CC BY
10
Владикавказский математический журнал 2009, Том 11, выпуск 4, С. 16-21
УДК 512.542
О ПЕРЕСЕЧЕНИЯХ СИЛОВСКИХ 2-ПОДГРУПП В КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ, I1
В. И. Зенков, А. И. Макосий
В конечной группе с простым цоколем лиева типа над полем порядка 3, лиева ранга не превосходящего 4 найдена нижняя оценка для числа орбит при действии сопряжениями фиксированной силовской 2-подгруппы на множестве силовских 2-подгрупп, пересекающихся с этой фиксированной по единичной подгруппе. Привлекаются компьютерные вычисления.
Ключевые слова: конечная простая группа, пересечения силовских 2-подгрупп.
Введение
В работе [1, следствие С] было доказано, что в любой конечной группе О для простого числа р и силовской р-подгруппы Р найдутся такие элементы х и у, что Р П Рх П Ру = Ор(О), где Ор(О) обозначает наибольшую нормальную р-подгруппу группы О. Так как подгруппа Ор(О) лежит в любой силовской р-подгруппе из О, то изучая пересечения силовских р-подгрупп, можно считать, что Ор(О) = 1. Возникает вопрос: при каких условиях на группу О в соотношении Р П Рх П Ру = 1 можно обойтись только одним элементом, т. е. когда в группе О найдется такой элемент г, что Р П Р* = 1? В общем случае для простого числа р, равного 2 или числу Мерсенна, можно построить конечную группу О с условием Ор(О) = 1, в которой для силовской р-подгруппы Р выполнено соотношение Р П Р* = 1 для любого г £ О. Исторически первые примеры таких групп появились в работе Ито [2] и были разрешимыми группами. В разделе 2 приведены серии таких групп.
Случай неразрешимых групп на протяжении тридцати с лишним лет после работы Ито оставался неисследованным, даже не было опубликовано ни одного примера неразрешимой группы О, в которой Ор(О) = 1 и любые две силовские р-подгруппы пересекаются нетривиально. Более того, в работе [3] было доказано, что в любой простой неабелевой группе О для любой силовской подгруппы Р из О найдется такой элемент г £ О, что Р П Р* = 1. Однако, как показано далее в группе О — А^(£2(7)), любые две силовские 2-подгруппы пересекаются нетривиально, хотя |А^ (£2(7)) : 1пп (^2 (7)) | =2 ив 1пп(£2(7)) — £2(7) найдутся две силовские 2-подгруппы, которые пересекаются по единице. Таким образом, рассматривая случай произвольной конечной группы О с условием
© 2009 Зенков В. И., Макосий А. И.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 07-01-00148 и № 09-01-00395-б), РФФИ-БРФФИ, проект № 08-01-90006, программы Отделения математических наук РАН и программы совместных исследований УрО РАН с СО РАН и НАН Беларуси.
Ор(О) = 1, в которой для силовской р-подгруппы Р и любого элемента х £ О выполняется условие Р П Рх = 1, в первую очередь нужно изучить почти простые группы с этим условием.
Главным инструментом изучения пересечений силовских подгрупп в конечных группах является параметр 1р(О), который мы сейчас введем. Рассмотрим конечную группу О с силовской р-подгруппой Р и условием Ор(О) = 1. Пусть X = {Р9 | Р9 П Р = 1,д £ О}. Тогда подгруппа Р действует сопряжениями на множестве X. Через 1р(О) обозначим число орбит при этом действии. Тогда, к примеру, в случае простой неабелевой группы О имеем 1р(О) > 0, поскольку в О найдется элемент х такой, что Р П Рх = 1, но в то же время /2(А^ (£2(7))) = 0.
Значение параметра 12 (О1) для некоторой группы О1 выясняется в лемме 1, из которой следует, что зная число 1р(О1), можно вычислить число 1р(О1 2 ^р). В частности, при 1р(О1) ^ 3 неравенство 1р(О1) ^ 1р(О1 2 ^р) справедливо для всех простых чисел р, а в случае нечетного простого числа р данное неравенство справедливо даже при 1Р(О1) ^ 2. С другой стороны, если 1р(О1) = 1 и Ж^1 (Р1) = Р1 для Р1 £ Бу12(О1), то всегда 1р(О1 2 ^р) = 0, а при р = 2 даже в случае, когда ^2(О1) =2 и Ж^1 (Р1) = Р1 для Р1 £ Бу^(О1), имеем ^2(О12^2) = 1 и ^2((О12^2) 2^2) = 0. Каков же механизм применения этого параметра? Дело в том, что лемма 5 вместе с примерами из раздела 3 дает вполне удовлетворительную информацию о разрешимой группе О с условием 1р(О) = 0. Если разрешимый радикал Б(О) группы О нетривиален и 1р(Б(О)) = 0, то 1р(О) =0 и строение Б (О) описывается леммой 5. Пусть 1р(Б (О)) > 0. Тогда по [1, лемма 3.2] 1р(О/Б(О)) = 0. Итак, можно считать, что Б (О) = 1 и О = Е (О)Р. Группа О действует сопряжениями на множестве {К1, К2,..., Кп} компонент из Е(О) и по [1, лемма 3.14] изоморфно вкладывается при этом в прямое произведение ]^[к=1 А^ с (К*) 2 Бп, где к — число О-орбит, п* — длина, а К* — представитель г-й орбиты при этом действии, А^ с (К*) — группа индуцированных автоморфизмов компоненты К*.
