О разрешимости краевой задачи для уравнения Геллерстедта Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

О РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЛЕРСТЕДТА1

© 2008 И.А.Кузнецова2

В статье рассматривается нелокальная задача для уравнения смешанного типа с краевыми условиями, содержащими операторы дробного интегро-дифференцирования. Доказаны существование и единственность решения.

Ключевые слова: нелокальная задача, обобщенные операторы дробного интегро-дифференцирования, сингулярное интегральное уравнение.

1. Постановка задачи

Рассмотрим уравнение

sgn y\y\muxx + Uyy = 0, m > 0 (1.1)

в области D, ограниченной гладкой кривой Г с концами A(0,0) и B(1,0), лежащей в полуплоскости y > 0, и характеристиками AC и BC в полуплоскости y ^ 0:

2 m+2 _ 2 m+2

АС : х--=0, ВС:х+--(-у)"2" = 1-

m + 2 m + 2

Пусть Di = D Р|(y > 0) — эллиптическая часть, D2 = D П(y < 0) — гиперболическая часть смешанной области D, J — интервал 0 < x < 1 прямой y = = 0, 00(x) — точка пересечения характеристике уравнения (1.1), выходящих из точек х е (0,1), с характеристикой АС,

Примем следующие обозначения: НК[0,1] (0 < К ^ 1) — пространство функций, удовлетворяющих на отрезке [0,1] условию Гельдера фиксированного порядка К [1], (/0+в'П/) (x) —обобщенный оператор дробного инте-

1 Представлена доктором физико-математических наук, профессором О.А.Репиным.

2Кузнецова Ирина Анатольевна, кафедра высшей математики Самарского государственного архитектурно-строительного университета, 443001, Россия, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 194.

гро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса [2]

x

х-а-в Г , / t \

-pj-y J(x-t)°-*F(a + ß,-4;a;l--)fW (а > 0),

о

n

(С /) (x)

d_ j ^ß-«,^ (x) (a ^ о, « = [-а] + 1).

Для исследования гладкости функций, входящих в интегральные уравнения, нам понадобятся леммы из работы [2].

Лемма 1.1: Пусть 0 < -а < X ^ 1 и ß < min[0, П + 1]. Если ф(x) е HX[0,1], то (/0+ß'\) (x) е Hmn[X+a'-в][0,1].

Лемма 1.2: Пусть 0 < а < X < 1 и X - а < 1, р(x) = x^, 0 ^ ^ < X - а + 1. Если е HX(p; [0,1]), то (dа+ ф) (x) е h£-01(р; [0,1]). Задача 1.1: Найти функцию u(x, y) со свойствами:

1) u(x,y) е Сф) П C\D) П С2(Di U D2) — решение уравнения (1.1);

2) u(x, y) удовлетворяет краевым условиям u(x, y)|r = ф(x, y), (x, y) е Г,

A (/01f'ß1 +2ß-1u [00(t)]) (x) + B (/0а+"р+1'р1 +2ß-1'ß1 +ß-1 uy(t, 0)) (x) = V(x) Vx е J (1.2)

и условию сопряжения uy(x, -0) = uy(x, +0) Vx е J, m

ß =-, -ß<a<l-e, ßi>0, ßi >max[0,a + ßi+2ß], e > 0, (1.3)

2(m + 2)

A и B — ненулевые константы разных знаков, ф^, y) и x) —такие заданные функции, что ф^,y) е С(0,1), у(x) е HX[0,1], а + ß1 < X ^ 1.

2. Единственность решения

Известно, что в области D2 решение уравнения (1.1) с начальными данными

lim u(1, n) = т(1),

n-1^0

(m + 2\n „ с 2r /du öu\ —(---) = v2®,

2 m+2 2 m+2

где § = x---(-у) 2 , n = --(-у) 2 имеет вид 3

m + 2 m + 2

n n

J (n - t)1-e(t - 1)1-e J (n - t)e(t - 1)n

1 1

_ r(2ß) _ 1 / 4 \2ß Г(1 - 2ß) Yl " r2(ß)' 72 " 2 \m + 2/ Г2(1 -ß)'

Из равенства (2.1) следует

X X

и [0о(X)] = У1 x1-2в I (в-1(х - ()в-1т(()Ж - у2 I Гв(х - ()-вУ2(()Ж =

(2.2)

= У1ГФ) (/в;0'р-1х(?)) (X) - У2Г(1°- в) (^0-в'2в-1'в-1 ^2(0) (X).

Подставим (2.2) в краевое условие (1.2) и, преобразовав его с учетом свойств операторов интегро-дифференцирования, получим

АУ1Г(Р) (Св'в1'в1+в-1х(0) (x)+

+ - АУ2Г(1 - в)] (Св+1в1 +2в-1Л +в-1 ^2(^)) (X) = X). (2.3)

Из равенства (2.3) следует соотношение между функциями т(x) и V2(x) для области П2

Ау2Г(1-Р)-Д/г1-2р .л.. Т(Х) = АУ1Г(Р) Ы°>(Х)+

+ | Ла+Р),-рь«+р1+2И Л

(2.4)

откуда

У2(Х) = Лу2Г(1 - Р) - Д (7°+ Т(°)(Х)+

1

(2.5)

(2-6)

В - Ау2Г(1 - в)

Сформулируем принцип экстремума для задачи 1.1.

