Краевая задача для уравнения Геллерстедта с операторами М. Сайго на характеристиках Текст научной статьи по специальности «Математика»

С учетом формул (5) и (12) имеем к*( 5) = Г(2Р -1) Г

-Р +1 -5, 2-а-Р-5 -а +1 - 5, 1 - 5

/ *(5 + Р).

Теперь рассмотрим выражения к2(х) = —к1(х) и £16(х) = х1 ак2(х).

dx

Согласно (4) и (3) £16*( 5) = (а- 5 )Г(2Р-1) Г

/ *( 5-а + Р).

С учетом формулы (2) имеем £16 (5) = Г(2Р-1) Г Яе(2Р -1) > 0, Яе 5 < 1 - Яе(2Р -1),1 - Яе(а + 2Р- 2).

а-Р +1 -5, 2-Р-5 1 - 5, а +1 - 5

а-Р +1 -5, 2-Р-5 1 -5, а-5

/ *( 5-а + Р),

7

170. Пусть g1•7(х) = х9 — х-п [(х - і)~х{мк(і)р

—х *

0

т, п; / ;1----

х

—і;

gl7* (5) = Г(/) Г

2 - / + п -9- 5, 2 - т -9- 5 2 - т + п -9- 5, 1 -9- 5 Яе / > 0, Яе 5 < 1 - Яе /, 1 - Яе(т + п).

к*(5 + 9-1 -п + / + м),

180. Пусть Й8(х) = х1+Р-у-5|(х-?)9+У-а-Р-1 (а+е-1 /(()р

8-Р, у-Р, 5 + у-а-Р;1 —

х

—і.

а-5, Р-5 у-5, 5-5

/*{5 + е), Яе(5 + у-а-Р) > 0,

Согласно (5) и (12) имеем g18*(5) = Г(5 + у-а-Р) Г Яе 5 < 1 + Яе(а-у), 1 + Яе(а-5).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Маричев О. И. Метод вычисления интегралов от специальных функций. — Минск: Наука и техника, 1978. —310 с.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 1. — М.: Наука, 1969. — 343с.

Поступила 11.09.2006 г.

УДК 517.9 И. А. Кузнецова

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЛЕРСТЕДТА С ОПЕРАТОРАМИ М. САЙГО НА ХАРАКТЕРИСТИКАХ

Для одного гиперболического уравнения изучена нелокальная задача, краевые условия которой содержат обобщенные операторы в смысле М. Сайго. С помощью этих операторов устанавливается связь между аффиксами точек, расположенных на характеристиках, и нормальной производной. Доказана однозначная разрешимость рассматриваемой задачи.

1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение

\yfUxx - ^уу = 0, (1)

где / = m при у < 0 и / = п при у > 0, m, п — положительные константы в конечной области D, ограниченной характеристиками уравнения (1):

т+2 т+2

АС: х------ (-у)^ = 0, ВС: х +------------(-у)^ = 1;

т + 2 т + 2

2 п+2 2 п+2

АС 1 : х---у^ = 0, ВС 1 : х +---------------у^ = 1.

1 п + 2 1 п + 2

Пусть D + =DП(у > 0), D =DП(у < 0), J — интервал прямой у = 0. 00(х) и 01(х) — аффиксы точек пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (х, 0) є J, с характеристиками АС и ВС 1 соответственно. Примем следующие обозначения

Г (а)

](х - і)а-1

р

а + Р, -г|; а;1 —

ф(і)—і, а> 0,0 < х < 1,

(2)

а< 0,0< х< 1,п = [-а] +1;

(1 - х)

-а-Р 1

Г (а) ґ —

—х

| (і - х)а-1 р

а + Р, -г|; а;

і - х 1 - х

ф)( х), а< 0,

ф(і)—і, а> 0,0 < х < 1,

0 < х < 1, п = [-а] +1

(3)

— обобщённые дробные операторы с гипергеометрической функцией Гаусса Р(а,Ь;е;1), введенные М. Сайго [1], которые при В = —а обращаются в операторы Римана-Лиувилля [2]

((-“’>)(X) = ((“ф)(X) = |(X — 0а—11Ф(0^, а> 0, 0< X< 1;

1 (а) о

(А>)(X) = ((+ф)(X) = ^^^ (О)X), а> 0, 0 < х < 1, п = [а] +1;

, 1

((—аф)(X) = ({—ф)(X) =----------1((— х)а—1 ф(0^, а> 0, 0< X< 1;

X

Лп

|/1п—аф) (X), а> 0, 0 < X < 1, п = [а] +1.

