CC BY
11
Владикавказский математический журнал 2009, Том 11, выпуск 4, С. 32-43
УДК 512.542
О РАСПОЗНАВАЕМОСТИ ПО СПЕКТРУ КОНЕЧНЫХ ПРОСТЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ГРУПП, II1
А. С. Кондратьев
Исследована распознаваемость по спектру одного класса конечных простых ортогональных групп с
несвязным графом простых чисел.
Ключевые слова: конечная простая группа, спектр группы, граф простых чисел, распознавание
по спектру, ортогональная группа.
Введение
Пусть G — конечная группа. Обозначим через w(G) спектр группы G, т. е. множество всех порядков ее элементов. Множество w(G) определяет граф простых чисел (граф Грюнберга — Кегеля) GK(G) группы G, в котором вершинами служат простые делители порядка группы G и две различные вершины p и q соединены ребром тогда и только тогда, когда pq £ w(G). Обозначим число компонент связности графа GK(G) через s(G), а множество его связных компонент — через {п (G) | 1 ^ i ^ s(G)}; при этом для группы G четного порядка считаем, что 2 £ ni (G). Множество w(G) однозначно определяется подмножеством ß(G) своих максимальных по делимости элементов.
Общее строение конечных групп с несвязным графом простых чисел дается теоремой Грюнберга — Кегеля [35, теорема А]. Конечные простые неабелевы группы с несвязным графом простых чисел описаны в [18, 35].
Результаты о конечных группах с несвязным графом Грюнберга — Кегеля нашли большое применение в исследованиях распознаваемости конечных групп по спектру (см., например, обзор В. Д. Мазурова [22]). Конечная группа G называется распознаваемой (по спектру), если для любой конечной группы H с условием u(H) = u(G) имеем H = G.
Первый этап решения вопроса распознаваемости конечных простых групп с несвязным графом Грюнберга — Кегеля заключается в доказательстве условия квазираспознаваемости, более слабого, чем распознаваемость. Конечная простая неабелева группа P называется квазираспознаваемой, если любая конечная группа G c условием w(G) = u(P) имеет единственный неабелев композиционный фактор и этот фактор изоморфен P.
В [2-7, 11-17, 19, 32] доказана квазираспознаваемость конечной простой группы L в следующих случаях: 1) s(L) ^ 3 и L не изоморфна группе A6; 2) s(L) =2 и L изоморфна одной из групп Ln(2k), 2D2m (q) (m > 1), 2D2m+1(2) (m > 1), B2m (q) (m > 2), C2m(q) (m > 2), 3D4(q), F4(q), ^(q), 2E>(q) (q > 2), Bp(3) (p > 3 — простое число), Cp (3)
© 2009 Кондратьев А. С.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 07-01-00148), РФФИ-БРФФИ (проект № 08-01-90006), программы Отделения математических наук РАН и программ совместных исследований УрО РАН с СО РАН и НАН Беларуси.
(р — нечетное простое число), 2Ор(3)) (р — нечетное простое число), 2^т+1(3), Ор(д) (р> 3 — простое число и д £ {2, 3, 5}).
В данной работе продолжается изучение распознаваемости простых групп лиева типа с несвязным графом Грюнберга — Кегеля. Доказана следующая
Теорема. Если О — конечная группа с таким же спектром, как у простой группы Бр+1(д), где р — нечетное простое число и д £ {2, 3}, то О изоморфна ^(д) или Вз(д) при р = 3 и 0/0q (О) изоморфна Вр+\ (д) при р > 3, причем 0Я (О) = 1 при д = 3.
Утверждение теоремы при р = 3 было доказано ранее в [21, 33].
§ 1. Обозначения и вспомогательные результаты
Наши обозначения и терминология в основном стандартны, их можно найти в [23, 25, 27, 31]. Если п — натуральное число и р — простое число, то через пр и п(п) обозначаются соответственно р-часть и множество всех простых делителей числа п. Для конечной группы О положим п(О) = п(|О|) и ^%(О) = {п £ О) | п(п) С пг(О)}. Через 6 обозначается переменная, принимающая значения + или —. Группы Аеп(д) обозначают соответственно Ап(д) при 6 = + и 2Ап(д) при 6 = —. Если Ь — группа лиева типа, то через Inndiag(L) обозначается группа, порожденная внутренними и диагональными автоморфизмами группы Ь. Обозначим через Ь(О) наибольшую из мощностей независимых множеств графа СК(О) (множество вершин графа называется независимым множеством, если его элементы попарно не смежны), а через Ь(т,О) — наибольшую из мощностей независимых множеств графа СК(О), содержащих простое число г. Через р(г, О) обозначается некоторое независимое множество наибольшей мощности в СК(О), содержащее простое число г.
В доказательстве теоремы используются следующие результаты.
Лемма 1.1 [20, лемма 4]. Пусть Р — конечная простая группа с несвязным графом Грюнберга — Кегеля. Тогда:
(a) |^(Р)| = 1 для г > 1 (пусть щ = щ(Р) обозначает единственный элемент из рг(Р) для г > 1);
(b) для каждого г > 1 группа Р содержит изолированную абелеву холлову п(п)-подгруппу X», причем эта подгруппа циклическая порядка п», за исключением следующих случаев:
(1) Р = Ьз(4), п» (Р) =3 и подгруппа Xг — элементарная абелева группа порядка 9;
(2) Р = Ь2(д), где д — непростая степень нечетного простого числа р, п%(Р) = р и подгруппа Хг — элементарная абелева группа порядка д;
(c) Р, П\(Р) и п» для 2 ^ г ^ в(Р) такие, как в приведенных ниже таблицах 1-3, где р обозначает нечетное простое число.
