Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дифференциальные уравнения

УДК 517.956 О.А. Репин

НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С СИНГУЛЯРНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ

Для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом при младшей производной в области, эллиптическая часть которой есть бесконечная вертикальная полуполоса, а гиперболическая — характеристический треугольник, изучена краевая задача, в которой с помощью обобщенных операторов дробного интегро-дифференцирования задается линейная комбинация, связывающая след нормальной производной на линии перехода и ее же след на характеристике уравнения.

Постановка задачи

Рассмотрим уравнение

ди) = ихх + уиуу + ^иу = 0, 0 <2р < 1, (1)

IУ I

в области О, ограниченной полупрямыми х=0, х=1 с концами в точках А(0,0), В(1,0), расположенными в полуплоскости у>0, и характеристиками АС : х + у = 0 ; ВС: х - у = 1 уравнения (1),

выходящими из точек А и В и пересекающимися в точке С

Примем следующие обозначения: О1 = О п {у > 0}; О2 = о п{у < 0}; J - единичный интервал 0 < х < 1 прямой у=0; в0( х) - аффикс точки пересечения характеристики уравнения (1), выходящей из точки (х,0) е J с характеристикой АС; (I^+^)(х) и (О^+^)(х) - операторы дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля [1]; (10+Ь7 ф)( х) - обобщенный оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле М. Сайго [2].

Для уравнения (1) изучим нелокальную краевую задачу.

Задача 1. Найти функцию и (х, у) со следующими свойствами:

1) Ь(и) ° 0 в области О = О1 и О2;

2) и (х, у) е С (О) п С1(О \ J) п С 2(О \ J);

3) Нш и(х, у) = 0 равномерно по х е J ;

у Н + ¥

4) и(х,+0) = и(х,-0) (х е 1),

Нт у2Риу(х,у) = 11т (-у)2Риу(х,у) (х е.7);

у н0+ 0 у у н0-0 у

5) и(0,у) = дг(у), и(1,у) = ц2(у) (у > 0);

6) Д(1“+м р+ь-1и [0о(О])( х) = А2(1а0+1~р ь+2 р-1, р+ь-1ау-)(х) + у( х), (х е J),

где

п-(х) = Нт (-у)2Риу(х,y), (2)

уН 0-0

Ч\(у), Ч2(у), а(х), и у0(х) - такие заданные функции, что д1(у) и д2(у) - непрерывные

функции в [0, ¥) ;

уЧСуХ уРЧ2(у)е Д0, ¥); (3)

а( х) е С ^) п С2 (J),

а(х) > 0 для всех х е J .

у0(х) е Ия(1),0 < а + р < Л< 1; (4)

тах(-р, р -1) < а < 1 - р,1 - 2р < Ь < 2 - 2р; (5)

А1 и А2 - действительные положительные константы.

Отметим, что рассматриваемая задача является продолжением наших исследований, опубликованных в [3]. Существенной ее особенностью по сравнению с задачей, представленной в работе [3], является другой спектр изменения параметров операторов обобщенного дробного интегро-дифференцирования и более слабое условие на свободный член у0(х) в краевом условии 6).

Функциональное соотношение между т(х) = и(х,0) и V- (х) = Иш (-у)2риу (х,у) из

у®0-0 у

области гиперболичности. Уравнение (1) в гиперболической области О2 имеет вид

их -иуу -2рЧ =°. (0)

Справедливо следующее утверждение [1, с. 590], [4, с. 223].

Теорема 1. Задача Коши

и (х,0) = т( х) (х е J),

Нт (-у)2риу(х,у) = П-(х) (х е J) (7)

уН 0-0

для уравнения (6) в области О2 при условиях т е С2(J), п е С2(J), 0 < 2р < 1 корректна, а ее решение и еС 2(О2) и выражается формулой

1 1 1 и (х, у) = -С1 (- у)1-2 р (х+у(1 - 2/))(1 - г)- р г - рж+---[ т( х + у(1 - 2/))(1 - г)р-1 гр-1 <г, (8)

0 В( Р, ру0

где С1 = [(1 - 2р)В(1 - Р,1 - р)]-1.

