О задаче с операторами М. Сайго на характеристиках для вырождающегося гиперболического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.3

О ЗАДАЧЕ С ОПЕРАТОРАМИ М. САЙГО НА ХАРАКТЕРИСТИКАХ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

© 2010 С.А. Сайганова1

Для вырождающегося уравнения гиперболического типа в характеристической области исследована нелокальная задача, краевые условия которой содержат обобщенные операторы дробного интегродифференцирования на характеристиках. Доказана однозначная разрешимость рассматриваемой задачи.

Ключевые слова: функция Гаусса, дробные интегралы и производные, краевая задача, интегральное уравнение, ядро Коши.

Введение

Рассмотрим уравнение

\y\mUxx - Uyy =0 (1)

в области D, ограниченной характеристиками

2 -т + 2 2 -т+2

AC: x--------- y 2 =0, BC: x +--------- y 2 =1,

m+2 m+2

2 , -m+2 2 , , -m+2

AD: x---------(— y) 2 =0, BD: x +-------------(— y) 2 =1

m + 2 m + 2

уравнения (1).

Пусть Di = D П (y > 0), D2 = D П (y < 0), I = (0, 1). d0(x), d1(x) —точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (x, 0) Є I, с характеристиками AD и BC соответственно.

Для уравнения (1) в области D изучим нелокальную краевую задачу со смещением по терминологии А.М. Нахушева [1].

Будем считать m > 0 при y > 0 и y < 0.

Следуя работам [2; 3] (см. также [4, с. 326-327]), введем обобщенные дробные

интегралы и производные с гипергеометрической функцией Гаусса

X

(Io+e’пр) (x) = xr(a) J(x — t)a-iF e —n; a;1 — ~^j p(t)dt

0

(0 < x < 1, a > 0),

1Сайганова Светлана Александровна ([email protected]), кафедра прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета, 443100, Российская

Федерация, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

^п *) (х) = ( ±)" (іа:п'І>-пл-п^ (х) (2)

(0 < х < 1, а > 0, п = [—а] + 1),

Г1-13’п^(х) = (1 гха)— J(і — х)а 1р (а +13, —п; а; 1——X

(0 < х < 1, а > 0),

d

п

1^'пV) (х) = (--) ^+п,в-п,п-п^ (х) (3)

(0 < х < 1, а > 0, п = [—а] + 1),

которые при а + в = 0 обращаются в хорошо известные операторы Римана— Лиувилля [4, с. 42-43]

та- V) (х) = IV) <*> = щ/сх—1-а <*

о

(0 < х < 1, а > 0),

(ад (х) = (^^ (х) = ^)” іг V) (х) (4)

(0 < х < 1, а > 0, п = [а] + 1),

1

та—V) м = та*) м = гО) / ¡¡г—х—dí

X

(0 < х < 1, а > 0),

(Б^) (х) = (1Г_“-“-пV) (х) = (—№->) (х) (5)

(0 < х < 1, а > 0, п = [а] + 1).

Обозначим через Ил[0,1] (0 < Л ^ 1) пространство функций, на отрезке [0,1] удовлетворяющих условию Гельдера фиксированного порядка Л, через Ид[0,1] — его подпространство

Но [0,1] = {V(x) Є ИЛ[0,1], V(0) = V(1) = 0} .

Для функций р(х) ^ 0 будем употреблять обозначение: НЛ (р; [0, 1]), при этом р(х) Є ИЛ[0, 1].

1. Постановка задачи

Найти решение уравнения (1)

иі(х,у), (х,у) Є Б?

