Нелокальная задача с дробными производными для одного гиперболического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956 Е.Ю. Арланова

НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С ДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ДЛЯ ОДНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Поставлена и исследована нелокальная краевая задача с операторами дробного интегро-дифференцирования для одного частного случая уравнения влагопереноса. Доказана однозначная разрешимость рассматриваемой задачи.

Рассмотрим вырождающееся гиперболическое уравнение

У2ихх - иуу + Ъых = 0, |Ь|^ 1, (1)

которое принято называть уравнением Бицадзе—Лыкова или уравнением влагопереноса [1, 2], в области Ю, ограниченной интервалом У = (0,1) и характеристиками АС = |(х, у): х - У^ = 0, у ^ 01,

ВС = |(х, у): х + у- = 1, у ^ 01 уравнения (1).

В работе [3] рассматривалась краевая задача для этого уравнения при Ь = 1. Продолжим эти исследования, рассмотрев задачу при Ь = -1.

Введём следующие обозначения: 00(х) и 01(х) —точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (х, 0) є У, с характеристиками АС и ВС соответственно: 00(х) =

= //х), (01(х) = (х+1^1 - х); п(х) — оператор Сайго, введенный в [4]; (Ю+ /) (х) — дробный

интеграл, (Ю0+ /) (х) — дробная производная Римана—Лиувилля [2, 5].

В дальнейшем нам потребуются некоторые утверждения из [5] и [6].

Для удобства чтения приведём их формулировки.

Лемма 1. Пусть 0 < а < 1, 0 < Л < 1, Л+а < 1 и р(х) = х^, где 0 ^ ц < Л+1. Если ф(х) є Н^ (р; [0,1]), то (Ю+ф) (х) є нЛ+а (р; [0,1]).

Лемма 2. Пусть 0 < а < Л < 1, Л - а < 1 и р(х) = х^, где 0 ^ ц < Л - а + 1. Если ф(х) є НЛ (р; [0,1]), то (Ю0+ф) (х) є нЛ-а (р; [0,1]).

Лемма 3. Пусть 0 <-а < Л ^ 1 и в < тіп[0, п+1]. Если ф(х) є НЛ[/], то |і0+в’(х), (х) є

є нтіп[а+Я, -в] (у)

Лемма 4. Пусть 0 < -а < Л ^ 1 и п > в-1. Если ф(х) є НЛ[/], то хв (іО+^ф] (х), (1-х)в [і^^ф (х) є є Н а+Лй ].

Для уравнения (1) при Ь = -1 исследуем следующую краевую задачу.

Задача. Найти функцию и(х, у), удовлетворяющую уравнению (1) при Ь = -1 в области Ю и краевым условиям

и(х, 0) = т(х) (х є [0,1]),

А (Юаа+и [00(«]) (х) + в(If;О’в’ а-1и [01(0]) (х) = я (х) (х є (0,1)), (2)

где А, В, а, в — ненулевые вещественные константы, удовлетворяющие неравенствам:

2 < а < 1, в < 0, а - в > 1, (3)

т(х) и я(х) —известные функции, причём

т(0) = 0, т(х) є НА1[0,1] п С2(0, 1), я(х) є НІ2[0,1] п С2(0,1), а - 1 < Л]_ ^ 1, 1 - а < Л2 ^ 1-

(4)

Будем искать решение задачи в классе таких функций и(х, у), что

Кш иу (х, у) = v{x) е НЛ [0,1], 0< Л<а, Л + а> 1. (5)

у-0- у

Используя решение задачи Коши [1]

2 1

“(х, у)=т (х - т)- Ц

х + — (1-2г) 2

йг

%/1 - г ’

(6)

найдем

Согласно

и[00(х)] = 2 (і0+ г 2

2|і0+ г 2у(г))(х), и[01(х)]= т(х)^^2^|і2-

1 _1 _1

2’ 2 2у(г)|(х).

