Об одной краевой задаче для уравнения гиперболического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

52

УДК 517.956

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2008. №2(61).

ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА1

© 2008 О.А.Репин? Р.Н.Салихов3

В работе рассматривается нелокальная краевая задача для уравнения гиперболического типа с краевыми условиями, содержащими операторы дробного интегро-дифференцирования. Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи.

1. Постановка задачи

Рассмотрим уравнение

\у\2тшхх + уиуу + аиу = 0, (1.1)

1

где т > —, и а — заданные действительные постоянные.

Пусть О — конечная односвязная область плоскости независимых переменных х и у, ограниченная характеристиками

2 2т+1 2 2т+1

ЛС:х-——(-у)—=0, ВС:х+——(-у)—= 1 2т + 1 2т + 1

уравнения (1.1) и отрезком 3 = АВ = {х : 0 ^ х ^ 1}. Введем следующие обозначения: хх 2' \т0

©о(х) =

и 01(х) =

тО

1 + X 11-х'

точки пересечения харак-

2 \ т0

теристик уравнения (1.1), выходящих из точки х е 3 е характеристиками АС и

ВС соответственно; то =-; /"'Р'11 и Г"^'*1 — операторы обобщенного дробного

2т + 1 0+ 1

интегро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса, введенные в [1] и имеющие при действительных а(а > 0), в, п е К и х > 0 вид

х-а-р гх £

(С-\)(Х) = —■ (х-0а-1Яа + (3,-л,а;1--)ф(0Л, (1.2)

1 (а) Jо х

= (1 ~ " £(1- а + (3, -л, а; у^ЖОА; (1.3)

1 Представлена доктором физико-математических наук, профессором Л.С. Пулькиной.

2Репин Олег Александрович ([email protected]), кафедра математической статистики Самарского государственного экономического университета, 443090, Россия, г. Самара, ул. Советской Армии, 141.

3Салихов Рустам Назипович ([email protected]), кафедра прикладной математики и инфор-

матики Самарского государственного технического университета, 443100, Россия, г. Самара,

ул. Молодогвардейская, 244.

£0+ — оператор Эрдейи-Кобера, который действует на функцию f(x) по формуле0 [2]

Па) Jo

(Ea0ff)(x)=^—^ C(x-tT-4>f(t)df, (1-4)

г(а) Jo

Г(х) — гамма-функция Эйлера; F(a, b, c; x) — гипергеометрическая функция Гаусса; HX[a, b], (0 < X ^ 1) есть класс функций, удовлетворяющих условию Гельдера порядка X на отрезке [a, b], H* = H*(a, b) — класс гельдеровских функций с интегрируемыми особенностями на концах отрезка.

Также нам потребуются следующие леммы [3]: Лемма 1.1. Пусть 0 < -а < X < 1, n > ß - 1 и ф(х) € HX[0,1]. Тогда

Д/^фХх), (1 - х/с^фХх) € HX+a[0,1].

Лемма 1.2. Пусть 0 < -а < X < 1, ß < min{0, n + 1} и ф(х) € HX[0,1]. Тогда (£+%)(х), (/1а-3'пф)(х) € Hmin{X+a'-ß}[0,1].

При--т < а < 1 регулярное решение и(х,у) уравнения (1.1) в области D, удовлетворяющее условиям

и(х, о) = т(х), 0 ^ х ^ 1, lim (-у)аЫу(х, у) = у(х), 0 < х < 1,

у^-0

где т(х) € С1(/)П C2(J), у(х) € C1(J), дается формулой [4]

и(х,у) = Ш £ т + (1 _ 2»(-у)Ъ Щ iß-4l - tf-'dt-

„ (-У)1'" I v ix + (1 - 2t)(-y)i> — 1 f ß(l - t)~$dt, 2Г2(1 - ß) Jo I- 2 V 7

_ ш0Г(1 - 2ß)

где

2m - 1 + 2 а ß = —rrz-—, m о =

2(2т + 1) 2т + 1

В области О поставим и изучим следующую задачу: Задача 1.1. Найти в области О решение и(х, у) € С (О) уравнения (1.1), удовлетворяющее краевым условиям

