О необходимых и достаточных условиях равномерной и поточечной сходимости интерполяционных процессов по «Взвешенным» многочленам Якоби Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.518.85

А. Ю. Трынин

О НЕОБХОДИМЫХ И ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ

РАВНОМЕРНОЙ И ПОТОЧЕЧНОЙ СХОДИМОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ ПО «ВЗВЕШЕННЫМ» МНОГОЧЛЕНАМ ЯКОБИ

Пусть ап > —1 ,вп > — 1, тогда 0 - последовательность

многочленов такая, что при каждом n £ N есть классический ор-

тогональный на отрезке [—1,1] многочлен Якоби степени n [1, 2] для случая а = ап, в = Сделаем стандартную замену переменной x = cos 9. Тогда дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют многочлены Якоби рПап,вп\ с помощью преобразования Лиувилля [2, §1.8] приво-

дятся к виду (смотрите, например [1, гл. VII., §3] или [2, §4.24, (4.24.2)

+ + + ai±f±1 )2 d)

Функции ип(в) представляют собой решения задачи Коши с этим уравнением и начальными условиями

un( = ísin П\ (cos pKA )í cos

м 2 J V 4 / V 4 / n У"" 2

РПа"'в" ^ (cos в)

d( . в\an+V в\вп+2

u4 2j= delsm2j Icos 2

(2)

в=п

где РПапклассический многочлен Якоби степени п с параметрами ап, вп и стандартной нормировкой [2, гл. IV, §4.1, (4.1.1)]

р<о-вп»(1) = (п + ). (3)

Заметим, что требование ап > — 1,вп > —1 обеспечивает суммируемость весовой функции классических ортогональных многочленов Якоби. В силу [2, теорема 4.23.2] при ап < — 1 ми вп < —1 функции р(ап,вп

являются многочленами только когда ап £ 2, вп £ 2. Тем не менее аналитическое продолжение по а и в на всю действительную ось решений уравнения (1) возможно. Вид функции р^ап'вп) в этом случае описывается формулой [2, (4.21.2)]. Договоримся считать, что функцияр(ап,вп При

ап > —1,вп > —1 есть классический многочлен Якоби, а в случае, когда выполняется хотя бы одно из условий ап < — 1 или вп < —1 рПап,вп\ есть гипергеометрический ряд [2, (4.21.2)]. В обоих случаях используем стандартную нормировку (3) и называем функциипп(в) «взвешенными» многочленами Якоби.

Если не оговорено иное, считаем, что последовательности {ап}^=1, {вп}ТО=1 удовлетворяют соотношениям

ап е И, вп е К, ап = о| А вп = 0уу рИ П ^

П П П П (4)

Пусть / е С[а,Ь], где [а,Ь] С (0,п). Доопределим функцию / на отрезок [0, п] до непрерывной функции Г следующим образом:

( /(в) при в е [а, Ь],

Г(0) = < 0 прив е [0,п] \ (, П+43Ь), (5)

[ линейная при в е (^,а) и (Ь, ).

В отличие от порядка многочлена р(ап,вп номер наибольшего из нулей решений задачи Коши (1) и (2) согласно нормировке [3, (1.6)] будем обозначать п = п(Л). Поэтому определение оператора [3, (1.8)], построенного по решениям задачи Коши, выглядит так

п (в) п

^'с™=е пп(вкЛ(в—вм.)Г (вм-'=£ -(в)г >.

(6)

Исключив из рассмотрения тривиальный случай / = 0, возьмём фиксированную положительнозначную последовательность {^п}^=1, удовлетворяющую условиям

$п I

$п = о(1), Нш —-—^ = то; положим еп = ехр<---—^ >. (7)

Учитывая то, что в силу [3, предложение 5] и (1) на отрезке [|, ] функция пп имеет конечное число нулей в^,п. Перенумеруем их в порядке возрастания, а их количество обозначим п +1 = п(п, ап, вп, а, Ь) +1. Для любого натурального п и в е [а, Ь] обозначим через р р1? р2, т1 и т2 такие целые числа, что имеют место соотношения

т 1 =

к1 2

+ 1, т2 =

к2 2

9р,п < 9 < 9p+1,n,

9Р1,п < а < 9р1 + 1,п 9Р2,п < Ь < 9р2 + 1,п,

где номера ^ и к2 определяются из неравенств

9к4 — 1,п < 9 — £п < 9k1,n, 9к2,п < 9 + £п < 9 к2+1,п*

Обозначим последовательности

Пп = Пп(а,ап,вп)

=

2п

+

ва + ( п+ ап+вп + 1 3 4 4

2

2пиП(2)

4-ап

1 «2

4 — Рп

4 б1П

+44-2а + п+

ап +вп + 1

4-ап , 4-вп , , ап +вп + 1 ,, - 2 а + , 2 а + \ п+ 2

1 Бт2 4 4 сой2 4 V 2

\2+/ »п (2)А2'

) + \»п(2)/

если ип (а) = 0

если ип (а) = 0

(9)

и

Ап = Л п(а,Ь,ап,вп)

п + (Ь — а)

2П

1 — а2 1 — вп / ап + вп + 1Ч 2 4 + Т-ТТТ + п +--

4 вт2 4

4 сое2 4

2

(10)

После введённых обозначений сформулируем критерий сходимости в точке по «взвешенным» многочленам Якоби.

