О группах Шункова с одним условием насыщенности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.54

О группах Шункова с одним условием насыщенности

Константин А. Филиппов*

Институт управления бизнес-процессами и экономики, Сибирский федеральный университет, Свободный, 79, Красноярск, 660041,

Россия

Получена 22.01.2012, окончательный вариант 23.02.2012, принята к печати 10.03.2012 Изучается периодическая группа Шункова, насыщенная некоторым множеством групп вида М х (, где М — конечная простая неабелева группа определённого вида, а ( является конечной 2-группой.

Ключевые слова: насыщенность, группа Шункова.

Введение

Группа О насыщена группами из множества групп Ш, если любая конечная подгруппа из О содержится в подгруппе, изоморфной некоторой группе из Ш. Множество Ш называется насыщающим множеством для О [1].

Решению вопросов, связанных с понятием насыщенности, посвящены уже многие работы [2-9]. В настоящей статье продолжены исследования в этом направлении.

Пусть р — фиксированное простое нечётное число. Множество Хр состоит из групп вида Ь = М х Q, где Q — конечная 2-группа, а М — группа из множества Ур, которое является обединением следующих трёх множеств: А = {Яг(22к+1)1к € I С N}, В = {Ев(32т+1)|ш € 7 С N} и С = {Ь2(ря)|в € К С N,p € Т С Б — множество всех простых чисел}, и при этом каждая группа М € Ур содержит элемент а порядка р, для которого См (а) не содержит инволюций.

Основным результатом работы является Теорема. Если периодическая группа Шункова О насыщена группами из множества Хр, то все её элементы конечных нечетных порядков порождают в О локально конечную подгруппу Е, изоморфную одной из групп Ь2(Г), Ее(Р), Бг(Е) для подходящих локально конечных полей Г, Р, Е и О = Е х 02(О).

Частный случай этого утверждения доказан в работе [2], в которой предполагается, что множество Ур конечно.

1. Известные факты

Предложение 1 ( [10]). Фактор-группа группы Шункова по периодической центральной подгруппе является группой Шункова.

Предложение 2 ( [10]). В группе Шункова с бесконечным числом элементов конечного порядка существует бесконечная локально конечная подгруппа.

Предложение 3 ( [10]). Подгруппа группы Шункова, порожденная любым элементом простого порядка и произвольной инволюцией, конечна.

* filippov_ kostya@ mail. ru © Siberian Federal University. All rights reserved

Из известных свойств групп ¿2(9), Бг(д) и Ев(д) вытекают следующие два предложения:

Предложение 4 ( [11]). Пусть М € Ур, ] — инволюция и а — элемент порядка р из М. Тогда ]м — множество всех инволюций группы М, ак = а-1 для некоторой инволюции к € ]м и все подгруппы порядка р в М сопряжены.

Предложение 5 ( [12]). Пусть М1, М2 и М3 € Ур, тогда (М1 х М2) ф X С М3.

Предложение 6 (теорема Судзуки [13]). Пусть О = Бг(д), Р — силовская 2-подгруппа группы О, В = Р X Н — подгруппа Бореля, Н — подгруппа Картана из В. Тогда

1. Р — группа порядка д2, периода 4, Р' = %(Р) = Ф(Р) = 0.1(Р).

2. Все инволюции группы О сопряжены и С а (а) = Р для любой инволюции а € Р.

3. Любые две силовские 2-подгруппы в О имеют тривиальное пересечение.

4. Н действует транзитивно на множестве инволюций из Р.

5. О порождается любой парой своих силовских 2-подгрупп.

6. О не содержит элементов порядка 3.

Предложение 7 ( [8]). Пусть О — бесконечная периодическая группа; Б — силовская 2-подгруппа группы О со следующими свойствами:

1. |Б| = 8.

2. Б — элементарная абелева.

3. О — насыщена конечными простыми неабелевыми группами.

Тогда О ф Ев^), где Q — локально конечное поле характеристики 3 без подполей порядка 9.

Предложение 8 ( [10]). Пусть бесконечная периодическая группа О насыщена конечными простыми неабелевыми подгруппами и некоторая силовская 2-подгруппа Б из О является конечной группой диэдра. Тогда О изоморфна локально конечной простой группе Ь2(Р), где Р — локально конечное поле нечетной характеристики рр.

Предложение 9 ( [10]). Пусть О = Ев(д), где д = 32п+1 > 3, а — инволюция из О, Т — силовская 2-подгруппа в О. Тогда:

1. Т — элементарная абелева группа порядка 8, Са(Т) = Т и Н = Ма(Т) = ТХ((Ъ)Х(ф), где (Ъ) X (¿) — группа Фробениуса порядка 21.