Лемма 1.2. Пусть О — конечная группа с несвязным графом Грюнберга — Кегеля, не изоморфная группе Фробениуса или двойной группе Фробениуса, и Р — неабелев композиционный фактор в О. Тогда для каждого г £ {2,...,в(О)} существует ] £ {2,..., в(Р)} такое, что рг(О) = {п^ (Р)}.
Доказательство следует из теоремы Грюнберга — Кегеля и леммы 1.2.
Лемма 1.3 (теорема Жлгмонди [36]). Пусть д и п — натуральные числа, д ^ 2. Если пара (д,п) отлична от (2, 6), то существует простое число, делящее дп — 1 и не делящее дг — 1 при любом натуральном г < п.
В обозначениях леммы 1.3 простое число, делящее дп — 1 и не делящее дг — 1 при любом натуральном г < п, называется примитивным простым делителем числа дп — 1 и обозначается через гп(д) или просто через гп, если д фиксировано.
Таблица 1
Конечные простые группы Р с в(Р) = 2
Р Ограничения на P П1(Р ) п2
6 < п = р,р + 1,р +2; одно из чисел п, п — 2 непростое п((п — 3)!) Р
Ар_1(д) (р,9) = (3,2), (3,4) п(9 ПР- (9г — 1)) 9Р — 1
(9 — 1)(Р,9 — 1)
А (9) (9 — 1) 1 (Р +1) п(9(9Р+1 — 1) ПРЛ* — 1)) 9Р — 1 9 — 1
^-1(9) п(9 ПРЛ* — (—1)*)) 9Р + 1
(9 + 1)(р, 9 +1)
2Ар (9) (9 + 1) | (р + 1), (р,9) = (3,3), (5, 2) п(9(9Р+1 — 1) ПР=1 (9* — (—1)*)) 9Р + 1 9 + 1
2Аз(2) {2,3} 5
В (?) п = 2т ^ 4, д нечетно ^9 щ-1^—1)) (9п + 1)/2
Вр(3) п( 3(3Р + 1Щ Р^11(32* — 1)) (3Р — 1)/2
СП (9) п = 2т ^ 2 п(9 шЛ2*—1)) 9п + 1 (2,9 — 1)
Ср(д) 9 = 2, 3 п(9(9Р + 1) ПР^11(92* — 1)) 9Р — 1 (2,9 — 1)
ВД р ^ 5, д = 2,3,5 п(9 ПРЛ^ — 1)) 9Р — 1 9 — 1
9 = 2, 3 п(9(9Р + 1) ПР^11(92* — 1)) 9Р — 1 (2,9 — 1)
2Рп(?) п = 2т ^ 4 п(9 ШЛ^ — 1)) 9п + 1 (2,9 +1)
2Рп(2) п = 2т + 1, т ^ 2 п(2(2п + 1) ПП-12(22* — 1)) 2п-1 + 1
2Рр(3) 5 < р = 2т + 1 п(3 ПР-11(32* — 1)) 3Р + 1 4
2Рп(3) п = 2т + 1= р, т ^ 2 п(3(3п + 1) ПП-12(32* -1)) 3п-1 + 1 2
£2(9) 2 <9 = е1(3) п(9(92 — 1)(93 — б)) 92 — 69 + 1
3Р4Ы п(9(96 — 1)) 94 — 92 + 1
9 нечетно ^9(96 — 1)(98 — 1)) 94 — 92 + 1
2Р4(2)' {2,3, 5} 13
Е6(д) п(9(95 — 1)(98 — 1)(912 — 1)) 96 + 93 + 1 (3,9 — 1)
2Е6(?) 9 > 2 п(9(95 + 1)(98 — 1)(912 — 1)) 96 — 93 + 1 (3,9 +1)
М12 {2,3, 5} 11
^2 {2,3, 5} 7
Дм {2, 3, 5,7,13} 29
Не {2, 3,5,7} 17
МеЬ {2, 3, 5,7} 11
С01 {2, 3,5,7,11,13} 23
Соз {2, 3,5,7,11} 23
Р«22 {2, 3,5,7,11} 13
Рб {2, 3,5,7,11} 19
Таблица 2
Конечные простые группы Р с з(Р) = 3
Р Ограничения на Р П1(Р ) П2 П3
4П п > 6, числа п = р, р — 2 простые п((п — 3)!) Р р — 2
¿1(9) 3 <9 = 61(4) п(9 — б) п(9) (9 + б)/2
¿1(9) 9 > 2, 9 четно {2} 9 — 1 9 + 1
245(2) {2, 3, 5} 7 11
2ДР(3) р = 2т + 1 > 3 п(3(3р-1 — 1) ПГ2(32г — 1)) (3р-1 + 1)/2 (3р + 1)/4
^2(9) 9 = 0(3) п(9(92 — 1)) 92 — 9 +1 92 + 9 + 1
2С2(9) 9 = з2т+1 > з п(9(92 — 1)) 9 — ^39 + 1 9 + У39 + 1
ад 9 четно п(9(94 — 1)(9° — 1)) 94 — 92 + 1 94 + 1
2 ^4(9) 9 = 22т+1 > 2 п(9(93 + 1)(94 — 1)) 92 — Л/293 + 9 — л/29 + 1 92 + л/293 + 9 + л/29 + 1
Ет(2) {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 31, 43} 73 127
Ет(3) {2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 37, 41, 61, 73, 547} 757 1093
Мц {2, 3} 5 11
М23 {2, 3, 5, 7} 11 23
М24 {2, 3, 5, 7} 11 23
{2, 3, 5} 17 19
{2, 3, 5} 7 11
{2, 3, 5, 7} 11 13
С02 {2, 3, 5, 7} 11 23
^¿23 {2, 3, 5, 7, 11, 13} 17 23
{2, 3, 5, 7, 13} 19 31
^2 {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23} 31 47
Таблица 3
Конечные простые группы Р с в(Р) > 3
*(Р) Р Ограничения на Р П1(Р ) П2 п3 п4 П5 П6
4 ¿2(4) {2} 3 5 7
2В2(9) 9=22т+1>2 {2} 9—1 9—^29+1 9+^29+1
2Еб(2) {2, 3, 5, 7, 11} 13 17 19
Ев (9) 9=2, 3(5) п(9(98 —1) (912 —1)(914 —1) (918 —1)(920 —1)) 910+95 + 1 92+9+1 98—94+1 910 —95 + 1 92—9+1
М22 {2, 3} 5 7 11
Л {2, 3, 5} 7 11 19
о'ж {2, 3, 5, 7} 11 19 31
{2, 3, 5, 7, 11} 31 37 67
{2, 3, 5, 7, 11, 13} 17 23 29
Л {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 47} 41 59 71
5 Ев (9) 9=0, 1, 4(5) п(9(98 —1) (910 —1)(912 —1) (914 —1)(918 —1)) 910+95 + 1 92+9+1 910—95 + 1 92 —9+1 98 —94+1 910+1 92 + 1
6 ^4 {2, 3, 5, 7, 11} 23 29 31 37 43
Лемма 1.4 [28]. Пусть р, д — простые числа такие, что ра — дь = 1 для некоторых натуральных чисел а, Ь. Тогда пара (ра, дь) равна (32, 23), (р, 2Ь) или (2а, д).
