О ПРОСТРАНСТВЕ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ С ГРАНИЧНОЙ ГЛАДКОСТЬЮ И ЕГО СОПРЯЖЕННОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 13. № 3 (2021). С. 82-96.

УДК 517.55

О ПРОСТРАНСТВЕ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ С ГРАНИЧНОЙ ГЛАДКОСТЬЮ И ЕГО СОПРЯЖЕННОМ

A.B. ЛУЦЕНКО, И.Х. МУСИН

Аннотация. Рассматривается пространство Фреше - Шварца А-ц(О) функций, голоморфных в ограниченной выпуклой области Q многомерного комплексного пространства и гладких вплоть до границы, с топологией, определяемой счетным семейством норм, построенных с помощью определенного семейства % раздельно радиальных весовых функций в Мга. Изучается задача описания сильного сопряженного для этого пространства в терминах преобразования Лапласа функционалов. Интерес к ней связан с исследованиями Б.А. Державца классических проблем теории линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, А.В. Абанина, C.B. Петрова и К.П. Исаева современных проблем теории абсолютно представляющих систем в различных пространствах функций, голоморфных в выпуклых областях комплексного пространства, с заданной граничной гладкостью, при решении которых важную роль сыграли полученные ими теоремы типа Пейли - Винера - Шварца. Основная в работе теорема 1.1 утверждает, что преобразование Лапласа линейных непрерывных функционалов устанавливает изоморфизм между сильным сопряженным к рассматриваемому функциональному пространству и некоторым пространством целых функций экспоненциального типа в Cn, представляющим собой внутренний индуктивный предел весовых банаховых пространств целых функций, и обобщает соответствующий результат второго автора 2020 года. Основу доказательства теоремы составляют схема, предложенная М. Неймарком и Б.А. Тейлором. На основе теоремы 1.1 и теоремы 7.6.11 из монографии Л. Хёрмандера (L. Hôrmander. An Introduction to Complex Analysis in Several Variables // North Holland; 3rd edition, 1990) исследована задача о разрешимости систем дифференциальных уравнений с частными производными в Получен аналог теоремы 7.6.13 из монографии Л. Хёрмандера. При этом, как и при установлении теоремы 1.1, по существу использовались свойства преобразования Юнга -Фенхеля функций семейства

Ключевые слова: преобразование Лапласа, целые функции.

1. Введение

1. О задаче. Пусть О - ограниченная выпуклая область в Сга, АС(О) - пространство функций, голоморфных в О и непрерывных на О - замыкании области О, Для каждого т € Ъ+ через Аст)(О) обозначим пространство голоморфных в О функций /, все частные

д1"1 / (г)

производные которых (Иа/)(г) := - ^ (есл и а = (0, 0,..., 0), то (Оа/)(г) := $ (г))

дг1 • • • огЧ1п ^

до порядка га включительно допускают непрерывное продолжение на О. Таким образом,

A.V. Lutsenko, I.Kh. Musin, On space of holomorphic functions with boundary smoothness

and its dual.

© Луценко А.В., Мусин И.Х. 2021.

Исследование А.В. Луценко выполнено за счет гранта Российского научного фонда №21-11-00168, https://rscf.ru/project/21-ll-00168/. Поступила 8 июня 2021 г.

(П) = Пространство А^(П) наделим нормой

qm(f )= sup l(Daf )(z )|.

Пусть Аж(П) = lim рг А{(т)(П).

Пусть H = {hm}c^=l - семейство выпуклых функций hm : Rn ^ [0, œ) с hm(0) = 0 таких, что для любого m G N:

11) hm(x) = hm(|^i|,..., l%nl), x = (xi,... ,xn) G Rn;

12) существуют числа am > 0 такие, что

hm(x) > ln(1 + ||ж||) - am\\x\\ - am, X G Rn;

13) lim (hm(x) - hm+ i(x)) =

г 4) sup (hm+i(a + ß) - hm(a)) < œ для ß G Z+ с Iß| = 1;

i5) каково бы ни было р G N существует число I = l(m,p) G N такое что

У exp(max hm+i(а + ß) - hm(a)) < œ.

—' lßl<p aex% 1

Определим пространство А-(П) функций на П, как проективный предел нормированных пространств

Am(n) = if G Аж(П): Pm(f)= sup l(Dahf)((z)l < œ}, m G N.

zen,aezi ehm(a>

Ввиду условия i3) пространство Am+i(n) непрерывно вложено в Am(n) для любого m G N Очевидно, А%(П) - пространство Фреше, непрерывно вложенное в Аж(П), и, в силу условия i4), инвариантное относительно дифференцирования.