Однако, как отмечено в монографии [1, с. 591], при решении краевых задач для уравнений

смешанного типа условия т, п е С приводят к трудно-проверяемым ограничениям на заданные функции. Эта проблема решается путем рассмотрения специальных классов решений. Рассмотрим класс Я1 таких обобщенных решений задачи Коши, введенный К.И. Бабенко [5,6].

Определение 1. Функцию (8) будем называть обобщенным решением уравнения (6) из класса Я1 в области О2, если 0 < р < 1 и те Иа1 ([0,1)), а1 > 1 - р ; пе Иа2 ([0,1)), а2 > р , (9)

где И ^([0,1)) - класс гельдеровских функций.

Будем искать решение задачи 1 для уравнения (1) в классе Я1. Используя (7) и (8), выпишем и[00(х)]:

и[00 (х)] = Г1Г(р)(10р+0 р-1т)(х) - у2Г(1 - р)(11-р,2р-1, р-1п-)(х), (10)

гдеГ1=^ , У2 = 22р-1Ц1ЬМ .

Г 2( р) '2 Г2(1 - р)

Подставив (10) в краевом условие 6), на основании формулы [2]

1аРЛ1Гу,вЛ-Р-у-Вф = I а+г,Р+3Л-г-6ф (у > 0) (11)

получим

АуТ р)( 10а++ р А р+ь-1т)( х) - Ау2 Г(1 - р)( 10а++1-р,ь+2 р-1, р+ь-1п-)(х) =

= А2(С1-р,ь+2 р-1, р+ь-1ап-)(х) + У0( х).

Применив к обеим частям (12) оператор I,-+: а+1-р ),-(ь+2 р-1),а+ь и учитывая, что

(10+саа’7/)(х) = (0^+ /)(х) а > 0, будем иметь

п- (х) = Ау Г(1 - р1) + Аа(х) [А1У1Г(р)(01+2рт)(х)-(10-+ а+1-р),-(ь+2р-1),а+ьу0)(х)]. (13)

Имеет место утверждение.

(12)

Лемма 1. Если функция т(х) достигает положительного максимума (отрицательного минимума) на отрезке [0,1] в точке х = X, 0 < Х< 1, У0( х) ° 0, А1, А2, а(х) > 0"х е J , то п- (X) > 0 (п_ (X) < 0).

Доказательство леммы 1 следует из (13) и свойства строгой положительности (строгой отрицательности) производной дробного порядка (О10+2рт)(х) в точке положительного максимума (отрицательного минимума) [4].

Для дальнейшего выразим т(х) через (х).

Применив к обеим частям (12) оператор 10+а+р)-ь,а+2 р+ь+1, используя формулу (11), а также равенство (Iа а,п/)(х) = (10+ /)(х) а > 0 получим

т(х) = У2ГГ1(-р) (Срп-)(х) + А АГ( ) (11-2рап-)(х) + —Г— (Iо+(а+ р),-ь,а+ь+2р-1У0)(х). (14)

У1Г( р) АуГ р) А^Ц р)

Функциональное соотношение между т(х) = и(х,0) и V + (х) = Иш у2риу(х,у) из об-

уН 0+0

ласти эллиптичности. Решение уравнения (1) в полуполосе 0< х < 1, у >0, удовлетворяющее условиям 3), 5) получено нами в [3] и оно имеет вид

и (х у) = ^1( х у) + ^2( x, у), (15)

где

1-2р

Vl(х,у) = у 2 Дь^УехрУ) + ь2(Я)ехр(-Ух)]• J2р^(Уу)<У; (16)

0 2

ь1(У)ехР(Ух) + ь2(У)ехР(-Ух) = УНХУУ х) [ Ч1(у)у 2 -72 р-1(уу)<у + -ИУ 0

¥ 1 + 2 р

Л-пАУ С . х т . л х «ч

+ ^ИУ?2(у)у 2 тр-л^уХу; (17)

02 1

У2(x,у) =------^|п+(г)в(x,у;г; (18)

2лрГ( 2+рI0

а(х, у; г) = £[(у2 + (х + г - 2п)2)-р - (у2 + (х - г - 2п)2)-р ].

