CC BY
43
УДК 512.54 К.А. Филиппов
О ПРЯМЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП В ГРУППАХ ШУНКОВА*
В статье рассмотрена периодическая группа Шункова, насыщенная некоторым множеством групп вида MxQ, где М- конечная простая неабелева группа определённого вида, a Q является конечной 2-группой.
Ключевые слова: насыщенность, группа Шункова, множество групп, неабелева группа.
K.A. Filippov ON THE FINITE GROUP DIRECT PRODUCTS IN THE SHUNKOV'S GROUPS
Shunkov's periodic group which is saturated with a number of the groups ofM x Q type where M is finite simple non-Abelian group of the certain type, and Q is final 2-group is considered in the article.
Key words: saturation, Shunkov's group, number of groups, non-Abelian group.
Введение. Группа О насыщена группами из множества групп Я, если любая конечная подгруппа из О содержится в подгруппе, изоморфной некоторой группе из Я. Множество Я называется насыщающим множеством для О [14].
Решением вопросов, связанных с понятием насыщенности, посвящены уже многие работы [1, 6, 8, 11-16]. В настоящей статье продолжены исследования в этом направлении.
Пусть р - фиксированное простое нечётное число. Множество Хр состоит из групп вида
Ь=Мх<2, где <2 - конечная 2-группа, а М - группа из множества У , которое является объединением
следующих трёх множеств:
- множество всех простых чисел}, и при этом каждая группа Ме7р содержит элемент а порядка р, для которого См ^ __ не содержит инволюций.
Основным результатом работы является Теорема. Если периодическая группа Шункова О насыщена группами из множества Х , то все её элементы конечных нечетных порядков порождают в О локально
конечную подгруппу Я, изоморфную одной из групп Ь2 (Р),Яе(Р), &(Е) для подходящих локально конечных полей Р,Р,Е и О = Я х 02 (О).
Частный случай этого утверждения доказан в работе [1], в которой предполагается, что множество У
конечно.
1. Известные факты
Предложение 1 [10]. Фактор-группа группы Шункова по периодической центральной подгруппе является группой Шункова.
Предложение 2 [10]. В группе Шункова с бесконечным числом элементов конечного порядка существует бесконечная локально конечная подгруппа.
Предложение 3 [10]. Подгруппа группы Шункова, порожденная любым элементом простого порядка и произвольной инволюцией, конечна.
Из известных свойств групп £2 (д), Sz(q) и Яе(д) вытекают следующие два предложения:
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 10-01-00509-а).
Предложение 4 [3]. Пусть М ;] - инволюция и а - элемент порядка р из М. Тогдау'м -
множество всех инволюций группы М,ак - а1 для некоторой инволюции к^]м, и все подгруппы по-
рядка р в М сопряжены.
Предложение 5 [4]. Пусть М1,М2,М3 е У , тогда (М1 хМ2) 2 X сМ3.
Предложение 6 (теорема Судзуки [2]). ПустьС = &(д); Р - силовская 2-подгруппа группы С; В = РХН - подгруппа Бореля; Н - подгруппа Картана из В. Тогда:
1. Р - группа порядка^2 периода 4, Р = 2{Р) = Ф(Р) - О^Р).
2. Все инволюции группы О сопряжены и Са(а) - Р для любой инволюции аеР.
3. Любые две силовские 2-подгруппы в О имеют тривиальное пересечение.
4. Н действует транзитивно на множестве инволюций из Р.
5. О порождается любой парой своих силовских 2-подгрупп.
6. О не содержит элементов порядка 3.
Предложение 7 [15]. Пусть О - бесконечная периодическая группа; £ - силовская 2-подгруппа группы О со следующими свойствами:
1. |5| = 5.
2. £ - элементарная абелева.
3. О - насыщена конечными простыми неабелевыми группами.
Тогда О = Яе(0, где 0 — локально конечное поле характеристики 3 без подполей порядка 9.
Предложение 8 [10]. Пусть бесконечная периодическая группа О насыщена конечными простыми неабелевыми подгруппами и некоторая силовская 2-подгруппа £ из О является конечной группой диэдра. Тогда О изоморфна локально конечной простой группе £2 (Р), где Р - локально конечное поле нечетной характеристики Р.
Предложение 9 [10]. Пусть О = Яе(д), где д = 32и+1 > 3; д - инволюция из О ; Т - силовская 2-подгруппа в О . Тогда:
1. Т - элементарная абелева группа порядка 8, Са(Т) = Г и Н = Ыа{Т) = ТЩх(с1)^де
- группа Фробениуса порядка 21.