(адУ)( х) = ((У)( х) =

Г (а)' —

—х

Здесь р(а,Ь;с;г) = V (а)п(Ь)»7 (|г1 < 1) — гипергеометрическая функция Гаусса [3].

(с)„п!

п=0

Для уравнения (1) рассмотрим следующую краевую задачу.

ЗАДАЧА. Найти решение U(х,y) уравнения (1) из класса и (X, у) е С (Б) п С1(Б +и У) п пС^Б_ и У) п С 2( Б + и Б~), удовлетворяющее краевым условиям:

А (10^—1—и[00(/)])(X) + А2 (/а+—Ь+1,ь+2Ь—1,ь—а—1иу (Г, —0))(X) = фх(X),

В (^^-^и[01(/)])(X) + В2 (1а——Р1+1,Ь1+2Ь1—1,ь!—«!—!иу (/, +0))(X) = ф2(X) (4)

и условию сопряжения

Нш иу (X, у) = Нш иу (X, у), (5)

у®+0 у®—0

т п

где В =---------, В, =-, А, > 0, А2 < 0, В, 2 — ненулевые действительные константы

2т + 4 1 2п + 4 1 2 1,2

одного знака;

—В< а < 1 —В , Ь > 1 , —В1 < а1 < 1 — В1, Ь1 > 1; (6)

ф1(X) и ф2(X) — такие заданные функции, что

ф1( X) е Я1‘(У), 0 < а + В<11 < 1; ф2( X) е Я1г(7), 0 < а1 +В1 <12 < 1.

2. Доказательство единственности решения задачи. Пусть у+(X) = Нш и (X, у), т+(X) =

у®+0

= и(X, +0), у— (X) = Нш иу (X, у), т_ (X) = и(X, —0). Используя решения задачи Коши [4] для

у®—0 У

уравнения (1) в областях Б~ и Б+ , найдем [5]

U[0o(x)j = ЪГ(b)(/Pf13-1!-(t))(X) -g2Г(1 -b)(Ij+b,2b-1,b-1V-(t))(X) ,

U[01(X)] = g3Г(bi)(lf_10’Pl"4+ (t))(X) + g4Г(1 -bi)(lj--bi,2bi-1,bi-1V+ (t))(X) ,

/

4

^2b Г (1 - 2b) g_ Г (2b1) g_ 1 ( 4 f*1 Г (1 - 2b1)

2(i R)’ g3 _ Г2(R )’ g4 _

г _ Г (2b) _ 1

Где Ъ Г2(b) ’ Ъ 2{m + 2) Tz(1 -b)^J ^(bi) 2{n + 2) Г2(1 -bi)

Подставим U[0o(x)] и U[01(x)] в краевые условия (4) и применим следующие свойства дробных операторов [1]:

(«м (^-“Vxo) ( x) _ (C7'p+5-\) ( x) (g > o),

(/.“-•M(l£to><0))<x) _(/r.*g№j)(x) (g> 0). (7)

После преобразований имеем

4^Г (b) (CbAb-1-a!- (t) ) (X) - ( Г(1 -b) - A ) ()+1-b,b+2b-1,b-1-aV- (t) ) (X) _ jj(X) , (8)

В^зГ(b1)(lj-+bj,bj,bj-1-aj t+ (t))(x) + (4Г(1 -b1) + B2)(i1-1+1-b1,b1 +2P1-1,b1-1-a1 v+(t))(X) _ <P2(X). (9)

Подействуем на обе части равенств (8) и (9) операторами /-+“+b),-b,2b-i и Ij-a +bi),-bi,2bi -1. В результате получим

!- (X) _ K1 (/j+2V (t) ) (X) + gj(X) , (10)

t+ (X) _ K2 (I1--231 V+(t) ) (X) + g2(X) , (11)

K _ Ajg2Г(1 -b)- A2 K _-Bjg4Г(1 -b) + B2 ,

1 ЛЛГ(Ь) ’ 2 Bjg3 Г (bi) ’

^ _ ЛтТ® (1 ^ +b'•-‘•2b-iФi<') ) g2(x) - (^“^‘'^(О) (X). (12)

1-2b 1 2b

Применим к обеим частям равенств (10) и (11) операторы Do+ и Dj- 1 соответственно и воспользуемся свойствами

D“ /0“+Ф _ j (а> 0), Dj-lj-j _j (а > 0).