Пространства голоморфных функций с граничной гладкостью естественным образом возникают при исследовании многих задач комплексного анализа, теории операторов, теории аппроксимаций [1] [9],

Ясно, что для любого z G Cn функцпя fz(X) = e(x,^ прпнадлежпт Аж(П), Также, fz G А-(П) (лемма 2.1). Поэтому для любого линейного непрерывного функционала Ф на Аж(П) (А-(П)) в Cn корректно определена функция <P(z) = Ф(е^х,г'>). Ее называем преобразованием Лапласа функционала Ф.

В данной работе мы изучаем задачу описания сильного сопряженного А* (П) для пространства А-ц(П) в терминах преобразования Лапласа функционалов. Решение этой задачи позволяет перейти к исследованию в рассматриваемом пространстве классических проблем теории линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, современных проблем теории абсолютно представляющих систем. Основная в работе теорема 1,1 утверждает, что преобразование Лапласа линейных непрерывных функционалов устанавливает изоморфизм между сильным сопряженным к рассматриваемому функциональному пространству и некоторым пространством целых функций экспоненциального типа в Cn, представляющим собой внутренний индуктивный предел весовых банаховых пространств целых функций.

Отметим, что задача описания сильного сопряженного для различных пространств голоморфных функций с граничной гладкостью рассматривалась Б,А, Державцом [2], A.B. Абаниным и C.B. Петровым [10], C.B. Петровым [11], К.П, Исаевым [12] и вторым автором данной работы в [5], [13], В частности, в [13] эта задача изучалась для случая, H h m

n

hm : х = (х]_,..., xn) G Rn ^ hl/ IxjI - m

(n \ n

IxjI - m I при условии, что ^^ Ixj| > m;

j=i J j=i

кт(х) = 0, если \хз| < т (т € где к : К ^ [0, то) - выпуклая функция с к(0) = 0

3 = 1

такая, что:

1) к(г) = к(Щ), г € К;

2) к те убывает на [0, то);

3) существует число а > 0 такое, что к(Ь) > Ь 1п(£ + 1) — а1 — а, Ь > 0,

Легко проверить, что в этом конкретном случае условия гх) — г4) выполняются. Условие г5) также выполнено. Действительно, образуем логарифмически выпуклую последовательность (Мк)к=о, полагая Мк = ен(к\ Известно [13], что для любого натурального

числа 5 > п + 1 ряд ^ м и сходится, Далее, для т,р,1 € N и а € И+ с |а| > т + I

|«|>о 4+8

тах кт+1 (а + ¡3) — кт(а) = к(\а\ + р — т — I) — к(\а\ — т). ^Кр

Следовательно,

ехр(тах кт+г (а + Р) — кт(а)) = М\"\+Р-т-1. Щ<Р М |а|-т

Таким образом, если I > р+п+1, то для любого т € N ряд ^ ехр(тах кт+1 (а+[3)—кт(а))

аещ Ш<р

+

Отметим еще, что если для каждого т € N сужение кт на [0, то)п не убывает по каждой переменной, то условие г5) может быть заменено следующим:

г'5) для любых т,,и € N найдется чиело I = 1(т, V) € N такое, что

ехр(кт+г(а + и^) — кт(а)) < то,

аещ

где 7 = (1,..., 1) € Ъп

+ ■

Таким образом, рассматриваемая здесь задача - более общая, чем в [13], 2. Обозначения и определения. Для а = (ах,...,ап) € г = (гх,...,гп) € С

^ дг^1 ■■■д

чг

полагаем \а\ = ах + ... + аП1 а\ = ах\ • • • ап\, Ба = дИ

Для и = (щ,..., ип), V = (ьх,... ,ьп) € С

(и, у) = ЩЮх + ... + ипуп,

Через \т обозначим меру Лебега в Ст,

Пространство голоморфных в области О С Сга функций с топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах О обозначаем А(О).

А'и(О) - пространство линейных непрерывных функционалов на А—(О) (Ате(О))* (А*(О) - сильное сопряженное для пространства (АС(О)),

Ни(г) = вир Яе (X, г), г € Сп - опорная функция области О, леи

Положим 1п+ Ь = 1п Ь для Ь > 1 и 1п+ Ь = 0 для 0 < Ь < 1,

К+ = [х = (хх,...,хп) € К : хх > 0)...)хп > 0}.