2. Са {а) = (а) х Ь, где Ь = Ь2 (д) .
3. О - (Н,Са(а)) - (8,Са(а)), где произвольная силовская 2-подгруппа группы С, не содержащая инволюции а.
4. Все инволюции из О сопряжены в О .
Предложение 10 [10]. Группа Шункова, насыщенная группами из £2 (д), обладает периодической частью, которая изоморфна простой группе Судзуки £2 (0 над локально конечным полем 0 характеристики
2.
Предложение 11 [16]. Пусть О - бесконечная локально конечная группа, насыщенная группами диэдра. Тогда в О существует строго возрастающая цепочка конечных групп диэдра
£>(1) с# с.^с^с...
такая, что
0 = У]0(,) =£Л(г),
г
где Ь - квазицикпическая группа; ? - инволюция и V = Г1 для любого I е1.
Предложение 12 (Шунков В.П. [17]). Периодическая группа с почти регулярной инволюцией локально конечна и почти разрешима.
Предложение 13 (Теорема Санова [5, 7]). Произвольная группа, порядки элементов которой не превосходят 4, локально конечна.
Предложение 14 [8]. Периодическая группа О, насыщенная проективными специальными группами размерности 2 над конечными полями, изоморфна группе £2 (Р) над подходящим локально конечным полем Р .
Предложение 15 [9]. Периодическая группа, насыщенная некоторым множеством простых групп Ь2(рп), £г(22к+1), изоморфна одной из групп £2(0, $г{0) Для подходящего локально конечного поля 0.
Предложение 16 (Шунков В.П.) Пусть £ - конечная подгруппа бесконечной 2-группы Т. Тогда Ыт (£) Ф £ .
Доказательство. Индукция по |£|. При |£| = 1 предложение верно. Пусть |£| Ф 1 и ? - инволюция из центра £. Если Сг (г) конечен, то по теореме Шункова Т локально конечна и £ является собственной подгруппой некоторой конечной подгруппы Н из Т. Поскольку Ын (£) ф £, то Ыт (£) ф £ .
Если Сг(?) бесконечен, £ = £/^) - конечная подгруппа бесконечной подгруппы С = Сг(7)/( 1;).
По предположению индукции 7У-(£) ф £, откуда А^ (£) > Л^с(£) Ф £. Предложение доказано.
2. Доказательство теоремы
По условию теоремы в О есть элементы простого нечетного порядка р, пусть а - такой элемент. Обозначим через J множество всех инволюций группы О , через У (О) - множество всех подгрупп группы
О , изоморфных группам из У , а через Х3 (О) - множество всех подгрупп группы О, изоморфных группам из Х .
Пемма 1. Подгруппа Ох = (а°^ насыщена группами из множества Xр.
Доказательство. Пусть К - произвольная конечная подгруппа из О . Она может содержать неединичный элемент нечетного порядка и может быть 2-группой. Рассмотрим эти случаи в отдельности.
1) К содержит элемент нечетного порядка. По условию теоремы К <= Ц =М1х()1, где
М1еУДС),а4еХДС).
Тогда К с: Ь2 = Ц пОг и содержит й? элемент нечетного порядка. Ясно, что <1 еМр атак как М1 пб, <МХ и Мг - конечная простая неабелева группа, то М1 пб, = Мг. Следовательно, Ь2 =М1х()2, где Ь2 е X (С) и ()2 - (()1 г-^), и в этом случае лемма доказана.
2) К - 2-группа. По условию теоремы К а Ц =М1 , где Мх еУ (О), а Ьх <еХр(0) .
Если 1 ф (М1 п ) <1М1, то М1 п б1 = М1, поскольку Мх - конечная простая неабелевая группа, и Мх-К <^Ь2 = (Ьх п Ох) = (М1 х 02) где Ь2 е X (О), ()2 = п*()1 , м в этом случае лемма так-
же доказана.
