О классе функций, обладающих интерполяционным аналогом усиленного С-свойства Текст научной статьи по специальности «Математика»

именно xQ = (l,0,...,0), x, = (0,1,...,0), ..., xn = (0,0,...,l). Построим теперь

n

отображение pn:x/1-»A", воспользовавшись классическими формулами Серра:

60 =1-EJs 5,=Е,(1-82), ...

ô„_s =E1e2...e„_1(l-е„),

С помощью отображений рл строится гомоморфизм р группы толерантных сингулярных цепей в группу простых толерантных кубических цепей, который коммутирует с граничными гомоморфизмами и индуцирует изоморфизм, утверждаемый теоремой 2.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Zeeman Е. С. The topology of brain and visual perception // The topology of 3-Monifolds. N. Y., 1962. P. 240-256.

2. Небалуев С. И. Алгебро-топологические характеристики толерантных пространств // Математика и ее приложения. Теория, методы, алгоритмы: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов, 1991. Вып. 2. С. 105 - 107.

3. Небалуев С. И. Группы гомологии прямого произведения толерантных пространств // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов, 2002. Вып. 4. С. 105 - 107.

УДК 517.51

В. В. Новиков

О КЛАССЕ ФУНКЦИЙ, ОБЛАДАЮЩИХ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫМ АНАЛОГОМ УСИЛЕННОГО С-СВОЙСТВА*

Обозначим через Ln(T,f,x) тригонометрический полином Лагранжа, интерполирующий 2я-периодическую функцию / в равноотстоящих узлах Т = {хм = 2пк/(2п + = -п,...,п, п = 1,2,....}.

В 1940 году Д. Е. Меньшов доказал теорему [1] о наличии у измеримой, почти всюду конечной функции так называемого усиленного С-свойства: для любой функции f указанного вида и любого б > 0 существует функция g такая, что f- g на некотором множестве Е, mes£>23i — 6 и ряд Фурье o(g) сходится равномерно на [-71, л].

Более того, им было показано, что если f, в частности непрерывна, то множество Е, на котором производится исправление, будет зависеть только от е и модуля непрерывности функции/, но не от самой этой функции. Точнее, справедлива следующая теорема [2].

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 04-01-00060).

95

Для любой положительной неубывающей функции со (А) определенной для h>0 и такой, что lim со (h) = 0, и для любого е > 0 существует

h-> О

множествоЕ, mes£ <е, обладающее свойством: если / е С2л — любая, для которой модуль непрерывности a(f,h) удовлетворяет условию со(/,/з) < со(/г),й > О, то f можно так изменить на Е, чтобы для вновь полученной функции g ее ряд Фурье a(g) сходился равномерно.

Хорошо известно [3, 4], что последовательность {Ln(T,f,x) } для / е С2д может расходиться всюду, поэтому представляет интерес вопрос о наличии подобного усиленного С-свойства у произвольной функции / е С2п по отношению к указанному интерполяционному процессу. Как выяснилось, ответ на этот вопрос является положительным, причем справедлива

ТЕОРЕМА 1 [5]. Для любой функции /е С2, и любого е>0 существует функция g е С2п такая, что f = g на некотором множестве Е, mesE > 27t - е, и интерполяционный процесс {Ln(T,g,x)} сходится к gравномерно на [-71,71].

В настоящей статье изложена схема доказательства интерполяционного аналога второй из приведенных выше теорем Д. Е. Меньшова.

ТЕОРЕМА 2. Для любой положительной неубывающей функции

a(h) определенной для h> О и такой, что Нтш(А) = 0, и для любого

h—>0

е > 0 существует множество Е, mesE < е , обладающее свойством: если f еС2л —любая, для которой модуль непрерывности &{f,h) удовлетворяет условию a(f,h)<<o(h),h>0, то f можно так изменить на Е, чтобы для вновь полученной функции g интерполяционный процесс {Ln (Т, g, х)} сходился равномерно.

