CC BY
7
Владикавказский математический журнал 2015, Том 17, Выпуск 2, С. 22-31
УДК 519.542
О КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ С НЕБОЛЬШИМ ПРОСТЫМ СПЕКТРОМ, II1
А. С. Кондратьев
К 60-летию
Владимира Амурхаповича Койбаева
Обзор недавно полученных автором совместно со своими учениками результатов относительно конечных групп, граф простых чисел которых имеет небольшое число вершин. Уточнено описание главных факторов 4-примарных конечных групп с несвязным графом простых чисел. Описаны конечные почти простые 5-примарные и 6-примарные группы и их графы простых чисел. Описаны главные факторы конечных неразрешимых 5-примарных группах О с несвязным графом Грюнберга — Кегеля таких, что \к(О/Е(О))| < 4. Решена задача реализации абстрактных графов с числом вершин, не превосходящим пяти, как графов простых чисел конечных групп. Описаны конечные почти простые группы с графами простых чисел, все связные компоненты которых являются кликами. Описаны конечные почти простые группы, графы простых чисел которых не содержат треугольников. Доказана распознаваемость групп Е7(2), Е7(3) и 2 Е6(2) по графу простых чисел. Классифицированы абсолютно неприводимые ЯЬ„(р^)-модули над полем простой характеристикир, на которые элемент заданного простого порядка т из цикла Зингера группы ЯЬ„ (р) действует свободно, в следующих трех случаях: а) вычет числа р^ та модулю т порождает мультипликативную группу поля порядка т (это условие выполняется, в частности, для т = 3); б) т = 5; в) п = 2.
Ключевые слова: конечная группа, почти простая группа, главный фактор, простой спектр, граф простых чисел, распознаваемость, модулярное представление.
Введение
Изучение конечных групп в зависимости от их арифметических свойств (порядков элементов и подгрупп, мощностей классов сопряженных элементов, различных п-свойств, степеней неприводимых характеров и т. д.) является важным направлением в теории конечных групп, имеющим богатую историю. Классификация конечных простых групп во многом сводит это изучение к случаю почти простых групп, т. е. групп А со свойством 1пп(Р) ^ А ^ АиЬ(Р), где Р — некоторая конечная неабелева простая группа.
Пусть О — конечная группа. Множество простых делителей числа |О| будем называть простым спектром группы О и обозначать через п (О). Спектром же группы О называется множество ш(О) порядков ее элементов. Спектр ш(О) определяет граф простых чисел (граф Грюнберга — Кегеля) Г(О) группы О, в котором множество вершин есть п(О) и две вершины р и д смежны тогда и только тогда, когда рд £ ш(О). Граф
© 2015 Кондратьев А. С.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 13-01-00469, Комплексной программы фундаментальных исследований УрО РАН, проект № 15-16-1-5, и в рамках проекта повышения конкурентоспособности, соглашение между Министерством
образования и науки Российской Федерации и Уральским федеральным университетом от 27.08.2013, № 02.А03.21.0006.
r(G) можно рассматривать как подмножество спектра w(G), состоящее из произведений двух различных простых чисел, входящих в o>(G).
Понятие графа простых чисел возникло при исследовании некоторых когомологических вопросов, связанных с целочисленными представлениями конечных групп, и оказалось весьма плодотворным.
Малоизвестен факт, что граф r(G), в отличие от спектра w(G), может быть однозначно определен по таблице характеров группы G.
Граф коммутативности A(G) группы G есть граф с множеством вершин G \ Z(G), две вершины ж, у которого смежны тогда и только тогда, когда xy = yx. Графы коммутативности впервые были исследованы Брауэром и Фаулером в 1955 г. для того, чтобы доказать фундаментальный результат для классификации конечных простых групп о конечности множества изоморфных типов конечных простых групп с заданным централизатором инволюции. С тех пор эти графы являются популярным предметом изучения в теории групп. Несложно доказать, что если конечные неабелевы группы G и Н, порядки центров которых совпадают, имеют изоморфные графы коммутативности, то r(G) = Г(Н).
Приведенные факты показывают, что граф r(G), наряду со спектром w(G), является
G
Интерес многих исследователей вызывают различные проблемы распознаваемости — характеризации группы по некоторому набору ее параметров с точностью до изоморфизма. Примерами таких проблем являются проблемы распознаваемости конечных групп
G
по спектру (соответственно по графу простых чисел), если для любой конечной группы Н равенство ш(Н) = o>(G) (соответственно r(G) = Г(Н)) влечет изоморфизм Н = G.
