О расходимости интерполяционных процессов Лагранжа по узлам Якоби на множестве полной меры Текст научной статьи по специальности «Математика»

следует (15). А для операторов вида (5), построенных с помощью решений задачи Коши (3), из соотношения

^Лу(х, Л)6(/,х,Л, ^)

1 ~' V..... ^)

Нш -ггг^-^^ шах | 1, ^1п Л----| = О

следует (15), где «относительный» модуль непрерывности ^ определяется (8).

Доказательство. Справедливость утверждения теоремы 3 устанавливается аналогично доказательству теоремы 2 в случае

= /^л)-

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Трынин А.Ю. Обобщение теоремы отсчетов Уиттекера—Котельникова— Шеннона для непрерывных функций на отрезке // Мат, еб, 2009, Т. 200, вып. 11, С. 61-108.

2, Трынин А.Ю. Оценки функций Лебега и формула Неваи для вше-приближений непрерывных функций на отрезке // Сиб, мат, журн, 2007, Т. 48, 5, С, 1158-1169,

3, Трынин А.Ю. Критерии поточечной и равномерной сходимости еинк-приближений непрерывных функций на отрезке // Мат, сб. 2007, Т. 198, вып. 10, С. 141-158.

УДК 517.518.85

А.Ю. Трынин, И.С. Панфилова

О РАСХОДИМОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ ЛАГРАНЖА ПО УЗЛАМ ЯКОБИ НА МНОЖЕСТВЕ ПОЛНОЙ МЕРЫ

В настоящей работе получено усиление результата А.А. Привалова 1, теорема 1]. Показано существование непрерывной функции, интерполяционные процессы Лигринжи Якоб и которой расходятся почти всюду на [-1; 1].

Пусть Я = {хк,п},к = 1, 2,3, ...,п; п = 1, 2,3,..., — матрица узлов интерполирования, п-я строка которой

1 < Хп,п < Хп—\,п < Хп—2,п < ... < х1 ,п < 1

есть корни многочлена Якоби Рпа,в) (х), т.е. многочленов {Рпа,в) (х)}, ортогональных на отрезке [-1; 1] с дифференциальным весом ¡х>(х) = = (1 - х)а • (1 + х)в, а > -1,в> -1.

Для любой непрерывной на [-1; 1] функции /(х) положим

п

Ьп(Я,/,х) = ^ /(Хк,п)1к,п(Я>х), к=1

где ¡к,п(Я,х) = РПа,в\х)/вПа,в) (хк,п) • (х - хк,п).

Лемма 1. Пусть Я = {хк,п} — матрица узлов интерполирования Якоби и пусть £/ — наперед заданная последовательность положительных чисел 0 < £1 < 1,1 = 1,2,3,.... Тогда, найдутся положительные постоянные с1,/ и с2/, не зависящие от и, такие, что для любых узлов хк,п и хк+1,п € [—1 + £/, 1 — £/] справедливы неравенства

С1,//и < хк,п — хк+1,п < С2,//и. (1)

Доказательство см. в [1, следствие к лемме 2].

Лемма 2. Пусть R = {xkn} — матрица узлов Якоби, 71 = = min(a, в) > — 1 и пусть положительные числа £i и q такие, что 0 <el < 1,q> 2.

Тогда, существуют положительные постоянные cl0 = c(£l,q), зависящие только от £l и q и не зависящие от и, такие, что для всех x = cos в, x G In(q, £l),

n— 1

In(q,£i)= (U \xk+i,n + ——Xk+1,n; xk,n - ——Xk+1,n )П[-1 + £l;1 - £l] (2)

k= 1

и всех номеров n, n > ию, где ию зависит, только от £i, а и ß, справедливы неравенства

| cos(Narccosx + 7) + O(1)(n\/1 — x2)-1| > clo,

гдеЫ = n + (a + ß + 1)/2,y = —(a + 1/2)n/2. Доказательство см. в [1, лемма 7].