Пусть М1г\С1 =1. Возьмем в Мх элемент <Л простого порядка, отличного от 2. Тогда ,
где уе , - конечная группа и ^с1,с1у ^ сМ2 е Ур(0). Но тогда ё гу 1с1у<Е(С1 слМ2) <М2 и,
значит, <1~1у~1с1у = \. Действительно, М2пОг= 1, поскольку 1 Фй^(М1пМ2), и если М2 слОх ф 1, то в силу простоты М2 , М2 пб, = 1, а значит, ё е , что невозможно. Таким образом, ф - уё для любых у^а° и все элементы простых порядков, отличных от 2, из Мх перестановочны поэлементно с О . Так как подгруппа, порожденная всеми элементами простых порядков, отличных от 2, из М1 , нормальна в М1 , то в силу простоты М1 получим, что М1 порождается всеми элементами про-
стых порядков, отличных от 2. Последнее означает, что М и О поэлементно перестановочны, т.е. в О можем рассмотреть подгруппу С1хМ1 .
Возьмем в Ог конечную простую неабелевую подгруппу М3, такую, что М3 еУр(0). Такая группа существует по условию теоремы. Рассмотрим конечную подгруппу М4 = М3хМ1.
По условию теоремы М4 сМ, е7ДС). Но никакая группа из 7 не содержит подгрупп, изоморфных М4 (предложение 5). Следовательно, предположение о том, что М1 пб, = 1, не верно. Значит, М1 пб, = 1, и, как показано выше, в этом случае лемма доказана.
Лемма 2. Не ограничивая общности, можно считать, что С = Ох= (а3^.
Доказательство. По лемме 1 Ох =(а°) удовлетворяет условиям теоремы.
Предположим, что для О теорема верна, в частности, все элементы нечетного порядка в О порождают локально конечную подгруппу Я, изоморфную одной из групп в формулировке теоремы. Пусть х - элемент нечетного порядка из С\Я. Подгруппа Я-(х) - локально конечна. Возьмём 1 Ф ё е Я и рассмотрим конечную подгруппу (х, ё^. По условиям теоремы (х, ё^ содержится в конечной подгруппе Ьх группы С, при этом Ц =М1 х0 , где Мх е7ДС), а Ьх <еХр(0). Так как ЯпМ^ <МХ, то Мх < Я, а поскольку х - элемент нечетного порядка, то х е Мх. Получили противоречие с выбором х. Следовательно, все элементы нечетных порядков из С лежат в Я, а потому Я - нормальная подгруппа группы С. Так как подгруппа Я проста, то Яг\02{0)= 1{, и мы можем образовать подгруппу Н = Ях02(О). Для доказательства леммы нам надо установить равенство Н = 0. Предположим, что это не так и, пусть g &С\Н. Обозначим через Е некоторую конечную простую неабелеву подгруппу группы О. Если при этом О содержит подгруппу А, изоморфную Яе(0, то считаем, что Е = А. Из локальной конечности и нормальности подгруппы Я выводим, что {Е, ^ - конечная подгруппа. По условию теоремы она содержится в подгруппе вида Ь2 = М2 х 02, где М2 е Ур (С), Ь2 е Xр (С). Ясно, что Е < М2 < Я . Следовательно, g = гё ,ще г е Я, ё <=()2 , ё , и ё централизует М2. Обозначим через Ь элемент из Я, для которого Ъё Ф ёЪ (такой элемент существует, так как в противном случае ё е Са (К) - 02 (С) и ё <еН).
Рассмотрим теперь конечную подгруппу АГ = (Ь2,Ь^. В силу условия теоремы К <Ь3 -М3 х()3, где М3 е 7 {С), Ь3 е X (С). Отсюда выводим, что ё - = гу, где у е М3, г е()3. Заметим, что
1 Фу- ёг~х, у является 2-элементом и у е Са(М2). Пусть /- инволюция из (_у). Итак, мы получили следующую ситуацию: в группе М3 имеется инволюция г, которая централизует её подгруппу М2. Это невозможно, если М3 одна из групп Ь2(2"), &(22к+1), поскольку в этих подгруппах централизатор любой инволюции является 2-группой. ЕслиМ3 = Ь2(рж), р > 2, то это невозможно так как централизатор любой инволюции в такой группе разрешим (является группой диэдра). Пусть, наконец, М3 2 Яе(^). В силу выбора подгруппы Е отсюда выводим, что Е = Яе(^) и инволюция / централизует эту подгруппу. Последнее невозможно в виду предложения 9. Итак, мы получили противоречие. Значит, лемма верна.
Далее мы будем считать, что О = Ох =(а°^.
Лемма 3. Если N - собственная нормальная подгруппа группы О, юЫ<1{С) и N -2-группа.
Доказательство. Пусть О = (я°), подгруппа N нормальна в С \л \ Ф N Очевидно, а <£ N.