(¿■¿-^-^аМОХх) + Т(х) = Ф1(х), (1.5)

¿(хХС13^1 и[©о])(х) + БШГ^ и[© 1] )(х)+

+С(х)ССвз'Уз у(^))(х) = ф2(х),

где А(х), Б(х), С(х), а1(х), ф1(х) и ф2(х) — известные функции; а1, р1, у1, а2, р2,

2т - 1 + 2 а 1

72, «з, Рз, 73; ~~ заданные числа; р =-,--т < а < 1.

2(2т + 1) 2

2. Существование и единственность

На основании решения задачи Коши (1.5) и формул (1.2)—(1.4) найдем значения и(х, у) в точках ©0(х) и 01(х):

и [©о] = ^о(£в+в-1т(?))(х) - ^ОеО-13'13-1;1-21^«)«, (2.1)

и[©1] = £о(/в-0,|3-1т(0)(х) - К^-^^Л«)«, (2.2)

4

где

Г(2|3) Г(1 - 2(3) 2р

Ко ~ Ж' 1" '

Подставим выражения (2.1), (2.2) в краевое условие (1.6) А(х)(Ср1^0£оР+Р-1т(0 - ^¿^М^ЧОЖхН

+В(х)(/а-'р2'У2(К0/0-0'0-1х(£) - К1 1\-т-1$-\(1Жх)+ (2.3)

+С(х)(/а-'0з'Уз у(0)(х) = Ф2(х).

Примем у1 = -а1 -1 + 0, 72 = -а2 -1 + 0, тогда, выражая т(х) из краевого условия (1.5) и используя известные свойства операторов дробного интегро-дифференци-рования [2], из выражения (2.3) получим

-А(х)(С+1-0'01'0-1-а1(К0а1(ОЧО + К1г1-20ЧО))(х)-

-В(х)К0(/а-+0,°2,0-1-а2/0+-20Л20-1а1(ОЧО))(х)- (2 4)

Т>< \Т7 /та2+1-0,02 +20-1,-а2+0-1 ^ЧЧ/ ч, (24)

-в^к^1-1^2+2р"1--а 2+рЛ(охх)+

+C(x)(/a-'p3'Y3 v(t))(x) = g(x),

где

g(x) = Ф2(х) - A(x)Ko(/0a++p'p1'p-1"ai Çi(t))(x) -

-B(x)Ko(/ai+p'p2'p"1-a 2 <pi(t))(x). Решение данной задачи будем искать для двух случаев:

1) Vx € J_A(x) Ф 0, B(x) = 0, C(x) = A(x), y1 = -a1 -1 + в, a3 = a1 +1 - в, y3 = -a1 -1 + в;

2) Vx € J A(x) = 0, B(x) Ф 0, C(x) = 0, у2 = -a2 - 1 + вВ первом случае выражение (2.4) примет вид

-(1о++1-в'вьв-1-a1(K0«1(t)v(t) + K1t1-2iv(t)))(x)+

V V JJ J A(x)

Пусть a1 + 1 - в > 0, тогда на выражение (2.5) подействуем оператором I^1 1+в' в1'0

(K0C1(x) + K1 x1-2в)v(x) - (i^1-^'-^'0!^1-^3-^^v^Xx) =

T-ai-l+P,-Pi,0 g(0

A(t)

В работе [5] получена формула

= smjt(a+ V)^ Г1 _ _ x)-iy{u)du_

1 п J0

- cos п(а + 1)x-a-b(1 - x)a-cv(x).