2. Са(а) = (а) х Ь, где Ь ф Ь2(д).

3. О = (Н,Са(а)) = (Б,Са(а)), где Б — произвольная силовская 2-подгруппа группы О, не содержащая инволюции а.

4. Все инволюции из О сопряжены в О.

Предложение 10 ( [10]). Группа Шункова, насыщенная группами из Бг(д), обладает периодической частью, которая изоморфна простой группе Судзуки Бг^) над локально конечным полем Q характеристики 2.

Предложение 11 ( [9]). Пусть О — бесконечная локально конечная группа, насыщенная группами диэдра. Тогда в О существует строго возрастающая цепочка конечных групп диэдра

б(1) с б(2) с ... с б(п) с ...

такая, что

О = у Б(г) = Ь X (г),

г

где Ь — квазициклическая группа, г — инволюция и 1 = I-1 для любого I € Ь.

Предложение 12 (В.П. Шунков [14]). Периодическая группа с почти регулярной инволюцией локально конечна и почти разрешима.

Предложение 13 (теорема Санова [15, 16]). Произвольная группа, порядки элементов которой не превосходят 4, локально конечна.

Предложение 14 ( [4]). Периодическая группа О, насыщенная проективными специальными группами размерности 2 над конечными полями, изоморфна группе Ь2(Р) над подходящим локально конечным полем Р.

Предложение 15 ( [17]). Периодическая группа, насыщенная некоторым множеством простых групп Ь2(рп), Б1г(22к+1), изоморфна одной из групп Ь2^), Бг((^) для подходящего локально конечного поля Q.

Предложение 16 (В.П. Шунков). Пусть Б — конечная подгруппа бесконечной 2-группы Т. Тогда ^(Б) = Б.

Доказательство. Индукция по |Б|. При |Б| = 1 предложение верно. Пусть |Б| = 1 и Ъ — инволюция из центра Б. Если Ст(Ъ) конечен, то по теореме Шункова Т локально конечна и Б является собственной подгруппой некоторой конечной подгруппы Н из Т. Поскольку NH(Б) = Б, то ^(Б) = Б.

Если Ст(Ъ) бесконечен, Б = Б/(Ъ) — конечная подгруппа бесконечной подгруппы С = Ст(Ъ)/(Ъ). По предположению индукции N0(Б) = Б, откуда Nт(Б) > N0 (Б) = Б. □

2. Доказательство теоремы

По условию теоремы в О есть элементы простого нечетного порядка р, пусть а -- такой элемент. Обозначим через 7 множество всех инволюций группы О, через Ур(О) — множество всех подгрупп группы О, изоморфных группам из Ур, а через Хр(О) — множество всех подгрупп группы О, изоморфных группам из Хр.

Лемма 1. Подгруппа О1 = (а°) насыщена группами из множества Хр.

Доказательство. Пусть К — произвольная конечная подгруппа из О1. Она может содержать неединичный элемент нечетного порядка и может быть 2-группой. Рассмотрим эти случаи в отдельности.

1. К содержит элемент нечетного порядка. По условию теоремы К С Ь1 = М1 х Ql, где М1 € Ур(О), а Ь1 € Хр(О). Тогда К С Ь2 = Ь1 П О1 и Ь2 содержит Л — элемент нечетного порядка. Ясно, что d € М1, а так как М1 П О1 < М1 и М1 — конечная простая неабелева группа, то М1 П О1 = М1. Следовательно, Ь2 = М1 х Q2, где Ь2 € Хр(О) и Q2 = ^1 П О1). И в этом случае лемма доказана.

2. К — 2-группа. По условию теоремы К С Ь1 = М1 х Q1, где М1 € Ур(О), а Ь1 € Хр(О). Если 1 = (М1П О1) <1М1, то М1 П О1 = М1, поскольку М1 — конечная простая неабелева

группа, и М1 • К С Ь2 = (Ь1 П О1) = (М1 х Q2), где Ь2 € Хр(О), Q2 = О1 П Q1, и в этом случае лемма также доказана.