Преобразование Юнга - Фенхеля функции д : Кга ^ [—то, +то] есть функция д* : Кга ^ [—то, +то], определяемая по формуле:

д*(х) = вир((х,у) — g(y)), х € Ега. уеК"

3. Основной результат и организация работы. Для каждого т € N определим функцию в Сп по правилу:

Рш (г) = С(1п+ \гх\,..., 1п+ \гп\), г = (ги...,гп) € Сп.

Так как hm - выпуклая функция в Rn и принимает конечные значения, то функция hm непрерывна в Rn, Следовательно, pm - непрерывная плюриеубгармоничеекая функция в Cn,

Для каждого т Е N определим нормированное пространство

Рт ={F Е Н(Cn) : ||F||m = sup -ттгЩ^-ГТГ < .

I zecn exp(Hn(z) + <pm(z)) J

Ясно, что банахово пространство Pm непрерывно вложено в Pm+\ для каждого то Е N. Через Рц обозначим индуктивный предел пространств Pm.

Теорема 1.1. Отображение L : Т Е АЦ(П) ^ Т устанавливает топологический изоморфизм между пространствами АЦ(П) и Рц.

Доказательство теоремы основано на идеях М, Неймарка [14] и Б.А. Тейлора [15] и использует ряд результатов из [5] и [16], приведенных в разделе 3. В разделе 2 установлены некоторые полезные свойства пространств Ац(П), А^(П), Рц и семейства функций рm. В разделе 4 приведено одно применение теоремы 1.1, относящееся к теории дифференциальных уравнений с частными производными. А именно, установлен аналог теоремы 7.6.13 из [23].

2. Вспомогательные утверждения

Предложение 2.1. Пусть непрерывная функция g : Rn ^ R с д(0) = 0 такова, что при некотором, а > 0

д(х) > ||ж|| 1п(||ж|| + 1) — аЦхЦ — а, х Е Rn

Тогда, для любого х Е Rn супремум функции дх(£) = (£,х) — д(£) в Rn достигается, в некоторой точке £* = ^*(х) такой, что ||£*|| < е2ае^хК

Доказательство. Отметим вначале, что в силу условия на g

0 < g*(x) < supCneKH^H — 1п(1 + нем) + а) + а), х Е Rn

geRn

Отсюда следует, что для любого х Е Rn супремум функции дх достигается в некоторой точке £ * = £*(х) такой, ч то ||£*|| < е2ае^хК Действительно, если предположить, что * || > е2ае"х11, то

sup ((| — 1п(1 + ||Ш + а) + а) = Ц£*||(|N| — 41 + НП) + а) + а

CeR"

< —а||£*|| + а< 0.

Но это противоречит тому, что д*(х) > 0 для всex х Е Rn. □

Предложение 2.2. Пусть непрерывная функция д : Rn ^ R с д(0) = 0 такова, что при некотором, а > 0

д(х) > ||ж|| ЩЦхЦ + 1) — аЦхЦ — а, х Е Rn.

Пусть b > 0.

Тогда для любых х,у Е Rn таких, что Цу — я|| < Ье-^, имеем

19*(У) — 9*(х)\ < Ъе2а+Ь.

Доказательство. Пользуясь предложением 2.1 и его обозначениями, для всех х,у Е Rn таких, что Цу — ж|| < be-"х" имеем

9*(У) — 9*(х) = suP((y,C) — 9(С)) — suP((^£) — 9(С)) geRn ?eRn

< (У, С* (У))— 9(?(У))) — (х,?(у)) + 9(С *(У))) = (У — х,?(у))

< НУ — z||||f (У)|| < Ье-ые2аеы < Ье2а+Ь.

С другой стороны,

д*(х) — д*(у) = эир ((х,0 — д(£)) — sup ((у,£) — д(0)

< (х,£*(х))— д(е(х)) — (у,£*(х)) + д(£*(х)) = (х — у,£*(х))

< — У\Ш»\\ < Ье-ые2аеы < Ъе2а+Ь.

□

Из предложения 2,2 получаем следующее следствие.

Следствие 2.1. Пусть непрерывная функция д : Кга ^ К с (0) = 0 такова, что при некотором а > 0

д(х) > \\ж\\ 1п(\\х\\ + 1) — а\\ж\\ — а, х € Кга

Пусть Ь > 0.

Тогда для всех х = (хх,... ,хп), у € К1 таких, что \\у — ж\\ < &е-(|ж1|+^+|:Сп|) имеем

\9 *(У) — 9*(х)\<Ь е2а+ь.

