О концептуальном анализе на контексте с многомерными атрибутами Текст научной статьи по специальности «Математика»

собой. Если к тому же для некоторого ri е N компоненты динамики и" имеют одинаковые первые буквы и одинаковые последние буквы, то компоненты динамики ик являются Я-эквивалентными [6] между собой групповыми элементами.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Molchanov V.A. Nonstandard characterization of pseudovarieties // Algebra Universalis. 1995. Vol. 33. P. 533-547.

2. EilenbergS. Automata, Languages and Machines. Vol. B. N. Y.: Academic Press,

1976.

3. Almeida J. On pseudovarieties, varieties of languages, filters of congruences, pseudoidentities and related topics//Algebra Universalis. 1990. Vol. 27. P. 333 - 350.

4. Альбеверио С., Фенстад Й., Хеэг-Крон Р., Линдстрем Т. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике. М.: Мир. 1990.

5. Molchanov V.A. Nonstandard congruences and lattices of pseudovarieties // Semigroups, automata and languages. Singapore; New Jersey; L.: World Scientific, 1996. P. 183- 193.

6. Лаллеман Ж. Полугруппы и комбинаторные приложения. М.: Мир, 1985.

7. Almeida.). Dinamics of implicit operations and tameness of pseudovarieties of groups // Trans. Amer. Math. Soc. 2002. Vol. 354, P. 387 - 411.

УДК 519.4

В. Е. Новиков

О КОНЦЕПТУАЛЬНОМ АНАЛИЗЕ НА КОНТЕКСТЕ С МНОГОМЕРНЫМИ АТРИБУТАМИ*

В настоящей статье даётся обзор основных результатов работ [1, 2] и продолжается исследование взаимосвязи концептуального анализа [3] с теорией распознавания образов [4].

Напомним необходимые понятия теории концептуального анализа систем с многомерными атрибутами. Пусть р с:М] х ■ • • х М„ - и-арное отношение. Обозначим: и :=(1,2,...,«), М-ц := М, х• • • х М„ и г5 := (г'^ь,—

х- .....X/ ), М- := М-ч х•■ ■ х М1< для произвольных

1 < г, <•■• < и . При этом также обозначаем /( с; п . Будем говорить, что у-система х- входит в отношение р, если существует я-система хд е р, для которой элементы х, являются её соответствующими ком-

понентами.

Для 4,/¡ей, а; е М) , X с М} обозначим:

п]к(рУ-=^У]1 еМ]к \У)к входитвр}, Ст|я4;(р):={л:й £хйЬ

* Работа выполнена при финансовой поддержке INTAS (проект 99-1224).

82

Р,\(*1,)>(Р))» Рл(*>:= П РЛк)' Ру*:= Р/,®л

хг. с А-

Если X = ()-; J¿(X) к р. (К) - -У для УсМд, то X называется концептом по ]к и У - ]к-генератором /', -концепта X. В этом контексте элементы множества X будем называть объектами, а элементы множества У - атрибутами /у -концепта X по ]к, при этом также называем индексом генератора, или атрибута.

ТЕОРЕМА 1 [1]. Пусть р с Мп некоторое «-арное отношение и зафиксированы г5., }к с. п . Множество всех г5 -концептов по ]к, упорядоченное отношением включения, образует полную решётку.

ТЕОРЕМА. 2. Пусть рсМй, и Х^М- является

-концептом по ]к . Множество всех -генераторов концепта X суть всевозможные фильтры из Р(р:4(Х)), содержащие минимальные ;к -генераторы концепта X.

Пусть рсЛ/й, '5сл. Будем говорить, что объекты ХсМ; удовлетворяют атрибутам У с .'V/ ^ е отношении р, если X с р; (7) . Также говорим, что объект х-, е М- распознаётся представителем 15-концепта 1'с.Ц. по /4 в отношении р, если X удовлетворяет в отношении р ]к -атрибутам объекта х^ .

Полученные результаты имеют интерпретацию в теории распознавания образов. Пусть некоторая обучающая последовательность образовала отношение р' с: Мп, которое через выбор решающего правила [4] преобразовано в отношение рс Мп . Пусть X - некоторый г5 -концепт по ]к отношения р, а на этапе распознавания получено отношение с' с Мъ, преобразованное тем же выбором решающего правила в отношение д с Мп. Тогда объект X] , входящий в с;, распознается представителем /5 -концепта X по ]к в отношении р, если р- ({^})) с X. Заметим, что объект х, распознаётся представителем -концептаХ по ]к в отношении р тогда и только тогда, когда с,}) содержит некоторый ]к -генератор этого

концепта. Следующая теорема устанавливает способ построения отношения р с: Мп с помощью обучающей последовательности.