К настоящему времени по проблеме распознаваемости по спектру конечных простых групп достигнут впечатляющий прогресс. Так, она практически сведена к случаю почти простых групп.
Задача распознаваемости конечных групп по графу простых чисел является частным случаем общей задачи изучения конечных групп по свойствам их графов простых чисел. В рамках этой общей задачи прежде всего наше внимание привлекает более подробное изучение класса конечных групп с несвязным графом простых чисел. Конечные почти простые группы с несвязным графом простых чисел описаны в работах Уильямса [1], автора [2], Ииёри и Ямаки [3] и Лучидо [4]. Весьма полезный критерий смежности вершин в графах простых чисел конечных простых групп найден в работах А. В. Васильева и Е. П. Вдовина [5, 6].
В данной работе дан обзор недавно полученных автором совместно со своими учениками результатов относительно конечных групп, граф простых чисел которых имеет небольшое число вершин. Он продолжает обзор автора [7] на ту же тему.
Наши обозначения и терминология в основном стандартны, их можно найти в [8-10]. Конечная группа G называется п-примарной, еели |n(G)| = п.
1. Конечные n-примарные группы для n ^ 6
В рамках задачи подробного изучения класса конечных групп с несвязным графом простых чисел в работах автора и И. В. Храмцова (см. [11-14]) были проведены исследования конечных групп, граф простых чисел которых несвязен и имеет 3 или 4 вершины. В недавних работах [15-18] нами было уточнено описание главных факторов 4-примарных конечных групп с несвязным графом простых чисел.
В дальнейшем исследование конечных n-примарных групп для небольших n было продолжено. Главной целью здесь является описание главных факторов конечных неразрешимых не почти простых групп с несвязным графом Грюнберга — Кегеля.
В работах [19, 20] автором были определены конечные почти простые 5-примарные группы и их графы простых чисел. В частности, доказана следующая теорема, которую мы приводим в исправленном и уточненном виде.
Теорема 1. Конечная почти простая группа G с цоколем P является 5-прпмарной тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих утверждений:
(1) группа P изоморфна одной из групп Ац, A12, ¿2(9) для q G {26, 28,29, 53,54, 73, 74,112, 172, 192} ¿з(9) ¿з(27) ¿4(9) для q G {4, 5, 7} ¿5(2), ¿5(3) La(2), U3(q) для q G {16,17, 25, 81} ЗД) для q G {4, 5, 7, 9} ^(3), Ua(2) ^4(9) для q G {8,16,17, 25,49} Sa(3), 58(2), 07(3), O++(3), O-(2), G2(q) для q G {4, 5, 7, 8}, M22, J3, HS, Иешш McL;
(2) G = L2(2p), где p ^ 11 — простое число и |n(22p — 1)| =4;
(3) G = Aut(L2(2p)), где p ^ 7, 2p — 1 и (2p + 1)/3 — различные простые числа;
(4) G = Aut(L2(3p)) пли O2(Aut(L2(3p))), гдер ^ 5 ^простое число и |n((3p — 1)/2)| = |n((3p + 1) /4) | =1;
(5) G = L2(p) или PGL2 (p) где p ^ 29 — простое число и |n(p2 — 1)| =4;
(6) G = L2(pr) или PGL2(pr), где p G {3, 5, 7,17} r — простое число, 3 < r = p ж |n(p2r — 1)| =4;
(7) U3(2p) < G < PGU3(2p) : 2, где p ^ 5 и 2p — числа ж |n((2p + 1)/3)| = |n((22p — 2p + 1)/3) | =1;
(8) группа P изоморфна L3(p), где e G {+, —} p — простое число, 17 = p ^ 11, 1^-1)1=3 я |7r(|±^ti) 1=1;
(9) G = S4 (p) или PGSp4(p), где p ^ 11 — простое чиело, |n(p2 — 1)| = 3 и p2 + 1 = 2r
2r2 r;
(10) G = Sz(2p), где p ^ 7 и 2p — 1 — простые числа и |n(22p + 1)| =3;
(11) G ^ Aut(Sz(8)).
5
примарных групп, полученный в [21, 22]. Результаты статьи [20] показывают также, что конечные простые 5-примарные группы, кроме групп L4(q) для q G {4, 7} и ^4(9) для q G {4, 5, 7, 9}, имеют несвязный граф простых чисел.
Используя результаты работ [11] и [12] и вычисления в системе компьютерной алгебры G АР [23], В. А. Колпакова и автор в [24] получили описание главных факторов коммутантов конечных неразрешимых 5-примарных групп G с несвязным графом r(G) в случае, когда G/F (G) — почти про стая n-примарная группа для n ^ 4.
