(г)) (х)+
+ Г(1 + а)к
х
/о+ ^ V? - яЕзз з (к(1 -
(х). (3.6)
х
Лемма: Если к е С, то
г
2
0+
0
- ЯЕ3 3 - 5)2 ¿>(»¿5
(х) =
(3.7)
х
Доказательство: Осуществляя по формуле Дирихле перестановку порядков интегрирования, а затем перестановку ряда и интегрирования, имеем
< * I2
V 0
(X) =
0
х х оо
0
к=0 Г (§*+§)
Ъ
к
к
Т||* + || о
/ т 1(х ~'*'~
s
к х
g(s)ds =
(х- sУ + ^g{s)ds =
/Х °° ~к(х — 5)2 п
(х - 2 —^-= (Х- 7 (Л(х -
к-0Г(2к+2
Используя полученное выражение, получим окончательную формулу для функции т(х):
+ а)( I
т(х) = Г(1 + а)( 1о2+я(0)(х)+
X
+Г(1 + а)Х ^(х-я)1Ез т^Цх -
(3.8)
Используя полученные таким образом функции т(х) и у(х), можно найти решение задачи 3.2 в каждой из областей D+ и D-, а значит, и решение задачи 3.2 в заданном классе функций в области D, удовлетворяющее краевым условиям (1.3) и (1.4) и условиям сопряжения (1.6), (1.7).
Теорема. Пусть ненулевые действительные константы А1, А2, а1, Ь, С1 удовлетворяют условию (1.5), функция ф1(х) е С[0, 1]ПС2(0, 1). Тогда задача (1.3), (1.4) для уравнения (1.1) при |а| ^ 1 имеет единственное решение, которое может быть найдено в форме решения задачи Коши, где т(х) и у(х) определены в (3.8) и (3.4) соответственно.
х
х
Литература
[1] Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев. - Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.
[2] Saigo, M. A certain boundary value problem for the Euler-Pois-son-Darboux equation / M. Saigo // Math. Japan. - 1979. - Vol. 24. -№4. - Pp. 377-385.
[3] Псху, А.В. Краевые задачи для диффференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка / А.В. Псху. -Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2005. - 186 с.
[4] Геккиева, С.Х. Задача Коши для обобщенного уравнения переноса с дробной по времени производной / С.Х. Геккиева // Докл. Адыгейской (Черкесской) Межд. АН. - 2001. - Т. 5, - №2. - С. 18-22.
[5] Псху, А.В. Краевая задача для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка / А.В. Псху // Докл. Адыгейской (Черкесской) Межд. АН. - 2000. - Т. 5. - №1. - С. 45-53.
[6] Бицадзе, А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных / А.В. Бицадзе. - М.: Наука, 1981. - 448 с.
[7] Нахушев,А.М. Уравнения математической биологии / А.М.Нахушев. - М.: Высш. шк., 1995. - 301 с.
[8] Джрбашян, М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области / М.М. Джрбашян. - М.: Наука, 1966. -671 с.
Поступила в редакцию 01/IX/2008;
в окончательном варианте — 01/IX/2008.
406
E.W. ApMHoea
A PROBLEM WITH SHIFTED VARIABLE FOR A MIXED
TYPE EQUATION WITH GENERALIZED OPERATORS OF FRACTIONAL INTEGRO-DIFFERENTIATION IN THE BOUNDARY CONDITION3
© 2008 E.Y. Arlanova4
In the paper a non-local problem for a mixed type equation represented in the upper half-plane by a fractional diffusion equation, in the lower half-plane by a diffusion transfer equation is studied. Unique solvability of the problem is then proved. The solution is represented in an explicit form.
Keywords and phrases: mixed type equation, boundary-value problem, fractional integrals and derivatives.
Paper received 01/IX/2008. Paper accepted 01/IX/2008.
3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. O.A. Repin.
4Arlanova Ekaterina Yurjevna ([email protected]), Dept. of Applied Mathematics and Informatics, Samara State Technical University, Samara, 443100, Russia.
