CC BY
13
многочлены Якоби ип(9), равномерно по 9 на [а, Ь] аппроксимировали функцию / Е С[а,Ь], необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
т 2
11ш шах I V ' " (92т+1'Л') - (92тД-) + " (92т-1Д-) = 0, (12)
п^жр!<р<р2\ ' р — 2т
г ?(92т+1,Л„ ) — (92т,Л„ ) + ^(92т—1,Л„ )
т=т\
или, эквивалентное ему условие
[ ^ ]
НШ ШаХ I V'Р (92т+1,Лп ) — 2Е (92т,Лп ) + ^ (92т—1,Лп ) = 0
г—^оо Рл сгрсгро / ^
п^ж р!<р<р^|р — 2т
т= 1
где штрих у сумм означает отсутствие слагаемого со знаменателем, равным нулю. Если т2 < т1} то сум,м,а, в (12) равна, нулю.
Доказательство теоремы 3 следует из [3, теорема 2] при условии (10).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены, М, : Наука, 1976,
2, Сег'ё Г. Ортогональные многочлены, М, : Физматгиз, 1962,
3, Трынин А. Ю. Обобщение теоремы отсчётов Уиттекера — Котельникова — Шеннона для непрерывных функций на отрезке // Математический сборник, 2009, Т. 200, № 1, С. 61-108.
4, Привалов А. А. Критерий равномерной сходимости интерполяционных процессов Лагранжа // Известия вузов. Сер. Математика. 1986. Вып. 5, С, 49-59,
УДК 517.518
Р. Н. Фадеев
ОЦЕНКИ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ПО МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ СИСТЕМАМ В НЕКОТОРЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Пусть [рз}ж=1 - последовательность натуральных чисел, такая что 2 < Рз < Р для всех ] Е N и Zj = [0,1,...,рз- — 1}. Если т0 = 1, тз = тз—1рз при з Е N Т0 каждое х Е [0,1) имеет разложение х = Хзт—\ хз Е Zj. Это разложение определено однозначно, если при х = к/тп, 0 < к < тп, к,п Е брать разложение с конечным числом Хз = 0. Каждое к Е Ъ+ однозначно представимо в виде к = Х3=1 кзтз—1? кз Е Ъу Для чисел х Е [0,1) и к Е Ъ+ положим по
100
то
определению xk(x) = exp(2ni ^ Xjkj/pj). Система {хк(x)}TO=0 ортонор-
j=i
мированна и полна в L[0,1). Поэтому можно определить коэффициенты Фурье формулой f(n) = /0 f (x)xn(x) dx, n £ Z+, и частичную сумму
n— 1 Л
Sn(f)(x)=E f(i)Xi, n £ N.
¿=0
1
Пусть ||f ||p = (/J |f(t)|pdt^p - норма в пространстве Lp[0, 1) 1 <
< p < то. Зададим максимальную фупкцию M(f) равенством M(f)(x) = sup Smn(f)(x). Если If ||H = ||M(f)|1 < то, то f принад-
n£z+
лежит Р-ичному пространству Харди H (Р, [0,1)) с норм ой Ц.Ци- Пусть Pn = {f £ L1[0,1) : f(k) = 0, k > n} и En(f )p = inf{||f — Щ : U £ Pn}. Если ||f ||то = sup |f (x)|, то пространство C*[0,1) состоит из огранпчен-
x£[0,1)
ных функций со свойством lim ||f (. 0 h) — f (.)||то = 0 Для f £ C*[0,1),
h^0
f £ H (P, [0,1)) величины En(f )то, En(f )H определяются как En(f )p. По определению {an}TO=1 £ GM7 если для всех n £ N верно неравен-
2n—1
ство Yh |ak — ak+1| < Can. Ясно, что класс GM содердит в себе класс
k=n
00
RBVS последовательностей, удовлетворяющих условию ^ |ak — ak+11 <
k=n
< Can. Возрастающая последовательность {nk}TO=0 С N называется ла-
кунарнои по Адамару, если nk+1/nk > Л > 1 при всex k £ Z+.
00
Теорема 1. Пусть 1 < p < то7 {an}TO=1 £ GM и ^ apip—2 < то. То-
¿=1
00
гда ряд ^ aiXi(x) является рядом Фурье функции f £ Lv[0,1) и имеют i=1
место оценки
En(f )p < C ln1—1/pan + (J] apiP—'*) ) , (1)
1/p
n1—1/pan + En(f )p > C (J2 ^2 . (2)
При, p > 2 можно убрать n1 1/pan в правой чаemu (1), а при 1 < p < 2
(2)
00 00 Теорема 2. Пусть 1 < p < то7 |ak|2 < то и f (x) = ^ akxnk(x),
k=0 k=0 k 101
где {nk- лакунарная последовательность. Тогда,
00
к |2)1/2 <\\f ||, < к |2)1/2,
k=0 k=0
Ci( Y lak|2)1/2 < En(f )p < C2(Y к|2)1/2, n e N.
Uk >n Uk>n
<x <x
Теорема 3. 1) Пусть lak|2 < то u f (x) = akXnk(x), где
k=0 k=0 {nk}^=0 - лакунарная последовательность. Тогда,
С (Y lakl2)1/2 < En(f )h < C2(Y к|2)1/2, n e N.
Uk >n Uk >n
TO
2) Пусть f e C*[0,1) w имеет ряд Фурье ^ akXnk, где ak > 07
k=0 k
{nk}TO=0 _ лакунарная последовательность . Тогда,
Сз ^ ak < En(f < C4 ^ ak.
nk >n nk >n
Замечание. Теорема 1 является уточнением некоторых результатов из [2]. Неравенства теоремы 2 хорошо известны в тригонометрическом случае, но для мультипликативных систем левые неравенства теоремы 2 в явном виде не формулировались. Пункт 2) теоремы 3 является аналогом теорем 4 и 5 из работы С. Б. Стечкина [3].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Голубое Б. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша. М. : Наука, 1987.
2. Агафонова Н. Ю. О наилучших приближениях функций по мультипликативным системам и свойствах их коэффициентов Фурье // Analysis Math. 2007. Vol. 33, № 4. С. 247-262.
3. Стечкин C.B. Об абсолютной сходимости рядов Фурье (третье сообщение)// Известия АН СССР. Сер. математическая. 1956. Т. 20, № 3. С. 385-412.