Лемма 1.5 [21, лемма 1]. Пусть О —конечная группа, N —нормальная подгруппа в О, О/N — группа Фробениуса с ядром Р и циклическим дополнением С. Если (| Р|, | N|) = 1 и Р не содержится в NCG(N)/N, то в|С| £ ш(О) для некоторого в £ ).
Лемма 1.6 [26, предложение 10]. Каждый максимальный тор Т простой группы ^п(д), где п ^ 4, имеет порядок
1 -(дп1 — 1)(дп2 — 1) ■ ■ ■ (дпк — 1)(дг1 + 1)(д12 + 1) ■ ■ ■ (д1т + 1)
(4,дп — 1)
для подходящего разбиения числа п = П1 + п + ... + + ¿1 + + • • • + где т четно. Лемма 1.7 [10, табл. 4, 6, 8]. Пусть Ь = ^р+1(д), где р — нечетное простое число и
Р+
4
д £ {2, 3}. Тогда ¿(Ь) = ^ , ¿(д,Ь) = 3, ¿(2,Ь) =2 при д = 3, р(д,Ь) = {д,гр,г2Р},
р(2, Ь) = {2, гр} при д = 3.
§ 2. Доказательство теоремы
Пусть Ь = (д), где р — нечетное простое число и д £ {2, 3}. Ввиду [21, 33] можно считать, что р ^ 5.
Докажем сначала квазираспознаваемость группы Ь. По лемме 1.1 имеем з(Ь) = 2. Пусть О — конечная группа с условием ш(О) = ш(Ь) и N = Р(О). Положим С = С/Ж. В силу теоремы Грюнберга — Кегеля, результата М. Р. Зиновьевой (Алеевой) [1] и лемм 1.1 и 1.2 имеем 1пп(Р) <1 О ^ АШ;(Р), где Р — конечная простая группа с условиями
в(Р) ^ 2, ) и п(О/1пп(Р)) С п1(О), п2(Ь) = (др — 1)/(д — 1) £ {пг(Р) | 2 < г < в(Р)}.
По теореме А. В. Васильева [9] и лемме 1.7 имеем ¿(Р) ^ ¿(Ь) — 1 = [3р/4] ^ 3 и ¿(2, Р) ^ ¿(2,Ь) ^ 2.
Далее рассматриваются все возможности для Р, описываемые в таблицах 1-3.
Если Р изоморфна одной из спорадических групп или одной из групп 2Аз(2), 2Р4(2)', 2А_5(2), ^7(2), Ег(3), ^2(4), 2Еб(2), Еб(2), то непосредственными вычислениями показываем, что из включения (др — 1)/(д — 1) £ {п»(Р) | 2 ^ г ^ «(Р)} следует, что пара (Ь,Р) равна (Д,(2), £7(2)), (Д,(3), £7(3)), (Аз(2), О'Ж), (Аз(2), Рз), (Аз(2), Р2), (Аз(2), Ьу) или (А(2), /4). Но П1(Р) \ П1(Ь) содержит 73 в первом случае, 757 во втором случае, 19 в случаях с третьего по пятый и 37 в последних двух случаях, что невозможно.
(1) Пусть Р — конечная простая исключительная группа лиева типа над полем порядка г.
Предположим, что р > 7. Тогда ¿(Р) ^ 8. Ввиду леммы 1.1 и [10, табл. 9] (поправку см. в [13, предложение 2]) получаем ¿(Р) = 12 и Р = Ев(г). Поэтому р £ {11,13,17} и
( г10 + г5 + 1 г10 + 1 8 4 г10 — г5 + 1 "
(др — 1)/(д — 1) £< —^—-г, 2 , -, ,г — г +1
г2 + г + 1 г2 + 1 г2 г + 1
Легко проверить, что
г10 + г5 + 1 г10 + 1 8 4 г10 - г5 + 1
-Г" < -Т < г8 — г4 + 1 < -— •
г2 + г + 1 г2 + 1 г2 г + 1
Поэтому множество {п»(Р) | 2 ^ г ^ «(Р)} принадлежит отрезку [151, 331] при г = 2, отрезку [4561, 8401] при г = 3, отрезку [49981, 80581] при г = 4, отрезку [315121,464881] при г = 5, отрезку [4956001, 6568801] при г = 7, отрезку [14709241,18837001] при г = 8 и отрезку [38316961,47763361] при г = 9, отрезку [195019441,158681234401] при 11 ^ г ^ 25
и полуинтервалу [271983020401, при г ^ 27. Поскольку п2(Ь) = (др — 1)/(д — 1) принадлежит {2047, 8191, 797151,12207031,131071, 64570081}, получаем п2(Ь) = 8191 и г = 3. Но тогда п2(Ь) = 8191 £ {4561, 5905, 6481, 8401}; противоречие.