(7)

(Ю0о+ І0в+ /) (х) = (і0+-°/) (х) (0 < а < в),

( тО в’ П ( 7"Г, 5 ^0+ ^0+

ф (г))(х) = (С7,в+5V) (х)

(8)

(9)

имеем

2 у) (х) = |і0+0 г 2 у) (х),

(10)

2-°,в,°-1 -2,-2 ^ , і ( т1-0в-2,0-1 1с і

І:2_ 1:2_ 2 2у (х) = и 2 у| (х)-

(11)

Формулы (10) и (11) справедливы для v(x) е НЛ[0,1] с 0 < Л < а. Отметим, что дробные инте-

гралы (і,1+О г 1 у (х) и |і^

и 111 а>в 2>а V (х) также являются гельдеровскими функциями. Действи-

тельно, если v(x) е НЛ [0, 1], то, вводя обозначение V1(x) = х 2 v(x), получим v(x) = х 2 V1(x) е Нл[0, 1], значит v1(x) е Н0Л (р; [0,1]), р = x1. Тогда согласно лемме 1 при 0 < Л < а и 1 < а < 1 имеем

(70+-° г - 2 У (х) = (і0+“оу0 (х) є НЛ+1-а (р; [0,1]) -

Далее, вводя обозначение

У2(х) = 17^- 2’ *у) (х) = ^ йг є Н1 [0,1]

и принимая во внимание условия 1 < а < 1 и в < 0, согласно лемме 3 получаем

(і--0АО-1у^ (х) = (і!:0в-^°-1у (х) є НЛ[0,1],

где Л3 = шт[1 - а, -в].

Подставляя выражения (7) во второе условие (2), с учётом формул (8) и (9) получим

А^-0 г- 2 у(г)) (х) + /пВ (I11:0’в-^ 0-2у(г )) (х) = 2я (х) - 2В в’ °-1т(г)і (х).

(12)

Если Vl(x) = x 2 v(u) е Н(Л (р; [0,1]), р(x) = x2, 0 < 1 - а < Л < 1, Л -1 + а < 1, 2 < Л+а, то на основании 1

равенства (7,1+ аv1) ^) = [Б 1+ аv1) (x) и леммы 2 имеем

Ю2:Оу0(x) є Н0А-1+°(р; [0,1])-Если же т(х) є НЛ [0,1], 0 < а - 2 < Лі ^ 1, в < тіп[0, а] = 0, то в силу леммы 3

72^0-1 т\ (х)с нАз[

т (х) є НЛз[0,1],

у

где Л3 = шт [1 - а + Л, -в]. Так как 0 < 1 - а < Л3 ^ 1, то на основании леммы 4

х1-0 1-0 іі-0 в’ ° ЧЇ = х1-0 f^0+-1’1-О’П А-0 в’ ° Ч є Н°-1+Аз[0,1].

Применяя к обеим частям (12) оператор Б 1+“ и учитывая (8), приходим к равенству

Ах - 2 у(х) + /Лв|ю 1-0 і2--0в-^ °-1у(г))(х) = 2 (Ю1-0 я (г)) (х) - 2в(в2:° Г-0' в’ °-1

т(г) (х)

(13)

или, согласно (Б0+ф) (x) = (70+“’(x), можно

записать

Ах - 2 у (х) + /Лв| I0О+-1’1-О’п I2:0’в-^ °-1у(г ))(х) = 2 (ю 1:° я (г)) (х) - 2В Ю1:° і1Г0 в’ °-1т(г))

т(г) (х)- (14)

Используя формулу [7]

в,-оф (г ^(х ) =

со8(па)ф(х) 8іп(па) (1 - х )°+в п

1

п-,

ф(г )йг

(1 - г )°+в(г - х)’

(15)

перепишем (14) в виде особого интегрального уравнения с ядром Коши:

А -/пВ со§(па)х 2(1 - х)° в 2

у(х )-

\/пВ $іп(па)х 2

п

/

у (г )йг

(1 - г) 2 °+в(г - х)

: 2х2

Ю 2-° я (г )) - в ю2:° ^

а-°т1 -°,в,0-1

т(г ) (х)

Произведя в (16) замены

ц(х) = х1 °(1 - х)° в 2у(х);

у2(х) = А - /пВ С08(по)х1 (1 - х)°-в-2, у2(х) = -/пВ 8іп(па)х2 (1 - х)°-в-2; / (х )=2х 2-°(1 - х )°-в-1 (Ю 2:° я (г)) -в(ю2+-° і^0 в’ ° 2т(г^(х)

получим характеристическое особое интегральное уравнение с ядром Коши [8]

(16)

(17)

^ ^ 72 (х) Ґ ц(г)йг 71 (х )^(х ) + ^^ I ——— = / (х)-

х

(18)

Таким образом, однозначная разрешимость исследуемой задачи сводится к вопросу разрешимости уравнения (18).

Для выяснения гладкости функций У1М, У2М, /(x) воспользуемся леммами 1-4.

