О задаче с операторами М. Сайго на характеристиках для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дифференциальные уравнения

УДК 517.956

0. А. Репин

О ЗАДАЧЕ С ОПЕРАТОРАМИ М. САЙГО НА ХАРАКТЕРИСТИКАХ

ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ВНУТРИ ОБЛАСТИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Для гиперболического уравнения Геллерстедта в области, ограниченной характеристиками этого уравнения и содержащей внутри линию вырождения, исследована нелокальная краевая задача. Аффиксы точек характеристик и след искомого решения на линии вырождения уравнения связаны линейной комбинацией обобщенных операторов дробного интегродифференцирования. Доказана однозначная разрешимость рассматриваемой задачи.

1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение

\yfUxx - и уу = 0, (1)

где I = т при у < 0 и I = п при у > 0 ; т , п — положительные постоянные в конечной области О, ограниченной характеристиками

т+2 т+2

АС : X-----2(-у)^ = 0, ВС : х +-------2(-у)^ = 1,

т + 2 т + 2

2 п+2 2 п+2

АС,: х---у^ = 0, ВС,: х +--------------у^ = 1

1 п + 2 1 п + 2

уравнения (1).

Пусть О + = О п (у > 0), О_ = О п (у < 0), J — интервал 0 < х < 1 прямой у = 0 , а 00(х) и 01(х) — аффиксы точек пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (х, 0) є J, с характеристиками АС и ВС1 соответственно; (/0+^ /) (х) и (/) (х) — операторы обобщенного дробного интегродифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса Г (а, Ь; с; х), введенные в [1] (см. также [2, с. 326-327]) и имеющие при действительных а, Р, " и 0 < х < 1 вид

-а-р х

х

г

Ґ А

уАх

а + Р,-г|; а;1 —

х

/(ґ)Аґ (а > 0),

(( V)(х ) =

—|(х - ґ )а-1 Г (а) 0

^ (•р-n• "-п/)(х) (а<0,п = [-а] + 1);

ґ - х л

(2)

Г(а)

ґ А

(ґ - х )а-1

а + Р,-г|; а;

1 - х

(1 - х )-а-Р 1

О

х , (/la-+n•Р-n• "-п/)(х) (а< 0, п = [-а] +1).

/(ґ)сіґ (а > 0),

(3)

Если а + Р = 0, то операторы (2)-(3) сводятся к дробным интегралам (/0+/) (х), (/“ /) (х) и производным (О0+/) (х), (О“ /) (х) Римана-Лиувилля [2, с. 43-44], [3, с. 13-16].

Для уравнения (1) изучим следующую краевую задачу.

ЗАДАЧА. Найти решение V(х, у) уравнения (1) из класса V(х, у) е С (Б )п С1 (Б +и 7 )п пС1 (и~ и 7 )п С2 (Б + и Б_), удовлетворяющее краевым условиям

А (/оа;6,ь"1"аи [00 (/)]) (х) + А2 (С3, ъ,3—1—V (Г, - 0)) (х) = Ф1( х),

в1 (/а^’ ъ1(~аи [01(/)])(х)+в2 (/а^+( Ь1,ь1-1-а1и у,+о))(х)=ф2( х)

и условию сопряжения

(4)

Ііт и у (х, у) = Ііт иу (х, у).

у®+0

у ®-0

(5)

т п

где 3 =------, В, =-------; А, 2, В, 2 — ненулевые действительные константы одного знака;

2т + 4 1 2п + 4 1,2 1,2

(6)

—3 < а < 1 -3, Ъ > 1;

-31 < а1 < 1 — 31, Ъ1 > 1; ф1(х) и ф2(х) — такие заданные функции, что

ф1(х)е Я1 (7), 0 < а +3<11 < 1;

ф2(х)е Я1 (7), 0 < а1 +31 <12 < 1.

Ниже на функции ф1( х) и ф2( х) будут наложены еще дополнительные условия.