и(х,у') \ «2(х, у), (х, у) Є Б2

из класса и(х, у) Є С (Б) П С 1(Б1 и I) П С1 (Б2 и I) П С2 (Б? и Б2), удовлетворяющее условиям

В1 Н1

(іа-,Ьі ’-/з-аі (1—г)2із-1и [в1(г)]^ +

+В2 (іа-+1-в’Ь1’ -в-аіи1у (і, 0)) (х) = ^(х), у> 0,

(6)

С (1а+ 62' -в—2і2в-1и [0о(і)]) +

, 0+ ...../ (7)

+С2 ^02++1-в’Ь2’ -в-а2п2у (і, 0)) (х) = ф2(х), у < 0 и условию сопряжения

«1у (х, +0) = и2у (х, -0), (8)

где 2в = т+2, Ві, Сі, аі, Ьі (і = 1, 2)—заданные действительные числа, причем Ві, В2 —одного знака, Сі, С2 —разного знака; (9)

к І < в, в - 1 <а2 < в, 0 <Ь1 < 2р. (10)

Будем считать функцию 01 (х) такой, что

01(х) Є ИЛі [0,1], а1 + 1 - в<А1 < 1 (11)

1

и /і-(аі+в)Р(в — а1 — Ь1 — 1, 1; 1 — а1 — в; і) 01 (і) ¿і обращается в нуль порядка ^1,

о

0 ^ ¡Л1 < Л1 +2в- Заметим, что множество функций вида "01 (і) не является пустым. Например, в качестве функции 01 (і) можно взять функцию следующего вида:

0 (і) = у,і(г2-гГ1-1(2г-1)гаі+в Ч Г(@-аі-Ьі-1, 1;1-аі-в; г)'

Пусть функция 02 (х) такая, что

02(х) = (10+2’ -а2-Ь20о(і)) (х), 0о(х) Є ИЛ2 [0,1], 0 < Л2 < 1 (12)

и 0о (х) при х = 0 обращается в нуль порядка в, ¿1 > а2 + 1 — в, Ь2 — 2в < ¿2 < Ь2.

Отметим, что исследование задач с заданием краевых условий на характеристиках различных семейств началось с работ Т.Ш. Кальменова [5]. Далее развитие этих задач получило в работах В.Ф. Волкодавова и его учеников [6], известны также результаты в данном направлении С.К. Кумыковой [7] и О.А. Репина [8]. Однако во всех перечисленных работах, за исключением работ О.А. Репина, в краевых условиях использовались либо операторы Римана—Лиувилля, либо они не использовались вовсе. В данном же случае в краевых условиях используются операторы более сложной структуры — операторы дробного интегродифференциро-вания с гипергеометрической функцией Гаусса.

2. Единственность решения

Введем обозначения

ІІт М1(х, у) = Т1(х), 1ІШ П2(х, у) = Т2(х),

У^о+ У^о-

ІІШ П1у (х, у) = ^1 (х), 1ІШ П2у (х, у) = ^2 (х) .

У^о+ у У^о- у

Известно [9, с. 103], что решение задачи Коши

і ( ) 1 ди

иІу=о = Т1(х), х Є I, ду

для уравнения (1) при у > 0 имеет вид

1

^(х), х Є I

У=о

( ) Г(2в) .

и(х,у) = -тгт—Г Ті

г2 (в ) У

2 т+2

х —--------— у 2 (2і — 1)

т + 2‘

, 2 Г(1 — 2в) Г

+ т + 2 Г2(1 — в) Ч 1/1

2 т + 2

х + 2у 2 (2і — 1)

т+2

ів-1(1 — і)в-13і+ і-в (1 — і)-в ¿і.

(13)

Используя (14) и учитывая формулу (3), находим

п[в!(х)] = 71 Г(в) (/Г-0^-1^)) (х)+ +72Г(1 - в) (I—’ 2в-1’в-1чЮ) (х),

где

Г(2в) 1( 4 \2в Г(1 - 2в)

71 = г2,а\, 72 ~

Г2 (вУ 12 2 \т + 2У Г2(1 - в)'

Подставляя (15) в краевое условие (6), опираясь на формулы [2]

^в’ п^ (х) = (1 - х)-а-в-п 1— -а-п’ -а-в^ (х), а > 0,

(-1а-в’п (-1—а+п/) м) (х) = (.I?+’в+з’п/) (х), 7 > о,

получим

В171Г(в) (1—+13’ Ь1+1-2в’ -в-а1 т1(г)^ (х)+

+[В172Г(1 - в)+В2] ^аа-+1-в’Ь1’-в-а1 (х) = 01(х).