Предложение 2.3. Пусть непрерывная функция д : Кга ^ К с (0) = 0 такова, что при некотором, а > 0

д(х) > \\ж\\ 1п(\\ж\\ + 1) — а\\х\\ — а, х € Кга Тогда, для всех х = (хх,..., хп), у = (у1,..., уп) € К1 'таких, что

\Уз — %з\< -1-, 3 = 1,...,п,

П(1 + кк\)

к=1

имеем

\д*(1п+ \Ух\,..., 1п+ \Уп\) — д*(1п+ \^х\,..., 1п+ \хп\)\ < 2пе

2а+2п

Доказательство. Пусть точки х = (х1,...,хп), у = (у1,..., уп) € К1 удовлетворяют

условиям нашего утверждения. Рассмотрим вначале случай, когда \хз\ > 1, \уз\ > 1 для ] € [1,..., п}. Тогда

\ Уз

\ 1п+ \ уз \— 1п+ \хз \\

1п^

\х

\

Если тМ > 1, то

^з| >

1п

\ з\

1п Ш = 1п Л + \Уз \ — \хз \ ^ < \Уз \ — \хз \ <

V \х з\ )

1

\х з

Если 1^4 < 1, то поскольку > \хА--е—1-■

| ' " \У3 ^^ П (1+Ы)'

получаем, что

П(1 + \*к\) к=1

(2.1)

1п М = 1п Л + \Уз \~}Хз \ ^ > 1п

V \%з \ )

\Хз

1

1

П(1 + кк\)

к=1

Следовательно,

1п Н < 1п

\Хз \

1

1

П(1 + \*к\) к=1

<

2

П(1 + \*к\) к=1

(2.2)

Таким образом, если ^| > 1, |у,| > 1 для ] Е {1,. . . ,п}, то благодаря неравенствам (2,1) и (2,2), имеем

2

I Ь+ |у,I- Ь+ 1х3^ --. (2.3)

П (1 +х I) к=1

Теперь рассмотрим второй случай: |х, | < 1 ми ^^ < 1 дая ] Е {1,..., п}. Для определенности предположим, что |у, | < 1. Тогда

| ь+ | у, i - ь+ 1хз || < 1п

( \

1 + "п-1-

< ^-. (2-4)

П(1 + 1хк I) к=1

. П(1 + IXк I). \ к=1 /

Пользуясь неравенствами (2,3) и (2,4), получим, что

II (1п+ IУ11..., Ь+ I Уп\) - (Ь+ !х1!,..., Ь+ мц

п 2

< Е I Ь+ IУзI- Ь+ IX,II < -й—-— з=1 П (1 + ^ кI)

к=1

= 2—е-(1п(1+Ы)+-+Ч1+Ы)) < 2—е-(1п+ ^1+"+ы+ 1Ж™1). Теперь согласно следствию 2,1 получим, что

I д*(1п+ IУ11..., 1п+ I Уп\) - д*(1п+ !хl!,..., 1п+ Ы) < 2пе2а+2й.

Из предложения 2,3 получим следующие следствия.

□

Следствие 2.2. Пусть функция д : Ей ^ Е удовлетворяет условиям Предложения, 2.3. Пусть г = (г1,..., гп), ( = ((1,..., (п) Е Сп таковы, что

! 0 - Ъ \< ~п—1-,э = 1,...,п>.

П (1 +1 ^ I) к=1

Тогда,

^*(1П+ IС11,...,ь+ IЫ) - 9*(1П+ I^^..,Ь+ Iг»^ < 2-е2а+2п.

= ( 1 , . . . , п) = ( 1, . . . , п) Е С п

! Сз - *3 \< —п-1-, 3 = 1,...,п.

П (1 +1 ^ I) к=1

Тогда, для любого т Е N

^ш(С) 2-е2а™+2п.

, Е С п

К-4< 1

(1 +1^11)» Тогда, для любого т Е N

МО -Рш^К 2-е2а™+2п.

Предложение 2.4. Для любого т € N существует постоянная 1т > 0 'такая, что

^^т+п(х) > /^т(х) I ^ х j ^т^ х (х1;| * * * , хп) Е j=i

Доказательство. Пусть

''->+,, = [У = (У1 Уп

7 = (1,***, 1) Е Z+, Y1 = [у = (Ш,***,уп) Е Rn : |yil > 1,***, |Уп1 > 1}*

Тогда для любого х Е п

+

^т+п(х) = suP ((х, у) - hrn+пШ = sup ((х, у) - hm+n(y))