Недавно В. А. Колпакова и автор в [25] определили конечные почти простые 6-при-марные группы и их графы простых чисел. В частности, доказана следующая теорема, которую мы приводим в исправленном и уточненном виде.
Теорема 2. Если конечная почти простая группа G с цоколем P являет ся 6-примар-ной, то выполняется одно из следующих утверждений:
(1) группа P изоморфна одной из групп An для n G {13,14,15,16} L2(q) для q G {210, 21а, 3a, 38, 310, 55, 114, 173, 174} L3(q) для q G {24, 27,29, 52, 72} L4(q) для q G {23, 32,17} L5(7) La(3) L7(2), ^3(9) для q G {29,33, 53, 54, 72, 73, 172} ^4(9) для q G {23,24, 52} U5(q) для q G {4, 5, 9} Ua(3), U7(2) 07(9) для q G {5, 7} O9(3), PSp4(q) для q G {25, 33, 34,35, 112, 172} PSpa(q) для q G {4, 5, 7} PSp8(3), O+(q) для q G {4, 5, 7},
О-(3), О+(2), О-0(2) (д) для д С {4, 5} О2(д) для д С {32,17} 2О2(33), ¿4(2), Ди, Со^ С03, М23, М24, ¿122, НЫ;
(2) О = Аи^Р2(2Г)) где г ^ 11 — простое число, г С п(Р) и |п(22г — 1)| = 4;
(3) О = Ь2(2т) где г ^ 37 — простое число, г С п(Р) и |п(22г — 1)| =5;
(4) О = ¿2(22г) или Ог(А^(р2(22г))), где г ^ 7 и 2Г — 1 — простые нечетные числа,
г^п(С), |7Г(2^)| = 1ж|7Г(22- + 1)|=2;
2 2 2
(5) О = Ь2(2т ), где г ^ 7 — простое число, г С п(О) |п(2г — 1)| = 2 и |п(2г + 1)| =
|п(22г — 1)| =3; ^
(6) Р = Ь2(32г) и С ^ Ог(Аи1(Р)), где г > 13 — простое число, г £ ж(Р), |7г(^-!-)| = К^)| = 1и|7Г(^)|=2;
(7) Р = ¿2(3Г ) или Ог(Аи1(Р)), где г — простое число, г £ ж(Р), |"7г(^р-)| = |7г(^)| = 1ж|тг(32-2-1)|=5;
(8) Р = Ь2(р), где р ^ 131 — простое число и |п(р2 — 1)| =5;
(9) Р = Ь2(р2), где р ^ 29 — простое число, |п(р2 — 1)| = 4 и |п(р2 + 1)| =2;
(10) Р = Ь2(р2), где р ^ 13 — простое число и |п(р2 — 1)| = |п(р2 + 1)| =3;
(11) О = Ь2(рг) : г или А^(Ь2(рт)), где р С {3, 5, 7, 17} и г — простые числа, г тт(Р), рт = е1 (тос! 4) для е £ {+, -}, и \тт(рг - е1)| = |7г(2-±^-)| = 2;
(12) О = ¿2(рг) или РО^2(рг))), где риг — нечетные простые числа, г С п(Р) и |п(р2г — 1)| =5;
(13) Р = Ь3(2Г) и О ^ Ог(Aut(P)) где е С {+, — } г и 2Г — 1 — простые числа, г ^ 5 при £ = + И Г ^ 19 при £ = —, Г 7г(Р), Н^дЫ)! = 1 И = 2;
(14) О = Ь3(3Т) или Ь3(3Т) : 2, гДе е С {+, —} г — простое число, г ^ 7 при е = + и г ^ 5 при £ = -, г <£ тг(Р), |тг(^)| = |тг(^)| = 1 ж |тг(32г +еЗг + 1)| = 2;
(15) Р = Щ(р)> где р ^ 41 — простое число, е С {+, — } |п(р2 — 1)| = 4 и
(16) Р = Щ(р), Щв р — простое число, е С {+, —} р ^ 11 при е = + и р ^ 31 при £ = -, 17^-1)1=3*1*^^)1=2;
(17) Р = и3(2г) и Р : г ^ О, где г ^ 5 и 2Г — 1 — простые числа, г С п(О) и к№)| = |тг(^±1)| = 1;
(18) Р = ¿4(р), где е С {+, —} р — простое число, р ^ 19 для е = + ж р ^ 11 для
е = _ ^ - 1)1 = 3 и |тг(^Йу)| = |тг(^±)| = 1;
(19) С = РБр4:{2'г), где г > 5 и 2Г — 1 — простые числа, г £ 7г(С), = 1 и |п(22г + 1)| =2; ^
(20) С = РБр^'У) или РСр4(Зг), где г > 5 — простое число, г ^ 7Г(С), = |7г(^)| = 1ж|тг(32- +1)|=3;
(21) Р = Рвр^р), где р ^ 29 — простое число, \тг(р2 — 1)| = 4 и |7г(2-^)| = 1;
(22) Р = Рвр^р), где р^ 13 — простое число, |тг(р2 — 1)| = 3 и |7г(2-^)| = 2;
(23) С = С2(р), где р ^ 13 — простое число, \тг(р2 — 1)| = 3 и = 1 для е С{+, —};
(24) О = ), где г ^ 13 — простое число, г С п(Р), |п(2г —1)| = 1и |п(22г + 1)| = 4;
(25) О = Бг(2т), гдег ^ 11 —простое число, г С п(Р) |п(2г —1)| = 2 и |п(22г + 1)| = 3;
(26) О = Аи^5^(2г)), где г ^ 7 и 2Г — 1 — простые числа, и |п(22г + 1)| =3.
