Сходимость рядов Фурье и их линейных средних по мультипликативным системам в пространствах Липшица Текст научной статьи по специальности «Математика»

х^п) следует, ч то Х^ всюду плотно на от резке [0,1]. Пуст ь X — произвольное всюду плотное на [0,1] подмножество Х^. Рассмотрим следующую обратную задачу.

Задача 1. По заданному множеству X и числам uv,v = 0,37 таким,

( 3 А4

что An = ( nn + Yh n v + 0(n 3) ) ? найти коэффициенты p(x) и q(x).

v=0

Обозначим Д. = nn + £ -V n-v, j = pj - О—к результат

v=0

статьи содержит следующая теорема.

Теорема 1. Пусть x — произвольная точка из интсрвала (0,1) и пусть последовательность xk = xjnk) £ X такова, что lim xk = x.

Обозначим 0k = В^П^ ■ Тогда существуют пределы lim pnk0k = a(x)7

k—

lim (pnBk — p2n a(xk)) = ß(x). Далее, для каждого x £ (0,1)

k—>то

p(x) = —4a/(x),

q (x) = —4ß/(x) — 2a2(x)a/ (x) + 2(a/(x))2 + 4a(x)a/(x) — a///(x) — 4a(x)a//(x).

Из теоремы 1 следует единственность решения задачи 1, а также конструктивная процедура ее решения, состоящая в последовательном нахождении функций a(x), ß(x), а затем — коэффициентов p(x), q(x).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и ННС (проекты, 07-01-00003 и 07-01-92000-ННС-а).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М,: Наука, 1969. 528 е.

' k—>ос

УДК 517.51

Т.В. Иофина

СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ И ИХ ЛИНЕЙНЫХ СРЕДНИХ ПО МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ СИСТЕМАМ В ПРОСТРАНСТВАХ ЛИПШИЦА

Пусть {рг}°= 1 — последовательность натуральных чисел, такая что 2 < рг < N т0 = 1, тп = р1р2 .. .рп при п Е N Каждое х Е [0,1) имеет раз-

то

ложение х = ^ —, где хп Е Ъ и 0 < хп < рп. Для таких х, у Е [0,1) опреде-

1 mn n= 1

то

zn

^n xn yn

лим разность z = x 0 y, где z = Yh ~,zn = xn — yn (mod pn). Каждое целое

1 mn n=1

то

неотрицательное k представимо в виде k = ^ mn—1kn, гдe kn £ Z и 0 < kn <

n=1

pn. Для x G [0,1) и k G Z+ определим Xk(x) = exp ( 2п ^ ^^^ J. Известно,

j=1

что система {xk (x)}^L0j называемая системой Виленкина, ортонормирова-

л 1 _

на и полна в L[0,1^. Если f G L[0,1), то f(k) = J f (t)xk(t) dt, Sn(f )(x) =

0

n—1 л n

= E f(k)Xk(x), (Jn(f )(x) = E Sk(f )(x)/n Vn(f )(x) = 2a2n(f )(x) — Gn(f )(x), k=0 k=1 n— 1

Dn(x) = E xk(x) Для f, g G L1[0,1) свертка определяется равенством k=0 1

f * g(x) = J f (x Q t)g(t) dt. Далее рассматриваются пространства Lp[0,1), 0

(1 \X'V

1 < p < то, с нормой ||f ||p = I f If (t)lp dt I . В случае p = то вместо LTO[0,1) рассматриваем пространство C*[0,1) с нормой ||f||то = sup If (x)|,

0<x<1

состоящее из функций f, для котор ых lim ||f (x) — f (x Q h) ||то = 0. Для f G Lp[0,1) 1 < p < то введем uj*(f,5)p = sup ||f(x) — f(x Q h)||p и

||f ||p,a = ||f ||p + sup ш . Есл и ||f ||p,a < то, то f принажлежит простран-0<£<1

ству Липшица Lip*(a,p).

Изучение приближений суммами Фурье и их линейными средними в классах Lip(a,p) 2п-периодических функций началось с работы Прессдорфа [1] и продолжалось в статьях Лейндлера, Тотика, Мохапатры, Чандры и др. Целью статьи является получение подобных результатов для приближений по системе {xk(x)}ТО=0- Ранее подобные вопросы не рассматривались. Наша теорема 1 является аналогом теоремы 4 из [1], а теорема 2 — аналогом теоремы из [2].

Лемма. Пусть Fn(x) = En= Dfcn(x\ n G N. Для всex x G [0,1) верно неравенство InFn(x)I < Cx-2. Кроме то го, ||Fn|1 ограничены константой

C1

Вторая часть леммы установлена в [3, с. 139], доказательство первой будет опубликовано в другой работе.

Теорема 1. Пусть а > 0 1 < p f G Lip*(a,p) и

lim fp = 0.