Доказательство теоремы проводится по следующей схеме. Пусть даны произвольная со (И) указанного вида, / е С2, такая, что со(/,/з) < ю(й), h> О и в > 0. Пусть {v(y')} - также произвольная пока последовательность v(y) Т со, v(y) еN, которую мы подберем позже. Не теряя общности, можно считать, что / > О. Обозначим

Ak j =[-п + 2n(k-\)2-vü\-n + 2nk2'v(J)], k = l,...,2vU\ и положим

fj(х)= min ДО, xeüj ,, * = 1,...,2у(Л JeN.

Последовательность {fj{x)} не убывает по j и равномерно сходится к / на [-71, тг]. Положим

/,(*)=7,-«-/,-,(*),/i,w=o.

Тогда ряд ^ /. (х) равномерно и абсолютно на [-71, л] сходится к /, при-

Н

чем /;(х) < ет(л2| "'(-/))> / > 2.

Далее нам понадобится несколько лемм.

ЛЕММА 1 [6]. Для произвольной/еС21 и и>3 положим

|,/2]

f(x2k + ],n)~f(x2k,n)

ф(2 к + 1 ,п,р)

р = - п -\,...,п,

где

р-т, если \р-т\ <3( [и/2] +l); Ф(т,п,р)=- 2п-{р-т), еслир-от>3( [я/2] +l), — 2п — (р — т), если р - т < —3( \п/ 2] +1),

Г„Ч/) = та* КР(Л-

-п-\< р<п

Штрих у знака суммы указывает на отсутствие (не более двух) слагаемых, у которых индекс к является решением уравнения ф(2&+1, п,р) = 0; кроме того, будем считать, что хп+Х п = л, х_„_1п =-л.

Тогда условие Г'(/) —> 0 при я—>со влечет равномерную на [-л, л] сходимость к / полиномов {Ln (Г, /, х)}.

ЛЕММА 2 [6]. Если / е C2lt - ограниченной вариации на [-л, л], то

Нт7„*(/) = 0.

«-»со

1 —

ЛЕММА 3. Пусть Л>0, seN и А = {ла:2 S}/1=1 - фиксированные числа. Тогда существует число £ = '¿(А,А) > 0 такое, что V5 < е и для любой ступенчатой функции /, 0 < /(х) < А, х е [-л, л], множество точек разрыва которой совпадает с А, найдутся функция g е С2л и множество Е = Е(Л,Л,5), mesЕ <Ъ,Т с Е с [-л, л], обладающие свойствами:

1)0<g(i)</(4 ?е[-л,л; (1)

2)f(t) = g(t\ Ге[-л;л]\Е; (2)

3) sup Г; (g)<C4, (3)

п

где С-абсолютная постоянная;

4)r;(g)=0, 2п + 1<Г2- (4)

5) limr;(g) = 0. (5)

и—>х

Доказательство леммы 3 проводится, в основном, с помощью рассуждений, аналогичных рассуждениям из работ [6] и [7]. Ввиду громоздкости мы его не приводим.

Пусть v(l) - достаточно большое число. Определим функцию е С2ж как кусочно-линейную и такую, что

mes {t е [- щ я] : (/) # g, (/)} s mes£,<s/ 2, 0 < g, (í) </,(/)}. В силу леммы 2 имеем

lim 7;* (g, Ь 0.

«—>00

Выберем v(2) так, чтобы выполнялось условие

r;(g,)<2-',Vn:2n + l>2v(2). Используя лемму 3, построим функцию g2 е С2л и множество £2, для которых выполнены условия (1) — (5) при А = Cû(7t2'~v(2>), s = v(2), ô = e2~2.

