О разрешимости краевой задачи для уравнения Геллерстедта Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

О РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЛЕРСТЕДТА1

© 2008 И.А. Кузнецова2

В статье рассматривается нелокальная задача для уравнения смешанного типа с краевыми условиями, содержащими операторы дробного интегро-дифференцирования. Доказаны существование и единственность решения.

Ключевые слова: нелокальная задача, обобщенные операторы дробного интегро-дифференцирования, сингулярное интегральное уравнение.

1. Постановка задачи

Рассмотрим уравнение

sgny\y\muxx + Uyy = 0, m > 0 (1.1)

в области D, ограниченной гладкой кривой Г с концами A(0,0) и B(1,0), лежащей в полуплоскости y > 0, и характеристиками AC и BC в полуплоскости y ^ 0:

2 m+2 „ 2 m+2

АС : х------г(-у)— =0, ВС.Х+----------т(-у)— = 1.

m + 2 m + 2

Пусть Di = D P|(y > 0) — эллиптическая часть, D2 = D P|(y < 0) — гиперболическая часть смешанной области D, J — интервал 0 < x < 1 прямой y = = 0, 00(x) — точка пересечения характеристике уравнения (1.1), выходящих из точек х є (0,1), с характеристикой АС,

Примем следующие обозначения: HX[0,1] (0 < X ^ 1) — пространство функций, удовлетворяющих на отрезке [0,1] условию Гельдера фиксированного порядка X [1], (/0+в’Л/) (x) —обобщенный оператор дробного инте-

1 Представлена доктором физико-математических наук, профессором О.А. Репиным.

2Кузнецова Ирина Анатольевна, кафедра высшей математики Самарского государственного архитектурно-строительного университета, 443001, Россия, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 194.

гро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса [2]

- ^ (х - О“'1/7 + |3, -г|; а; 1-(а > 0),

о

£) (1Цп’^-п/) (х) (а < 0, п = [-а] + 1).

(С^/) (X)

Для исследования гладкости функций, входящих в интегральные уравнения, нам понадобятся леммы из работы [2].

Лемма 1.1: Пусть 0 < -а < X ^ 1 и в < шт[0, п + 1]. Если ф(х) е Н}'[0,1], то (/0+%) (X) е нтп[Х+а’-в][0,1].

Лемма 1.2: Пусть 0 < а < X < 1 и X - а < 1, р(х) = х*1, 0 ^ ^ < X - а + 1.

Если ф(х) е Нх(р; [0,1]), то ^+ ф) (х) е НХ-а(р; [0,1]).

Задача 1.1: Найти функцию и(х, у) со свойствами:

1) и(х,у) е C(D) П C1(D) П C2(D 1 и П2) — решение уравнения (1.1);

2) и(х, у) удовлетворяет краевым условиям и(х, у)|г = ф(х, у), (х, у) е Г,

А (/0а:в1,в1 +2в-1и [00(0]) (х) + В (Св+1,в1 +2в-1,в1 +в-1 Ыу(г, 0)) (х) = у(х) Ух е J (1.2)

и условию сопряжения иу(х, -0) = иу(х, +0) Ух е J, т

В =---------, - В < а < 1 - е, Вх > 0, 61 > тах[0, а + В1 + 26], е > 0, (1.3)

2(т + 2)

А и В — ненулевые константы разных знаков, ф(х, у) и у(х) —такие заданные

функции, что ф(х,у) е С(0,1), у(х) е Нх[0,1], а + р1 < X ^ 1.