Лемма 2.1: Пусть = 0. Тогда решение и^,у) задачи 1.1 для уравнения (1.1) положительный максимум (отрицательный минимум) в области Dl принимает на кривой Г.

Доказательство: При X) = 0

Ау2Г(1 - Р) - В

Функция и^, у) в области Dl не может достигать экстремума. Предположим, что положительный максимум в области достигается в точке Р(хо,0), xо е /. Учитывая, что дробные производные (X) в точке положитель-

ного максимума строго положительны (в точке отрицательного минимума строго отрицательны) [4], при выполнении условия АВ < 0 из равенства (2.5) получаем, что V2(xо) > 0 . Последнее противоречит принципу Зарем-ба—Жиро. Следовательно, функция и(X, у) не может достигать положительного максимума в области в точке Р(хо,0), хо е /. Аналогично доказывается, что и(X, у) не может достигать отрицательного минимума в области Dl. Из принципа экстремума следует, что задача 1.1 не может иметь более одного решения.

3. Существование решения

Положим, что контур Г является "нормальной кривой"

1 4 т+2 1

* 2/ + (т + 2)гУ 4'

х = х(у = у(з) — параметрическое уравнение кривой Г (0 ^ 5 ^ I); функции

х(з) и у(з) имеют непрерывные производные х'(5), у'(з), не обращающиеся

одновременно в нуль на [0,1], где I — длина Г. Производные х"(5), у"(5)

удовлетворяют условию Гельдера на [0,1]; в окрестности точек А и В на

йх

Решение задачи (1.1) в указанной выше области Dl записывается следующим образом [3]:

кривой Г выполняется условие

< С2у(ш+1)(5), где С = сошг.

1 4

(х - О2 +-~ут+2

_ (т + 2)2У

и( х, у) = ку

о

- [(х + г - 2хг)2 + (1 - 2|3)2(1 - 2г)2ут+2]в-1

I

-*(1-Р)(/и + 2)^-Д2|у J - р, 1 - Р; 1 - 2р; 1 - а)^,

о

(3.1)

где » ' (^Н # = _ I)2 + * -

4л\т + 2) Г(2 - 2Р)' \ 2) (т + 2)2'

Из равенства (3.1) следует соотношение между функциями т(х) и У1(х):

1 1

т(х) = -к^ У1(г) [|х - г|-2в - (х + г - 2хг)-2|в] йг Н1(х, г)\1(г)йг + Ф(х), (3.2)

о о

1 I 4 \2р Г2(р)

кх 4л\ш + 2/ Г(2р)'

I I

Н1(г, х) = ^ р1(5; г, 0)С01(^, п; х, 0)й5, Ф(х) = - ^ ф(я)р1(5, х;0)й5, 0 0 001(%, п; х0,у0) — функция Грина задачи Неймана (задачи М). Приведем явный вид функции Грина задачи N для нормальной области [3].

аш(х,у;хо,уо) = Ч\(.х,у\х0,уо) - (2г0)"2|3<71 {х -

т+2

1 л, 2

_ Хо — 2 _а±2 у о

Хо = , - , Уо 2 =

4г2 4г2

о

4

(т + 2)

т+2 2 у0 '

Исключим т(х) из равенств (2.4) и (3.2), положив у(х) = Vl(x) = V2(x).

После преобразований с учетом свойств операторов дробного интегро-дифференцирования получим

Лу2Г(1 - 6) - В 1_2В

---у(х) + И0+Р

( 1

Ау1Г(Р)

к1

0

+Д

1-20 0+

( 1

1

0

Я1(х, г)у(г)йг

/У(о[,х- ^ - (х +,-^Л

(3.3)

Ау1Г(Р)

где g(х) = (/о-!«+в),-в1 -+в1+2в-1 ¥) (х)

После стандартных вычислений уравнение (3.3) можно привести

гулярному интегральному уравнению

1

с1р(у) +

-Г

п J

Р(Г)

т - у

(т = Р (у),

Ау2Г(1 - Р) - Д

С1 = -:——- +

к1 п(1 - ео8 2лР)

Ау1Г(р) Г(2 - 2р) 81п2лр

к1 2 2

сг = -с, + Сп. Ф 0

Г(2-2р) 1 2

р(у) = х-2в(1 - 2х + 2х2)у(х),

Р(у) = х-2вFl(y), = С/1 (у) + /2(у) + /эМ)(1 - 2х + 2х2),

/2(у)=К-2Рф) (х),

^(х, г)у(г)йг,

1

^ л Г 1 0 дН

= J 7-^Г^в—^—^

0 (х - ©1-2в

к син-

(3.4)

(3.5)

(3.6)

(3.7)

(3.8)

(3.9)

(3.10)

Исследуем правую часть уравнения (3.4), следуя леммам 1.1 и 1.2. Учитывая, что у(х) е ЯЛ[0,1], при выполнении условия (1.3) согласно лемме 1.1 имеем

g(x) е ЯЛ°[0,1], Ло = т1п[Л - (а + Р), р1].