6
примарных групп, полученный Джафарзаде и Иранманешем в [21]. В этой же их статье
д
д2 — 1 имеет не более пяти различных простых делителей?
Частный случай этой проблемы, когда |п(д2 —1)| ^ 2, хорошо известен (см., например, статью Герцога [26]): |п(д2 — 1)| ^ 2 тогда и только тогда, когда д £ {2,3,4, 5, 7, 8, 9,17}.
Случаи, когда число |п(д2 — 1)| равно 3, 4 и 5 рассмотрены соответственно автором и И. В. Храмцовым [11, 12], автором [20] и В. А. Колпаковой и автором [25]. Таким образом, получена классификация степеней д простых чисел таких, что |п(д2 — 1)| ^ 5. Дальнейшее уточнение этой классификации приводит к диофантовым уравнениям, решение которых трудно и для современной теории чисел. Например, уже вопрос конечности множества степеней д простых чисел таких, что |п(д2 — 1)| =3, равносилен до сих пор открытому вопросу Ши 13.65 из «Коуровской тетради» [27].
2. Конечные группы с заданными свойствами графа простых чисел и смежные вопросы
В работе [28] автором доказано, что группы Е7(2) и Е7(3) распознаются по графу простых чисел. Как следствие, завершено положительное решение поставленной в обзоре [29] проблемы В. Д. Мазурова о том, что любая конечная простая группа, граф простых чисел которой имеет по крайней мере три компоненты связности, либо распознаваема по спектру, либо изоморфна Аб. В недавней работе [30] автором доказано, что группа 2Е6(2) распознается по графу простых чисел. Заметим, что графы простых чисел групп 2 £6(2), ^(2) и ^(3) состоят соответственно из 8, 12 и 15 вершин.
Вызывает интерес проблема о реализуемости абстрактного конечного графа в виде графа простых чисел некоторой конечной группы. Работ, посвященных этой проблеме совсем не много. В неопубликованной бакалаврской работе И. Н. Жаркова, студента В. Д. Мазурова, было доказано, что цепь реализуется как граф простых чисел некоторой конечной группы тогда и только тогда, когда ее длина не превосходит 4. Интересно, что аналогичная проблема рассматривалась Тонг — Вьетом [31] для графа, который стро-
О
простые делители степеней неприводимых характеров группы О, и две вершины р и д
рд
О
Конечно, в общем случае сформулированная проблема имеет отрицательное решение. Например, из [1-3] легко следует, что граф, состоящий из пяти попарно не смежных вершин (5-коклика) не может быть графом простых чисел конечной группы. Однако в работе А. Л. Гаврилюка, автора, Н. В. Масловой и И. В. Храмцова [32] было показано, что для любого графа, имеющего не более пяти вершин, кроме 5-коклики, эта проблема имеет положительное решение.
О
графа Г(О) являются деревьями, т. е. связными графами, не содержащими циклы. Кроме того, в этой работе описано строение конечной группы, граф простых чисел которой является деревом. О. А. Алексеева и автор рассматривают более общую задачу описания строения конечной группы О такой, что граф Г(О) не содержит треугольни-
О
получили следующий результат.