Теорема 1. Пусть последовательности ап, вп удовлетворяют соотношениям (4), / £ С[а,Ь], [а, Ь] С (0,п)* Доопределим, функцию / до Г на отрезке [0,п]7 как в (5). Возьмём фиксированные положитель-нозначные последовательности {$пи {епудовлетворяющие условиям (7). Числа т1 ,т2 и р выберем, чтобы выполнялись соотношения (8). Тогда для операторов вида (6), где в качестве решений задачи Коши берутся «взвешенные» многочлены Якоби ип(9), равномерно 9 [а, Ь]

Нш

п—>со

£ (ап,вп)

Ап

(Г, 9) — Г (9) —

2

а

1

Ш2

т (п\ 'Г(в2т+1,А. ) — 2Г(в2т,А.) + Г(в2т—1,А. ) п п , ч

—Пппп(в) • > -~- = ° (11)

р — 2т

т=т\

где последовательность пп = Пп(а,ап,вп) определена (9), а штрих у суммы означает отсутствие слагаемого со знаменателем, равным нулю. Если т2 < т1 (смотрите (8)), то сум,м,а, в (11) равна, нулю.

Справедлив также «глобальный» аналог теоремы 1.

Теорема 2. Пусть последовательности ап, вп удовлетворяют соотношениям (4), / е С [а, Ь], [а,Ь] С (0,п). Доопределим, функцию / до Г на отрезке [0,п]7 как в (5). Число р выберем, как в (8). Тогда, для операторов вида (6), где в качестве решений задачи Коши, берутся «взвешенные» многочлены Якобипп(в), равномерно по в на [а,Ь] справедливо равенство

lim

n—>сс

s[ann,ßn)(F,e) — F(0) —

[ ^ ]

^ „ (ü\ V^'F(02ш+1,Л» ) - 2F(02m,A„ ) + F(02m—1,A„ )

-nnUn(0) • -

p — 2m

m=1

= 0,

где последовательность цп = цп(а, an,ßn) определена, (9), а штрих у суммы означает отсутствие слагаемого со знаменателем, равным нулю.

Доказательство теоремы 1 следует из [3, теорема 1] при условии (10), а утверждение теоремы 2 вытекает из [3, теорема 1] и [3, (4.36)] при условии (10).

Из теорем 1 и 2 следуют необходимые и достаточные условия приближения значениями оператора (6) функции f £ C[a, b] в точке. Следующая теорема представляет собой критерий равномерной внутри (0, п) сходимости значений операторов (6) по «взвешенным» многочленам Яко-би. Заметим, что в случае, когда an = ßn = — критерий равномерной сходимости классических интерполяционных многочленов Лагранжа по матрице Чебышёва па всём отрезке [—1,1] получен A.A. Приваловым в [4].

Теорема 3. Пусть последовательности an,ßn удовлетворяют соотношениям (4), f £ C[a, b], [a, b] С (0,п). Доопределим, функцию f до F на отрез ке [0,п]7 как в (5). Возьмём фиксированные положи-тельнозначные последовательности {^n}^=1 и {£n}^=1, удовлетворяющие условиям (7). Для любого натурального n и 0 £ [a,b] обозначим,

p p1 p2 m1 m2 вида (6), где в качестве решений, задачи Коши, берутся «взвешенные»

многочлены Якоби ип(9), равномерно по 9 на [а, Ь] аппроксимировали функцию / £ С[а,Ь]7 необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Ш2

Пш шах I V 'Г (92т+'Л.) — 2Г (92т.А-) + Г (92т-1А,) = 0, (12)

п^то р4<р<р^1 р — 2т

/Г (92т+1,Ап ) — 2Г (92т,Ап ) + Г (92т—1,Ап )

т=Ш4

или эквивалентное ему условие

[ ^ ]

Нш Шах I V'Г (92т+1,Ап ) — 2Г (92т,Ап ) + Г (92т—1,Ап ) = 0

1,—^ОО рл <Гр<ГРо / ^

п^то р — 2т

т=1

гс^е штрих у сумм означает отсутствие слагаемого со знаменателем,

т2 < т1

Доказательство теоремы 3 следует из [3, теорема 2] при условии (10).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. М, : Наука, 1976.

2. Сег'ё Г. Ортогональные многочлены. М, : Физматгиз, 1962.

3. Трынин А. Ю. Обобщение теоремы отсчётов Уиттекера — Котельникова — Шеннона для непрерывных функций на отрезке // Математический сборник. 2009. Т. 200, № 1, С. 61-108.

4. Привалов А. А. Критерий равномерной сходимости интерполяционных процессов Лаграпжа // Известия вузов. Сер. Математика. 1986. Вып. 5. С. 49-59.

УДК 517.518

Р. Н. Фадеев

ОЦЕНКИ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ПО МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ СИСТЕМАМ В НЕКОТОРЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Пусть {р^}то=1 - последовательность натуральных чисел, такая что 2 < р] < Р для всех з £ N и Zj = {0,1,***,р] — 1}. Если т0 = 1, т] = т]—1р] при з £ N Т0 каждое х £ [0,1) имеет разложение х = X]х^ £ Zj. Это разложение определено однозначно, если при х = к/тп, 0 < к < тп, к,п £ Ъ+, брать разложение с конечным числом X] = 0. Каждое к £ Ъ+ однозначно представимо в виде к = Х]=1 к]т]—1, к] £ Ъу Для чисел х £ [0,1) и к £ Ъ+ положим по

100