CC BY
16
3. Grunwald G. Uber Divergenzerscheinungen der Lagrangeschen Interpolationspolynome Stetiger Funktionen // Ann. Math. 1936. Vol. 37. S. 908 - 918.
4. Marcinkiewicz J. Sur la divcrgence des polynomes d'interpolation //Acta Litt. Sei. Szeged. 1936/1937. Vol. 8. P. 131 - 135.
5. Новиков В. В. Интерполяционный аналог одной теоремы Д. Е. Меньшова // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 7. С. 100- 102.
6. Привалов A.A. О равномерной сходимости интерполяционных процессов Лагранжа // Мат. заметки. 1986. Т. 39, № 2. С. 228 - 243.
7. Новиков В. В. О расходимости ряда Фурье функции со сходящимся интерполяционным процессом Лагранжа // Analysis Mathematika. 2003. Vol. 29. Р. 289 - 317.
УДК 519.4
В. Е. Новиков
НАСЫЩЕННЫЕ СЕМЕЙСТВА МИНИМАЛЬНЫХ ГЕНЕРАТОРОВ
КОНЦЕПТА
Статья посвящена исследованию строения насыщенных семейств минимальных генераторов концепта в контексте с и-арным отношением. Главный результат работы устанашшвает критерий наибольшего насыщенного семейства минимальных генераторов концепта.
Развивая идеи концептуального анализа [1] и используя аппарат алгебры отношений В. В. Вагнера [2], обобщим понятие формального контекста с одноместного на многоместное множество атрибутов и объектов и определим концепт на контексте с и-арным отношением. Пусть рсМ, х---хМп - и-арное отношение. Обозначим п := (1,2,...,и), := М] х■ • • хМп и 4 :=(»1.'2>->'*). \={х^,хн,...,х1к), М-к :=М,- х-хМ^ для произвольных 1 < /1 <•■•<(£ < п. При этом также обозначаем 1к сп. Будем говорить, что ^-система х^ входит в отношение р, если существует «-система хя ер, для которой элементы х,- являются её соответствующи-
ми компонентами. Для 1„ ап, а: еМ? , X с М- обозначим:
Л 'Л 'Л
П]к (р) := {У]к 6 М]к \ у1к входит в р}, а{%, (р) := {х- е р | а^ с },
х- еХ
'5
Формальный контекст определяется как тройка К = ( Мп, А/, , р), где зафиксирован ¡5 с п, М. называется множеством объектов, Мп — декартово произведение базисных множеств атрибутов, р с Мй - некоторое «-арное отношение на базисных множествах атрибутов. Если Х = р; -• (X) и р(- (Т) = X для ГсМ-, , тоХ называется (5 -концептом по
/к и У- }к -генератором ¡5 -концепта X. В этом случае элементы множества X будем называть объектами, а элементы множества У- атрибутами ¡х -концепта X по , при этом также ]к называем индексом генератора или атрибута. В [3] представлен обзор некоторых результатов с определёнными понятиями. Эти результаты, в частности, касаются проблемы распознавания концепта, решение которой может быть использовано в задаче диагностики сложных систем и принятия решения. Определим ещё одно понятие.
Семейство минимальных (по теоретико-множественному включению) -генераторов {У,},еГ ¿5 -концепта X называется насыщенным, если
объединение У У, не содержит минимального ]к-генератора, не присутс г-
1еТ
вующего в этом семействе.
ПРЕ ДЛОЖЕНИЕ 1. Пусть р с Мц, 15, }к си, задан контекст К = (Мъ, М.^, р) и X с М - - некоторый -концепт по }к на данном
контексте. Непустое пересечение двух насыщенных семейств минимальных -генераторов -концепта X опять является насыщенным семейством минимальных ]к -генераторов этого концепта. □
ТЕОРЕМА 2. Пусть £ п, рсА/й, задан контекст
К = (Мп, М. , р), подмножество X с М- является -концептом по ]к и У = р^ (А'). Насыщенное семейство минимальных ]к -генераторов {У,},ет-/л.-концепта X является наибольшим тогда и только тогда, когда для любых у, еУ, (г е Т) выполняется условие: р; (У \ {у,: í е Г}) ф X. □
Пример. В таблице представлено отношение р с: Л/1 х Л/2 (его диаграмма 1-концептов по атрибуту 2 изображена на рис. I1), которое имеет 1-концепт {а5,а6\ по атрибуту 2. Этот концепт, в частности, имеет минимальные 2-генераторы {61, 63} и {63, 64, 65}. Таким образом, минимальные генераторы могут пересекаться и иметь разную мощность.
Нетрудно заметить, что 1-концепт {а5,а6} имеет всего пять различных минимальных генераторов: {¿>1, 62}, {61, 63}, {61, 64}, {62, 63}, {63, 64, 65} - это наибольшее насыщенное семейство минимальных 2-гене-раторов 1-концепта {а5,а6}. Они являются подмножествами максимального 2-генератора {61, 62, 63, 64, 65} этого концепта. Причем семейство минимальных генераторов {{61, 62}, {61, 63}} ненасыщенное, из объединения его элементов можно получить ещё один минимальный 2-генератор {62, 63} 1-концепта {а5,а6}. А семейство {{61, 62}, {61, 63}, {62, 63}} уже насыщенное. Легко видеть, что семейства {{62, 63}, {63, 64, 65}};
1 Этот рисунок диаграммы частично упорядоченного множества получен с помощью программы «КонцептАнализ», выполненной в дипломной работе студента СГУ И. Каурцева под руководством автора.
{{61, 63}, {61, 64}, {63, 64, 65}}; {{61, 62}, {61, 64}} и {{61, 62}, {61, 63}, {62, 63},{61, 64}} также насыщенные. Следовательно, насыщенными должны являться и любые их непустые пересечения: {{62,63}}; {{61, 63}}; {{63, 64, 65}}; {{61, 62}}; {{61, 63}, {61, 64}}; {{61, 64}}.
На рис. 2 изображена диаграмма упорядоченного множества всех насыщенных семейств минимальных 2-генератор 1-концепта {а5, аб}.
*
у{'а17а2','аЗ', 'а4'.'а57а6'}
\М2 М\\ 61 ьг 63 ¿4 65
а\ X X
а2 X X X
аЪ X X
а4 X X
а5 X X X X X
аб X X X X X
. __7а37а57а6'> {'а37а47а57а6'}
V4^
fa1 ^Та6Па4'>5';а6'} {'a3Va5Va6'}
{'а5','аБ'}
Рис. 1
{(1,2Щ {(1,2),(1,
{0,2),(1,2),(1,4),(2,3),(3,4,5)}
{(1,3), (1,4), (3.4,5)}
{(2,3),(3,4,5)}*-.
{(U),(1,4)},'J {(i,3),(i,4)}
{(2,3)}* {(1,2)} {(1*3)} {(3,4,5)}* {(1,4)} Рис. 2
Элементы этой диаграммы замаркированы индексами 2-атрибутов. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ganter В., Willc R. Formal Concept Analysis. Mathematical Foundatoins. Berlin,
1999.
2. Вагнер В. В. Теория отношений и алгебра частичных отображений // Теория полугрупп и её приложения. Саратов, 1965. Вып. 1. С. 3 - 178.
3. Новиков В. Е. О концептуальном анализе на контексте с многомерными атрибутами // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов, 2005. Вып. 7. С. 82 - 85.
101