п = -¥

Переходя к пределу при у Н 0 + 0 в (16) и (18), получим функциональное соотношение между т(х) = т1(х) + т2(х) = и(х,0) и (х), принесенное на линию вырождения уравнения (1) из области О1 :

¥ 1 \ 1 т1 (х) = V (х,0) = у3 [ г2 Рд1 (г)<г [ -—(—— У2 FJ 1 (гУ)<У +

0 0 -иу р-2

1 0 1 0 2 (19)

¥ 1 ¥ 1

<• —+ р л -И Ах —+ р

+ у3 [г2 д2(г)<г[-У2 J 1(гУ)<У, 0 < х < 1.

00 00 -ИУ р-2

1

Т2 (х) = V (х,0) = -У41 п+ (г ^ (х, г )<г, (20)

0

где У3 = 22 р 2 + рII , у4 = СОвррГ(р)Г|^2 - р^(27ж)-1,

G1(х, г) = |х - г| 2р - (х + г)2р +^[(2п - х + г)-2р + (2п + х + г)-2р - (2п - х - г)-2р - (2п + х + г)-2р ]

п=1

Из соотношения (19) нетрудно усмотреть, что функция т1(х) имеет производные любого порядка в интервале (0,1).

Производная т[ (х) при х н 0 и х н 1 остается ограниченной, что следует из формулы [7, формула 2.12.13 (1), с. 191]:

¥ V+1 shax т „ „ , 2( ^. акл „ (скл\

j=ь[jJ |>>)к ^-^(-у-J.

(Ren > -1; Re b >| Re a | +1 Jmc |).

Единственность решения задачи 1. Пусть Dh и D1h - конечные области, отсекаемые прямой у = h > 0 соответственно от D и D1. Ah (0, h), Bh (1, h) - концы отрезка прямой y = h, который является границей областей Dh и D1h .

Лемма 2. Пусть С/ (х, у) - решение задачи 1 такое, что

maxU(х,у) = U(x0,0), x0 е J .

D1h

Тогда lim у2pU (х0,0) < 0.

у ®0+ 0 у

Доказательство леммы 2 проводится по известной методике [3], [8].

Теорема 2. Обобщенное решение U(х, у) е R1 задачи 1 единственно в классе функций, представимых в области D2 формулой (8) решения задачи Коши, если A1, A2, a(х) > 0 на J .

Доказательство. Пусть U(х,у) - решение однородной задачи 1 и у(х) ° 0 на J . Покажем, что U (х, у) ° 0 в D1. Допустим, что это не так.

Тогда существует точка (х1, х2) е D1 в которой U(х1, х2) Ф 0. Для определенности положим, что U(х1, х2) > 0. Тогда maxU(х,у) = U(Q) > 0, Q е D1.

D1

В силу внутреннего принципа экстремума для эллиптических уравнений точка Q лежит на границе области D1. Выберем число h > 0 так, чтобы на отрезке AhBh было верным неравенство U(х, у) < U(Q). Такое h существует в силу условия lim U(х, у) = 0 равномерно по х е [0,1].

у ®+¥

Точка Q g AAh u BBh поскольку U(0, у) = U(1, у) = 0, у > 0 на основании однородных граничных условий. Поэтому точка Q е AB , то есть Q е (х0,0), 0 < х0 < 1. В этой точке по лемме 2

n+ (х) = lim у2pU (х0,0) < 0. (21)

у ®0+ 0 7

Так как U (х,+0) = U (х,-0) = г(х0), то maxr^) = г(х0). Тогда ввиду того, что у0(х0) ° 0

j

по лемме 1 имеем неравенство n_ (х0) > 0, что противоречит (21) в силу n+ (х) = n_ (х) по свойству 4) решения задачи 1.

Следовательно, U(х, у) ° 0 в D1 и, в частности, U(х,+0) = t+ (х) ° 0 на J. Но тогда ввиду (х) = t_ (х) из (13) следует, что n_ (х) ° 0 . Отсюда по формуле (8) получаем, что U(х, у) ° 0 и

в области D 2. Тем самым теорема 2 доказана.