ТЕОРЕМА 3 (о выборе ведущего правила). Пусть р с Мп , /5, }к е п , КсМ; .Функция Й(К)=|Р7 обладает следующими свойствами:

Зк 'я

1) Я постоянна на множестве немаксимальных ]к -генераторов одного и того же ¡'5 -концепта;

2) если У максимальный ]к -генератор ;3 -концепта X, то для любого V, У с У, выполняется неравенство Л(У) < Я(У)-

Этот результат связывает выбор решающего правила с выбором приближения функций | р'- (У)' ступенчатыми функциями, на основании чего

строится отношение р с Ми. Следовательно, приближения функций | р; (У) | ступенчатыми функциями устанавливают общий принцип выбора

класса решающих правил в концептуальном анализе.

Следующие результаты посвящены упорядоченным множествам концептов отношения, однозначного относительно множества объектов. Такие отношения играют особую роль в теории реляционных баз данных. Отношение рс'-МА назы вается однозначным относительно М1 , г5 с п , если каждый элемент х( е М- входит в р не более одного раза. В частности, всякое отношение р с М-п однозначно относительно М„, и любую реляционную базу данных с ключом можно рассматривать как отношение, однозначное относительно ключа.

ТЕОРЕМА 4. Если отношение р с Мп однозначно относительно М- , г5 с п , то множество /5 -концептов по произвольному индексу атрибутов, упорядоченное отношением включения, образует полную решётку.

По свойствам дуального среза в множестве всех -концептов всегда присутствуют 0 и М■ . Отличные от этих множеств -концепты будем

называть собственными.

ТЕОРЕМА 5 [2]. Пусть р сг М„ — и-арное отношение однозначное относительно М; , с: п. Множество собственных /5 -концептов по ]к образует разбиение множества п, (р), которое в дальнейшем обозначаем *1,(р)./л •

ТЕОРЕМА 6 [2]. Пустьрс:Мй - и-арное отношение, однозначное относительно М- , и удовлетворяют Тогда л. (р),

является подразбиением разбиения л, (р) /; .

ТЕОРЕМА 7. Пусть и-арное отношение р с Мй однозначно относительно М; , , с и, и Xр,ХЧ сг М, - два неуниверсальных /..-концепта по ]в,1„ соответственно, где , - их генераторы мак-симального индекса. Тогда >•; су; в том и только том случае, если

ТЕОРЕМА 8. Пустьр с_ М-„ - и-арное отношение, однозначное относительно М^ , сл. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если is -концепт X в решётке концептов не является атомом, то X покрывает не менее двух is -концептов этого отношения [2];

2) высота решётки is -концептов этого отношения не превосходит п~ I, а её ширина равна | л^ (р) |.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Новиков В. Е. Решётки понягий и-арных отношений // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. Вып. 4. С. 111 - 113.

2. Новиков В. Е. О решётке частично однозначного отношения // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып. 6. С. 102 - 105.

3. Wille R. Introduction to Formal Concept Analysis. Darmstadt: Springer, 1996.

4. Вапник В. Я, Червонец А. Я Теория распознавания образов. М.: Наука, 1974.

УДК 517.51

В. В. Новиков

ОБ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОМ АНАЛОГЕ ОДНОЙ ТЕОРЕМЫ Д. Е. МЕНЬШОВА*

Обозначим через частичную сумму тригонометрического

ряда Фурье функции /, а через (Т,/,х) - тригонометрический поганом Лагранжа, интерполирующий / в равноотстоящих узлах Т = \хк„ = 2пк/(2п + \),к--п,...,п,п = 1,2,....\. Далее, для /еС2к и л>3 положим

[л/2]

f(x2k+\,n)~f(x2k,n) !

k= [n/2] <p(2k + \,n,p)

П-1,.

где

ip(m,n,p) =

p-m, если p-m\ <3([и/2] +1); 2n-{p- m\ если p - m > 3( [и/2] +1); -2n-(p-m), если p - m < -3( [и/2] + i);

K(f)= max T*(f).

-и-1< pin

Здесь штрих у знака суммы указывает на отсутствие (не более двух) слагаемых, у которых индекс к является решением уравнения cp(2¿+ 1,п,р) = 0; кроме того, будем считать, что xn+ll¡=n, x_„_¡ „=-л.

Как показано в [1], условие T*( f)-*0 при п —> ас влечет равномерную сходимость к / полиномов {¿л(7,/,х)}.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 04-01-00060).

85