ОР Г(О) не содержит треугольников, то выполняется одно из следующих утверждений:
(1) группа Р изоморфна одной из групп Ап для п £ {5,6,7} £2(д) для д £ {7,23, 34, 11,13,17,52, 72,29} ¿з(д) для д £ {3,4,5,17} из(д) для д £ {3, 7} ¿4(3), и(д) дляд £ {2, 3} О2(3) 2 £4(2)', Мш М22;
(2) группа О изоморфна одной из групп А8, £2 (д) для д £ {24,26} £з(д) для д £ {7, 8, 9} ¿з(7) : 2 ¿з(9) : 2 и(д) для д £ {4, 5, 8} Ц,(5) : 2 и(8) : 3 и(2) 2О2(27);
(3) Р = ¿2 (д) ДЛЯ д £ {5з, 172} и РО£2 (д) ^ О;
(4) Р = £2(д), где д £ {2Р, 3Р} р — нечетное простое число и |п(д —1)| ^ 2 ^ |п(д + 1)|;
(5) О = £2(р), где р > 17 — простое число и |п(р — 1)| ^ 2 ^ |п(р + 1)|;
(6) О = РО£2 (р), где р > 17 — простое число, отличное от чисел Ферма и Мерсенна и |п(р2 — 1)| =3
(7) О = £2(д), где д = рг, р £ {3,5,7,17} г — простое число, г не делит |О|, д = е1(шоё4) для е £ {+, —} |п(д — е1)| = п((д + е1)/2)| = 2;
(8) О = из(д), гдед = 2Р, р ^ 5 д — 1й (д+1)/3 —простые числа, |п((д2 — д+1)/3)| = 1 р | О|
(9) Р = где б £ {+, —} р ^ 11 — простое число, отличное от чисел Ферма и Мерсенна, (р — б1)з = 3 |п(р2 — 1)| = 3 и |п((р2 + бр + 1)/3)| = 1;
(10) Р = 5^(2^), где либо / = 9, либо / — нечетное простое число и шах{|п(д — 1)|, |7г(д - л/29 + 1)1, |тг(д + ^ + 1)1К 2;
(11) О = 2О2(д), где д = 3Р, р ^ 5 — простое число, не делящее |О|, |п((д — 1)/2)| = |тг((д + 1)/4)| = 1 и |7г(д - ^/Щ+ 1)| < 2 ^ |тг(д + ^ + 1)1-
Из теоремы 3 и [1-3] легко выводится
Следствие. Пусть О — конечная почти простая группа и граф Г(О) не содержит треугольников. Тогда
(1) каждая связная компонента графа Г(О) является деревом;
(2) если группа О проста, то граф Г(О) несвязен;
(3) |п(О)| ^ 8 и равенство достигается, если О = Аи1(5г(29)).
Заметим, что теорема 3 существенно уточняет полученный в [33] список конечных простых групп таких, что связные компоненты графа Г(О) являются деревьями. Дока-
п
групп для п ^ 6 (см. [11, 12, 20, 25]).
Лючидо и Могхаддамфар [35] определили конечные простые неабелевы группы с графами простых чисел, все связные компоненты которых являются полными графами (кликами). А. В. Васильев и Е. П. Вдовин [5] устранили ошибки и неточности, допущенные в этой статье. М. Р. Зиновьева и В. Д. Мазуров [37] определили конечные простые неабелевы группы, графы простых чисел которых совпадают с графами простых чисел групп Фробениуса или 2-фробениусовых групп.
В работе М. Р. Зиновьевой и автора [38] классифицированы конечные почти простые группы с графами простых чисел, все связные компоненты которых являются кликами. Получен следующий результат.
О
ные компоненты графа Г(О) являются кликами тогда и только тогда, когда граф Г(О) О
(1) Мю, РОР2(9) 512, Аи^(8)), Аи^з(3)), £з(4) : 2Ь ¿з(8) : 2, ¿з(8) : 3, Аи1(£з(8)) Аи^из(3)), из(9) : 2, Аи^из(9)), Аи^и5(2)), Аи1(зА(2)), Аи^&г(32));
(2) £2(2т))(/), где / — полевой автоморфизм группы £2(2™) и |/1 = 2к > 1;
(3) РО£2 (р), где р > 3 — простое число Ферма или Мерсенна;
(4) ¿2(рт)(б/), где р — нечетное простое число, т четно, б и / — диагональный и инволютивный полевой автоморфизмы группы ¿2(рт) соответственно;
(5) ¿3(2т)(х), где т ^ 5, (2т — 1)3 = 3, |х| =2 ■ 3к, х2 — полевой автоморфизм, а х3 _ графовый автоморфизмы группы ¿3(2т);
(6) Ь3(р) : 2, где р ^ 127 — простое число Мерсепиа и (р — 1)3 ^ 9;
(7) и3(2т)(/),где (2т+1)3 = 3, /—полевой автоморфизм группы и3(2т) и |/1 = 21 -3к для I > 0;
(8) и3(р) : 2, где р ^ 17 — простое число Ферма и (р + 1)3 ^ 9;
(9) О2(3т))(/), где / — полевой автоморфизм группы О2(3т) и 0 = п(|/1) С {2, 3};
(10) РБр4(д)(/)), где / — полевой автоморфизм группы РБр4(д) и |/1 = 2к > 1;
(11) РБр4(д))(б/), где б и / — диагональный и полевой автоморфизмы группы РБр4(д) соответственно и |/1 = 2к > 1.