Пусть теперь j> 3, числа v(l),...,v(_/ — í) уже выбраны, функции g\,:;gj-\ и множества построены. Выберем v(j') так, что

с i

y-i

ч

ы 1 ) J

Zgj <-,V«:2« + l>2vW, (6)

и построим g i sC2n и множество Ej, для которых выполнены условия

(1) - (5) при ^ = £0(7c2'"v(2)),5 = v(2),5 = s2"2. Положим g(x) = f>,(*).

j=i

Этот ряд абсолютно и равномерно сходится, так что g ■ е C2íl, кроме того,

СО

/(?) = g(/),í е [- 7i;7t]VE, где £ = mes£ < е . Если учесть лемму 1, то

J=i

для завершения доказательства достаточно проверить, что

i™ r;(g)= 0. (7)

и-»ас

Пусть и — достаточно большой номер, определим j из условия

v2(/-l) v2(/)

2 <2и + 1 <2 .

00

В силу абсолютной сходимости ряда ^Г g у (х) можно записать

7=1

/-1 ао

О*)5 i Kp(gk)+T;¡p(gj)+ у T;tP(gt)*vl+v2+v3,vP.

Учитывая (6) для ^ , (1) и (3) для F2, и, наконец, (4) для У3, получим (7).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Меньшов Д. Е. Sur les series de Fourier des fonctions continues // MC. 1940. Vol. 8(50). P. 493-518.

2. Меньшов Д. E. О рядах Фурье непрерывных функций // УЗМ. 1951. Сер. 148. Математика. T. IV. С. 108 - 132.

3. Grunwald G. Uber Divergenzerscheinungen der Lagrangeschen Interpolationspolynome Stetiger Funktionen // Ann. Math. 1936. Vol. 37. S. 908 - 918.

4. Marcinkiewicz J. Sur la divergence des polynomes d'interpolation //Acta Litt. Sei. Szeged. 1936/1937. Vol. 8. P. 131 - 135.

5. Новиков В. В. Интерполяционный аналог одной теоремы Д. Е. Меньшова // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 7. С. 100- 102.

6. Привалов A.A. О равномерной сходимости интерполяционных процессов Лагранжа // Мат. заметки. 1986. Т. 39, № 2. С. 228 - 243.

7. Новиков В. В. О расходимости ряда Фурье функции со сходящимся интерполяционным процессом Лагранжа // Analysis Mathematika. 2003. Vol. 29. Р. 289 - 317.

УДК 519.4

В. Е. Новиков

НАСЫЩЕННЫЕ СЕМЕЙСТВА МИНИМАЛЬНЫХ ГЕНЕРАТОРОВ

КОНЦЕПТА

Статья посвящена исследованию строения насыщенных семейств минимальных генераторов концепта в контексте с и-арным отношением. Главный результат работы устанашшваег критерий наибольшего насыщенного семейства минимальных генераторов концепта.

Развивая идеи концептуального анализа [1] и используя аппарат алгебры отношений В. В. Вагнера [2], обобщим понятие формального контекста с одноместного на многоместное множество атрибутов и объектов и определим концепт на контексте с и-арным отношением. Пусть рсМ, х---хМп - и-арное отношение. Обозначим п := (1,2,...,и), := М] х■ • • хМп и 4 :=(»1.'2>->'*). \={х^,хн,...,х1к), М-к :=М,- х-хМ^ для произвольных 1 < /1 <•■•<(£ < п. При этом также обозначаем 1к сп. Будем говорить, что ^-система х^ входит в отношение р, если существует «-система хя ер, для которой элементы х,- являются её еоответствующи-

ми компонентами, Дтя 1., с: п , а-: еМ? , X с М- обозначим:

Л Л 'л 'л

П]к (р) := {У]к 6 М]к \ у1к входит в р}, а{%, (р) := {х- е р | а^ с },

х- еХ

'5

Формальный контекст определяется как тройка К = ( Мп, А/, , р), где зафиксирован ¡5 с п, М. называется множеством объектов, Мп — декартово произведение базисных множеств атрибутов, р с Мй - некоторое «-арное отношение на базисных множествах атрибутов. Если Х = р; -• (X) и р(- (У) = X для ГсМ-, , тоХ называется (5 -концептом по