Используя (2.5) и полагая а = -a1 - 1 + в, b = -в1, c = вз, перепишем (2.5) в виде интегрального уравнения с ядром Коши

(K0a1(x) + K1 x1 -2в + cos п(в - a1)xa 1+1-в+в1(1 - x)-^^^Mx) -

sin п(в - a1) _в Г1 ua 1+1-в(1 - и)-сч-1+в-взv(u)du , ч

--х 11 - = (2.5)

п J0 u - x

_ -C^-I+P.-Pbo s(t) v,

- ~(i°+ m){)-

= -(C1

Умножим выражение (2.5) на х^1, 0 < x < 1

(K0a1(x)xß1 + K1 x1-2ß+ßl + cos n(ß - a1)xct 1+1-ß+2ßl(l - x)-a 1 -1+ß-ß3)v(x) -sin n(ß - a1) Г1 ua 1+1-ß(1 - u)-a 1-1+ß-ß3v(u)du

:f

Jo

= „ßl/7-ai-l+ß-ßi.OjiW-, 1 0+ A(ty

Выполнив замену ю(и) = иа1 +1-в(1 - и) получим характеристическое сингулярное интегральное уравнение

С1(х)ш(х) + — Г = с3(х), (2.6)

^ Jо " "

u- x

где

C1(x) = Koa1(x)x-a1-1+ß+ß1(1 - x) a1+1-ß+ß3 +

+K1 x-a 1 -ß+ß1(1 - x)a1+1-ß+ß3 + cos n(ß - a1)x2ß1, c2 = - sin n(ß - a1),

cs(x) = - xß11-

- _vßi rai-l+ß,-ßi,0 g(0

0+ A{t)

Таким образом, мы свели задачу (в смысле разрешимости) к характеристическому сингулярному интегральному уравнению (2.6). Будем предполагать, что выполняется условие

с2(х) + с2 * о. (2.7)

Пусть я1(х) € И'1, в1 > а1 + 1 - в, рз > -а1 - 1 + в, тогда в силу того, что о < в < 1/2 и а1 + 1 - в > о, имеем с1(х) € И™п{Х1--а1 -1+р+рьа1+1-р+Рз.2р1).

Рассмотрим правую часть интегрального уравнения (2.6) сз(х), которая в данном случае будет иметь вид

с3(х) =-хНГ0Г1+^°^)(х)+

+КохР1 (/(-+а1-1+в.-в1.о/оа++в.в1 .в-1-а 1 ф1 (,))(х).

Пусть А(х) € И^2[о, 1], ф2(х) € И^2[о, 1], о < а1 + 1 - в < Х2 < 1, тогда в силу предположения в1 > а1 + 1 - в > о, согласно лемме 1.2, имеем

-а^+р-^оф2(0^ ^ ^тт{^-а1-1+р,р1}|-0 ^ о+ А(?)

Пусть также (i0+++ß,ß1,ß-1-a 1 ф^))^) € ЯХз[0,1], 0 < a1 + 1 - ß < < 1, тогда, согласно лемме 1.2, имеем

(I0-a1-1+U,-ßbOIa1+ß,ß1 ,ß-1-a1 ф^))^) € Hmin(x3-a1 -1+ß.ß1)[0,1].

п

ux

Таким образом, c3(x) € Hmin{X2-a1-1+ß'X3-a1-1+ß'ß1 Найдем далее

= ClW - ÍC2 = еЮМ 0(х) = G(x). C1 (x) + 1С2

G(0) = -1 = cos п + i sin п = вш. Выберем arg G(0) = п, тогда argG(1) = 2n(ß - a1), где 0 < ß - a1 < 1.

Решение уравнения будем искать в классе функций Н*[0,1] П С[0,1), тогда индекс уравнения

[0(1)1

X =

2п

= [в - сц] .

В силу условия 0 < Р — (Xi < 1 индекс уравнения / = 0. Следуя [2], найдем |io = —, = в - a1 - 1,

Z0(x) = exp-!-

2П

Г1 0(t)dt

I -+ jt ln(jt) - 2jt((3 - ai) ln(l - x)

Jo

t - x

Согласно [2, теорема 30.2] уравнение (2.6) разрешимо единственным образом в классе Н*[0,1] П С[0,1) и его общее решение дается формулой

ю(х) =

c1(x)c3(x) c2Z0(x) Г1 Iху*0/1 - х\w c3(t)dt

im

cf(x) + c2 n(c1(x) + c2)Jo \tJ \1 - t) Z0(t)(t - x)