Лемма 3. Пусть множества E1} E2, E3, ... измеримы. Если E1 С

то

С E2 С E3 С ... и если сумма E = ^ Ek ограничена, то mesE =

k=i

= lim (теsEn) [2].

n—уто

Доказательство см. [3, гл.З, §4, теорема 11].

Теорема 1. Пусть вещественные а и ß такие, что Y1 = = min(a,ß) > —1, и пусть R - матрица узлов интерполирования, и-я строка которой есть нули многочлена Pi(a,ß\x) Якоби, и = 1, 2,3,... Тогда, для любого положительного числа £ 0 < £ < 17 существуют

множество EE С [—1;1]7 m esE > 2 — е, и непрерывная на [—1; 1] функция f (x) такие, что lim |Ln(R, f, x)| = ж, если только x £ E.

Доказательство см. [1, теорема 1].

Теорема 2. Пусть вещественные а и ß такие, что 71 = = min(a,ß) > —1, и пусть R - матрица узлов интерполирования, и-я строка которой есть нули многочлена рП""0\x) Якоби, и = 1, 2,3,... Тогда, существует непрерывная на [—1; 1] функция f(x)7 для которой lim |Ln(R, f, x)| = ж почти везде на [—1;1].

Доказательство. В силу [1, лемма 11] для последовательности положительных чисел е/, 0 < е/ < 1/4, существует бесконечная последовательность {us} номеров такая, что и1 < и2 < и3 < ..., и если us = us., то многочлены рП^.'ß)(x) и рПГ(x) на отрезке [—1 + е/; 1 — е/] имеют не более одного общего нуля; кроме того, в силу [1, лемма 3] считаем, что Lni (R) < Ln2 (R) < Ln3 (R) < ....

Возьмем бесконечную последовательность {ms} натуральных чисел

ж

такую, что m1 > 6/е/ и ряд ^ ^¡П— сходится, и будем искать функцию,

s=1

удовлетворяющую теореме, в виде (см. [1, (59)

(x)

\/ln mSj

Так же как в [1, теорема 1], только па каждом шаге заменяя е на е/, построим две числовые последовательности {mSj} и {uSj+l—1},i = = 1, 2,3, ...,msj; j = 1, 2,3,..., последовательность промежутков {Al—s }, i = 1, 2,3, ...,ms.; j = 1, 2,3,...; две последовательности

{фз(x)},j = 1,2,3,..v и Mj(x)},i = 1,2,3,...,msj;j = 1,23,..., функций, непрерывных на [-1;1]. Эти последовательности обладают следующими свойствами:

1) функция фз(x) £ LipM.1 на отрезке [-1; 1] и max |фз(x)| = 1;

j — 1<x<1

ж

2)Ln,(R) ■ £ ^¡ПТ—" < <W = 1,2,3,...;

l=/+1 V sj

f (x) = £ jL. (3)

' / I Ti >>»

J=1

3) max |Ln(R,^j, x) — ф (x)| < c12, и > us, ,j = 1, 2,3,...,/ — 1;

— 1+Ei<X<1—Ei

4) если x £ Ai+i— П [—1 + е/; 1 — е/], i £ [1; ms, — 1], то

|Lns1+í-i (R,^/,x)| = |Lnsl+i-i (R,^i./ ,x)| > c3./ cos |(Ns,+i—1 ■ arccos x + 7) +

1 — x2) | x (ln m/ — Cß) > cos |(NsJ+i—1 ■ arccos x + 7) + +O(1)K+i—1 /1 — x2)—1| x ((lnm/)4 — Cß) (4)

5) для любого I = 1, 2,3,... справедливы соотношения

и Аг+1тн = [-1 + 2/ша1; 1 - 2/ша1 ] э [-1 + е1; 1 - £/], (5)

{=1

где Дг+1,тя. П = 0, если 1 < % = ] < ш31 - 1;

фз (х)

6) функция /(х) = Ф непрерывна на отрезке [-1;1].