Пусть М1 П О1 = 1. Возьмем в М1 элемент d простого порядка, отличного от 2. Тогда ^^у), где у € {а°}, — конечная группа и ^^у) С М2 € Ур(О). Но тогда d-1 y-1dy € (О1П М2) < М2 и, значит, d-1y-1dy = 1. Действительно, М2 П О1 = 1, поскольку 1 = d € (М1 П М2) и если М2 П О1 = 1, то в силу простоты М2, М2 П О1 = М2, а значит, d € О1, что невозможно. Таким образом, Лу = yd для любых у € аа и все элементы простых порядков, отличных от 2 из М1 , перестановочны поэлементно с О1 . Так как подгруппа, порожденная всеми элементами простых порядков, отличных от 2, из М1, нормальна в М1 , то

в силу простоты М1 получим, что М1 порождается всеми элементами простых порядков, отличных от 2. Последнее означает, что М1 и О1 поэлементно перестановочны, т.е. в О можем рассмотреть подгруппу О1 х М1. Возьмем в О1 конечную простую неабелеву подгруппу Мз такую, что М3 € Ур(О). Такая группа существует по условию теоремы. Рассмотрим конечную подгруппу М4 = М3 х М1. По условию теоремы М4 С М5 € Ур(О). Но никакая группа из Ур не содержит подгрупп, изоморфных М4 (предложение 5). Следовательно, предположение о том, что М1 П О1 = 1, не верно. Значит, М1 П О1 = 1, и, как показано выше, в этом случае лемма доказана. □

Лемма 2. Не ограничивая общности, можно считать, что О = О1 = (аа).

Доказательство. По лемме 1 О1 = (аа) удовлетворяет условиям теоремы.

Предположим, что для О1 теорема верна, в частности, все элементы нечетного порядка в О1 порождают локально конечную подгруппу Е, изоморфную одной из групп в формулировке теоремы. Пусть х — элемент нечетного порядка из О \ Е. Подгруппа Е ■ (х) локально конечна. Возьмём 1 = ( € Е и рассмотрим конечную подгруппу (х,(). По условиям теоремы (х,() содержится в конечной подгруппе ¿1 группы О, при этом ¿1 = М1 х Ql, где М1 € Ур(О), а Ь1 € Хр(О). Так как Е П М1 < М1, то М1 < Е, а поскольку х — элемент нечетного порядка, то х € М1. Получили противоречие с выбором х. Следовательно, все элементы нечетных порядков из О лежат в Е, а потому Е - нормальная подгруппа группы О. Так как подгруппа Е проста, то Е П О2 (О) = {1} и мы можем образовать подгруппу Н = Е х О2(О). Для доказательства леммы нам нужно установить равенство Н = О. Предположим, что это не так, и пусть д € О \ Н. Обозначим через Е некоторую конечную простую неабелеву подгруппу группы О. Если при этом О содержит подгруппу А, изоморфную Евто считаем, что Е = А. Из локальной конечности и нормальности подгруппы Е выводим, что (Е, д) — конечная подгруппа. По условию теоремы она содержится в подгруппе вида Ь2 = М2 х Q2, где М2 € Ур(О), Ь2 € Хр(О). Ясно, что Е < М2 < Е. Следовательно, д = г(, где г € Е, ( € Q2, ( / Н и ( централизует М2. Обозначим через Ъ элемент из Е, для которого Ъ( = (Ъ (такой элемент существует, так как в противном случае ( € Са(Е) = О2(О) и ( € Н).

Рассмотрим теперь конечную подгруппу К = (Ь2, Ъ). В силу условия теоремы К < Ьз = Мз х Q3, где М3 € Ур(О), Ь3 € Хр(О). Отсюда выводим, что ( = уг = гу, где у € М3, г € Q3. Заметим, что 1 = у = (г-1, у является 2-элементом и у € Са(М2). Пусть г — инволюция из (у). Итак, мы получили следующую ситуацию: в группе Мз имеется инволюция г, которая централизует её подгруппу М2. Это невозможно, если М3 — одна из групп Ь2(2п), Бг(22к+1), поскольку в этих подгруппах централизатор любой инволюции является 2-группой. Если Мз ф ¿2 (р'?), р > 2, то это невозможно т.к. централизатор любой инволюции в такой группе разрешим (является группой диэдра). Пусть, наконец, Мз ф Ев(д) . В силу выбора подгруппы Е отсюда выводим, что Е ф Ев(д) и инволюция г централизует эту подгруппу. Последнее

невозможно ввиду предложения 9. Итак, мы получили противоречие. Значит, лемма верна. □

Далее мы будем считать, что О = О1 = (аа).

Лемма 3. Если N — собственная нормальная подгруппа группы О, то N ^ % (О) и N — 2-группа.