Далее, следуя лемме 1.2, делаем вывод о том, что

/1 (у) е ЯЛ°-(1-2в)[0,1], (3.11)

так как 0 < 1 - 2р < Л0 < 1, Л0 - (1 - 2Р) < 1.

+

Функцию /2(у), определяемую равенством (3.9), представим в виде

х

0

Согласно результатам, полученным в работе [3],

/2(у) е Нц[0,1], ц > р, (3.12)

при условии, что |ф(з)| < С 1(1 - ^)1+2в, |ф(5)| < С251+2в. Из известных свойств функции Н(г, х), приведенных в работе [3], следует, что ядро К1(х, г) является ограниченной в квадрате 0 ^ х, г ^ 1 функцией и удовлетворяет условию Гельдера с показателем 0 < е < 1. Тогда можно утверждать, что 1

JК1(х, г)у(г)йг е С(0,е)[0,1] р| С™(0,1). (3.13)

0

Из условий (3.11)—(3.13) следует, что

Е1(у) е НИ[0,1], И = тт(Л0 - (1 - 2р), ц).

Решение сингулярного интегрального уравнения (3.4) построим в соответствии с теорией, изложенной в работе [1]. Для определения индекса х уравнения (3.4) рассмотрим функцию С(х) = —--, 0(х) = агgG(x) = 2ли -

С1 + С

— 2 ак^ —. Выберем С1

0 ^ 0(0) < 2л,

С2

т.е. 0(0) = 2л-2агс1д—. Решение уравнения будем искать в классе функций, С1

ограниченных в точке х = 1 и неограниченных в точке х = 0, следовательно, П0 = 1, а П1 = 0. Таким образом, индекс уравнения есть

" 0(1)

х =

2п

+ П0 + П1 - 1 =

1 1 * С2 1--ак^ —

П С2

+ 1 + 0-1 = 0.

Согласно утверждению теоремы 3.2 из работы [1] уравнение (3.4) безусловно разрешимо и его общее решение дается формулой

1

С1 С2 Г(х\Ц0/1 - х\Ц1 F(г)

Р(У) = ^Г-Ц2Г0')--- Ь- —с11, 3.14

с1 + с2 п(с2 + фЛ \г) \1 - г/ г - х

0

1 ©(0) 1С2

Но = 1 - Ио - — = - --1,

2п П С1

0(1)

0(1)

2п

1 1 < С2 — п 1 = 1--ак^ —.

П С1

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 3.1: Пусть

1) на "нормальной кривой" Г в окрестности точек A и B выполняется dx

< C2y(ffl+1)0), где С = const;

условие

ds

2) ф(х,у) е С(0,1), |ф(s)| < Ci(l - s)1+2e, |ç(s)| < C2s1+2e;

3) y(x) е Hl[0,1], a + в < ^ ^ 1;

4) в =

m

- в <a< 1 - e, в1 > 0, в1 > max[0, a + в1 + 2в], e > 0,

2(ш + 2)'

AB < 0. Тогда задача 1.1 имеет единственное решение ^х,у), определяемое равенствами (3.1) и (2.1) для областей Б1 и Б2, v(x) определяется равенством (3.6), а функция р(у) — формулой (3.14), С1, С2, F(y) удовлетворяют условиям (3.5) и (3.7)—(3.10).

Литература

[1] Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев. - Минск, -1987. - 688 с.

[2] Saigo, M. Generalized fractional integrals and derivatives in Holder spaces / M. Saigo, A.A. Kilbas // Transform Methods and Special Funtions, Sofia 94 Proceeding of International Workshop). Sci. Cult. Tech. Publ. -Singapore, - 1995. - P. 282-293.

[3] Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа / М.М.Смирнов. - М.: Высш. школа, 1985. - 304 с.

[4] Нахушев,А.М. Уравнения математической биологии / А.М.Нахушев. - М.: Высш. школа, 1995. - 301 с.

Поступила в редакцию 20/IX/2008; Paper received 20/IX/2008.

в окончательном варианте — 20/IX/2008. Paper accepted 20/IX/2008.

ON SOLVABILITY OF BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR GELLERSTEDT'S EQUATION3

© 2008 I.A. Kuznetsova4

In the paper a nonlocal problem for mixed type equations with boundary value conditions containing integro-differentiation operators is considered. Existence and uniqueness of the solution are proved.

Keywords and phrases: non-local problem, operators of fractional integro-differentiation, singular integral equation.

3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) O.A.Repin.

4Kuznetsova Irina Anatolievna, Dept. of High Mathematics, Samara State Architect and Construction University, Samara, 443001, Russia