Доказательство теоремы 4 использует результаты Лючидо [4] о конечных почти простых группах с несвязными графами простых чисел.
Пусть О — конечная группа и V — О-модуль над некоторым полем. Говорят, что
О
па V, если он не имеет ненулевых неподвижных векторов в V. Большой интерес вы-
О
О
ные приложения, в частности, при исследовании распознаваемости конечных простых групп по спектру или по графу простых чисел, а также при изучении строения конечных групп с несвязным графом простых чисел (см., например, обзоры [7, 28] и работу И. Д. Супруненко и А. Е. Залесского [39]).
Пусть р — простое число, д = р1, ¥я — толе из д элементов, Р — алгебраически замкнутое поле характеристики р и О = — специальная линейная группа степе-
ни п ^ 2 над полем ¥я. Циклом Зингера группы О (соответственно О/^(О) = £п(д)) называется любая ее циклическая подгруппа порядка (дп — 1)/(д — 1) (соответственно (дп — 1)/(д — 1)(п,д — 1)) (см. теорему 11.7.3 из [8]). Автором была поставлена задача
ОР тО
О
РН
фом простых чисел такая, что ¿(Н) ф 1, Н = Н/Р(0) = Ьп(д) ии ) 3, то действие (сопряжением) группы Н на Р(Н) индуцирует на каждом главном факторе группы Н, входящем в ¿(Н), точный неприводимый Н-модуль (над некоторым полем простого по-
Н
Н
Н
Автор, А. А. Осиновская и И. Д. Супруненко в работе [40] решили эту сложную задачу в следующих трех случаях: а) вычет числа р^ по модулю т порождает мультипликативную группу поля порядка т (это условие выполняется, в частности, для т = 3); т = 5 п = 2
из [41]) и У. Стюарта (см. [42, предложение 3.2]), которые были получены в случае, когда т = 3 п = 2
2 квазипростых групп Шевалле над конечными полями характеристики 2, где некоторый элемент порядка 3 не имеет собственного значения 1, т. е. действует в соответствующем модуле без неподвижных точек. А. Е. Залесский, В. Лемпкен и П. Фляйшманн (см. [44, теорему 0.1]) описали абсолютно неприводимые подгруппы полной линейной группы над
конечным полем характеристики 2, порожденные классом сопряженных элементов порядка 3, действующих без неподвижных точек. В статье А. Е. Залесского [45] приведен обзор результатов о собственных значениях элементов в представлениях алгебраических групп и конечных групп Шевалле, особое внимание уделяется собственному значению 1, что связано с указанной выше проблемой.
Литература
1. Williams J. S. Prime graph components of finite groups // J. Algebra.—1981.—Vol. 69, № 2,—P. 487-513.
2. Кондратьев А. С. О компонентах графа простых чисел конечных простых групп // Мат. сб.— 1989.—Т. 180, № 6.-С. 787-797.
3. liyori N., Yamaki Н. Prime graph components of the simple groups of Lie type over the fields of even characteristic // J. Algebra.—1993.—Vol. 155, № 2,—P. 335-343; Corrigenda: J. Algebra.—1996,— Vol. 181, № 2,- P. 659.
4. Lucido M. S. Prime graph components of finite almost simple groups // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova.-1999.-Vol. 102.-P. 1-22; Addendum: Rend. Sem. Mat. Univ. Padova.-2002.-Vol. 107.-P. 189-190.
5. Васильев А. В., Вдовин E. П. Критерий смежности в графе простых чисел // Алгебра и логика.— 2005.—Т. 44, № 6.-С. 682-725.
6. Васильев А. В., Вдовии Е. П. Коклики максимального размера в графе простых чисел конечной простой группы // Алгебра и логика,—2011,—Т. 50, № 4,—С. 425-470.
7. Кондратьев А. С. О конечных группах с небольшим простым спектром // Мат. форум. Т. 6. Группы и графы,—Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2012,—С. 52-70.—(Итоги науки. Юг России).