уешп уешп

+

> sup((х, у)- hrn+a(y))= sup((X,y + 7) - hrn+n(y + 7)) = (х, 7) + sup ((х, у) - hm(y) + hm(y) - hm+n(y + 7))*

y€R+

Теперь, пользуясь условием i4) на при пекотором Iт > 0 имеем Кп+-п(х) > (х,7) + sup ((х, у) - hm(y)) - 1т

__ n

(х, 7) + sup ((х, у) - hm(y)) - Iт = Кп(х) + (х, 7) - Iг

y€Rn

□

Следствие 2.5. Для любого т Е N

^т+п(г) > ут(г) + ^1п+ \ гз \ — 1т, х=( Х1,..., хп) € Сп,

=1

где Iт - постоянная из предложения 2.4-

Предложение 2.5. Пусть числа т € N с> 0 таковы, что для, Б € А*(О)

\Б ( Л\<сРт(/), ¡€Ап(О).

Тогда, функционал Б может быть представлен в виде:

Б (/)= ), ¡€Ан (О),

|«|>о

где Ба € А*(О), причем, для норм \\Ба\\А*(П) функционалов Ба справедливо неравенство:

с

\\б«\\А*(П) < ^, « €

Доказательство этого предложения проводится по стандартной схеме ([15], предложение 2,11, следствие 2,12) с использованием условия г3),

Лемма 2.1. Для любого г € Сп функция ¡г( А) = ехр(( А, г)) принадлежит (О), причем, для каждого т € N

Рт(¡г) < ехр(Нп(г) + рт(г)) < то. (2,5)

Доказательство. Пусть г € Сга, Тогда для любого т € N

\ гае {л'г > \ \ ^ ¿пГ Нп(г) рт(Л) = виР . („) = виР --г-ТГ)--е )

т Tin phm(a) phm(a)

< exp(Hq(z) + sup (ai ln+ |zil I-----1 an ln+ |Znl - hm(a))) = exp(Hn(z) + <pm(z))*

Таким образом, fz е А^(П) и требуемое неравенство установлено, □

Лемма 2.2. Для любого S G A*(Q) функция S G Р-.

Доказательство. Для любого функционала S g А—(П) функция S(z) = S(екорректно определена в Cn, Пользуясь предложением 2,1 и условием i5), легко показать, что S - целая функция в Cn, Далее, так как найдутся числа т G N и с > 0 такие, что IS(f)l ^ сРт(f) для всех f G AH(Q), то, пользуясь неравенством (2,5), имеем

|ад| ^ cexp(Hn(z) + <Pm(z)), Z G Cn.

Следовательно, S G Р-. □

3. Описание пространства A—(Q) 3.1. Три вспомогательные теоремы. Для каждого т G Z+ пусть

Em ={f G H(Cn) : Nm(F) = sup ll^ (H ( )) < .

[ ^c™ (1 + \\z\\)mexp(HQ(z)) J

E Em

Теорема 3.1. Отображение С : Б е (Ате(П))* ^ Б устанавливает топологический изоморфизм между пространствами (АХ(П))* и Е.

Теорема 3,1 получена в [5] (см, теорема 1), В предположении С2-гладкоети границы области П теорема 3,1 доказана Б,А, Державцом [2].

Следующая теорема будет применяться при доказательстве еюръективноети отображения Ь в теореме 1,1, Она доказана в [13] (см, лемма 6,2),

Теорема 3.2. Пусть О - область голоморфности, в Сп. Пусть к - плюрисубгармони-ческая функция в О и р - плюрисубгармоническая функция в Сп такая, что при некоторых Ср > 0 и V > 0

< Ср, если ^ '

Пусть функция / е Н(О) удовлетворяет условию

/ IК012е-2(^>+^>> ¿Хп(() < ж. Jo

Тогда, найдется функция Р е Н(Сп х О) такая, что Р((, () = /(() для, ( е О и

I + о < СI |/«)|2е-2<«>+<®> ¿ХпЮ,

С"хО О

где положительная постоянная С зависит только от п,и и р.

Следующий результат доказан в [13] (лемма 6,4), Он будет применяться при доказа-

Ь

Теорема 3.3. Пусть О - область голоморфн ости, в Сп. Пуст ь к - плюрисубгармоническая функция в О и р - плюрисубгармоническая функция в Сп такая, что при некоторых > 0 и V > 0

1<р(г) ^ cч>, если \\г - 4 ^ ^ ^щу .

Пусть функция Б е Н(Сп х О) удовлетворяет неравенству

1Б(г, С)| ^ е г е Сп, ( е О,

и Б((, О = 0 для (еО.