Сведение задачи 1 к сингулярному интегральному уравнению и его решение. Учитывая условия сопряжения 4) и обозначение n+ (х) = n_ (х) = n( х), получаем интегральное уравнение для n(х):

f)(Io+2Pn)(х) + A A^( ) (1 i-2Pan)(х) + Г4 j n(t)G1(хt)dt =

hG(p) ArG(p) 0 (22)

= t( х) _ —G— (I0-+a+^ a+b+ 2 p _Va)( х).

AgG P)

Применив к обеим частям (22) оператор Dj-2p и учитывая, что [1. с. 50]

(D1-2 PI1+2 pj)( х) = j( х), после некоторых вычислений (см. например, 9. с. 1260-1272; 10. с. 82-84) будем иметь

1

а( х)у( х) + г4 j n(t )K (х, t )dt =f (х), (23)

0

где

t Y-2p( 1 1 I ^(2n-1Y-2p( 1 1

a( х) = Г(2 p)

*<*•»=[ х Г p f A - 7+z i+z

¥

-z

Г2Г(1 - p) + A2a(х) Г1Г( p) Г1 A1r( p)

+ г4Ptgpp,

х) [ t - х t + х 0 n=1 [ х ) [2n -1 + х 2n -1 - х

2n +1Y-2 p ( 1 1

2n + t + х 2n + t - х

f (х) = Г(2 p)

D-2 pt1)(х)-----Г— (2 p ( (a + p),-b,a+b+-(t )))

g1 A1G (p)

Перейдем к исследованию правой частиД(х) уравнения (23).

Нам потребуются две леммы из работы [11].

Лемма 3. Пусть 0 <-a< 1< 1 и b< min[0,h +1]. Если j( х) е H я[0,1], то

(I0a+b»(х) е Hmm[1+a-b][0,1].

Лемма 4. Пусть 0 < a< 1 < 1, 1 - a < 1 и p( х) = хт, где 0 < /л< 1- a +1. Если

j(х) е H0д(р;[0Д]), то (D0a+ j)(х) е H01-a (p;[0,1]).

Введем обозначение у(х) = (0+a+p),-b,a+b+2p-1V0)(х).

Учитывая условия (4) и лемму 3, имеем

Vi (х) е H10 [0,1], 10 = min(1 - а - p, b). (24)

Принимая во внимание (24) и лемму 4, получим

(D1-2 V)( х) е H1 -1+2 p (р;[0,1]), (25)

где р(х) = хm, 0< m< 10 + 2p .

На основании свойств функции t1 (х) и (25) окончательно получаем

f (х) е H1-1+2p (р;[0,1]).

Решение интегрального уравнения (23) проводится по методике, предложенной в [12]. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть выполняются условия (3)-(5). Тогда решение задачи 1 существует и оно единственно.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 742 с.

2. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric functions // Math. Rep. Kyushu. Univ. 1978. Vol. 11. № 2. P. 135-143.

3. Лернер М.Е., Репин О.А. Краевая задача с оператором М. Сайго для уравнения смешанного типа, эллиптического в вертикальной полуполосе // Неклассические уравнения матем. физики. Новосибирск: Из-во Ин-та мат-ки СО РАН, 1998. С. 63-78.

4. НахушевА.М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995. 302 с.

5. БабенкоК.И. К теории уравнений смешанного типа: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. М. 1951. 196 с.

6. Бабенко К.И. О принципе максимума для уравнения Эйлера-Трикоми // Докл. АН. СССР. 1985. Т. 285. № 4. С. 777-782.

7. Прудников А.П., БрычковЮ.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983. 520 с.

8. СмирновМ.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. 321 с.

9. Лернер М.Е., Репин О.А. Об одной задаче с двумя нелокальными краевыми условиями для уравнения смешанного типа // Сибирский матем. журнал. 1999. Т. 40. № 6. С. 1260-1276.

10. ХачевМ.М. Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа. Нальчик: Эльбрус, 1998. 280 с.

11. Saigo M., Kilbas A. Generalized fractional integrals and derivatives in Holder spaces // Transform Methods. Special Functions, Sofia'94. P. 282-292.

12. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. Уч. пос. М.: Высш. шк., 1985. 421 с.

Поступила 26.11.2004 г.