8. Huppert В. Endliche Gruppen I.—Berlin: Springer-Verlag, 1967,—793 s.
9. Aschbacher M. Finite group theory.—Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1986.—274 p.
10. Conway J. H. et. a I. Atlas of finite groups.—Oxford: Clarendon Press, 1985.—252 p.
11. Кондратьев А. С., Храмцов И. В. О конечных трипримарных группах // Тр. Ин-та мат-ки и механики УрО РАН,— 2010.—Т. 16, № 3.—С. 150-158.
12. Кондратьев А. С., Храмцов И. В. О конечных четырепримарных группах // Тр. Ин-та мат-ки и механики УрО РАН,- 2011.-Т. 17, № 4.-С. 142-159.
13. Кондратьев А. С., Храмцов И. В. О непростых конечных трипримарных группах с несвязным графом простых чисел // Сиб. электрон, мат. изв.—2012.—'Т. 9.—С. 472-477.
14. Кондратьев А. С., Храмцов И. В. Вполне приводимость некоторых GF(2)А7-модулей // Тр. Ин-та мат-ки и механики УрО РАН,—2012.—'Т. 18, № 3,—С. 139-143.
15. Храмцов И. В. О конечных непростых 4-примарных группах // Сиб. электрон, мат. изв.—2014.— Т. 11.-С. 695-708.
16. Кондратьев А. С., Храмцов И. В. О конечных группах, которые имеют несвязный граф простых чисел и композиционный фактор, изоморфный L3(17) // Алгебра и мат. логика: теория и приложения,—Казань: Изд-во Казан, ун-та, 2014,—С. 81-82.
17. Кондратьев А. С., Супруненко И. Д., Храмцов И. В. О модулярных представлениях группы L3(17) // Тез. докл. междунар. конф. «Мальцевские чтения».—Новосибирск: ИМ СО РАН и НГУ, 2014.-С. 63.
18. Храмцов И. В. О конечных группах, которые имеют несвязный граф простых чисел и композиционный фактор, изоморфный группе L2(81) // Тр. междунар. школы-конф. по теории групп, посвящ. 70-летию В. В. Кабанова,—Нальчик: Изд-во КБГУ, 2014,—С. 56-58.
19. Kondrat'ev A. S. Finite almost simple 5-primary groups and their Gruenberg-Kegel graphs // Изв. Гомельского гос. ун-та,—2014,— № 3(84).—С. 58-60.
5
матем. изв.—2014.—'Т. 11— С. 634-674.
21. Jafarzadeb A., Iranmanesh A. On simple Kn-groups for n = 5, 6 I I London Math. Soc. Lecture Note Ser.-2007.-Vol. 340.-P. 517-526.
22. Zhang L., Shi W., Lv H., Yu D., Chen S. O.D-characterization of finite simple Ke-groups.—Preprint, 2011.
23. The GAP Group, GAP — Groups, Algorithms, and Programming, Ver. 4.4.12,—2008,—URL: http: // www.gap-system.org.
G
ным графом Грюнберга — Кегеля таких, что |n(G/F(G))| < 4 // Тез. докл. междунар. конф. «Мальцевские чтения»,—Новосибирск: ИМ и НГУ, 2014,—С. 62.
25. Колпакова В. А., Кондратьев А. С. Конечные почти простые 6-прпмарные группы и их графы Грюнберга — Кегеля // Алгебра и приложения: Тр. междунар. конф. по алгебре, посвящ. 100-летию со дня рождения Л. А. Калужнина.—Нальчик: КБГУ, 2014.—С. 63-66.
26. Herzog М. On finite simple groups of order divisible by three primes only // J. Algebra.—1968,—Vol. 10, № 3.—P.—P. 383-388.
27. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь. 17-е изд. Ред. Мазуров В. Д., Хух-ро В. И,—Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2010.
28. Кондратьев А. С. Распознаваемость групп E7(2) и E7(3) по графу простых чисел // Труды Ин-та математики и механики УрО РАН,—2014.—'Т. 20, № 2,—С. 223-229.
29. Мазуров В. Д. Группы с заданным спектром // Изв. Урал. гос. ун-та,—2005.— № 36.—С. 119-138.—(Математика и механика. Вып. 7).
30. Кондратьев А. С. Распознаваемость по графу простых чисел группы 2E6(2) // Материалы Междунар. симпозиума «Абелевы группы», посвящ. 100-летию со дня рождения Л. Я. Куликова.—М.: МПГУ, 2014.-С. 35-37.
31. Tong-Viet Н. P. Groups whose prime graphs have no triangles // J. Algebra.—2013,—Vol. 378,—P. 196206.
32. Gavrilyuk A. L., Khramtsov I. V., Kondrat'ev A. S., Maslova N. V. On realizability of a graph as the prime graph of a finite group // Сиб. эл. матем. изв.—2014.—'Т. 11,—С. 246-257.