(16)

(17)

Подействуем на обе части равенства (17) оператором 1в_ 1 а1’ Ь1’ 1 2в и воспользуемся второй формулой из (16). В результате будем иметь

[В172Г(1 - в) — В2] Ых) =

= -В171Г(в) {р^-2рп) (х) + ^в!1-а1’ -Ь1’ 1-2в01 (г)) (х). (18)

Лемма 1. Пусть 01 (х) = 0, 0 < в < 2, В1 и В2 —одного знака, а функция т_(х) в точке х = хо (0 < хо < 1) принимает положительный максимум (отрицательный минимум). Тогда ^(хо) < 0 (^(хо) > 0).

Доказательство леммы 1 непосредственно следует из соотношения (18) на основании свойства строгой положительности (строгой отрицательности) производной дробного порядка ^Л^-2вт^ (х) в точке положительного максимума (отрицательного минимума) [1].

Решение задачи Коши

и\у=о = Т2(х), х е I, —

- ди ду

= ^2 (х), х е I

у=о

для уравнения (1) при у < 0 имеет вид [9, с. 103]

г13-1 (1 - г)в-1аг+

1

, , Г(2в) [ Г 2 , т + 2 1

и(х,у) = гщУ т2 х+т+2(-у) 2 (2г-1)

о 1 (19)

2 Г(1 - 2в) [

+ т + 2 Г2(1 - в) У1 1/2

о

2 , . т+2

х + —-2(-У) 2 (2г - 1) т + 2

г-в (1 - г)-в ¿г.

Используя (19) и формулу (2), находим

и[во(х)] = 71 Г(в) Г/о-+°’в-1т2(г)) (х)-

-72Г(1 - в) (!0+в’ 2в-1’в-Ч(г)) (х). (20)

Подставляя (20) в краевое условие (7), опираясь на формулы [2] (/о“+в / (х) = х-а-'-п (/о“+-“-п’ -а-в/ (х), а > 0, (і0У’ п (Iа+п/) (І)) (х) = (С"’ в+<5' п/) (х), 7 > 0,

(21)

получим

(22)

С171ВД (іо“^+в’ Ъ2+1-2'' -в-“2т2(і)) (х)+

+ С - Сі72Г(1 - в)] (іо“^+1-в’ Ь2’ -в-а2ыъ) (х) = 02(х).

Подействуем на обе части равенства (22) оператором ів+ 1 а2’ Ъ2’ 1 2' и вос-

пользуемся второй формулой из (21). В результате будем иметь

С - С172Г(1 - в)] ^(х) =

= -С171 Г(в) (Бо1; 2въ) (х) + (і'-1 -а2' - Ъ2’ 1 - 2вФ2(і)) (х). (23)

Лемма 2. Пусть 02 (х) = 0, 0 < в < 2, С и С2 —разного знака, а функция

Т2(х) в точке х = хо (0 < хо < 1) принимает положительный максимум (отрицательный минимум). Тогда V2(хо) > 0 (^(хо) < 0).

Доказательство леммы 2 аналогично доказательству леммы 1.

Итак, доказано, что при у ^ +0 ^(хо) < 0 (^(хо) > 0), а при у ^ -0 ^2(хо) > 0 (^2 (хо) < 0).

Теорема 1. Если существует решение задачи (1), то оно единственно.

Доказательство. На основании условия сопряжения (8) и обозначений (13)

получаем противоречие, которое и доказывает единственность решения задачи.

3. Существование решения

Действуя на обе части равенств (18) и (23) операторами і1-2'’2' 1’о и 1о1+2в’ 2' 11 о соответственно и применяя формулы (16) и (21), в результате получим

-л (х) = В172Г(1 - в) + В2 (т 1-2в’ 2в-1, о (.)) (х) +

т,(х) =- ВП(Г(в) Iі1- (24)

+B0Y0Г(в) ^---а"-Ъ'-1+2в'0Л(‘)|(*>’

, N С172Г(1 - в) - С2 (г1-2в, 2в-1, о

т2(х) =-----С^-------------2«))(х)+

(25)

Учитывая условие сопряжения (8), класс решений, в котором мы находим решение задачи, вводя обозначения т(х) = Т1(х) = Т2(х), v(x) = ^(х) = ^(х), из (24) и (25) будем иметь

С1-'СЛ- 02 (Ю-2Л 2в-,-о'(‘0(*)+

+В2 (ю;2''2'-1 ’°*м) (х)=/ (х),

где

в171Г(/?)