Строим множество Е. В силу леммы 1 существуют положительные постоянные с1:/ и с2/, не зависягцие от п, такие, что если узлы Хкп и хк+1,п матрицы Я принадлежат отрезкам [-1 + £/ /2; 1 - £1 /2], то с1,/ /п <

< \Хк,п - %к+1,п | <с2,1 /п.

Возьмем положительное число д > 4с2,/ /с\/ £1 и рассмотрим множества 1п (д,£/) из леммы 2, где I = 1,2,3,... и индекс % изменяется от номера щ/ до томера V/, которые определяются из неравенств

2(щ - 1)/Ш8; < -1 + £1 < 2Щ /ш8;

и

2(V/ - 1)/ш8; < 1 - £1 < 2VI/ш3;.

В дальнейшем рассматриваем только множества 1п (д,£/),1 = = 1, 2,3,...; % = щ, щ + 1,щ + 2,..., v/. Каждое множество 1п (д,£/) получается из сегментов [-1 + £/; 1 - £/] выбрасыванием конечного числа интервалов (см. (2)), причем наибольшая из длин этих интервалов не превосходит 2с2//дп3;+{-1.

Отсюда и из того, что п3;+{-1 > ш^, следует, что множества

Ег,т»1 = Д»+М; П (д,£/),1 = 1,2,3,...; % = щ/щ/, (6)

не пустые и

шввЕ^ > 2/ш&1 - 4с2,//ш&1 дсХ/ > 2(1 - £/)/ш81 , (7)

так как в силу (1) па промежутке Д{+1,т» лежит не более чем 2па1+{-1/ш8;с/ узлов п^-гй строки матрнцы Я, а выбрасываем из отрезка Д{+1,т»г интервалы, содержащие эти узлы и имеющие длину, не превосходящую 2с2///д • п8;+{-1. Положим

V;

Ет»; = У Е{,тн (8)

{=А

{=А;

и

оо оо

E = HU EmSl. (9)

k=1 l=k

Очевидно, что E С [—1; 1] и из (5), (6), (7) имеем mesEms > 2 — 4el, а в силу [1, лемма 12] mesE > 2 — 4^. Применяя лемму 3, получаем mesE = lim (mesEms ) = 2 при lim el = 0.

l—TO l l—TO

Так же, как в [1, теорема 1], доказывается, что функция (3) и множество (9) — искомые. Далее для всех точек x Е E из [1, (82)] и (4) получаем, что lim |Ln(R, f, x)| = то.

n—>-то

Теорема доказана [2, 3].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Привалов A.A. О расходимости интерполяционных процессов Лагранжа // Сиб. мат. журн. 1976. Т. 17, № 4. С. 837-854.

2. Турецкий А.Х. Теория интерполирования в задачах. Минск: Высш. шк,, 1968.

3. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М,: Наука, 1974.

УДК 517.51

К.А. Туктамышева

ОБОБЩЕННАЯ АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ

ФАБЕРА—ШАУДЕРА

Классическая система Фабера^Шаудера {рк}^=0 на [0,1] [1, глава 6] определяется так, чтобы ||рк || то = 1- При этом коэффициенты разложения функции / по системе {(к}ТО=0 определяются так: А0(/) = = f (0), А1(/) = /(1) - f (0),анрип = 2к + г, к Е 1 < % < 2к, верно Ап(/) = /((2% - 1)/2к) - (/((% - 1)/2к) + /(%/2к))/2. Мы рассматриваем коэффициенты ап(/) разложения по системе {рк2)}ТО=05 гДе р^ = Скрк

II (2)|| 1

И [0,1] = 1.

p

Пусть £ = - разбиение [0,1] и Кр = ( Xj If (xi) — f (xi-i)|p ^

для p E (1, то) Положим ui—i/p(f,ö) = sup kp(f), где ||£|| - диаметр

разбиения Пространство Cp[0,1] = < f : lim u1—1/p(f, Ö) = 0 > является

I ¿^0 J

банаховым с нормой ||f||c = max(||f1 (f, 1)). По определению

En(f )cp = inf

f — E СгРг

i=0

cp

Результаты следующей леммы можно найти в [2].