Тогда, существуют функции Бг,... ,Бп е Н(Сп х О) такие, что:

a) в (г, О = (г, <)( ^ - 0), (г, О € С х О;

3=1

b) при некотором т > 0, не зависящем от в,

(г, С)|2 (1\2п(г, О < гс, з = 1,...,п.

J е2(ф)+к(С)+т ]п(1+||(*,С)||)) С"хО

3.2. Свойства пространств А^(П), А*(П) и Р-ц.

Определение 3.1. (\П\) Напомним, что пространство, представимое в виде проективного предела последовательности, нормированных пространств вп, п € N относительно линейных непрерывных отображений дтп : вп ^ Sm, т < ^^^^х, что с/п,п+1 вполне непрерывно для каждого п, называется пространством (М*).

Предложение 3.1. Пространство (П) - пространство (М*).

Доказательство предложения 3,1 такое же, как и доказательство леммы 6 в [5]. Надо лишь в соответствующем месте воспользоваться условием г3) вместо уеловия г4) из [5].

А (П)

[18].

Определение 3.2. (|18], [19],) Пусть (Ет)тец - последовательность банаховых пространств 'таких, что Ет непрерывно вложено в Ет+1 для каждого т € N и Е = итемЕт. Если для, любого т € N существует к > т такое, что вложение Ет в Ек компактно, то индуктивный предел пространств Е := И^ Ет называется, (Б Рв)-пространством.

С помощью теоремы Монтеля и следствия 2,5 легко показать, что вложения

]т : Рт ^ Рт+п(ТС)

компактны для каждого т € N. Следовательно, Р% - (БРв)-пространство.

Пространство А*(П), как сильное сопряженное к пространству Фреше - Шварца (П), является (Б Рв)-проетранетвом [18], [19],

3.3. Доказательство теоремы 1.1. Согласно лемме 2,2 линейное отображение Ь : Т € А*(П) ^ Т действует из А*(П) в Рц.

Ь

Докажем, что отображение Ь сюръективно. Пусть целая функция Р € Тогда Р € Рт при некотором т € N. Следовательно,

Ус (1 + 1!СИ)-+' '1КЮ <

Отсюда, пользуясь следствием 2.5, получим, что

/ \Р(С)|2е-2(я«(0+^т+п(п+1)( С)) ¿Лп(() < гс. •У С"

Отметим, что функции Нл и <рт+п(п+1) плюрисубгармоничны в Сп и для некоторого Сл > 0

\Нп(и) -Нл(у)\<Сл, и,у € Сп : ||и - у\\ < 1. (3.1)

Поэтому, применяя теорему 3.2 с и = 1, найдем функцию Ф € Н(С2п) такую, что Ф(г, г) = Р(г) для г € Сп и при некотором с > 0, не зависящем от Р,

г 1Ф(х С)12е-2(Нк(1т

У ^ ^, °

С2п

<С[ 1Р (С)|2е-2(Н«(0+р™+п(п+1)( 0> (1Хп(().

</ Сп

Так как |Ф|2 е рзк(С2п\ то для любого Я > 0

Ф*, °12 ^ ^М / т,и)12 ЛХ2п(^и)> =«1,..., Сп) е Сп,

ВЕ( г, О

где Ви (г, () - замкнутый ш ар в С2п радиус а Я с центром в точке (г, (), Х2п(Я) - объем

шара Ви(г, О- Из этого неравенства, полагая Я = ——1-и пользуясь неравенством (3,1)

П (1+1 <У>

к=1

и следствием 2,3, стандартным образом выводим равномерную оценку на , и полу-

1>0

п

1Ф(г, С)| ^ сл(1 + \\г\\)4п Д(1 + |(к\)6п еНп(г>+<рт+п(п+1)(С>, (г, ^) е С2п,

к=1

1 > 0 некотором с2 > 0

1Ф(г, С)| ^ С2(1 + \\г\\)4пеН^>+р™+^2+^>, (г, () е С2п. (3.2)

Разложим Ф(г, () в степенной ряд по степеням (: Ф(г, () = ^ Фа(%)(а- По формуле Коши

|а|>0

для любых а е гг > 0,..., гп > 0 имеем

С-и = ёЬг¿=,1...¿=,,■■■'Ь" -с"

Отсюда следует, что Са е Н(Сп), Полагая и = 7п2 + п, пользуясь неравенством (3,2) и неубыванием функции по каждой переменной, имеем

I а(г)К + м ге с,

где все компоненты г = (гг,..., гп) е Кп положительны. Следовательно,

/ р Рт + V (г>\

1Са(г)1 < С2(1 + \\г\\)4пеН^ Ы , * е Сп,

Vгеи1 г !