Доказательство. Пусть О = (аа), подгруппа N нормальна в О и 1 = N < О. Очевидно, а / N. Допустим, что а = ах для некоторого элемента х из N. Так как подгруппа Ьх = (а, ах) конечна, то по условиям теоремы Ьх ^ Ь ^ О, Ь = М х Q, М € Ур(О), а Ь € Хр(О). Все элементы порядка р из Ь, очевидно, содержатся в Мб и ввиду простоты группы М из 1 = а-1х-1ах € N П М заключаем, что М ^ N и N = О. Полученное противоречие означает, что а-1 х-1ах = 1 для любого элемента х € N, Ъ-1х-1Ъх = 1 для всех элементов Ъ € аа. Следовательно, N ^ % (О). Пусть г — произвольный элемент из N. По условию

теоремы Ъ € Ь1 = (М1 х Q1), где М1 € Ур(О), а Ь1 € Хр(О). Как показано выше, Ъ € Z(О), и значит, Ъ € Ql, т.е. Ъ — 2-й элемент. В силу произвольности выбора Ъ из N получем, что N — 2-группа. □

Лемма 4. Если теорема для группы О неверна, то можно считать, что О — бесконечная группа и 02 (О) = 1.

Доказательство. Если О — конечная группа, то из условия теоремы непосредственно следует, что О € Хр(О) и теорема верна. Пусть группа О бесконечна. Докажем, что условия теоремы переносятся на фактор-группу О = О/02(О). По лемме 3 02(О) содержится в Z(О) и по предложению 1 О является группой Шункова. Пусть Ьо — произвольная конечная подгруппа в О. Ввиду теоремы Шмидта полный прообраз Ьо подгруппы Ьо в О локально конечен. Значит, Ьо = К02(О) для некоторой конечной подгруппы К из Ьо. По условию насыщенности К < Ь = М х Q < О, где Ь € Хр(О), а М € Ур(О). Поскольку 02(О) — 2-группа, а М — простая конечная неабелева группа, то М П 02(О) = 1 и Ьо ^ М х Q, где М ^ М, Q = Q • 02(О)/02(О) — единичная, или конечная, 2-группа. Следовательно, фактор-группа О/02(О) наследует условие насыщенности группами из Хр. Если О/02(О) конечна, то, полагая Ьо = О, получим Ьо = О ~ М и, очевидно, О = Мх02(О), что доказывает теорему. Таким образом, если О — контрпример к теореме, то О — также контрпример к теореме и 02(О) = 1. Положим О = О. □

Пусть к € 7 и Ьо = (а, к). По предложению 3 подгруппа Ьо конечна и по условию насыщенности Ьо ^ Ь < О, где Ь = М х Q, М € Ур(О), Ь € Хр(О). Ввиду предложения 4 имеет место

Лемма 5. Произвольная инволюция ] из подгруппы Ь либо перестановочна со всеми элементами порядка р из Ь, либо не перестановочна ни с одним из них, при этом инвертирует некоторый элемент порядка р из аь. В первом случае ] € Q, во втором — либо ] € М, либо ] = гЪ, где г — инволюция из Q, Ъ — инволюция из М.

Лемма 6. Если инволюция ] перестановочна с некоторым элементом из аа, то ] перестановочна с каждым элементом из аа, то есть ] € Са(аа).

Доказательство. Без ограничения общности можем считать, что а] = ]а. Пусть Ь € аа, и допустим, что jЬ = ^ и ЬР = Ь-1. По предложению 4 подгруппа (Ьконечна. Как и выше, (Ь< Ь = М х Q < О, где М € Ур(О), а Ь € Хр(О). Так как jЬ = Ьj, то ввиду леммы 5 j инвертирует некоторый элемент порядка р из М. Поскольку все подгруппы порядка р в М сопряжены (предложение 4), то j инвертирует некоторый элемент Л из аа. Рассмотрим Б = (Л, а^). Тогда группа Б конечна и по условию теоремы Б ^ Ь1 = М1 х Ql, где М1 € Ур(О), Ь1 € Хр(О), а (а, Л) С М1. Но равенства аР = а и Ь = Ь-1 противоречат лемме 5. Значит, jЬ = ^ для любого элемента Ь € аа. □

Лемма 7. О не содержит инволюций, перестановочных с элементом а.

Доказательство. Предположим обратное, и пусть j — такая инволюция. По лемме 6 j € Z(О), что противоречит лемме 4. □

Лемма 8. О насыщенна группами из множества Ур.

Доказательство. Пусть К — конечная группа из О. По условию насыщенности К < М х Q2, где М содержит элемент а из аа. Тогда по лемме 7 Q2 = 1 и, следовательно, К < М € Ур. □

Лемма 9. Пусть группа О содержит подгруппу Ь, изоморфную группе ЕеТогда О изоморфна группе Еедля подходящего локально конечного поля Q.