Таким образом, р £ {5, 7} и, следовательно, п2(Ь) принадлежит {31,121} при р =5 и {127,1093} при р = 7.
Пусть Р изоморфна 3^4(г) или Р4(г). По лемме 1.1 п2(Ь) = (др — 1)/(д — 1) £ {г4 — г2 + 1,г4 + 1}. Если (др — 1)/(д — 1) = г4 — г2 + 1, то г4 — г2 + 1 £ {31,121,127,1093}, откуда п2(Ь) — 1 = г2(г2 — 1) £ {2 ■ 3 ■ 5, 23 ■ 3 ■ 5, 2 ■ 7 ■ 32, 22 ■ 3 ■ 7 ■ 13}; противоречие. Если п2(Ь) = г4 + 1, то п2(Ь) — 1 = г4; противоречие.
Пусть Р = 2Р4(г), где г = 22т+1 > 2. Тогда
п2 (Ь) = (др — 1) / (д — 1) = г2 + е^2гЗ + г + е^2г + 1,
откуда п2(Ь) — 1 = 2т+1(23т+1 + е22т+1 + 2т + е1) и, следовательно, т £ {1, 2}. Если т = 1, то г = 8 и п2 (Ь) = 73 + е36 равно 109 при е = + и 37 при е = —; противоречие. Если т = 2, то г = 32 и п2(Ь) = 1057 + е264 равно 1321 при е = + и 793 при е = —; противоречие.
Пусть Р = 2В2(г), где г = 22т+1 > 2. Тогда
п2(Ь) = (др — 1)/(д — 1) £ {г — 1, г + е^2г + 1}.
Предположим, что п2(Ь) = г — 1. Тогда д = 2. Если р = 5, то г = 32 и, следовательно, 31,41 £ п(Р) \ п(Ь); противоречие. Если р = 7, то г = 128 и, следовательно, 113,127 £ п(Р) \п(Ь); противоречие. Поэтому п2(Ь) = г + е\/2Т+1, откуда п2(Ь) — 1 = 2т+1(2т + е1) и, следовательно, т £ {1, 2}. Если т = 1, то г = 8 и п2(Ь) = 9 + е4 равно 13 при е = + и 5 при е = —; противоречие. Если т = 2, то г = 32 и п2(Ь) = 33 + е8 равно 41 при е = + и 25 при е = —; противоречие.
Пусть Р = 2О2(г), где г = 32т+1 > 3. Тогда
п2(Ь) = г + ел/Эг + 1,
откуда п2 (Ь) — 1 = 3т+1(3т + е1) и, следовательно, т = 1. Поэтому г = 27, р =7 и п2(Ь) = 9(3 + е1) равно 36 при е = + и 18 при е = —; противоречие.
(2) Пусть Р = Ап, п > 6. По лемме 1.1 п2(Ь) := г — нечетное простое число, принадлежащее множеству {п, п — 1,п — 2}. Тогда г = гр(д) = (др — 1)/(д — 1). Пусть в = г2р(д). Тогда в делит (др + 1)/(д + 1) и поэтому в ^ (др + 1)/(д + 1) = г — ((др — 1)/(д — 1) — (др + 1)/(д + 1)) = г — 2(др — д)/(д2 — 1) < г — 4. Но тогда числа д и в смежны в графе СК(Р), что противоречит лемме 1.7.
(3) Пусть п = 2т ^ 2 и Р изоморфна Вп(г) (г нечетно и п ^ 4), Сп(г), 2^п(г) (п ^ 4) или 2^п+1 (г) (г £ {2, 3}). По лемме 1.1 возможны два случая: либо Р = 2^п+1 (3), п +1 — простое число и (др — 1)/(д — 1) = (3п+1 + 1)/4, либо
(др — 1)/(д — 1) = (гп + 1)/(2, г — 1).
Предположим, что выполняется первый случай. Пусть д = 2. Тогда 2Р — 1 = (3п+1 + 1)/4. Вычитая 1 из обеих частей последнего равенства, получим 2Р — 2 = (3п+1 — 3)/4, откуда 8(2р-1 — 1) = 3(3п — 1) и, следовательно, (3п — 1)2 = 8. Но тогда п = 2 и, следовательно, р = 3, что противоречит условию р ^ 5. Если д = 3, то 3Р — 1 = (3п+1 + 1)/2, откуда 3Р = 3(3п + 1)/2; противоречие.
Поэтому выполняется второй случай. Если г четно, то (др — 1)/(д — 1) = гп + 1, откуда гп = д(др-1 — 1)/(д — 1); противоречие. Значит, г нечетно.
Пусть д = 2. Тогда 2р — 1 = (гп + 1)/2. Вычитая 1 из обеих частей последнего равенства, получим 2Р — 2 = (гп — 1)/2, откуда гп — 1 = 4(2р-1 — 1). Но гп — 1 делится на 8; противоречие.
Поэтому д = 3 и 3р — 1 = гп + 1, откуда гп — 1 = 3(3р-1 — 1). Ясно, что 3 не делит г, следовательно, г ^ 5.
Если п> р — 1, то гп — 1 = 3(3р-1 — 1) ^ 5р — 1, откуда 3р — 3 ^ 5р — 1 и, следовательно, 2 < (5/3)р ^ 1 — 2/3р < 1; противоречие. Поэтому п ^ р — 1.
Ввиду [10, табл. 8] имеем ¿(Р) = 3п/4 + 1 ^ [3р/4], откуда п ^ р — 2. Но п = 2т = р — 2, следовательно, п ^ р — 1.