(і;'-а2' -Ъ2-1+2'' оф2(і)) (х).

/ (х) = Вп;Г(д) - оФ1(г))(х)-

С171Г(в)

Вводя обозначения

P _ С172Г(1 — ß) — C2 р _ В172Г(1 — ß) + B2

1 _ C171 r(ß) ’ 2 _ Bi7ir(ß) ’ (27)

P3 = ^, , P4 _ 1

где

С171ГОЗ)’ Ві7іГ(^)’

применяя к выражению (26) оператор /°+ 1 1 2в’ 0 и учитывая формулы (4) и (5), получим

Ріф) + Р2 (Бі-2в/1- 2в^ (х) = /і(х), (28)

/і(х) = (4 (/2+ -11 1 - 2в 0 (^-аи -Ьі-1+2в %) (Т)) (х) —

-Рз (/2+-11 1 - 2в’ 0 (/о+в- ^ - Ь2- 1+2в’ %) (*)) (х).

Известно [9], что

Ь

Ба+ (/ь‘-^) (х) = с°5(па)у-(х) + 8т(па) / Л—(29)

П J \х — 2 / Т — х

а

Применяя (29), перепишем (28) в виде особого интегрального уравнения с ядром Коши

Рі^(х) - Р2 сои(2п[ЗУ(х) + Р2 й1п(2пв) [(-^ = /і(х). (30)

п J \х; Т—х

0

Задача сводится к разрешимости интегрального уравнения (30).

Введем обозначения

ж1 2ßv(x) _ —(x), a _ P1 — P2 cos(2nß), b _ P2 sin(2nß), f2(x) _ x1-2ßf1(x).

(31)

С учетом (31) уравнение (30) примет вид

Mx) + b f( - У"' _ f2(x). (32)

П J \x J t—x

Согласно [4], составим функцию G(x)

G(x) = a(x) - ib(x) = eie(x), 0(x) = argG(x).

v ' a(x) + ib(x) w ь w

Для уравнения (31) функция G(x) является постоянной (так как выполняются условия (31) и (27)), а поэтому и argG(x) также есть постоянное число.

G(0) = G(1) = Pi - P2 cos(2nß) - ip2 sin(2nß)

() () Pi - P2 cos(2nß) + iP2 sin(2nß)' ( )

В силу (33) 0 < 0(0) < 2п, 0 < 0(1) < 2п. Тогда индекс уравнения (32) для

искомого класса функций

' ^ 1 =0.

2п

Рассмотрим правую часть интегрального уравнения (32)

1

/2(х) = х1-2вР4 (/0+-1’ 1-2в’ 0 (ї—в—аі- —Ьі — 1+2в- 0фі) (Т)) (х) —

—х1-2вРз (/02+-1- 1-2в- 0 (/0-в-а2- —Ь2 — 1+2в- 0ф^ (Т)) (х). (34)

Используя определение оператора Римана—Лиувилля и формулы (21), перепишем (34) в виде

/2(х) = х1-2вР4 (д1-в (ї—в—аі-—Ьі — 1+2>- 0фі) (Т)) (х) —

—х1-2вРз (Б1-в (/01+2вя) (Т)) (х) где ( )

д(х) = (/0+в-а2- -Ь2-1+2в- 0ф^ (х).

Нам потребуются некоторые свойства операторов дробного интегрирования и дифференцирования, рассмотренные в работе [10].

Лемма 3. Пусть 0 < —а <А ^ 1 и в < ш1п[0,^ + 1]. Если р(х) Є Ил[0, 1], то

(70“+в- пр) (х), (/—- пр) (х) Є Итіп[л+“-—в] [0,1].

Лемма 4. Пусть а > 0, в < ш1п[0, ^ + 1], 0 < А ^ 1 и р(х) Є Ил[0,1]. Тогда

(/0+в- пр) (х), (ї^- пр) (х) Є Итіп[л--в] [0,1].