где Пг = {(гг,..., гп) е Кп : гг > 1,... , гп > 1}, Отметим, что

с, <Pm + v (Г> М (<рт + „ (г>-^аз 1п гз >

^ -= егещ 3=1

геп1 га

- вир ((а^-Ь^ (1п+(е«1 >,...,1п+(е«" >> = е 5=(«1,...,«п)е*+

- вир ((а,е )-Ь*т + V (0> Ь ( = е 5е*п = Q-Ьm + V (а>

Таким образом, при любых а е справедлива оценка

со(1 + \\г\\)4пе Нп(г>>

1СаШ< С2(1 + 1г\\\ >е-, сп.

1 ач п — еЬт+„ (а> '

Следовательно, множество {е Нт+V ^ограничено в Е4п, а значит, и в Е. Так как

пространства (Ате(П))* и Е изоморфны (по теореме 3,1), то найдутся функционалы

Sa Е (Ате(П))* такие, что Sa = Са и множество А = {ehm+v(a)Sa}aeZn ограничено

i «ez+

в (Ате(П))*, Отсюда, как и в [13], выводим, что найдутся числа I Е Z+ и с3 > 0 такие, что для любого а Е Z+

^W), fEA-(ü). (3.3)

Определим функционал Т на А%(П) по правилу:

Т(/) = £ Sa(Daf), f Е АН(П). (3.4)

Покажем, что Т - линейный непрерывный функционал па А%(П). Пользуясь неравенством (3.3), для любых f Е А%(П), а Е Z+ и s Е N имеем

сз sup |(D"+'3/)(-)|

| S-(D-f )l < ^ + ,.)- < CsPm+s(/)e'mi§h-+'("+e)-h-+"^

g hm + v (а)

) >

max hrn+a(a+0)-hm+v(а)

|a I >0

сходится. Тогда для любого f Е А%(П) ряд в правой части в (3.4) сходится абсолютно. Причем, для выбранного s существует постоянная с4 > 0 не зависящая от f Е А%(П), такая, что \Т( /)| < c4pm+s (f). Следовательно, линейный функционал Т корректно определен и является непрерывным. Очевидно, Т = F. Таким образом, отображение L сюръ-ективно.

Следуя схеме из [15], покажем, что отображение L взаимно однозначно. Действительно, пусть для Т Е А'н(П) имеем Т = 0, Покажем, что Т(/) = 0 для любого f Е А%(П). Так как Т - линейный непрерывный функционал на А%(П), то найдутся числа m Е N, С5 > 0 такие, что

1Т( /)|< c5Pm(f), ¡ЕАН(П).

Т

Т (/)= ), f Е АН(П),

| a|>0

где Та Е А*(П), причем для норм ||Та||^*(П) функционалов Та имеем

\\Та II А* (П) < , а Е Z+.

Отсюда получаем, что Т(z) = Та(г)z- для любого z Е Cn, причем, для целых

Та

СкР Hn{z)

\Ta{z)\< , а Е Z+, z Е Сп. (3.5)

Рассмотрим целую функцию

5(и, z)= ^ Ta(z)ua, z,u Е Cn

|a|>0

Отметим, что S Е Н(C2n), Пользуясь неравенством (3.5) и условием i5), имеем

\S(u, z)\ < с5еH*(z)) ^ < с6е1М ,

Н>о е

где с6 = с5£ |а|>0 е Нт+1 (а> Нт(а\ При этом Б(г, г) = 0 для любо го г е Сп, Тогда (принимая во внимание неравенство (3,1)) по теореме 3,3 существуют функции Бг,...,Бп е Н(С2п) такие, что

п

Б (г, 0 = ^Б, (г, ()(zJ - (,), ^ е Сп, =1

и при некотором к е N

^ 1Б (г, ^ (1\2п(г, О < ж, з = 1,...,п.

^ е 2( Нп(г>+срт+1 (С>+к 1п(1+||( г, ОЦ»

€2"

Из этого интегрального неравенства (как и ранее при получении равномерной оценки , £)|) получим, что при всех ] = 1, 2,... ,п

п

Б (г, С)| < <7(1 + \\г\\)к П(1 + I Ск 1)к+2п ехр( Нп(г) + Рт+1 (О), е Сп

к=1

где с7 > 0 - некоторая постоянная. Отсюда с помощью следствия 2,5 получим, что при некотором с8 > 0 для всех ] = 1, 2,... ,п

Б (г, С)| < св(1 + \\z\\)к ехр( Нп(г) + рт+1+п(к+2п>(0), е Сп. (3.6)