Теперь положим !- (х) _ !+ (х) _ t(х) и выпишем следующие соотношения:

V-(х) _ K_ {(Dj+2bx(t)) (х) - (Dj+2b gj(t)) (х)}, (13)

v+ (X) _ K-{(Dj--2bi!(t)) (x) -(Dj-231 g2(t)) (X)} . (14)

Из принципа экстремума гиперболических уравнений [6] следует, что положительный максимум (отрицательный минимум) функции U(x,y) достигается в областях D - и D + в точке (Xo,0) е J . Заметим далее, что дробные производные в точке положительного максимума строго положительны [7] (в точке отрицательного минимума строго отрицательны). Тогда из соотношений (13) и (14) при g1(x) _ g2(х) ° 0 следует, что V-(х0) > 0 (v-(х0) < 0), а V+(х0) < 0 (V+(Xo) > 0), что противоречит условию сопряжения (5). Это в свою очередь доказывает единственность решения задачи для уравнения (1).

3. Доказательство существования решения задачи. Исключим из соотношений (10) и (11) функции !-(х) и !+ (х), примем во внимание условие сопряжения (5) и положим v(х) ° V1(х) _ V2(х). Тогда приходим к равенству

Kj (/j+2bV(t)) (X) - K2 (lj--2blV(t)) (X) _ g2(x) - gj(X). (15)

Рассмотрим случай, когда m > n (b> bi). К обеим частям равенства (15) применим опера-1__2Ь

тор D0+ , после чего получим интегральное уравнение

KjV( х) - K2 (Dj+2b (Ij--2bjV(t)) (х)) _ f ( x ), (16)

где

/ (X) = В10+2Р [ g2( х) - й( х)].

Преобразуем левую часть интегрального уравнения (16):

Jl{ X) = д1+2р (/1--2Р1 п(г)) (X) = /02Ь-1 (/!--2Р1 п(г)) (X) = ^ (/02+Р (/!--2Р1 п(г)) ( X)) =

I(X - г)2Р-1 л| (X- г)-2Р1 п©сX

X ) =

Г (2Р)Г (1 - 2Р1) (IX Сменим порядок интегрирования в интеграле, тогда 1с

Г (2Р)Г (1 - 2Р1) (IX

X

о о

|у(Х)С(X - г)-(1-2Р) (X - г)-2р1 сг+

1 X

+|у(Х)С(X - г)-(1-2Р) (X - г)-2р1 сг

X 0

Рассмотрим функцию

x-5 X 1 X

I у(^)сXI(X-о213-1^-г)-2р1 сг + I у(^)с(X-^)рр-1(X-0-2Рll

0 0 X+5 0

Заметим, что J1(X) = 1—Нш J15 (X),

^15 ( x)= С~ с

Г (2Р)Г (1 - 2Р1) 5®0

X-5

X-5

J15(X) = у(X-5) | (X-г)2Р 1(X-5-г) 2рсг + | |(X-г)2Р 1(X-г) 2рсг

dXi

X+5

-п(X + 5) | (X-г)2р 1(x + 5-г) 2Р1 сг + | п^)сX-с-1(X-г)2р ^-0 2Р1 сг. (18)

X+5

Далее преобразуем функцию J15 (X):

X-5

Нш J15(X) = Нш <-[(X)-п^-5)] [ (X-г)2р 1(x-5-г) 2Р1 сг +

5®0 5®0 I *

5®0

x-X

+ п^) | (X-г)2р 1(X-5-г) 2рсг- [v(x + 5)-п^)]|(X-г)2р 1(x + 5-г) 2Р1 сг-

X-5

-п(X) |(X - г)2Р 1(X + 5-г) 2Р1 сг + | п©сX—|(X - г)2Р 1(X-^) 2Р1 сг +

+ I сI(X-t)2Р-1(X-t)-2Рlсг\.

