CC BY
10
Т. В. Иофина
УДК 517.51
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ СРЕДНИМИ ЭЙЛЕРА РЯДОВ ФУРЬЕ ПО СИСТЕМАМ ВИЛЕНКИНА
Пусть {p;}^! - последовательность натуральных чисел, 2 < p; < N, m0 = 1, mn = ...pn при n Е N Каждое x Е [0,1) имеет разложение x = ^xn/mn, xn Е Z и 0 < xn < pn. Для таких x,y Е [0,1) определим разность z = x 0 y, где z = ^m, Z = = x; — y (mod p;) Каждое целое неотрицательное А; представимо в виде k = mn—kn Е Zn [0,pn) Для x Е [0,1) и k Е Z+ определим
Xk(x) = exp (2nij j Известно, что система {xk(x)^, называв
мая системой Виленкинщ ортопормировапа и полна в L[0,1) (эти и другие свойства системы см. в [1]). Если f Е L[0,1) то f(k) = /0 f (t)xk(t) dt, Sn(f )(x) = X^n—0 f (k)Xf (x) В статье изучаются оценки приближений функций величинами En+1(f) = 2—n X^n=0 (П) Sf+1(f) называемыми ере(?-ними Эйлера. Далее рассматриваются пространства £^[0,1)1 < p < то,
с нормой ||f ||р = (f0 |f (t)|p dt) . Пусть ||f ||то = sup |f (x)|. Тогда
^ ' 0<x<1
C*[0,1) есть множество ограниченных функций, таких что lim ||f (x 0
0h) — f (x)||TO = 0. Пусть Pn := {f Е L1 [0,1) : f(k) = 0, k > n}. Тогда
n
дующим образом: En(f )p := inf{||f—tn||p : tn Е Pn}. Пусть £ = {£n}TO=1 _ убывающая к нулю положительная последовательность. По определению (г) состоит из f Е L^[0,1)1 < p < ^^и f Е C*[0,1) p = то, таких
ЧТО ||f ||ep(£) = ||f Ур + suPkGN Ek(f V£k < то-
Пусть также = 1 при 1 < p < то и = ln(r + 2) при p =1, то.
Лемма 1. Для f Е L^[0,1)1 < p < то7 eepno неравенство ||Sn(f, x)||p < C ||f ||p; n Е N; где C не зависит от fun.
Для произвольных (в том числе и неограниченных) последовательностей {pn^ лемма установлена Шиппом [2] и Шимоном [3].
Лемма 2 [4, глава 4, §4]. Существует C > 0 такое, что для всех n Е N верпа ог^енка ||Dn|1 < C ln(n + 2).
Из лемм 1 и 2 выводится следующая лемма.
Лемма 3. Для f Е L^[0,1)1 < p < то и f Е C*[0,1) (p = то,) при n Е N справедлива оценка ||En+1(f )||р < C(p)||f ||PAn,p .
37
Следствие 1. Пусть / е ^[0, 1), 1 < р < <х; или / е С*[0,1) (р = <), тогда при, к > п справедливо неравенство Еп(£к+1(/))р <
< СрЕп(/
Доказательство. Заметим, что Ек+1(/) е Рк+1? и следовательно, Еп(Ек+1(/))р = 0 при к + 1 < п. Пусть к + 1 >пи£п е Рп таков, что II/ — £п||р = Еп(/)р. Применяя лемму 3 и учитывая, что ) е Рп,
выводим требуемое неравенство
Еп(Ек+1(/))р < ||Ек+1(/) — Ек+1(^п)|р < < С1|/ — = С1Еп(/)рАк,р•
Следствие доказано.
Теорема 1. Пусть / е ^[0, 1)7 1 < р < или / е С*[0,1)(р = <).
п
Тогда ||Еп+1(/) — / Ур < С(р)2—п £ (П) ЕА+1(/)р.
к=0
Доказательство. Пусть Еп+1(/)р = ||/ — ¿п+1|р, ¿п+1 е Рп+ь Тогда в силу оценки леммы 3 имеем
||Еп+1(/)—/Нр < ||Еп+1(/)—Еп+1(^п+1) ||р+||Еп+1(^п+1)—¿п+1 ||р+||^п+1 —/Ур <
+ С1А п,рЕп+1 (/)р.