2. Единственность решения

Известно, что в области D2 решение уравнения (1.1) с начальными данными

Иш и(1, п) = т(1),

п-1^0

/ т + 2\п 2в /ди ди \

ч1Прг) (зГ^И2®'

2 т+2 2 т+2 г ,

где § = х-------(-у) 2 , Г| = ------(-у) 2 , имеет вид 3

т + 2 т + 2

п п

л- ч Г (л - ЧУ~2Ы^ ^ Г у2(0 /п 1 \

и{Ьг\) = уI ------г^---------——77^? - у2 ---г —Ж, (2.1)

Л (п - О1 в(г - 1)1 в ^ (п - 0в(г - 1)п

1 1

_ Г(2|3) _ 1/4 \2[3 Г(1 - 2(3)

71 ” Г2(р)’ 72 ” 2 \ш + 2/ Г2(1 -Р)'

Из равенства (2.1) следует

X X

и [0о(х)1 = VIх1-2р I (в-1(х - 0р-1т(г)Л - У2 I (~в(х - гуру2(г)Л =

(2.2)

= У1Г(|3) (X) - У2Г(10 - в) (70-в,2в-1,Р-1 ^(^ (X).

Подставим (2.2) в краевое условие (1.2) и, преобразовав его с учетом свойств операторов интегро-дифференцирования, получим

Ау1Гф) (/0“++р’р1’р1+р-1т(г)) (х)+

+ [Б - ЛУ2Г(1 - р)] (/0“;в+1’в1 +2р-1р1 +р-Ч(г)) (х) = ¥(х). 2.3

Из равенства (2.3) следует соотношение между функциями т(х) и У2(х) для области D2

Ау2Г(1 - |3) - В { 1—2(3 ,, Л,

Т(Х) = Ау1Г(Р) ^ У2(0)(Х)+

----1 (/-(а+Р),-Рь«+Р1+2р-1 ( Л ( }

Ау 1Г(|3) ' 0+

(2.4)

откуда

, Л Ау1Г(Р) / гр-1 ч, ^х> = л,„гп - т - « ('«. т(,))(х)+

ЛУ2Г(1 - р) - Б

+------------------- (/-(“-Р+1)'-(р1+2Р-1)'“+р1¥(г)'\ (х).

В - Ау2Г(1 - Р) ' чу;) у;

(2.5)

У2<*>=^ГпЛ,_ЙК"Л(0)(Х). (2.6)

Сформулируем принцип экстремума для задачи 1.1.

Лемма 2.1: Пусть у(х) = 0. Тогда решение и(х,у) задачи 1.1 для уравнения (1.1) положительный максимум (отрицательный минимум) в области Dl принимает на кривой Г.

Доказательство: При у(х) = 0

¿У1Г(Р) / ^1-гр^

Ау2Г(1 - р) - В

Функция и(х, у) в области Dl не может достигать экстремума. Предположим, что положительный максимум в области Dl достигается в точке Р(хо,0), х0 е 1. Учитывая, что дробные производные ^¿-2р^ (х) в точке положительного максимума строго положительны (в точке отрицательного минимума строго отрицательны) [4], при выполнении условия АБ < 0 из равенства (2.5) получаем, что V2(xо) > 0 . Последнее противоречит принципу Зарем-ба—Жиро. Следовательно, функция и(х, у) не может достигать положительного максимума в области в точке Р(хо,0), хо е /. Аналогично доказывается, что и(х, у) не может достигать отрицательного минимума в области Dl. Из принципа экстремума следует, что задача 1.1 не может иметь более одного решения.

3. Существование решения

Положим, что контур Г является ’’нормальной кривой”

1 \2 4 1

1 ' 4 ,,т+2 1

Х 2/ + (/га + 2)гУ 4’

х = х(5), у = у(з) — параметрическое уравнение кривой Г (0 ^ ^ I); функции

х(з) и у(з) имеют непрерывные производные х'(5), у'(5), не обращающиеся

одновременно в нуль на [0,1], где I — длина Г. Производные х"(5), у"(5)

удовлетворяют условию Гельдера на [0,1]; в окрестности точек А и В на

йх

Решение задачи (1.1) в указанной выше области Dl записывается следующим образом [3]:

кривой Г выполняется условие

^ С2у(ш+1)(^), где С = сош1:.