Отметим, что истоком данной работы послужили результаты статей А. М. Нахушева [4] и С. К. Кумыковой, Ф. Б. Нахушевой [5].

2. Доказательство единственности решения задачи. Пусть у+(х) = Нш иу (х, у),

у®+0

х+(х) = V(х, + 0), у_(х) = Нш иу(х,у), т_(х) = V(х,—0).

у———0 7

Выписывая решения задачи Коши [6] для уравнения (1) соответственно в областях и Б+, найдем [7]

V [00(х)] = УхГ(3) (13+0’3-V (/)) (х) — У2Г(1 — 3) (I И3,23-1,3—V (Г)) (х), V [01( х )] = узГ(31) (1Э1.0.31-1Х+ (г)) (х) + у4 Г(1 — 31) (^М31-^^(г)) (х),

где

Г(2Р) 1 ( 4

71 = Рда, 72 = 2

\2Р

т + 2

7 =Г(2Рї) 7 = 1 ( 4

Г2^ 74 2

\2Р1

Уп + 2 У

Г(1 - 2Р) Г2(1 -Р) ’ Г(1 - 2Р1) Г2(1 -Р1)

Подставляя V [00(х)] и V [01(х)] соответственно в краевые условия (4), на основании формул композиций для операторов (2) и (з) [1]

(«м(10;5• “+чф)(<))(х)=(10“+т-3+5-^ф)(х) (Т>0),

(11“-3л(11,;5-“+чф)о))(х)=(1Г'-3+5,\)(*) (т> 0)

после несложных преобразований можно записать

(А1У1Г(3) + А2) (1^ ъ,3—1—а X— (Г)) (х) — Л1У2Щ — 3) (С1-3, Ъ+23—1,3—1—а V— (/)) (х) = фх( х),

(7)

(В^3Г(Р1) + В2 )(/( Ь1,Р1-1-а1 х+ (ґ))(х) + )4 Г(1 -Р1) (

а1 +1-Р1, Ь1+2Р1-1,Р1-1-,

1,Рі 1 а‘ У+(+ )(х) = ф2( х).

(8)

На обе части равенств (8) подействуем соответственно операторами /

Т-(а +РД-ь^ -1 '1- •

-(а+Р),-Ь,2Р-1 0+

и

В результате получим

- (х) = К* (/ °+2 V (ґ)) (х) + gl (х),

+ (х) = К2 ((ґ))(х) + 82(х) ;

(10)

где

* = А1У2 Г(1 -Р)

К =

й(х)= Я2(х)=

А1У1ГСР) + А2 1

Кт =-

= В1У4 Г(1 -Р1) ;

А1У1Г(Р) + А2 1

В1У3Г(Р1) + В2

ВЦ3ГСР1) + В2

(/ 0-+а+РХ-Ь,2Р-1ф1(ґ)) (х), ( ( ) )( х).

(11)

Подействуем на обе части равенства (9) оператором О^+2Р, на обе части равенства (10) оператором О^-2^1. Учитывая соотношения О0+/0*+ / = / (а>0), о—/— / = / (а>0) и полагая т_ (х) = х+ (х) = т( х), будем иметь

V- (х)=Л |"( оо+2Рх(ґ ))(х) - ( о1+2Р Я1 (ґ)) (х)],

К1

Мх ) = Л" [( х(ґ ))(х )-( О°^2Р1 я 2 (ґ ))(х )] .

(12)

(13)

В силу принципа экстремума для гиперболических уравнений [8] положительный максимум (отрицательный минимум) функции V (х, у) достигается в областях и Б+ в точке

(х0,0)е 7 . Пользуясь тем, что дробные производные в точке положительного максимума строго положительны [3, с. 123] (в точке отрицательного минимума строго отрицательны), при ^ (х) = g2 (х)° 0 из (12) и (13) получаем неравенства п_ (х0) > 0 (п_ (х0) < 0), (х0) < 0

((х0) > 0). Эти неравенства противоречат условию сопряжения (5).

Полученное противоречие доказывает единственность решения задачи для уравнения (1).