Таким образом, п = р—1 ^ 4 и, следовательно, гп — 1 = 3(3п —1). Но тогда гп = 3-3п—2, откуда 7 < (5/3)4 ^ (г/3)п = 3 — 2/3п < 3; противоречие.
(4) Пусть Р = А.(в), где г — нечетное простое число, (в — е1) | (г + 1) и (г, в) = (3, 3), (5, 2) при б = —.
По лемме 1.1 имеем (др — 1)/(д — 1) = (вг — б1)/(в — б1). Вычитая 1 из обеих частей последнего равенства, получим д(др-1 — 1)/(д — 1) = в(вг-1 — 1)/(в — б1).
Пусть г =3. Тогда пара (в, б) равна (3, +) или (5, +) и др — 1 = (д — 1)в(в + 1)/д £ {6, 8,15, 20}, откуда р = 3; противоречие.
Таким образом, г ^ 5. Предположим, что г ^ 7, в = 2 и б = +. Тогда д(др-1 — 1)/(д — 1) £ {30,126} и, следовательно, д = 2 и р = г = 7. Согласно таблице 1 П1(О) \ П1(О) = {11,13, 43}, поэтому {11,13,43} С ). Поскольку подгруппа N нильпотентна, 11 ■ 13 ■ 43 £ ) С и(Ь). Элемент порядка 11 ■ 13 ■ 43 из Ь принадлежит некоторому максимальному тору группы Ь, что противоречит лемме 1.6. Итак, пара (в, б) не равна (2, +) при г ^ 7 и, следовательно, по [10, табл. 8] имеем ¿(Р) = [(г + 2)/2] = (г + 1)/2 ^ [3р/4], откуда легко увидеть, что г ^ (3р — 5)/2. Допустим, что д делит в. Тогда д = в и (др-1 — 1)/(д — 1) = (дг-1 — 1)/(д — б1). Пусть б = —. Тогда (др-1 — 1)/(д — 1) = (дг-1 — 1)/(д + 1). Прибавляя 1 к обеим частям этого равенства, получим (др-1 + д — 2)/(д — 1) = д(дг-2 — 1)/(д + 1), что невозможно Поэтому б = + и р = г, откуда ввиду неравенства г ^ (3р — 5)/2 следует, что р = 5.
Следовательно, д не делит в. Имеем
в.-1 — 1= д(в — б1) (др-1 — 1).
в(д — 1)
Предположим, что в > д. Тогда в ^ 3. Легко проверить, что д(в — б1)/(в(д — 1)) < 3. Поэтому вг-1 — 1 < 3(др-1 — 1) и, следовательно, вг-1 < 3др-1 < вр, откуда г ^ р и, следовательно, г = р = 5. Поэтому в4 < 3д4, откуда (в/д)4 < 3. Если д = 2, то 3 < (3/2)4 ^ (в/д)4 < 3; противоречие. Если д = 3, то 3 < (4/3)4 ^ (в/д)4 < 3; противоречие.
Таким образом, в < д и, следовательно, в = 2 и д = 3. Но тогда 4(2Г-1 — 1) = 3(2 — б1)(3р-1 — 1), что невозможно, так как правая часть последнего равенства делится на 8, а левая — нет.
(5) Пусть г — нечетное простое число и Р изоморфна Вг(в) (в = 3), Сг(в) (в £ {2, 3}), Бг(в) (г ^ 5, в £ {2,3,5}) или Д.+1(в) (г ^ 5, в £ {2,3}). Тогда (др — 1)/(д — 1) = (вг — 1)/(в — 1).
Если г = 3, то д < в и, следовательно, д = 2 и в = 3, откуда 31 = 25 — 1 ^ (др — 1)/(д — 1) = (вг — 1)/(в — 1) = 13; противоречие.
Итак, г ^ 5. Предположим, что г = р и, следовательно, в = д. Если г =5, в = 2 и Р = С5(2), то (др — 1)/(д — 1) = 25 — 1 = 31 и, следовательно, р = г. Поэтому ввиду [10, табл. 8] число ¿(Р) равно [(3г + 5)/4], [(3г + 5)/4], [(3г + 1)/4] и [(3г + 4)/4], если группа Р изоморфна Вг(в), Сг(в), А(в) и А+1(в) соответственно. Теперь из неравенства ¿(Р) ^ [3р/4] легко получается, что г ^ р — 2. Если в < д, то г>р, в = 2 и д = 3 и, следовательно, 2Г — 1 = (3Р — 1)/2, откуда 2Г+1 — 3Р = 1, что противоречит лемме 1.4. Поэтому в > д, откуда г < р и, следовательно, г = р — 2 и р ^ 7. Если в = 3, то д = 2 и, следовательно, 2Р — 1 = (3р-2 — 1)/2, откуда 2Р+1 — 3р-2 = 1, что противоречит лемме 1.4. Поэтому в = 5 и 5Р-2 — 1)/4 = (др — 1)/(д — 1), откуда
5Р-2 = ^ дР-2 + 1 — 4
д—1 д—1
и, следовательно,
(5/д)р-2 < .
д—1
Если д = 2, то 16 < (5/2)5 ^ (5/2)р-2 < 16; противоречие. Поэтому д = 3. Если р > 7, то 16 < (5/3)7 ^ (5/2)р-2 < 16; противоречие. Таким образом, р =7. Но тогда 781 = 55 — 1)/4 = (37 — 1)/2) = 1093, что невозможно.
Итак, г = р и, следовательно, в = д. Изоморфизм Р = Ь = ^р+1(д) означает квазираспознаваемость группы Ь. Поэтому можно считать, что Р = Вр(д), Ср(д) или ^р(д).