Тогда

lim ||^n(f) — f ||p,a = 0.

n

Доказательство. Пусть задано £ > 0. Из [3, с. 139] следует, что при условиях теоремы справедлива оценка \\рп\\Р '•= ||/ — &п(/)\\р < £ при п > п\. Найдем шк, такое что при Н С [0, ш—справедливо перавепство \ \/(х)—/ (хО Н)\\р < £Ш—1а. При этих Н, применяя обобщенное неравенство Минковского,

оценим разность

Hpn(x) — pn(x Q h)||p <

(f (x Q t) — f (x Q h Q t))Fn(t) dt

+

+

(f (x) — f (x Q h))Fn(t) dt

< ||f (x Q t) — f (x Q h Q t)UFn(t)I dt+

+ ||f(x) — f (x Q h)HplFn(t)I dt = 2||f(x) — f(x Q h)|p||Fn|1 < 2C1em—

Пусть h G [m-+11,m- 1) i > k. Тогда

Hpn(x) — Pn(x Q h)|p < 2C1£m—a < 2C1£ (N/ml+1)a < 2C1Naeha.

Пусть теперь h G [m—1,1). Тогда

Hpn(x) — Pn(x Q h)||p < 2 J ||f (x) — f (x Q t)HplFn(t)I dt =

0

1/mk 1

= 2 J ||f(x) — f(xQt)UFn(t)I dt + 2 J ||f(x) — f (xQt)UFn(t)I dt = h +12.

0 1 mk

1

Имеем I1 < 2smi—a f lFn(t)I dt < 2C1sha. С другой стороны, по лемме

1

C

I2 < 4f ||p —^ dx < 4|f||pmkC/n. nx

1 mk

При достаточно больших n (n > no) получаем I2 < £m—a < sha. В результате I1 + I2 < (2C1 + 1)eha при n > n0. Таким образом, учитывая, что ||pn|p < £

при n > n1 получаем при n > max(n0,n1)

||pn|p,a < £ + max(2C\Na, 2CX + 1)e < C2£. Это означает, что lim ||pn||p,a = 0. Теорема доказана.

n—>то '

Теорема 2. Пусть 0 < ß < а, 1 < p <то7 f G Lip*(а,p) и An(f) = Kn * f, где Kn G L[0,1). Тогда

HAn(f) — f ||p,e = O {nßHAn(f) — f ||p + nß—a(1 + ||An||lp—lp)) .

p

1

1

p

1

1

Следствие 1. Пусть 0 < ß < a, f G Lip*(a,p). Тогда V l|Sn(f) - f\\P,ß = O (nß-a\\Dn\\i) при p = 1 или p = то; 2) \\Sn(f) - f ||p,e = O (ne-a) при 1 < p < то.

Следствие 2. Пусть 0 < ß < a, f G Lip*(a,p), 1 < p < то. Тогда, \\Vn(f) - f ь = O (ne-a) .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Prö-ssdorf S. Zur Konvergenz der Fourierreihen hölderstetiger Funktionen // Math. Nachr. 1975. V. 69. P. 7-14

2. Leindler L., Meir Л.. Totik V. On approximation of continuous functions in Lipshitz norms // Acta Math. Hung. 1985. V. 45, №3-4. P. 441-443.

3. А гаев Г.Н., Впленкин Н.Я., Джафарли Г.М., Рубинштейн А. И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нульмерных группах. Баку: ЭЛМ, 1981.

УДК 513.6

И.А. Кляева

ГОМОЛОГИИ ПРИВЕДЕННЫХ ТОЛЕРАНТНЫХ КУБИЧЕСКИХ СИНГУЛЯРНЫХ ЦЕПЕЙ РАЗЛИЧНОЙ ВЫРОЖДЕННОСТИ

При построении спектральной последовательности групп гомологий толерантных расслоений возникла проблема сопоставления обычного для алгебраической топологии определения вырожденности [1] и определения вырожденности, используемого в толерантном случае [2]. В статье рассматривается вопрос о совпадении с точностью до изоморфизма групп гомологий приведенных толерантных кубических сингулярных (ТКС) цепей различной вырожденности.

(n n \

х Im(i), х im(i) I [3, 4] будем на-

i=1 i=1 J

зывать n-мерным толерантным кубом размера (m(1),m(2),... , m(n)).

Определение 1. Пусть(Х, т) — произвольное толерантное пространство, a n, m(1),..., m(n) — пропзвольные натуральные числа. Тогда любое

(n n \

х Im(i), х im(i) I —> (X, т) будем называть

i=1 i=1 J

n ( X, т)

Для n ^ 0 обозначим через Qn(X) абелеву группу, свободно порожденную над Z всем и n-мерными толерантными сингулярными кубами пространства (X, т), и положим Qn(X) = 0 для целыхп < 0. Элементы группы Qn(X) n

пями.