4 1в-1

(х - г)2 +------------------~ут+2

(,т + 2)2

и( х, у) = ку о - [(х + г - 2хг)2 + (1 - 2|3)2(1 - 2г)2ут+2]в-1 )йг-

I

-к{\ - (3)(т + 2) I ^ - /?2]у Г ф(^)(г?)р_2,Р(1 - р, 1 - Р; 1 - 2(3; 1 - о)—йз,

4л \т + 2) Г(2 - 2Р)’ \ 2) (т + 2)2'

Из равенства (3.1) следует соотношение между функциями т(х) и У1(х):

1 1

т(х) = -к ^ у1(г) [|х - г|-2в - (х + г - 2хг)-2в| йг - ^ Н1(х, г)у1(г)йг + Ф(х), (3.2)

о о

1 I 4 \2в Г2(р)

1 4л \т + 2) Г(2Р)’

I I

Н1(г, х) = ^ р1(5; г, 0)С01(^, п; х, 0)й5, Ф(х) = - ^ ф(я)р1(5, х;0)й5,

0 0 001(%, п; х0,У0) —функция Грина задачи Неймана (задачи N). Приведем явный вид функции Грина задачи N для нормальной области [3].

Со1(х,у;хо,уо) = д1(х,у;х0,у0) ~ (2r0)~2fiql |х - ^,у,хЦ,уЕ

т+2

лг 1 л, 2

___ ХО 2 _га+2 /0

Хо = —7-5—, Уо 2 =

4г2 ’ •,и 4г2 ’

00

^1(х,у;хо,уо) = Ыг2]) ^(|3, |3,2|3,1 - о), Гд = |х0 -

+

4

(т + 2)

ут+2 2 У0 '

Исключим т(х) из равенств (2.4) и (3.2), положив у(х) = У1(х) = V2(x).

После преобразований с учетом свойств операторов дробного интегро-дифференцирования получим

Ау2Г(1 - В) - В ^2В

^------------у(х) + О0+р

/ 1

Ау1Г(Р)

к1 ^ v(г) [|х - г|-2в - (х + г - 2хг)-2в] йг

0

+

+Д

1-2Р

0+

( 1 1

0

Н1(х, г)v(г)йг

(3.3)

Ау1Г(Р)

где g(х) = (/0-+«+Р),-вь«+в1+2в-1 ^ (х)

После стандартных вычислений уравнение (3.3) можно привести к син-

гулярному интегральному уравнению

С1р(у) +

С2 С Р(Т)

I

йт = F (у),

п J т - у

0

Лу2Г(1 - |3) - В к\ л(1 - сое 2л|3)

1 АухЩЗ) Г(2 — 2(3) зт2л|3 ’

к1 2 2

со =---------—я, с, + с0 Ф 0

Г(2 - 2(3) 1 2

р(у) = х-2в(1 - 2х + 2х2^х),

F(у) = х-2в^х(у), ^ 1 = (Ух(у) + /2(у) + /эМ)(1 - 2х + 2х2),

1

/1(у) = -

Ау1Г(Р)

= (д

кл) (х).

/2(у) = К» (х),

К1(х, г^(г)йг,

1

“ ~Г(2 - 2(3)

^ г 1 ° *-

*1*,0 = J ----------—г^тг-------ТГ---

0 (х - ^)1-2в д1

(3.4)

(3.5)

(3.6)

(3.7)

(3.8)

(3.9)

(3.10)

Исследуем правую часть уравнения (3.4), следуя леммам 1.1 и 1.2. Учитывая, что у(х) е Нх[0,1], при выполнении условия (1.3) согласно лемме 1.1 имеем

g(x) е Нх°[0,1], Х.0 = т1п[Л - (а + в), р1]'

Далее, следуя лемме 1.2, делаем вывод о том, что

/1 (у) е Н°-(1-2в)[0,1], (3.11)

так как 0 < 1 - 2в < Л0 < 1, Л0 - (1 - 2в) < 1.

2

Функцию ,/200, определяемую равенством (3.9), представим в виде

/2^) = гх^)/(х“°2р"1ф,(0Л'

о

Согласно результатам, полученным в работе [3],

/20) е Нц[0,1], ц > в, (3.12)

при условии, что |ф(з)| < С\(1 - 5)1+2в, |ф(з)| < С251+2в. Из известных свойств

функции Н(г, х), приведенных в работе [3], следует, что ядро К1(X, г) является ограниченной в квадрате 0 ^ х, г ^ 1 функцией и удовлетворяет условию Гельдера с показателем 0 < е < 1. Тогда можно утверждать, что 1

JК1(х, г)у(г)йг е С(0’е)[0,1] р| С“(0,1). (3.13)

0

Из условий (3.11)—(3.13) следует, что

Fl(y) е НИ[0,1], И = тт(Л0 - (1 - 2р), ц).