Лемма 5. Пусть 0 <а<А< 1, А — а < 1 и р(х) = хм, где 0 ^ ц < А — а +1. Если р(х) Є иЛ (р;[0,1]), то (Б0+ р) (х) Є иЛ-а (р;[0,1]).

Теперь, учитывая условия (11), на основании леммы 3 имеем

(ї-—3-^-—Ьі — 1+2в- 0ф^ (Т) Є И^ [0, 1], Н1 = ш1п[А1 — (а1 + в), Ь1 + 1 — 2в].

На основании условий (12) и леммы 4

(ї^2вд) (х) Є И^2 [0,1],

^2 = ш1п[А2, ¿2 — 2в + 1 + Ь2].

Используя условия (11), лемму 5 и выражение (35), получим

1—в ( Т—в—аі- —Ьі —1+2 в- 0

(35)

(36)

(37)

(р0— (1-в-а1> -Ь1-1+2в (г)) (х) е и^1 (1 2в) (р; [0,1]),

р(х) = х)1.

Используя условия (12), лемму 5 и выражение (36), можем заключить, что

(ро0-в (/¿-2вд) (г)) (х) е <2-(1-2в) (р; [0,1]), р(х) = Xе. (38)

Окончательно, объединяя (37) и (38), имеем

/2 (х) е И*3 [0,1], ( )

Нз = ш1п[^1 - (1 - 2в), h2 - (1 - 2в)].

Таким образом, уравнение (32), а следовательно и (30), однозначно разрешимо. А в силу того, что разрешимость нашей задачи эквивалентно сведена к вопросу разрешимости уравнения (30), то и исследуемая задача также разрешима. Поэтому можно утверждать, что имеет место

Теорема 2. Пусть справедливы условия (11)—(12), а правая часть /2 (х) интегрального уравнения (32) удовлетворяет условию (39). Тогда задача для уравнения (1) разрешима [11].

Литература

[1] Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука. 2006. 287 с.

[2] Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric function // Math. Rep. Kyushu Univ. 1978. V. 11. № 2. P. 135-143.

[3] Saigo M. A certain boundary value problem for the Euler—Poisson—Darboux equation // Math. Japan. 1979. V. 24. № 4. P. 377-385.

[4] Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

[5] Кальменов Т.Ш. Краевые задачи для линейных уравнений в частных производных гиперболического типа. Шымкент: Галым, 1993. 328 с.

[6] Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я. Краевые задачи для уравнения Эй-лера-Пуассона-Дарбу: учеб. пособие по спецкурсу ’’Уравнения математической физики”. Куйбышев: Изд-во Куйбышев. гос. пед. ун-та, 1984. 80 с.

[7] Кумыкова С.К. Задача с нелокальными условиями на характеристиках для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17. № 1. С. 81-90.

[8] Репин О.А. О разрешимости задачи с краевым условием на характеристиках для вырождающегося гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 1. С. 110-113.

[9] Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Высшая школа, 1985. 304 с.

[10] Saigo M., Kilbas A.A. Generalized fractional integrals and derivatives in Holder spaces // Transform Methods and Special Functions. Sofia 94 (Proceeding of International Workshop). Sci. Cult. Tech. Publ. Singapore, 1995. P. 282-293.

[11] Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. 299 с.

Поступила в редакцию 20/ V/2010;

в окончательном варианте — 20/V/2010.

ON THE PROBLEM WITH M. SAIGO OPERATORS ON CHARACTERISTICS FOR A DEGENERATIVE HYPERBOLIC EQUATION

© 2010 S.A. Sayganova2

A non-local problem in characteristic domain for a degenerative hyperbolic type equation boundary conditions of which contain generalized operators of fractional integrodifferentiation on characteristics is studied. Unique solvability of the problem is then proved.

Key words: Gauss function, fractional integrals and derivatives, boundary-value problem, integral equation, Cauchy kernel.

Paper received 20/U/2010. Paper accepted 20/U/2010.

2Sayganova Svetlana Alexandrovna (syomina_saSmail.ru), the Dept. of Applied Mathematics and Informatics, Samara State Technical University, Samara, 443100, Russian Federation.