3. Доказательство существования решения задачи. Исключая из (9) и (10) функции х— (х) и Х+ (х), учитывая условие сопряжения (5), получим

К* ( !1+2Чо ) (х) — к2 (11^231 п(0) (х) = g2( х) — й( х)

где п_ (х) = п+(х) °п(х).

Будем считать, что т > п (3 > 31).

1_23

Применив к обеим частям равенства (14) оператор Д)+

к*п( х) — к*2 Б^23 () (х) = / (х)

где

/(х) = Б1+23[g2(х) — gl(х)] .

Исследуем вопрос разрешимости интегрального уравнения (15). Преобразуем левую часть (15):

(14)

имеем

(15)

(16)

J

(х) = о1+2Р (/1^2Рп(ґ)) (х) = С-/Ц (/1--2Р1п(ґ)) (х)

1

1

С

Г(2Р) Г(1 - 2Р1) Сх

1 1 с

Г(2Р) Г(1 - 2Р1) Сх

] (х - ґ )2Р-1 Сґ ] (X-ґ )-2Р1 п(Х)С х .0 ґ

х х

| п(Х)С (х - ґ )2Р-1(Х - ґ )-2Р1 Сґ + |п(Х)С (х - ґ )2Р-1 (X - ґ )-2 Сґ

Введем в рассмотрение функцию

А Х-5 Л2М м + 1 _ Л2Р- (-,Г2Р.

| п(Х)с!Xj(x-I) 1 (X-1) 2 А + | п(Х)с!Х§(х-1) 1 (X-t) 1

о

о

х+5

о

откуда

Jl(х)=

1

Г(2Р)Г(1 - 2Р1) 5®о

11т Jll^i (х) =

1

Г(2Р)Г(1 - 2р1)

х-5

х11т -!-[у(х)-у(х-5)] | (х-()2Р 1 (х-5-() 2РР А

5®0

-[у(х + 5)-у(х)^/(х-/) 1 (х + 5-/) 2ь1 А +

+у(х) |(х - ()2Р 1 (х + 5-() 2Р А - | (х -()2Р 1 (х -5- () 2РР А

х-5

Г2^1

х-5

+1 п(х)с х А- 1(х -1 )2Р 1 х-1)2Р1 А +1 п(х)с х Ах 1(х -1 )2Р 1 х-^

1

а

\2Р-1/£ \-2Р1

Ах

с!х'

А!

(17)

о о х+5 0

По стандартной схеме вычислений нетрудно показать, что

х-5

•712(х) = I (х-1) \х-5-1)2Р1 А = х2Р 1 (х-5)12Р1

о 1 - 2р1

х 1

J1з(х)= 1(х-1)2Р 1 (х + 5-1) 2Р1 А = — х2р(х + 5) 2Р1 F

о 2Р

А поэтому

51т [-(у( х )-у( х -5))] J12 (х) = о, 5™! [п( х + 5) -V (х)] J13 (х) = о.

5™ П( х)[-Аз ( х)- ■112 ( х)] = о-

Далее установим свойства ядра К1 (х, X) в (17):

2Р-2Р1 А

F

1,1 - 2Р;2 - 2Р1;

1,2РХ;1 + 2Р;

х + 5

х-5

1 х У 2

К1 (x, х)=ах 1 (х -1 )2Р-1 ( -1 )-2Р1 А

о 2Р Ах

Воспользуемся последовательно формулами [9]:

F

1,2Р;1 + 2Р;-

А2с 1F(а,Ь;с;г) = (с - 1)с 2F(а,Ь;с -1;г); Аг

F (а, Ь; с; 7) = (1 - 7)с а F (с - а, с - Ь; с; 7). Получим окончательный вид для К1 (х, X):

К (х, Х) =

^Х \1-2Р

х

(Х-х)

2Р-2Р1-1

F

2Р- 1,2Р- 2Р1;2Р;-

Аналогично исследуем поведение ядра К2 (х,X) в (17):