Аналогичным образом рассмотрим второй случай. Выражение (2.4) в данном случае примет вид

-К0(,?а-+0'02'0-1-а2 ^0:20•0•20-1al(í)v(í))(x)-

_к „2+1-р,р2+2р-1,-«2+р-1 = (2.8) П В(х)

Пусть а2 + 0 > 0, тогда на выражение (2.8) подействуем оператором I- "2 0' 02'20 1

К0(/0+-20А20-1«1(ОЧО)(х) - К^^^Л«)« =

= a2_|3,_|32,2|j_i g(0V ) (2-9) v В(0 ''

и /„л, т2Р-1,0,0

На выражение (2.9) подействуем оператором 10+ K0a1(x)v(x) - K1(/02e-1A0t№1,2e-1v(t))(x) =

..2p-l,0,0ra2-p,-p2,2p-l g(t) v ,

n ,2R sin2ne Г1 u1-2e

(K0ai(x) + K\ cos 2jt(3x 1 )v(x) - K\- -y(u)du -

n J0 u - x

Используя, как и в первом случае, формулу (2.5), получим

^0 u — x

_ /т2р-1,0,0 т-а2-р,-р2,2р-1 g(t) v ,

- ц>+ l\-

Произведя замену ю(и) = u

1-2ev(u), придем к характеристическому сингулярному интегральному уравнению относительно функции ro(x)

ОО0СОО0+2 f1^^=c3(x), (2.10)

П J 0 u - x

где

c 1 (x) = K0 a1(x)x2e-1

+ K1 cos 2пв,

c2 = -K1 sin2ne, (2 11)

r2p-l,0,0r-a2-p,-p2,2p-l g(0 .

B(ty

C3(x) = ^P-^J-^-P.-P^

Таким образом, в этом случае мы также свели задачу (в смысле разрешимости) к характеристическому сингулярному интегральному уравнению (2.10). Будем предполагать, что выполняется условие

c2(x) + c2 Ф 0. (2.12)

Пусть a1 (x) = xa2(x), a2(x) € H'1, тогда ci(x) € Hmin{Xl -2ß}.

Рассмотрим правую часть интегрального уравнения (2.10) c3(x), которая во втором случае будет иметь вид

-Ko(/02ß-1'0'0/1-_a 2-ß--ß2 Д|3-1 ^+ßfeß-1-a 2 q)i(OXx).

В силу предположения + ß > 0, используя известные свойства операторов дробного интегро-дифференцирования, получим

СЗ(*) = - (ох*) ■

Пусть 0 < a2 + ß < Х2 < 1, -ß2 < min{0,2ß} = 0, B(x) € H^2[0,1], ф2(x) € H^2[0,1], тогда согласно лемме 1.2 имеем

^-a2-ß,-ß2,2P-l фг(0^ e ^minR2-a2-ß,ß2}|-Q ц _ B(t)

Пусть также ф1(x) € H^3[0,1], 0 < 1 - 2ß < X3 < 1, тогда с учетом неравенства 0 < ß < 1/2, используя лемму 1.1, получим (Z)ß-1'0'V1(t)Xx) € H3+2ß-1[0,1] и C3(x) € Hm'n{X2-a2+ß-1,ß2+2ß-1,^3+2ß-1}[0 1] Найдем далее

G(x) = C1(X)~¿C2 = em(x\ 6(x) = arg G(x); C1 (x) + ÍC2

= cos 2jtß + i sin 2jtß = ^ cos 2jtß - i sin 2jtß

Выберем arg G(0) = 4nß, где 0 < ß < 1/2, тогда

K1 sin 2nß

arg G(1) = 2arctg

^K0a2(1) + K1 cos 2пв)

Решение уравнения будем искать в классе функций Н*[0,1] П С[0,1), тогда индекс уравнения

