Пример двойной группы Фробениуса порядковыми компонентами как у простой группы s_4(3) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2008, Том 10, Выпуск 1, С. 35-36

УДК 512.542

ПРИМЕР ДВОЙНОЙ ГРУППЫ ФРОБЕНИУСА С ПОРЯДКОВЫМИ КОМПОНЕНТАМИ КАК У ПРОСТОЙ ГРУППЫ S4(3)1

М. Р. Зиновьева, А. С. Кондратьев

Построен пример двойной группы Фробениуса с порядковыми компонентами как у простой группы S4(3).

Ключевые слова: конечная простая группа, двойная группа Фробениуса, порядковые компоненты.

Пусть G — конечная группа. Обозначим через w(G) спектр группы G, т. е. множество всех порядков ее элементов. Множество w(G) определяет граф простых чисел (граф Грюнберга—Кегеля) GK(G) группы G, в котором вершинами служат простые делители порядка группы G и две различные вершины p и q соединены ребром тогда и только тогда, когда pq £ w(G). Обозначим число компонент связности графа GK(G) через s = s(G), а множество его связных компонент — через |n¿(G) | 1 ^ i ^ s}; при этом для группы G четного порядка считаем, что 2 £ ni(G). Для натурального числа n обозначим через п(п) множество всех простых чисел, делящих n. Тогда |G| можно записать в виде произведения m1 • m2 • ... • ms, где m¿ — натуральные числа с n(m¿) = n¿(G) для i = 1,..., s. Числа mi, m2,..., ms называются порядковыми компонентами группы G. Пусть OC(G) = {mi,m2,... ,ms} — множество порядковых компонент группы G.

Группа G называется двойной группой Фробениуса, если G = ABC, где A, AB — нормальные подгруппы группы G, и AB, BC — группы Фробениуса с ядрами A, B и дополнениями B, C соответственно. Через F2o обозначим группу Фробениуса порядка 20.

В [2, § 4] сформулирована следующая

Гипотеза. Если G — конечная неабелева простая группа с несвязным графом GK(G) и H — конечная группа с OC(G) = OC(H), то G = H.

Работа [4] открыла большой цикл работ, в которых эта гипотеза была подтверждена для многих конечных неабелевых простых групп.

В статье [6] утверждается, что конечная неабелева простая группа не может иметь то же множество порядковых компонент, как у группы Фробениуса или двойной группы Фробениуса.

В этой заметке мы строим пример двойной группы Фробениуса H c OC(H) = OC(S4(3)), где S4(3) обозначает простую симплектическую группу степени 4 над полем порядка 3. Тем самым мы получаем контрпример к утверждению из [6] и к упомянутой гипотезе.

© 2008 Зиновьева М. Р., Кондратьев А. С. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 07-01-00148.

36

Зиновьева М. Р., Кондратьев А. С.

Заметим, что в статье первого автора [1] доказано, что конечная простая группа, изоспектральная двойной группе Фробениуса, изоморфна Цз(3) или S4(3).

Наши обозначения и терминология взяты из [3, б].

Пусть G = S4(3). Тогда s(G) = 2, ml = 26 ■ З4, m2 = б. Построим двойную группу Фробениуса H = ABC, где A = 24 ■ З4, IBI = б, ICI = 4. Так как A — ядро группы Фробениуса AB, то A нильпотентна, а значит A = A2 x Aз, где A2 — силовская 2-подгруппа в A и Aз— силовская 3-подгруппа в A. Предположим, что l < $(A2) < A2. Так как числа 2,4, В не сравнимы с 1 по модулю б, то Ca2 (B) = l, противоречие. Значит, ^(A2) = l, поэтому подгруппа A2 элементарная абелева. Аналогично, подгруппа Aз элементарная абелева.

Убедимся, что в группах GL4(2) и GL4 (3) есть подгруппа, изоморфная F20. Рассмотрим сначала группу GL4(2) = As. Пусть X = {i I l ^ i ^ В} — множество точек, на котором естественно действует группа Ss, E = {l, 2, 3,4, б} С X. Стабилизатор в Ss подмножества E равен Li x L2, где Li = S(E) = S5, L2 = S(X \ E) = Sз. Так как L1 = M1(t1), L2 = M2(t2), где M1 = A5, M2 = A3, It11 = It2I = 2, то стабилизатор в As подмножества E равен (Ml x M2)(tl t2). Так как Ml(tlt2) = S5 ив S5 есть подгруппа, изоморфная F20, то и в GL4(2) есть такая подгруппа.

Рассмотрим теперь группу GL4(3). По [б] группа GL4(3) содержит подгруппу GO— (3), изоморфную 2 x Sß, а Sß содержит подгруппу, изоморфную S5. Но в S5 есть подгруппа, изоморфная F20, поэтому и GL4(3) содержит такую подгруппу.

Построим двойную группу Фробениуса H с OC (H) = OC (S4(3)). Положим Kl = El(/l ,tl) < Hol (El), где El = 24, /1 = б, I tl I =4 и (/btl) = F20, K = E2 (/2,t2 ) < Ho1(E2), где E2 ' 34, I/2I = б, It2I =4 и (/1,t1 ) = F20. Рассмотрим в группе K1 x K2 подгруппу ElE2(/l/2, tlt2), где (/1/2,^2) = F20. Тогда G —двойная группа Фробениуса с OC (G) = OC (S4(3)).

Литература

1. Алеева M. Р. О конечных простых группах с множеством порядков элементов, как у группы Фробениуса или двойной группы Фробениуса // Мат. заметки.—2003.—Т. 73, № 3.—C. 323-339.

2. Кондратьев А. С. Граф Грюнберга—Кегеля конечной группы и его приложения // Тр. межд. сем. «Алгебра и линейная оптимизация».—Екатеринбург: УрО РАН, 2002.—С. 141-158.

3. Aschbacher M. Finite group theory.—Cambridge: Cambridge University Press, 1986.

4. Chen G. A new characterization of Suzuki-Ree group // Sci. China.—1997.—Ser. A40, № 8.—P. 807-812.

5. Conway J. H., Curtis R. T., Norton S. P., Parker R. A., Wilson R. A. Atlas of finite groups.—Oxford: Clarendon Press, 1985.

6. Darafsheh M. R., Karamzadeh N. S., Moghaddamfar A. R. Relation between Frobenius and 2-Frobenius groups with order components of finite groups // J. Appl. Math. and Computing.—2006.—V. 21, № 1/2.— P. 437-450.

Статья поступила 18 января 2008 г.

Зиновьева Марианна Рифхатовна ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет-УПИ» Екатеринбург, 620002, РОССИЯ E-mail: mafenka@yandex.ru

Кондратьев Анатолий Семенович Институт математики и механики УрО РАН Екатеринбург, 620219, РОССИЯ E-mail: a.s.kondratiev@imm.uran.ru