В силу неравенства а - в - 2 > 0 функции у^) и у2^) дифференцируемы, а поскольку g^) е е НА2[0,1], 0 < 1 - а < Л2 ^ 1, то из леммы 4 следует

1-0 (ю2+-°в) (х) = х1-0 (C1’1-0’пя) (х)

Н

о- 1+А2

[0, 1]-

(19)

Тогда согласно (13) и (19) функция /М в (18) удовлетворяет условию

/(х) є НА4[0,1], Л4 = тіп

—, а — в —, а — 1 + Лз, а — 1 + Л2 2 И 2 2

Так как

22 Г = 71+ Г2 =0,

(20)

а

х

х

то уравнение (18) является уравнением нормального типа. Используя теорию сингулярных уравнений [5, 8, 9], выпишем единственное решение этого уравнения.

Составим функцию О(х):

G (x ) =

ri(x) - ir2(x) A - /nB cos(na)x2 (1 - x)a-e-2 + i/nB sin(na)x2 (1 - x)a-e--r-(x) +ir2(x) A - /nB cos(na)x2 (1 - x)a-e-- - i/nB sin(na)x2 (1 - x)a-e-2

A -/nBx 2(1 - x )a-e-2 е ~l na A - /nBx2 (1 - x)a-e-- eina

= ei 0(x)

где 0(х) =аrg[G(х)]. Тогда О(0) = 1, 0(0) = 0, О(1) = 1, 0(1) =0.

Будем искать решение интегрального уравнения (18) в весовом классе гельдеровских функций ЦЛ |х 1-а(1 -х)а-в-2;[0,1]|, неограниченных при х = 0 и ограниченных при х = 1. Тогда «0 = 1, п1 = 0 и индекс х уравнения (18) равен нулю:

X=

0(1)

2п

+ n0 + п2 -1 = 0.

1

Далее ^o=1 - no- 00=0 н-i = 02П- [0(1)1 2п - n1 = 0 и Z0 = exp 1 Г 0(t)dt 2п 1 t-x

Тогда уравнение (18) имеет единственное решение

ri(x)f(x) r2(x)Zo(x)

Mx) = ■

r(x)

nr(x)

1

/

f (t )dt Zo(t )(t - x)'

Произведя обратную замену у(х) = ха :(1 - х)2 а+в^(х), мы находим у(х).

Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема. Пусть действительные константы а и в удовлетворяют условию (3), функции т(х) и g(х) — условию (4). Тогда задача (2) для уравнения (1) при Ь = -1 имеет единственное решение, определяемое формулой решения задачи Коши (6), где у(х) = ха-1(1 -х)2~а+в^(х).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бицадзе, А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных [Текст] I А. В. Бицадзе. — М.: Наука, 1981. — 448 c.

2. Нахушев, А. М. Уравнения математической биологии [Текст] I А. М. Нахушев. — М.: Высш. шк., 1995. — 301 c.

3. Килбас, А. А. Нелокальная задача для гиперболического уравнения с дробными производными в краевом условии [Текст] I А. А. Килбас, О. А. Репин, М. Сайго I В сб.: Неклассич. уравнения мат. физики. — Новосибирск, 2002. —С. 88-95.

4. Saigo, M. A certain boundary value problem for the euler-poisson-darboux equation [Text] I M. Saigo II Math. Japan, 1979.—Vol. 24, No. 4. — P. 377-385.

5. Самко, С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения [Текст] I С. Г. Самко,

А. А. Килбас, О. И. Маричев. — Мн.: Наука и техника, 1987. — 688 c.

6. Saigo, M. Generalized fractional untegrals and derivatives in holder spaces [Text] I M. Saigo, A. A. Kilbas I Transform Methods and Special Functions, Sofia 94: Proc. of Intern. Workshop. — Singapore: Sci. Cult. Publ., 1995. — P. 282-293.

7. Srivastava, H. M. Multiplication of fractional calculus operators and boundary value problems involving the euler-

darboux equation [Text] I H. M. Srivastava, M. Saigo II J. Math. Anal. Appl., 1987. —Vol. 121 — P. 325-369.

8. Гахов, Ф.Д. Краевые задачи [Текст] I Ф.Д. Гахов. — М.: Наука, 1977. — 640 c.

9. Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения [Текст] I Н. И. Мусхелишвили. — М.: Наука, 1968. — 511 c.

Самарский государственный технический университет, г. Самара Поступила 05.08.2006

[email protected]