Допустим, чтоа ф ах для некоторого элемента х из N. Так как подгруппа Ьх = (а,ах^ конечна, то по
условиям теоремы Ьх <Ь<С, Ь=Мх(), Ме У (О), а 1е X (С). Все элементы порядка р
из 1_, очевидно, содержатся в М и ввиду простоты группы М из 1 Ф а~1х~1ах е N глМ заключаем, что М < N и N -О. Полученное противоречие означает, что а~1х~1ах = 1 для любого элемента х е N, Ь~1х~1Ьх = 1 для всех элементов Ь е а°. Следовательно, N < 2(0). Пусть t - произвольный элемент из N. По условию теоремы ? е Ц = (Мх х ()х), где Мх е Ур(0), аЬх е Xр(0). Как показано выше, ? е 2(0) и, значит, г е ()х, т.е. ? - 2-элемент. В силу произвольности выбора I из N получаем, что N -2-группа. Лемма доказана.
Лемма 4. Если теорема для группы С не верна, то можно считать, что С - бесконечная группа, и 02(0) = 1.
Доказательство. Если С - конечная группа, то из условия теоремы непосредственно следует, что С е Xр(С) и теорема верна. Пусть группа О бесконечна. Докажем, что условия теоремы переносятся на
фактор-группы С = СЮ2(С). По лемме 3 02(0) содержится в 2(0) и по предложению 1 О является группой Шункова. Пусть Ьо - произвольная конечная подгруппа в О . Ввиду теорема Шмидта полный прообраз Ь0 подгруппы Ьо в О локально конечен. Значит, Ь0 = К02(С) для некоторой конечной подгруппы К из Ь0. По условию насыщенности К <1 =Мх <2 <0, где. Ь е X (О), а М <еУр(О). Поскольку 02(0) - 2-группа, а М - простая конечная неабелева группа, то М гл02(0) = 1 и Ьа <Мх(), где М=М, <2 = ()-02(0)/02(0) - единичная, или конечная 2-группа. Следовательно, факторгруппа О / О (О) наследует условие насыщенности группами из X . Если О / О2 (О) конечна, то полагая
Ь0 = О получим Ьо = О =М и, очевидно, О =Мх02(0), что доказывает теорему. Таким образом,
если О - контрпример к теореме, то О - так же контрпример к теореме и 02(0) = 1. Положим 0 = 0. Лемма доказана.
Пусть А: е / и Х0 = (а, А:). По предложению 3 подгруппа Ь0 конечна и по условию насыщенности Ь0<Ь<С, где Ь = М х() ,М <еУр(С),Ь <еХр(С). Ввиду предложения 4 имеет место
Лемма 5. Произвольная инволюция ] из подгруппы Ь либо перестановочна со всеми элементами порядка р из Ь, либо не перестановочна ни с одним из них, при этом инвертирует некоторый элемент порядка р из аь. В первом случае у е <2 , во втором либо ;еМ, либо у = тХ, где г - инволюция из <2, г - инволюция из М.
Лемма 6. Если инволюция ] перестановочна с некоторым элементом из аО, то ] перестановочна с каждым элементом из а°, то есть (у е С0(а°).
Доказательство. Без ограничения общности можем считать, что а/ = у'а. Пусть Ъ е а° и допустим, что у'й Ф Ц и Ь1 =Ь1. По предложению 4 подгруппа (й,у) конечна. Как и выше, (б,у)<1=Мх0<а, гд еМе7 (О), а Ь е X (С). Т ак как у'й Ф Ц, то ввиду леммы 5 у инвертирует некоторый элемент порядка р из М . Поскольку все подгруппы порядка р в М сопряжены (предложение 4), то у инвертирует некоторый элемент ё из а°. Рассмотрим £ = (й?,а,у). Тогда группа £ конечна и по условию теоремы £ < Ц = Мх х 0, где Мх е Ур(С), Ьх е X (О), а (а, а?) с Мх. Но равенства а1 = а /\ Ъ1 =Ъ~1 противоречат лемме 5. Значит, у'й = 6у для любого элемента Ъ<=а°. Лемма доказана.
Лемма 7. О не содержит инволюций перестановочных с элементом а.
Доказательство. Предположим обратное и пусть у - такая инволюция. По лемме буе 2(0), что противоречит лемме 4. Лемма доказана.
Лемма 8. О насыщена группами из множества У .