Случай нечетного простого числа р полностью рассмотрен в лемме 4. Поэтому можно считать, что р = 2 и так как силовская 2-подгруппа из Бп может быть представлена как прямое произведение некоторых сплетений, то и здесь работает описанный выше механизм применения параметра /2(О). А именно, мы видим, что в группе О с силовской 2-подгруппой Р и Б(О) = 1 условие /2 (О) = 0 может выполняться только в случае, когда ^(А^ с(К*)) ^ 2 для некоторой компоненты К*. Следовательно, задача изучения произвольной конечной группы О с условиями Б (О) =1 и /2 (О) = 0 сводится к изучению почти простых групп К таких, что /2(К) ^ 2. В настоящей работе доказана
Теорема. Пусть К — конечная простая группа, изоморфная Цз(3), £3 (3), £4(3), и4(3), РБр4(3), РБр6(3), П7(3), ^-(3) или П+(3) и 1пп (К) ^ О ^ А^ (К). Если /2(О) ^ 2, то К — и3(3) или К — РБр4(3), при этом 12(РБр4(3)) = 1, 12(и3(3)) = 2 и ^(А^ (РБр4(3))) = 1, ^(А^ (Цз(3))) = 1.
В работе использованы стандартные обозначения, в основном совпадающие с обозначениями из [4].
1. Предварительные сведения
Лемма 1 [1, лемма 3.12]. Пусть О — конечная группа, р — простое число, О1 — такая подгруппа из О, что Ор(О1) = 1 и О = О1 2 ^р. Тогда справедливы следующие утверждения:
(1) если 1р(О1) ^ 3, то и 1р(О) ^ 3;
(2) если р = 2, /2(О1) =2 и Жс1 (Р1) = Р1 для силовской 2-подгруппы Р1 из О1, то
/2(О) = 1;
(3) если /р(О1) =1 и Жс1 (Р1) = Р1 для силовской 2-подгруппы Р1 из О1, то /р(О) = 0.
Лемма 2 [1, лемма 3.6]. Пусть О — конечная группа, р — простое число, Р — си-
ловская р-подгруппа из О, М — р-локальная подгруппа из О, содержащая ^с(Р). Если /р(М/Ор(М)) ^ 3 и Ор(М) П Ор(М)х = 1 для некоторого элемента х из О, то /р(О) ^ 3.
Лемма 3 [1, теорема 8.1]. Если О — конечная группа с единичным разрешимым радикалом и каждая компонента из Е(О) — спорадическая или знакопеременная группа, отличная от А5, Аб, Л%, то /2(О) ^ 3.
Лемма 4 [1, теорема 6.1]. Пусть О —конечная группа с единичным разрешимым радикалом, р — нечетное простое число, Р — силовская р-подгруппа из О. Тогда следующие условия эквиваленты:
(1) Р П Рх = 1 для любого элемента х из О;
(2) р = 3 и группа О содержит нормальную подгруппу N, изоморфную подгруппе К, где (РЮ+(3))* < К < (РЦ+(3) X (5))*, * £ N и 5 — графовый автоморфизм порядка три группы РП+(3).