Предположим, что Р = ^р(д). Пусть Ь = г2Р(д). В силу таблицы 1 и леммы 1.3 имеем £ £ п(Ь) \ п(Р) = {¿}, поэтому £ £ ). По [31, утверждение 4.1.20] группа Р содержит подгруппу Р1, изоморфную группе и : Ьр(д), где |и| = др(р-1)/2. Ввиду [10, табл. 4] и леммы 1.7 в Р1 найдется элемент х простого порядка гр(д), несмежного с д в графе СК(Р). Поэтому Р2 := (Р1) : (х) есть группа Фробениуса. Пусть X — полный прообраз в О группы Р2. Применяя к факторгруппе Х/О^(Ж) лемму 1.4, получим, что г2Р(д) ■ гр(д) £ ш(Ь), а это противоречит лемме 1.7.
Таким образом, Р = Вр(д) или Ср(д). Но тогда ввиду леммы 1.3 и [8, теоремы 3-5, 7] (др + 1)/(2, д — 1) £ ш(Р) \ ш(Ь), что невозможно.
(6) Пусть Р = А.1(в), где в > 3. Тогда ¿(Р) =3 ^ [3р/2] и, следовательно, р = 5. Допустим, что в = 2° для некоторого Ь £ N. Тогда
д5 — 1 0°
д—1
= 2° + е1.
Пусть д = 2. Тогда 2° = 31 ± 1 £ {30, 32} и, следовательно, Ь = 5 и е = —. Поэтому множество п(Ь) \ п(Р) = {17} содержится в ). Но Р содержит группу Фробениуса, изоморфную 25 : 31. Применяя лемму 1.5, получаем, что 17■ 31 £ п(Ь), что противоречит лемме 1.6. Поэтому д = 3. Если е = +, то 2° = 3(34 —1)/2; противоречие. Следовательно, е = — и 2°+ — 35 = 1, что противоречит лемме 1.4.
Таким образом, в = е1(4) и в = г°, где г — простое число и Ь £ N. Тогда
д5 — 1 ( в + е1 € г.
д—1 2
Пусть д = 3. Тогда (д5 — 1)/(д — 1) = 121 = 112, откуда 121 = (в + е1)/2, т. е. в = 242±1 £ {243, 241}. Поскольку 241 не делит порядок группы Р = Дз(3), в = 243 = 35. Но тогда 11 £ п(Р) \ п(Ь); противоречие.
Поэтому д = 2 и (д5 — 1)/(д — 1) = 31. Предположим, что 31 = (в + б1)/2. Тогда в = 62 ± 1 £ {61, 63} и, следовательно, в = 61 £ п(Р) \ п(Ь); противоречие.
(7) Пусть Р = А.-1(в), где г — нечетное простое число и (г, в) = (3, 2), (3,4) при б = +.
Ввиду лемм 1.1 и 1.2 имеем
вг — б1 др — 1
(в — б1)(г, в — б1) д — 1
откуда
вг — б1 = (г, в — б1)(др — 1) в — б1 д — 1
Вычитая единицу из обеих частей последнего равенства, получаем
вг-1 — 1 = (г, в — б1)(др — 1) — д + 1 в — б1 д — 1
Пусть г = 3. Ввиду [10, табл. 8] 4 ^ ¿(Р) ^ [3р/4], поэтому р = 5.
Предположим, что (3, в — б1) = 1. Тогда в(в + б1) = д(д4 — 1)/(д — 1). Если д = 3, то в(в + б1) = 120 = 23 ■ 3 ■ 5, откуда в = 8 и в(в + б1) = 8(8 ± 1) < 120; противоречие. Поэтому д = 2 и в(в + б1) = 30 = 2 ■ 3 ■ 5, откуда в = 5 и б = +. Но тогда множество п(Ь) \ п(Р) = {11,17} содержится в п^). Отсюда 11 ■ 17 £ ш(Ь), что противоречит лемме 1.6.
Таким образом, (3, в — б1) = 3 и в(в + б1) = 3(д5 — 1)/(д — 1) — 1 £ {22 ■ 23, 2 ■ 181}; противоречие.
Итак, г ^ 5. Если 5 ^ г ^ 11 и в = 2, то ввиду [10, табл. 8] неравенство ¿(Р) ^ [3р/4] и условие п2(Ь) = п2(Р) влекут, что р = г = 5 и б = +, а значит, д = 2. Но тогда 7 £ п(Р) \п(Ь); противоречие. Поэтому опять по [10, табл. 8] имеем ¿(Р) = (г + 1)/2 ^ [3р/4], откуда легко увидеть, что г ^ (3р — 5)/2.
Пусть (г, в — б1) = 1.
Предположим, что д делит в. Тогда д = в и так же, как в (4), получаем г = р и б1 = +, откуда р ^ (3р — 5)/2 и, следовательно, р = 5. Пусть д = 2. Тогда множество П1(Ь) \П1(Р) содержится в п^) и равно {11,17}. Отсюда 11 ■ 17 £ ш(Ь), что противоречит лемме 1.6. Таким образом, д = 3 и, следовательно, множество П1(Ь) \ П1 (Р) содержится в п^) и равно {7,41, 61}. Отсюда 7 ■ 41 ■ 61 £ ш(Ь), что противоречит лемме 1.6.
Таким образом, д не делит в. Имеем
в.-1 — 1 = д(в — б1) (др-1 — 1).
в(д — 1)
Предположим, что в > д и, в частности, в ^ 3. Тогда, как в (4), показываем, что г ^ р. Отсюда следует, что г = р = 5. Легко проверить, что < 3. Поэтому в4 — 1 < 3(д4 — 1)
и, следовательно, в4 < 3д4, откуда (в/д)4 < 3. Если д = 2, то 3 < (3/2)4 ^ (в/д)4 < 3; противоречие. Если д = 3, то 3 < (4/3)4 ^ (в/д)4 < 3; противоречие.