К (х П= А Ь х Л2Р-^ Х Л-2Р1

X2Р-2Рl А

1 - 2Р1 Ах

Г X \1-2Р Г ^ F

X

1 - 2Р,1;2 - 2Р1

х

Опираясь на формулу [9]

АхаГ (а, Ь; с; г) = аха 1F (а +1, Ь; с; г) Аг

и вторую формулу из (18), имеем

(18)

о

о

K2 (x, x) = [-1 '(x -X)Ml-1 F

1 - 2bi

2b-2b1;1 - 2b1;2 - 20^

x

Из приведенных вычислений видно, что ядра K1 (^Х) и K2 ( x, X) бесконечно дифференцируемы в квадрате 0 < x, X< 1 при X^ x и допускают следующие оценки при b > Р1:

K1 (x, X) = о (1)(x-X)2b-2|5'-\ K2 (x, x)= O (1)(X-x )2Ь"2Ь1-1.

где O (1) означает ограниченную в J X J величину.

Исследуем гладкость правой части f (x) уравнения (15). Для этого нам потребуется лемма 1 из работы [10].

ЛЕММА 1. Пусть 0 <-a<1< 1 и b< min [0,1 + h] • Если j( x)e ^1 [0,1], то (/0+b’hj)(x), (/“’b’hj)(x)e Hmin[1+a-b][0,1].

Так как j1 (x)e H11 (J), 0< a + b<11 < 1, b > 1, то на основании леммы 1 имеем, что g1 (x)e Hl1+a+b( J).

Далее, так как j2 (x)e H1 (J), 0 < a1 +b1 <12 < 1, b1 > 1, то в силу леммы 1 g2 (x)e e H1 +a1+b1 (J). А тогда g(x) = [g2 (x)- g1 (x)]e HX° (J), где 10 = min(11 + a +b, 12 + a1 +b1).

Будем считать, что известные функции Ф1 (x) и Ф2 (x) таковы, что функция g (x) = 0 при x = 0. Тогда f (x), определяемая формулой (16), может быть представлена следующим образом:

x

f (x) = J(x -1)2b-1 g'(t)dt.

0

Из установленных свойств ядер K1 (x, X), K2 (x, X) и правой части f (x) заключаем, что при m >n (Р>Р1) уравнение (15) есть уравнение Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого в требуемом классе следует из единственности решения задачи.

Исследование случая m < n не представляет трудности и проводится аналогично случаю m > n .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Saigo M. A certain boundary value problem for the Euler-Poisson-Darboux equation // Math. Japan, 1979. — Vol. 24, No. 4. — P. 377-385.

2. Самко С• Г., Килбас А. А., Маричев О. И.• Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск, 1987. — 688 с.

3. Нахушев А. М. Элементы дробного исчисления и их применение. — Нальчик, 2000. — 299 с.

4. Нахушев А. М. К теории вырождающихся гиперболических уравнений // Сообщения АН Груз. ССР, 1975. — Т. 77, № 3. — С. 545-548.

5. Кумыкова С. К., Нахушева Ф. Б. Дифференц. уравнения, 1978. — Т. 14, № 1. — С. 50-65.

6. БицадзеА. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. — М.: Наука, 1981. — 448 с.

7. Репин О. А. Нелокальная краевая задача для параболо-гиперболического уравнения с характеристической линией изменения типа // Дифференц. уравнения, 1992. — Т. 23, № 1. — С. 173-176.

8. Agmon S., Nirenberg L., Protter M. N. A maximum principle for a class of hyperbolic equation and applications to mixed elliptic-hyperbolic type // Communs Pure and Appl. Math., 1953. — Vol. 4. — P. 455-470.

9. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. В 3-х т. T. 1: Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. — М.: Наука, 1973. — 296 с.

10. Saigo M., Kilbas A. A. Generalized fractional integrals and derivatives in Holder spaces / Transform Methods and Special Functions. Sofia-94. — Singapore, 1995. — P. 282-293.

Поступила 26.08.2006г.