Лемма 5 [1, теорема В]. Пусть О — конечная группа, р — простое число, Б(О) — разрешимый радикал группы О, Р — силовская р-подгруппа из О. Если Р П Рх = Ор(О) для любого элемента х из О, то справедливо одно из следующих утверждений:
1. (Р П Б (О)) П (Р П Б(О))Х = Ор(О) для любого элемента х из О ив факторгруппе Б (О) = Б (О)/Ор(О) выполняются утверждения одного из следующих пунктов:
(1а) р = 2, ^ = 2” — 1 — простое число Мерсенна, Б (О) содержит подгруппу, изоморфную х ) X ^2«+1, и ^2«+1 действует точно на Zq х ;
(1б) р = 2” — 1 — простое число Мерсенна, Б(О) содержит подгруппу, изоморфную ^ 2 ^р, где ^ — группа Фробениуса, изоморфная Ур+1 X ^р;
(1в) р = 2,5 = 2” + 1 — простое число Ферма, Б (О) содержит подгруппу, изоморфную (^д х ) X ^4 о ^2«+1, и ^4 о ^2«+1 действует точно на Zq х ;
(1г) Б(О) содержит подгруппу, изоморфную ^8 О ^8 О ^8 X (^3 2 ^з), где |^(^8 о ^8о ^8)| =2 и ^3 х ^3 действует на ^8 о ^8 о ^8 как подгруппа из Но1 (^8 о ^8 о ^8).
2. Р П Б(О) П (Р П Б(О))у = Ор(О) для некоторого элемента у из О ив факторгруппе О = О/Б (О) выполняются условия одного из следующих пунктов:
(2а) р = 3 и группа О содержит нормальную подгруппу N, изоморфную подгруппе К, где РЦ+(3) < КО < (РЦ+(3) X (5))*, * £ N, где 5 — графовый автоморфизм порядка три группы РП+(3);
(2б) р = 2 и группа О содержит компоненту, изоморфную одной из следующих групп:
(261) простой группе лиева типа над полем из 5 элементов, где 5 = 9 или 5 — простое число Ферма или Мерсенна;
(262) £з(4), £”(2), п ^ 3, ^(2), п ^ 7, ^(2), Еб(2), Е7(2), Е8(2), 2^4(2).
2. Примеры
Здесь мы приведем примеры разрешимых и почти простых групп О с /2(О) = 0,1, 2. Заметим, что главная задача состоит в полном описании таких групп.
2.1. Первая серия. Разрешимые группы.
1. р = 2.
а) Пусть О = ^2«+1 X Z2k, где 2” +1 = р — простое число Ферма, а к ^ п, и О — группа Фробениуса. Тогда при к = п имеем /2 ^2^+1 X Z2n) = 1, при к = п — 1 имеем
^2^2п+1 X Z2n-l) = 2, а при к ^ п — 2 имеем /2^2"+1 X Z2k) ^ 3. Следовательно, по лемме 1 /2(^2п+1 X Z2n) 2 Z2) = 0, /2((^2"+1 X Z2n-l) 2 Z2) 2 Z2) = 0, а при к ^ п — 2 имеем /2(^2п+1 X Z2k) 2 Z2) ^ 3.
б) Пусть О = ^2"_1 х Z2n-1) X Б^2"+2 , где Б^2"+2 действует точно на Z2n_1 х Z2n_1, и р = 2” — 1 — простое число Мерсенна. Тогда /р(О) = 0.
2. р = 2” — 1 — простое число Мерсенна. Пусть О = У2П X Zp, где О — группа Фробениуса. Тогда /р(О) = 1 и по лемме 1 /р(О 2 Zp) = 0.
2.2. Вторая серия. Неразрешимые группы.
1. р = 2 [1, лемма 3.27]. Пусть О — Б”, где Б^ = А” — знакопеременная группа и п ^ 5. Тогда:
(1) /2(А5) = /2(Б5) = ^2(А^ (А5)) = 1;
(2а) /2(Аб) =4;
(2б) /2(Бб) = 1;
(2в) /2(РО£2(9)) = 1;
(2г) /2(РО£2(9)) = 2;
(2д) /2(Aut (Аб)) = 0;
(3) ^(Аи (А7)) ^ 3;
(4) /2 (Б7) ^ 3;
(5) /2(^8) = 1;
(6) /2(Б8) = 0;
(7) /2(А”) ^ 3 и /2 (Б”) ^ 3 при п ^ 9.
2. р = 2 [1, лемма 3.18]. Пусть О — А^ (£2(д)). Тогда:
(1) /2 (О) = 1, если 5 = 2” + 1 — простое число Ферма;
(2) /2 (О) = 0, если 5 = 2” — 1 — простое число Мерсенна;
(3) /2(А^ (£2(9))) = 0;
(4) /2(О) = 1, если 5 = 2, 5 = 4 или 5 = 2”, где п — нечетное число;
(5) /2 (О) ^ 3 во всех остальных случаях.