Итак, (г, в — б1) = г. Тогда
в
г 1 — 1 гдр — г — д + 1 гдр г + д — 1
в — б1 в(д — 1) в(д — 1) в(д — 1)
Кроме того, ввиду неравенства г ^ 5 имеем в ^ 4.
Предположим, что б = +. Тогда г/(ч(д — 1)) < 1 и, следовательно,
чГ-1 — 1
чг-2 < чГ-2 + ... + ч + 1 = 4-— < др,
ч—1
откуда чг-2 < др. Ввиду неравенства г ^ 5 и делимости ч — 1 на г имеем ч ^ 8.
Пусть г = 5. Тогда ч ^ 11 и р = 5 (ввиду неравенства г ^ (3р — 5)/2). Поэтому 1331 = 113 ^ ч3 < д5 ^ 35 = 243; противоречие.
Таким образом, г ^ 7. Ввиду неравенства г ^ (3р — 5)/2 имеем 8Г-2 ^ чг-2 < др ^ 5Р и, следовательно, г — 2 < р, откуда г ^ р. Теперь неравенство г ^ (3р — 5)/2 влечет г = р = 5; противоречие. Итак, б = —.
Предположим, что ч =4. Тогда г = 5. Ввиду неравенства 3 = ¿(Р) ^ [3р/4] имеем р = 5. Но тогда 41 = (чг + 1)/(г(ч + 1)) = (др — 1)/(д — 1) € {31,121}; противоречие. Таким образом, ч > 4 и, следовательно, ч ^ 9. Имеем
чг-1 — 1 гдр — г — д + 1 гдр г + д — 1
s + 1 s(q — 1) s(q — 1) s(q — 1)
Предположим, что r/(s(q — 1)) ^ 1. Тогда
--1 = sr-2 — --1 > 4sr-2/5.
s+1 s+1 ;
Отсюда 4■ 9r-2/5 < qp ^ 3p и, следовательно, (4/5) ■ 32(r-2) ^ 3p. Но тогда 32(r-2)-p ^ 5/4, откуда 2(r — 2) — p < 1, т. е. p = 2(r — 2); противоречие.
Таким образом, r/(s(q — 1)) > 1 и, следовательно, q = 2 и r = s + 1. Но тогда s четно и s(sr-1 — 1)/(s + 1)2 = 2(2p-1 — 1), откуда получаем s = 2; противоречие с тем, что s ^ 9. Итак, P = L, т. е. квазираспознаваемость группы L доказана.
Предположим, что N = 1. Можно считать, что N — элементарная абелева r-группа для некоторого простого числа r из п (G) и P действует точно и неприводимо на N.
Предположим, что r = q. Рассмотрим стабилизатор R (p + 1)-мерного вполне изотропного подпространства в ^+(p+1)(q). Положим R = R/Z(^+p+1)(q)). Можно считать,
что R < P. Тогда по [31, утверждение 4.1.20] имеем R = U : Lp+1(q), где |U| = qp(p+1)/2. Ввиду [10, табл. 4] и леммы 1.7 в R найдется элемент x простого порядка rp(q), не смежного с q в графе GK(G). Поэтому U : (x) есть группа Фробениуса. Применяя к группе N : U : (x) лемму 1.4, получим, что r ■ rp(q) G w(L). Элемент порядка r ■ rp(q) из L принадлежит некоторому максимальному тору T группы L. По лемме 1.6 |T| = qp — 1. Поскольку qp — 1 взаимно просто с q% — 1 для всех i < p, можно считать, что r = rp(q). Но тогда подгруппа N : U является группой Фробениуса и, следовательно, U является либо циклической группой, либо (обобщенной) группой кватернионов; противоречие с тем, что на группе U точно действует неразрешимая группа Lp+1(q).
Таким образом, r = q. Если q = 3, то по [30, теорема 1.3] каждый элемент из P фиксирует некоторый неединичный элемент из N, что противоречит лемме 1.1. Итак, N = 1 при q = 3 и N = O2(G) при q = 2.
Предположим, что Inn(P) < G. Если Inn(P) < GПInndiag(P), то граф GK(G) связен, что не так. Поэтому ввиду строения группы Out(P) и [29, (1)-(9)] имеем G = Inn(P) : (t), где t — инволютивный графовый автоморфизм группы P. По [34] централизатор Cp (t) содержит подгруппу, изоморфную группе Bp(q). Поэтому rp(q) G w(Cp (t)). Но по
лемме 1.7 числа 2 и rp(q) не смежны в графе GK(G); противоречие. Таким образом, G = Inn(P ).
Теорема доказана.
Литература
1. Алеева М. Р. О конечных простых группах с множеством порядков элементов, как у группы Фробениуса или двойной группы Фробениуса // Мат. заметки.—2003.—T. 73, вып. 3.—С. 323-339.
2. Алексеева О. А. Квазираспознаваемость по множеству порядков элементов групп 3D4 (q), q четно // Алгебра и логика.—2006.—T. 45, № 1.—С. 3-19.
3. Алексеева О. А., Кондратьев А. С. О распознаваемости группы E8(q) по множеству порядков элементов // Укр. мат. журн.—2002.—^ 54, № 7.—С. 1003-1008.
4. Алексеева О. А., Кондратьев А. С. Квазираспознаваемость одного класса конечных простых групп по множеству порядков элементов // Сиб. мат. журн.—2003.—T. 44, № 2.—С. 241-255.
5. Алексеева О. А., Кондратьев А. С. Квазираспознаваемость по множеству порядков элементов групп 3D4(q) и F4(q) для нечетного q // Алгебра и логика.—2005 —T. 44, № 5.—С. 517-539.
6. Алексеева О. А., Кондратьев А. С. Распознаваемость по спектру групп 2Dp(3) для нечетного простого числа p // Tр. Ин-та математики и механики УрО РАН.—2008.—T. 14, № 4.—С. 3-11.