Доказательство. В силу предложения 9 Ь содержит подгруппу К = (х)х (((у)х (г))Х(ф), где 1х1 = 1у1 = 1г1 = 2, |(| = 3; ((у) х (г)) X (( изоморфна знакопеременной группе А4. Предположим, что порядок силовской 2-подгруппы Б группы О равен 8. Тогда О ф Ев по предложению 7. Покажем, что случай |Б| > 8 невозможен.

Действительно, пусть |Б| > 8. Рассмотрим 2-подгруппу А = (х) х (у) х (г). Она содержится в некоторой подгруппе Б1 порядка 16 (см. предложение 16). Так как ( € N0^), |Б1 : A| =2 и О - группа Шункова, то В = (Б1, () - конечная группа со свойствами: порядок силовской 2-подгруппы из В больше 8; В содержит элементарную абелеву 2-подгруппу порядка 8; В содержит элемент порядка 6. Заметим теперь, что группы из насыщающего множества подгрупп с такими свойствами не содержат. Получили противоречие. Значит, О ф Еви лемма доказана. □

Завершим доказательство теоремы. Если О содержит подгруппу изоморфную Ев(д), то теорема верна согласно лемме 9. Если группа О не содержит такую подгруппу, то теорема справедлива в силу предложения 15.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 10-01-00509-а).

Список литературы

[1] А.К.Шлёпкин, Сопряженно бипримитивно конечные группы, содержащие конечные неразрешимые подгруппы, Сб. тез. III междунар. конф. по алгебре, Красноярск, 1993, 369.

[2] А.А.Дуж, А.И.Созутов, К.А.Филиппов, О группах Шункова с одним условием насыщенности, Алгебра, логика и методика обучения математике: материалы Всероссийской конф., посв. 100-летию со дня рождения С.Л.Эдельмана, Красноярск, 2010, 58-63.

[3] Д.Н.Панюшкин, Л.Р.Тухватуллина, К.А.Филиппов, О группах Шункова, насыщенных прямыми произведениями циклических и проективных специальных линейных групп, Труды ИММ УрО РАН, 16(2010), №2, 177-185.

[4] К.А.Филиппов, А.Г.Рубашкин, О периодических группах, насыщенных группами ¿2(рп), Сиб. мат. журн, 46(2005), №6, 1388-1392.

[5] А.К.Шлепкин, О сопряженно бипримитивно конечных группах, насыщенных конечными простыми подгруппами и3(2п), Алгебра и логика, 37(1998), №5, 606-615.

[6] А.К.Шлепкин, О периодической части некоторых групп Шункова, Алгебра и логика, 38(1999), №1, 96-125.

[7] А.К.Шлёпкин, О некоторых периодических группах, насыщенных конечными простыми подгруппами, Матем. труды, 1(1998), №1, 129-138.

[8] А.К.Шлёпкин, О.В.Васильева, О периодических группах с абелевой силовской 2-под-группой порядка 8, Мат. системы, 1(2001), 54-60.

[9] А.К.Шлёпкин, А.Г.Рубашкин, Об одном классе периодических групп, Алгебра и логика, 44(2005), №1, 110-119.

[10] А.К.Шлёпкин, Группы Шункова с дополнительными ограничениями, Дис. д-ра физ.-мат. наук, Красноярск, 1998.

[11] Д.Горенстейн, Конечные простые группы, М., Мир, 1985.

[12] М.И.Каргаполов, Ю.И.Мерзляков, Основы теории групп, М., Физматлит, 1996.

[13] В.М.Бусаркин, Ю.М.Горчаков, Конечные расщепляемые группы, М., Наука, 1968.

[14] В.П.Шунков, О периодических группах с почти регулярной инволюцией, Алгебра и логика, 11(1972), №4, 470-494.

[15] Д.В.Лыткина, Строение группы, порядки элементов которой не превосходят числа 4, Сиб. мат. журн, 48(2007), № 2, 353-358.

[16] И.Н.Санов, Решения проблем Бернсайда для периода 4, Учен. записки ЛГУ. Сер. матем., 10(1940), 166-170.

[17] К.А.Филиппов, Группы Цассенхауза с бесконечной силовской 2-подгруппой, 4(2005), 109-110.

On Shunkov Groups with One Saturated Condition

Konstantin A. Philippov

It is study periodic group Shunkov, saturated some set of groups M x Q, where M — finite simple nonabelian a certain kind group, Q — finite 2-group.

Keywords: saturated condition, Shunkov group.