3. Доказательство теоремы
Пусть К — и3(3). Так как Аи (и3(3)) — О2(2) [4, с. 14], то по лемме 3.13 из [1] /2 (О2 (2)) = 1. Вычислим число /2(^3 (3)). Для этого заметим, что число силовских 2-подгрупп из К — Цз(3), которые пересекаются с фиксированной силовской 2-подгруппой Р нетривиально, совпадает с числом силовских 2-подгрупп из К, содержащих некоторую инволюцию * из Р. Поскольку Р — Z4 2 Z2 и П(Р) — Z4 о ^8 [4, с. 14], то подгруппа Р содержит семь инволюций, все они сопряжены с центральной инволюцией г и |йу^(С(г)| = 3. По формуле для числа т силовских 2-подгрупп из О, содержащих инволюцию г [5, с. 121], имеем т = |гс П Р ||С (г) |/| N (Р )|. Так как С (г) > N (Р) = Р, то |С^)|/|Р| = |Бу12(С(г))| =3 и т = 21.
Согласно [4, с. 14] группа К содержит две максимальные подгруппы М1 — С^), причем О2(С^)) = П(Р) и М2 — N(V), где V — Z4 х Z4 и М2/У — Б3. Из строения М2 следует, что О2(М2) содержит три сопряженных в М2 инволюции, одна из которых равна г. Следовательно, ) < П(Р) = О2(С(Z)). Таким образом, каждая из двух сопряжен-
ных с г инволюций из V добавляет к уже рассмотренным 21 силовской 2-подгруппе из К, содержащих г, еще по 16 силовских 2-подгрупп из О, которые пересекаются с подгруппой Р нетривиально. Аналогично оставшиеся четыре инволюции из Р добавят к уже рассмотренным по 21 — 3 = 18 силовских 2-подгрупп из К, которые пересекаются
с P нетривиально. Значит, число силовских 2-подгрупп из K, которые пересекаются с подгруппой P не по единице, отличных от P, равно 20 + 2 ■ 16 + 4 ■ 18 = 124. Число всех силовских 2-подгрупп из G равно |G : N(P)| = 33 ■ 7 = 189 [4, с. 14]. Значит, число силовских 2-подгрупп из G, которые пересекаются с P по единице, равно 188 — 124 = 64. Поэтому l2(K) = 64/32 = 2.
Пусть K — L3(3). Вся необходимая информация о Ьз(3) находится в [4, с. 13]. В частности, силовская 2-подгруппа P из K изоморфна SDi6 — полудиэдральной подгруппе порядка 16, откуда следует, что ^(P) — Ds и содержит пять инволюций, которые сопряжены в G с центральной инволюцией z в нормализаторах двух четверных подгрупп V1 и V2 из K, где N(Vi) — N(V2) — S4 и |Syl2(C(z))| = 3. Следовательно, в данном случае [5, с. 121] m = |zG П P||C(z)| / |N(P)| =5 ■ 3 = 15.
Каждая из четырех оставшихся инволюций из P лежит в одной из подгрупп N (Vi) или N(V2). Следовательно, подгруппа P пересекается нетривиально с 14 + 4 ■ (15 — 3) = 62 силовскими 2-подгруппами из K. Так как число силовских 2-подгрупп в K равно |G : N(P)| = 33 ■ 13 = 351, то число силовских 2-подгрупп из K, которые пересекаются с P по единице, равно 350 — 62 = 288 и l2(K) = 288/16 = 18.
Если мы рассмотрим Aut (K), то |Aut (K) : Inn (K)| =2 и инволюция t £ Aut (K)\ Inn (K) является представителем единственного сопряженного класса инволюций в этой разности, причем C(t) — Z2 х S4. Поэтому, отождествляя Inn (K) с K и обозначив си-ловскую 2-подгруппу из Aut (K) через S, имеем P = S П K и Cp (t)= ^(P). Следовательно, [t, Vi] = [t, V2] = 1. Значит, |tp| =2 и сопряженная с t в P инволюция ti также централизует ^(P). Под действием N (Vi) и N (V2) мы получаем по три сопряженных с t и ti инволюции. Кроме того, t действует на подгруппу Q — Qs из P, централизуя одну из подгрупп порядка четыре из P. Следовательно, t инвертирует каждую из двух оставшихся подгрупп порядка 4 из Q, что дает нам еще шесть инволюций. Таким образом, в Aut (K) \ Inn (K) двенадцать инволюций и все они сопряжены. Значит, m = |tG П S||C(t)| / |N(S)| = 12 ■ 16 ■ 3/32 = 9.