Решение сингулярного интегрального уравнения (3.4) построим в соответствии с теорией, изложенной в работе [1]. Для определения индекса х уравнения (3.4) рассмотрим функцию С(х) = —--------------, 0(х) = агgG(x) = 2ли -

С1 + 1С2

— 2 аг^ —. Выберем С1

0 ^ 0(0) < 2п,

С2

т.е. 0(0) = 2л-2агс1д—. Решение уравнения будем искать в классе функций, С1

ограниченных в точке х = 1 и неограниченных в точке х = 0, следовательно, П0 = 1, а щ = 0. Таким образом, индекс уравнения есть

' 0(1)

X =

2п

+ «о + «і - 1 =

, 1 . С2 1------ак^ —

П с2

+ 1 + 0-1 = 0.

Согласно утверждению теоремы 3.2 из работы [1] уравнение (3.4) безусловно разрешимо и его общее решение дается формулой

1

'ху*о 11 — х]

6[ + <?2 - л(4+с^ \7/ \Т^7) г-х

С1 с2 Г/X/ 1 - х\^ F(г)

рОО = ^-Ц*гО)------ Ь------------- —3.14

е\ + с2 п(с2 + с2) J \г) \ 1 - г / г - х

1 ©(0) 1 С2 .

Но = 1 - По - —— = - ак^----------------1,

2П П С1

0(1)

0(1)

2п

, 1 с2

— п\ = 1---------ап^ —.

П С1

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 3.1: Пусть

1) на ’’нормальной кривой” Г в окрестности точек A и B выполняется dx

^ С2у|'ш+1\5), где С = const;

условие

ds

2) ф(х,у) є С(0,1), |ф(s)| < Ci(l - s)1+2e, ^(s)| < C2s1+2e;

3) y(x) є Hl[0,1], a + в < X ^ 1;

4) в =

m

- в < a < 1 - є, в1 > 0, в1 > max[0, a + в1 + 2в], є > 0,

2(т + 2) ’

АВ < 0. Тогда задача 1.1 имеет единственное решение и(х,у), определяемое равенствами (3.1) и (2.1) для областей Б1 и Б2, v(x) определяется равенством (3.6), а функция р(у) — формулой (3.14), С1, С2, ^(у) удовлетворяют условиям (3.5) и (3.7)-(3.10).

Литература

[1] Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И.Маричев. - Минск, -1987. - 688 с.

[2] Saigo, M. Generalized fractional integrals and derivatives in Holder spaces / M. Saigo, A.A. Kilbas // Transform Methods and Special Funtions, Sofia 94 Proceeding of International Workshop). Sci. Cult. Tech. Publ. -Singapore, - 1995. - P. 282-293.

[3] Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа / М.М. Смирнов. - М.: Высш. школа, 1985. - 304 с.

[4] Нахушев,А.М. Уравнения математической биологии / А.М.Нахушев.

- М.: Высш. школа, 1995. - 301 с.

Поступила в редакцию 20/IX/2008; Paper received 20/IX/2008.

в окончательном варианте — 20/IX/2008. Paper accepted 20/IX/2008.

ON SOLVABILITY OF BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR GELLERSTEDT’S EQUATION3

© 2008 I.A. Kuznetsova4

In the paper a nonlocal problem for mixed type equations with boundary value conditions containing integro-differentiation operators is considered. Existence and uniqueness of the solution are proved.

Keywords and phrases: non-local problem, operators of fractional integro-differentiation, singular integral equation.

3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) O.A. Repin.

4Kuznetsova Irina Anatolievna, Dept. of High Mathematics, Samara State Architect and Construction University, Samara, 443001, Russia