[0(1)1

х =

2п

K

Пусть а2( 1) >--cos 2jtß, тогда справедливо неравенство

K0

K1 sin2nß

>0,

K0a2(1) + K1 cos 2nß

0 < arg G(1) < п и индекс уравнения х = 0. Следуя [2] найдем ^0 = 1 - 2ß, =

1 / K1sin2nß = — arctg

п \ K0a2(1) + K1 cos 2nß

Г1 6(t)dt л 01 , ч „ , K1 sin2nß ч1 „ ' -Г~ + 4Jtß In х - 2 arctg 1 0 р ) In 1 - х

J0 t - x K0a2(1) + K1 cos 2nß

Z0(x) = exp^-2п

Согласно [2, теор. 30.2] уравнение (2.10) разрешимо единственным образом в классе И*[0,1] Р| C[0,1) и его общее решение дается формулой

_ сх(х)съ(х) _ c2Zq(x) Г1 1c3(f)dt ШХ ~ ф) + с2 я (cl(x) + с22) Jo V t ) \ 1 - t J Zo(t)(t - x)'

Таким образом, справедливы утверждения. Теорема 2.1. Пусть m > 1/2 и выполнены условия

1/2 - m < а < 1, Vx € J A(x) Ф 0, B(x) = 0, C(x) = A(x), у 1 = -а1 - 1 + в, а3 = а1 + 1 - в, уз = -а1 - 1 + в, a1(x) € И1-1, в1 > а1 + 1 - в, в3 > -а1 - 1 + в, A(x) € И-2[0,1], ф2(x) € И-2[0,1], 0 < а1 + 1 - в < -2 < 1, 0 < а1 + 1 - в < -3 < 1, (С+в,в1,в-1-а 1 фКО)^) € И-3[0,1] и выполняется условие (2.7), тогда задача 1 имеет единственное решение.

Теорема 2.2. Пусть m > 1/2 и выполнены условия

1/2 - m < а < 1, Vx € J A(x) = 0, B(x) Ф 0, C(x) = 0, y2 = -а2 - 1 + в,

K

ai(x) = xa2(x), a2( 1) >--cos2jt|3, a2(x) e #^[0,1], |32 > 0, 0 < a2 + (3 < \2 < 1,

K0

0 < 1 - 2в < -3 < 1, B(x) € H-2[0,1], ф2(x) € И-2[0,1], ф1 (x) € И-3[0,1] и выполняется условие (2.12), тогда задача 1 имеет единственное решение.

Литература

[1] Saigo, M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric functions / M. Saigo // Math. Rep. Kyushu. Univ. - 1978. - Vol. 11. - №2. -P. 135-143.

[2] Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев. - Минск, 1987. - 688 с.

[3] Saigo, M. Generalized fractional integrals and derivatives in Holder spaces / M. Saigo, A.A. Kilbas // Transfom Methods and Special Functions, Sofia 94 (Proceeding of International Workshop). Sci. Cult. Tech. Publ. - Singapore, 1995. - P. 282-293.

[4] Бицадзе, А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных / А.В. Бицадзе. - М.: Наука, 1981. - 448 с.

[5] Srivastava, N.M. Multiplication of fractional calculus operators and boundary value problem involving the Euler-Darboux equation / N.M. Srivastava, M. Saigo // J. Math. Anal. and Appl. - 1987. - Vol. 121. - №2. - P. 325-369.

Поступила в редакцию 18/1/2008; в окончательном варианте — 18/1/2008.

ON A BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A HYPERBOLIC EQUATION

© 2008 O.A.Repin4 R.N. Salikhov5

In the paper a nonlocal boundary value problem for a hyperbolic equation with fractional integral operators in boundary conditions is considered. Existence and uniqueness of a solution are proved.

Paper received 18/1/2008. Paper accepted 18/I/2008.

4Repin Oleg Aleksandrovich (matstatSmail.ru), Dept. of Mathematical Statistics, Samara State Economic University, Samara, 443090, Russia.

5Salikhov Rustam Nazipovich ([email protected]), Dept. of Applied Mathematics and Informatics, Samara State Technical University, Samara, 443100, Russia.