Так как t и ti лежат в Vi = O2(N(Vi)),V2 = O2(N(V2)) и O2(C(z)), то каждая из них добавляет по две силовских 2-подгруппы из G = Aut (K), которые пересекаются с S по (ti) или, соответственно, по (t2). Каждая из оставшихся десяти инволюций лежит в O2(C(z)), но не лежит ни в O2(N(Vi)), ни в O2(N(V2)). Таким образом, каждая из десяти таких инволюций добавляет 9 — 3 = 6 различных силовских 2-подгрупп из G, которые пересекаются по подгруппе, порожденной этой инволюцией, и тогда всего с подгруппой S пересекаются нетривиально 62 + 2 ■ 2 + 10 ■ 6 = 126 силовских 2-подгрупп из G. Значит, число орбит /2(G) = (350 —126)/32 = 7. Заметим, что полученные результаты подтверждены и компьютерными вычислениями.
В случае K — L4(3), U4(3), PSp6 (3), ^+(3) вычисления на компьютере показывают, что l2(G) ^ 3.
Пусть K — ^7(3) или ^-(3). В обоих случаях G содержит 2-локальную подгруппу M, которая содержит силовскую 2-подгруппу из G, в которой O2 (M) — абелева подгруппа и M/O2(M) является расширением ^(3) с помощью 2-подгруппы из Out (U4(3)). Как показано в предыдущем пункте, в этом случае l2(M/O2(M)) ^ 3. Ввиду [1, лемма 3.3] коммутативность O2(M) влечет, что O2(M) П O2(M)x = 1 для некоторого элемента x из G. Теперь по лемме 2 имеем /2(G) ^ 3.
В случае PSp4(3) — ^4(2) по [1, лемма 3.13] l2(PSp4(3)) = 1. Компьютерные вычисления дают l2(Aut (PSp4 (3)) = 1. Теорема доказана.
Замечание 1. В последнем пункте доказательства теоремы получено равенство /2(PSp4(3)) = /2(Aut (PSp4(3))) = 1.
Пусть G = Aut (PSp4(3)), K = Inn (PSp4(3)), S £ Syl2(G) и P = S П K £ Syl2(K). Тогда N(S) = S и по лемме 1 ^(G 2 Z2) = 0. Однако Nk(P) = P и поэтому нарушается условие в пункте (3) леммы 1. И хотя /2(K) = 1, но /2(K 2 Z2) = 0. Действительно, Nk (P) = P X (f), где f — элемент порядка три. Тогда группа K 2 Z2 содержит 2-ло-кальную подгруппу M — (P X (f)) 2 Z2, O2(M) — P х P и M/O2(M) — Z3 2 Z2. Так как ^2(M/O2(M)) = 1 и O2(M) П O2(M)x = 1 для некоторого элемента x из K, то очевидно, что /2(K 2 Z2) > 0.
В то же время в случае K — U3 (3), ^(K) =2 и /2 (Aut (K)) = 1 ив обоих случаях N(P) = P и N(S) = S для силовских 2-подгрупп из K и Aut (K) соответственно. Тогда по лемме 1 /2((K 2 Z2) 2 Z2) = /2(Aut (K) 2 Z2) = 0.
Замечание 2. Соответствующие примеры групп G лиева типа с /2(G) ^ 2 над полем порядка девять и простыми полями порядков, равных простому числу Ферма или простому числу Мерсенна, приведены в примерах второй серии.
Литература
1. Зенков В. И. Пересечения нильпотентных подгрупп в конечных группах // Фунд. и прикл. математика.—1996.—Т. 2, вып. 1.—С. 1-92.
2. Ito N. Uber den kleinsten p-Durchschitt auflosbarer Gruppen // Arch. Math.—1958.—Vol. 9, № 1, 2.— P. 27-32.
3. Зенков В. И., Мазуров В. Д. О пересечении силовских подгрупп в конечных группах // Алгебра и логика.—1996.—Т. 35, № 4.—С. 424-432.
4. Conway J. H., Curtis R. T., Norton S. P., Parker R. A., Wilson R. A. Atlas of finite groups.—Oxford: Clarendon Press, 1985.—252 p.
5. Кабанов В. В., Кондратьев А. С. Силовские 2-подгруппы конечных простых групп.—Свердловск: УрО АН СССР, 1979.—144 с.
Статья поступила 17 ноября 2009 г.
Зенков Виктор Иванович
Институт математики и механики УрО РАН,
ведущий научный сотрудник
Россия, 620219, Екатеринбург, ГСП-384, ул. С. Ковалевской, 16 E-mail: [email protected]
Макосий Алексей Иванович
Институт вычислительного моделирования СО РАН, научный сотрудник
Россия, 660036, Красноярск, Академгородок E-mail: [email protected]