к<п
Ек+1(^п+1)р < Ек+1(^п+1 — /)р + Ек+1(/)р < < Еп+1(/)р
+ Ек+1(/) р < 2Ек+1(/)р,
оценка для ||£п+1(£п+1) — ¿п+1|р примет вид
П [п\
|Еп+1(^п+1) — ^п+1|р < 2 п ^ ^ ( к! Ак,р|5'к+1(^п+1) — ^п+1|р <
к=0
< С22 П ( к ) АкрЕк+1 (^п+1)р < С22 ^ ( к ) Ак,рЕк+1(/)р.
кк
к=0 х ' к=0 ^ '
Для доказательства теоремы осталось показать неравенство
п
п
)р < С3
Ап,рЕп+1(/ )р (1)
к=0 ^ '
При 1 < р < < имеем Ап,р = 1, и неравенство (1) с константой С3 = 1 следует из убывания Е(/)р по к.
Рассмотрим случай р = 1, то. Тогда
2-п V п! к + 2 > 2-п (3—1 у1 (п - 1)! А = 1 ^(п - к)!к! п + 2 - ^ ^(п - 1 - к)!к!у 6'
Используя последнее неравенство и убывание 1п ж/ж при ж — б, при п € N полностью доказываем оценку (1):
1п(п + 2)£п+1(/)р <
< C42-n ^ (?) (k + 2) ln(n + 2)En+i(/)p/(n + 2) < k=0 ^ '
< C42-n (?) (k + 2) ln(k + 2)Ek+i(f)p/(k + 2) = i-—n V /
= C42-n TT (r) ln(k + 2)Ek+i(f)p.
Теорема доказана.
Лемма 4. Пусть f G Ep(e); 1 < p < то. Тогда npw фиксированном k G N имеем, Ek(f) G Ep(e), причем справедлива оценка ||Ek+1(f)||Ep(e) < < C(p)Ak,p|f ||EP(£).
Доказательство вытекает из определения норм, леммы 3 и следствия 1.
Теорема 2. Пусть f G Ep(e); 1 < p < то7 последовательности e, 5, \ таковы, что en? 5n w An = en/5n положительны и убывают к О, причем,
T (Г)ek+1 = O(2nen+i). (2)
k=0 ^ '
Тогда, справедливо неравенство ||En+1(f) — f ||ep(J) < C(p)An,pAn. Доказательство. По следствию 1 получаем, что справедливо
Ek(En+1(f) — f)p < Ek(En+1(f))p + Ek(f)p < (1 + An,p)Ek(f)p < C1An,pek,
и как следствие sup Ek(En+1(f) — f )p/4 < CiA^An.
k>n
Так как для любой функции f G Lp верно Ek(f)p < ||f ||p, имеем sup Ek(En+1(f) — f)p/5k < ||En+1(f) — f ||p/5n.
0<k<n
Подставляя условие (2) в неравенство теоремы 1, получаем
||En+1(f ) f lip - O(An,p en),
откуда
sup Ek(En+1(f) - f)/4 = O(An,pAn).
0<k<n
Оценка
||En+1(f ) — f Hp = O(An,pAn)
в силу убывания ¿пк0 очевидна.
Подставляя полученные выше оценки в определение нормы, получаем нужное неравенство. Теорема доказана.
Теорема 2 является аналогом теоремы, доказанной для тригонометрических рядов в [5] для пространств типа Гёльдера.
Следствие 2. Пусть ek = k"e7 £k = k"a7 0 < а < ß, n G N. Тогда для f G Ep(e) имеем ||En+1(f) - f ||ep(¿) < CAn,pna-e.
Автор выражает благодарность С. С. Волосивцу за постановку задачи и ценные обсуждения.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-01-00097-а), гранта Президента РФ (проект ПШ-ЩЗ.2010.1).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Голубое Б. И., Ефимов A.B., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша. Теория и применения. М, : Наука, 1987.
2. Schipp F. On Lp-norm convergence of series with respect to product systems // Anal. Math. 1976. № 2. P. 49-64.
3. Simon P. Verallgemeinerte Walsch-Fourierreihen // Acta Math. Hungar. 1976. T. 34, № 27. P. 329-341.
4. А гаев Г. H., Виленкин H. Я., Джафарли Г. М., Рубинштейн А. И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нуль-мерных группах. Баку: ЭЛМ, 1981.
5. Rempulska L., Tomczak К. On Euler and Borel means of Fourier series in Holder spases I I Proc. of A. Eazmadze Math. Institute. 2006. № 140. P. 141-153.