Доказательство. Пусть К - конечная группа из О . По условию насыщенности К <Мх<22, где М содержит элемент а из а°. Тогда по лемме 7 <32 = 1 и, следовательно, К <М & Ур. Лемма доказана.
Лемма 9. Пусть группа О содержит подгруппу Ь, изоморфную группе Яе(О). Тогда О изоморфна группе Яе(О) для подходящего локально конечного поля О.
Доказательство. В силу предложения 9 Ь содержит подгруппу К = (х} х (({у} х ^)Я(с1^), где
И = М = N = 2, И = 3; ({у) х изоморфна знакопеременной группе А4. Предположим, что
порядок силовской 2-подгруппы £ группы О равен 8. Тогда О = Яе(0 по предложению 7. Покажем, что случай |£| > 8 невозможен.
Действительно, пусть |£| > 8. Рассмотрим 2-подгруппу А = (х)х х (г). Она содержится в некоторой подгруппе 5'1 порядка 16 (см. предложение 16). Так как <1 еЫа(А), ^ : А\ =2 и С - группа Шункова, то В = - конечная группа со свойствами: порядок силовской 2-подгруппы из В больше 8;
В содержит элементарную абелеву 2-подгруппу порядка 8; В содержит элемент порядка 6. Заметим теперь, что группы из насыщающего множества подгрупп с такими свойствами не содержат. Получили противоречие. Значит, О = Яе(0 и лемма доказана.
Завершим доказательство теоремы. Если О содержит подгруппу, изоморфную Яе(О), то теорема верна согласно лемме 9. Если группа О не содержит такую подгруппу, то теорема справедлива в силу предложения 15.
Литература
1. Дуж А.А., Созутов А.И., Филиппов К.А. О группах Шункова с одним условием насыщенности // Алгебра, логика и методика обучения математике: мат-лы Всерос. конф., посвящ. 100-летию со дня рождения С.Л. Эдельмана. - Красноярск, 2010. - С. 58-63.
2. Бусаркин В.М., Горчаков Ю.М. Конечные расщепляемые группы. - М.: Наука, 1968.
3. ГоренстейнД. Конечные простые группы. - М.: Мир, 1985.
4. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. - М.: Наука 1996.
5. Лыткина Д.В. Строение группы, порядки элементов которой не превосходят числа 4 // Сиб. мат. журн. - 2007. - № 2 (48). - С. 353-358.
6. Панюшкин Д.Н., Тухватуллина Л.Р., Филиппов К.А. О группах Шункова, насыщенных прямыми произведениями циклических и проективных специальных линейных групп // Тр. ИММ УрО РАН. -2010. - №2 (16). - С. 177-185.
7. Санов И.Н. Решения проблем Бернсайда для периода 4 // Учен. записки ЛГУ. Сер. матем. - 1940. -С. 166-170.
8. Филиппов К.А., Рубашкин А.Г. О периодических группах насыщенных L2 (pn ) // Сиб. мат. журнал. -2005. - №6 (46). - С. 1388-1392.
9. Филиппов К.А. Группы Цассенхауза с бесконечной силовской 2-подгруппой. - 2005. - С. 109-110.
10. Шлёпкин А.К. Группы Шункова с дополнительными ограничениями: автореф. ... дис. д-ра физ.-мат.
наук. - Красноярск, 1998.
11. Шлепкин А.К. О сопряженно бипримитивно конечных группах, насыщенных конечными простыми подгруппами и3 (2п ) // Алгебра и логика. - 1998. - №5 (37). - С. 606-615.
12. Шлепкин А.К. О периодической части некоторых групп Шункова // Алгебра и логика. - 1999. - №1. -С. 96-125.
13. Шлёпкин А.К. О некоторых периодических группах, насыщенных конечными простыми подгруппами // Матем. тр. - 1998. - №1. - С. 129-138.
14. Шлёпкин А.К. Сопряженно бипримитивно конечные группы, содержащие конечные неразрешимые подгруппы: сб. тез. III междунар. конф. по алгебре. - Красноярск, 1993. - С. 369.
15. Шлёпкин А.К., Васильева О.В. О периодических группах с абелевой силовской 2- подгруппой порядка 8 // Мат. сист. - 2001. - С. 54-60.
16. Шлёпкин А.К., Рубашкин А.Г. Об одном классе периодических групп // Алгебра и логика. - 2005. -№1. - С. 110-119.
17. Шунков В.П. О периодических группах с почти регулярной инволюцией // Алгебра и логика. - 1972. -№4. - С. 470-494.