J

X+5

Вычислим интегралы в равенстве (19):

11( X) = I (X - г )2Р-1( X -5-г )-2Р1 л = I x2р~1

1 -

dx

X -5

(19)

\2Р-1

(X - 5)-2Р1 (1 - z)~2рl (X - 5)с2 =

\2Р-1

= x2Р-1 (X-8)1-2Р. 1(1 - 2)-2р (1 -^Г= x2Р-1 (X-8)^ 1(1)1(1-211) х

0 I x 0 Г(2 - ^

ХР

1,1 - 2Р;2 - 2Р1;

x-5^ = x2Р-1 (X-5)1-2р1 —'

1 - 2р1

1,1 - 2Р;2 - 2Р1;

X-5

Так как Р(1,1 -2Р;2-2Р1;1) = А ^Р| , то

2Р-2Р^- 5®Ш0 -5)Я J11(X) ■ 0.

Аналогично вычислим

J

12М = |( X - г )2Р 1( X + 5-г) 2Р1 А = IX2Р 1(1 - 2 )2р 1( X + 5) 2Р1

V

X + 5

xdz =

0

0

0

X

0

0

X

0

0

0

0

0

0

= X2Р (X + 5)-2р1 I(1 - 2)2Р-1

, X V2 1--------2

V

X + 5

с2 . xPb (X + 5)-2Р1 Г(1) Г(2Р) х Г(1 + 2Р)

Х РI 1,2Р1;1 + 2Р;

X + 5

= X213 (X + 5)-2р1 — Р 1 ' 2Р

-2Р1

1

1,2Р1;1 + 2Р;

X + 5

Так как Р (1,2р1;1 + 2р;1) = Р

Р-Р1 5®0

то Нш [п(X + 5)-п(X)] J12(X) = 0.

Далее,

X-5

J

13( X) = I (X - г )2Р 1( X-5-г) 2Р1 сг -|(x - г)2Р 1(x + 5-г) 2Р1 сг-

x2р-1( X -5)1-2р1 1 - 2Р1

Р

1,1 - 2Р;2 - 2Р1;

X-5

X 2Р (X + 5)-2р1

2Р

Р

1,2Р1;1 + 2Р;

X + 5

С учетом вышеприведенных значений функции Гаусса имеем Нш п(X) Jlз(X) = 0.

5®0

Теперь вычислим два последних слагаемых в равенстве (19). Пусть

1 Г % Л2Р-1

К,( X, X)=с-1 (X -,<)-2р1 л=с. I X2»

_с_

dx

X2р-lxl-2рl I (1 - 2 )-2р1 I 1 А.

0 V x

Х РI 1 - 2р,1;2 - 2Р1; ^

X

1 - — 2 V x У

\2Р-1

X-2Рl(1 - 2 )-2р Xdz =

с2

1с

с_

dx

x2Р-1X1-2Рl Г(1) Г(1 - 2Р1) х Г(2 - 2Р1)

Г % Л1-2Р Г

2Р-2Р1

X ^

1 - 2р,1;2 - 2Р1;—

X

1 - 2Р1 dx

Для дальнейших преобразований воспользуемся формулами дифференцирования и авто

трансформирования [3]:

с_ с2

Р(а, Ъ; с; 2) =(1 - 2)с~аР (с - а, с - Ъ; с; 2).

ё 2аР (а, Ъ; с; 2) J = а2а 1Р (а +1, Ъ; с; 2);

П°лучим к1(x, X) = 1 1 x2Р 2Р1 (1- 2р)

1 2р1

.XV X

1 - 2р x1-2Рl X2Р-2

1 - 2Р1

1

,

Р

= - 1 - 2Р 1 - 2Р1

2 - 2р,1;2 - 2Р1;—

X

\

{ ^2Р-2Р1-1 { X Л

2Р-2р1,1 - 2Р1;2 - 2Р1;—

(X -X)

/ & Л1-2Р1 /

2Р-2Р1 -1 р

^ 0

2Р-2р1,1 - 2Р1;2 - 2Р1; ^

X

Произведем те же действия с функцией К2 (X, X) :