33. Lucido М. С. Groups in which the prime graph is a tree // Boll. UnioneMat. Ital. (8).—2002,—Vol. 5-B, № 1— P. 131-148.
34. Алексеева О. А., Кондратьев А. С. Конечные почти простые группы, графы Грюнберга — Кегеля которых не содержат треугольников // Тез. докл. междунар. конф. «Мальцевские чтения».— Новосибирск: ИМ и НГУ, 2014,—С. 50.
35. Lucido М. S., Mogbaddamfar A. R. Groups with complete prime graph connected components // J. Group Theory.-2004.-Vol. 7, № 3.-P. 373-384.
36. Зиновьева M. P., Мазуров В. Д. О конечных группах с несвязным графом простых чисел // Тр. Ин-та мат-ки и механики УрО РАН,—2012.—'Т. 18, № 3,—С. 99-105.
37. Зиновьева М. Р., Кондратьев А. С. Классификация конечных почти простых групп с графами простых чисел, все связные компоненты которых являются кликами // Теория групп и ее приложения: Тр. межднар. школы-конф. по теории групп, посвящ. 70-летию В. В. Кабанова.—Нальчик: Изд-во КБГУ, 2014.-С. 25-26.
38. Suprunenko I. D., Zalesski А. Е. Fixed vectors for elements in modules for algebraic groups // Intern. J. Algebra Comput.-2007.-Vol. 17, № 5-6.-P. 1249-1261.
39. Кондратьев А. С., Осиновская А. А., Супруненко И. Д. О поведении элементов простого порядка из цикла Зингера в представлениях специальной линейной группы // Тр. Ин-та мат-ки и механики УрО РАН,—2013,—Т. 19, № З.-С. 179-186.
40. Higman G. Odd Characterizations of Finite Simple Groups: Lecture Notes.—Michigan: Univ. Michigan, 1968.-77 p.
41. Stewart W. B. Groups having strongly self-centralizing 3-centralizers // Proc. London Math. Soc.— 1973,—Vol. 426, № 4.-P. 653-680.
42. Wilson R. Certain representations of Chevalley groups over CF(2n) // Comm. Algebra.—1975.—Vol. 3, № 4.-P. 319-364.
43. Fleiscbrnann P., Lempken W., Zalesskii A. E. Linear groups over GF(2k) generated by a conjugacy
3
44. Suprunenko I. D., Zalesski A. E. Fixed vectors for elements in modules for algebraic groups // Intern. J. Algebra Comput.-2007.-Vol. 17, № 5-6.-P. 1249-1261.
45. Zalesski A. E. On eigenvalues of group elements in representations of algebraic groups and finite Chevalley groups // Acta Appl. Math.-2009.-Vol. 108, № l.-P. 175-195.
Статья поступила 29 апреля 2015 г. Кондратьев Анатолий Семенович
Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН, зав. сектором
РОССИЯ, 620990, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16;
Уральский федеральный университет им. Б. Н. Ельцина, профессор
РОССИЯ, 620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19 E-mail: а. s. kondrat iev@ imm. uran. ru
ON FINITE GROUPS WITH SMALL SIMPLE SPECTRUM, II
Kondratiev A. S.
This is a survey of the results about finite groups whose prime graphs have a small number of vertices obtained recently by the author jointly with his pupils. It is refined a description of the chief factors of 4-primary groups, whose prime graphs are disconnected. The finite almost simple 5-primary and 6-primary groups and their Gruenberg-Kegel graphs are determined. The chief factors of the commutator subgroups of finite non-solvable groups G with disconnected Gruenberg-Kegel graph having exactly 5 vertices are described in the case when G/F(G) is an almost simple n-primary group for n < 4. The problem of the readability of a graph with at most five vertices as the prime graph of a finite group is solved. The finite almost simple groups with prime graphs, whose the connected components are complete graphs, are determined. The finite almost simple groups whose prime graphs do not contain triangles are determined. It is proved that the groups 2Ee(2), Er(2) and Er(3) are recognizable by the prime graph. Absolutely irreducible SLn (pf )-modules over a field of prime characteristic p, where an element of a given prime order m from a Zinger cycle of SLn(pf) acts freely, are classified in the following three cases: a) the residue of q modulo m generates the multiplicative group of the field of order m (in particular, this holds for m = 3); b) m = 5; c) n = 2.
Key words: finite group, almost simple group, chief factor, prime spectrum, prime graph, recognizability, modular representation.