7. Алексеева О. А., Кондратьев А. С. О распознаваемости по спектру некоторых простых ортогональных групп // Tр. Ин-та математики и механики УрО РАН.—2009.—T. 15, № 1.—С. 30-43.
8. Бутурлакин А. А., Гречкосеева М. А. Циклическое строение максимальных торов в конечных классических группах // Алгебра и логика.—2007.—Т. 46, № 2.—С. 129-156.
9. Васильев А. В. О связи между строением конечной группы и свойствами ее графа простых чисел // Сиб. мат. журн.—2005.—T. 46, № 3.—С. 511-522.
10. Васильев А. В., Вдовин Е. П. Критерий смежности в графе простых чисел конечной простой группы // Алгебра и логика.—2005.—^ 44, № 6.—С. 682-725.
11. Васильев А. В., Горшков И. Б., Гречкосеева М. А., Кондратьев А. С., Старолетов А. М. О распознаваемости по спектру конечных простых групп типов En, Cn и 2Dn при n = 2k // Tр. Ин-та математики и механики УрО РАН.—2009.—^ 15, № 2.—С. 30-43.
12. Васильев А. В., Гречкосеева М. А. О распознаваемости конечных простых ортогональных групп размерности 2m, 2m + 1 и 2m + 2 // Сиб. мат. журн.—2004.—^ 45, № 3.—С. 510-526.
13. Васильев А. В., Гречкосеева М. А. Распознавание по спектру конечных простых линейных групп малых размерностей над полями характеристики 2 // Алгебра и логика.—2008.—T. 47, № 5.— С. 558-570.
14. Гречкосеева М. А. Распознаваемость по спектру группы П+0(2) // Сиб. мат. журн.—2003.—T. 44, № 4.—С. 734-741.
15. Гречкосеева М. А. Распознавание по спектру конечных простых линейных групп над полями характеристики 2 // Алгебра и логика.—2008.—^ 47, № 4.—С. 405-427.
16. Зиновьева М. Р. Распознавание по спектру простых групп Cp(3) для нечетного простого числа p // Алгебра и ее приложения: Тр. Межд. алгебр. конф., посв. 80-летию со дня рождения А. И. Кост-рикина.—Нальчик: КБУ, 2009.—С. 56-57.
17. Зиновьева М. Р., Шен Р., Ши В. Распознавание простых групп Ep(3) по множеству порядков элементов // Tез. докл. Междунар. алгебр. конф., посв. 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша.— М.: Изд-во мат.-мех. фак-та МГУ, 2008.—С. 105-106.
18. Кондратьев А. С. О компонентах графа простых чисел конечных простых групп // Мат. сб.— 1989.—T. 180, № 6.—С. 787-797.
19. Кондратьев А. С. Квазираспознаваемость по множеству порядков элементов групп E6(q) и 2Ea(q) // Сиб. мат. журн.—2007.—^ 48, № 6.—С. 1250-1271.
20. Кондратьев А. С., Мазуров В. Д. Распознавание знакопеременных групп простой степени по порядкам их элементов // Сиб. мат. журн.—2000.—T. 41, № 2.—С. 359-369.
21. Мазуров В. Д. Характеризации конечных групп множествами порядков их элементов // Алгебра и логика.—1997.—Т. 36, № 1.—С. 37-53.
22. Мазуров В. Д. Группы с заданным спектром // Изв. Урал. гос. ун-та.—2005.—№ 36.—С. 119-138.— (Математика и механика; вып. 7.)
23. Семинар по алгебраическим группам.—М.: Мир, 1973.—315 с.
24. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле.—М.: Мир, 1975.—262 с.
25. Aschbacher M. Finite group theory.—Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1986.—274 p.
26. Carter R. W. Centralizers of semisimple elements in the finite classical groups // Proc. London Math. Soc. Ser. 3.—1981.—Vol. 42, № 1.—P. 1-41.
27. Conway J. H., Curtis R. G., Norton S. P., Parker R. A., Wilson R. A. Atlas of finite groups.—Oxford: Clarendon Press, 1985.—252 p.
28. Gerono G. C. Note sur la resolution en nombres entiers et positifs de l'equation xm = yn + 1 // Nouv. Ann. Math.—1870.—Vol. 9, № 2.—P. 469-471.
29. Gorenstein D., Lyons R. The local structure of finite groups of characteristic 2 type.—Providence (RI): Amer. Math. Soc., 1983.—(Mem. Amer. Math. Soc.—Vol. 42, № 276.)
30. Guralnick R. M., Tiep P. H. Finite simple unisingular groups of Lie type // J. Group Theory.—2003.— Vol. 6, № 3.—P. 271-310.
31. Kleidman P., Liebeck M. The subgroup structure of the finite classical groups.—Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1990.—303 p.
32. Kondrat'ev A. S. Recognition by spectrum of the groups 2D2m+1(3) // Science in China. Ser. A: Mathematics.—2009.—Vol. 52, № 2.—P. 293-300.
33. Shi W. J., Tang C. Y. A characterization of some orthogonal groups // Progr. Nat. Sc.—1997.—Vol. 7, № 2.—P. 155-162.
34. Stensholt E. Certain embeddings among finite groups of Lie type // J. Algebra.—1978.—Vol. 53, № 1.— P. 136-187.
35. Williams J. S. Prime graph components of finite groups // J. Algebra.—1981.—Vol. 69, № 2.—P. 487-513.
36. Zsigmondy K. Zur theorie der potenzreste // Monatsh. Math. Phys.—1892.—Vol. 3, № 1.—P. 265-284.
Статья поступила 10 ноября 2009 г.
Кондратьев Анатолий Семенович Институт математики и механики УрО РАН, зав. сектором
Россия, 620219, Екатеринбург, ГСП-384, ул. С. Ковалевской, 16 E-mail: [email protected]