к2(X, X) = — I (X - г^^-г)-2р1 сг=— | x2Р-1(l - 2)2Р-1 X-2рl

dx 3

Г Л-2Р1

1-----2

X

xdz =

V ■'У

_с_

dx

X2рX-2р1 I (1 - 2)2Р-1

/ Л-2Р1

1 X

. X2,

V ^ У

с2

_с_

dx

X2РX-2Рl Г(1) Г(2Р) Р Г(1 + 2Р)

1,2Р1;1+2Р; X x

2р

X2Р-2Рl

dx

с

2Р

X

X

Р

1,2Р1;1 + 2Р4

Теперь применим формулу дифференцирования [3]:

с ё2с-1Р(а,Ъ;с; 2)J = (с -1)2с-2Р(а,Ъ;с -1; 2). Тогда функция К2( X, X) примет вид

0

X

0

0

0

0

K2( X, X)=2jpX2b-2bj2b

F

1,2b1;2b;|

1 = x-2pj X 2b-1F

1,2b1;2b4

= x-2bi X 23-1

r \2b-2bi-1 r

1 - Xл

F

2b- 1,2b- 2bi;2b;T f % V-2b

X

(X- X)

2b-2b1 -1

F

2b- i,2b- 2b1;2b;y

Произведенные вычисления дают основания утверждать, что функции К^ X, X) и К2( X, X) бесконечно дифференцируемы в квадрате 0 < X, 1 при условии X^ X и допускают оценки

К^, X) = 0(1)^-X)2Р-2Рl-1, р>р1;

К2( X, X) = 0(1)^-x)2Р-2Рl-1, р>р1,

где 0(1) является ограниченной в квадрате 0 < X, величиной. Теперь исследуем глад-

кость правой части уравнения (16). Приведем лемму 1 из работы [8].

ЛЕММА 1. Пусть 0<-а<1< 1 и Р< шт[0,1 + ^] • Если ф(X)е Н1 [0,1], то (/а+Р’ф)(X),

(Ij-Phj) (X)

е H

min[1+a,-p]

[o,i].

По условию задачи ф1(X)е Н 1 ^), 0< а + Р<11 < 1, Ъ > 1, следовательно, согласно лемме 1 g1(X) е Н 11-а-Р (J). В свою очередь, если ф2(X) е Н1 ^), 0 < а1 + Р1 <12 < 1, Ъ1 > 1, то из леммы 1 вытекает, что g2(X)е Н1 ~а1-Р1^). Стало быть, функция g(X) = (g2(X) -g1(X))е

е НХ<0^), где 10 = шт(1 - а-р, 12 - а1 -Р1).

Положим, что функции ф1(X) и ф1(X) таковы, что g (X) = 0 при X = 0. Тогда правая часть интегрального уравнения (16) может быть представлена так:

f (х) _ J(х -1)2b 1 g'(t)dt.

Исследование свойств функций Kj(X, X) , K2(X, X) и f (х) приводит к выводу о том, что при m >n (b>bi) уравнение (16) является уравнением Фредгольма второго рода, безусловная

разрешимость которого в заданном классе следует из единственности решения задачи. Исследование в случае m < n проводится аналогичным образом.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric functions// Math. Rep. Kyushu Univ., 1978. — Vol. 11, No 2. — P. 135-143.

2. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. В 3-х т. T. 1: Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. — М.: Наука, 1973. — 296 с.

4. БицадзеА. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. — М.: Наука, 1981. — 448 с.

5. Репин О. А. Нелокальная краевая задача для параболо-гиперболического уравнения с характеристической линией изменения типа // Дифференц. уравнения, 1992. — Т. 23, № 1. — С. 173-176.

6. Agmon S., NirenbergL., ProtterM. A maximum principle for a class of hyperbolic equation and applications to mixed elliptic-hyperbolic type // Communs Pure and Appl. Math., 1953. — Vol. 4. — P. 455-470.

7. Нахушев А. М. К теории вырождающихся гиперболических уравнений // Сообщения АН Груз. ССР, 1975. —

Т. 77, № 3. — С. 545-548.

8. Saigo M., Kilbas A. A. Generalized fractional integrals and derivatives in Holder spaces / Transform Methods and Special Functions. Sofia-94. — Singapore, 1995. — P. 282-293.

Поступила 19.09.2006 г.

0