Обозначим I + п(к + 2п) через д. Разложим Б, в степенной ряд по степеням (:

Б, (г, () = а, е Сп, ^ = 1,...,п.

| а|>0

Са

для любых а е '+, ] = 1,... ,п

Св(1 + \\г\\)к ехр( Нф))

I Б,Лг)1 <

еЬт+ч (а>

По теореме 3.1 существуют функционалы ф,,а е (Ате(П))* такие, что ф,,а = Б,,а. Из предыдущей оценки следует, что множество {Б,,ае Ьт+ч (а>}а£2™ ,з=1...,,п ограничен о в Е. Следовательно, множество Ф = {еНт+ч(а">фз>а}аещ ,з=1,..,п ограничено в (Ате(П))*, Тогда найдутся числа с9 > 0 и ре N такие, что

1Р(ПК С9др(Л, Р е Ф, ¡еА^(П). Значит, для любого f е Ате(П)

1ф*а(Л1 ^ ь(Л, а е Z+, J = 1,...,п. (3.7)

а е 2 п е {1, . . . , п} Ф , а

функционал из (Ате(П))*, - тождественно равная нулю функция в Сп, Тогда

п

Б(*, 0 = ЕЕ (Б^) ^ - Б,,(а1,...,а^_1,...,ап>)Са, С е Сп.

,=1 аещ

Таким образом,

п

Та(г) = ^(Бз,а^)^ - Бэ,(а1,...,а]-1,...,ап> (г)) , а е '+. =1

Другими словами,

п

Та(г) = ^(ФЛЖ( (е(х,г))) - ФА(аь...а-1,...,аи>(Z)), г е Сп.

3=1 3

Отсюда, пользуясь теоремой 3,1, имеем

п В

Ta(f) = Е(ф^(^/) - -i,...,o^)(/)), f е А~(П).

3=1 3

Поэтому

п В

T(/) = Е Е(ф^(^(DV)) - -i.-^)(Daf)), f е Ан(П).

|«|^0 i=1 J

Для Ж е Ни j = 1,...,n определим множества

BN = (а = (ai,...,ап) е Zn : ai ^N,...,an ^N},

Rnj = (a = (ai,...,an) е Zn : ai ^N,...,aj = N,...,an < N}, определим функционал TN на (П) по правилу

Tn(/) = EE (*>."(5Г- (Daf)) - -i,...,«n)(Da/))

Тогда Т(/) = lim TN (/), f E Ац(П), Отметим, что

N ^те

Tn(/) = Е Е ¿¿Г)) > feAH(П).

Пользуясь по ходу неравенством (3,7), имеем для любых f E Ац(П)

д

\TN( /)\<Е Е \*зА(DV))|

j=i aER^j 3

^ с9 Е Е

sup ID (£ (Daf)))(\)\

xen,lßl<P

ghm + q (a)

3=1 aeRNj

Отсюда получим, что при любых ^ Е N и f Е Ац (П) справедлива оценка

х—- sup h/1(a+l3)-hm+q (a)

\tn( л\< с9Р,(лЕ Е е"3<+1 •

j=1 aeRNj

Теперь, пользуясь условием г5), выберем ^ так, чтобы сходился ряд

— sup hM(a+|)-hm+q (a)

у el^i<p+i •

|a|>0

Тогда

— sup hM(a+!)-hm+q (a)

\tN ( f)\<nC9P,(f)Y, e'^i<P+1 •

|a|>N

Отсюда следует, что TN (f) ^ 0 при N ^ ж. Таким образом, T(/) = 0 для любого f Е А%(П), Это означает, что отображение L ннъектнвно.

По теореме об открытом отображении [20], [21], [22, Open maping theorem 24,30] отображение L-1 непрерывно. Итак, L - взаимно однозначное линейное непрерывное отображение пространства А*(П) на Р-ц. Теорема 1,1 доказана.

4. Применение теоремы 1.1 к системам дифференциальных уравнений

с частными производными Пусть Рц - полиномы (г = 1,... ,т; ] = 1,... ,г) и Р = (Р^)

3 = Т,г

Р(О), действующий из А^(П) в Агп(П) по правилу:

Определим оператор

Р (D)

7i

ч/«

Е Рц (D)f3

3 = 1

Е Ргз (D)fj

\з=1

Рассмотрим множество всех наборов = ((^1,... ,С}г) с полиномиальными компонентами таких, что

Р1з Шг(г) + ••• Ргз (г)(Эг (г) = 0, 3 = 1,...,т. Известно, что это множество, являющееся модулем над кольцом полиномов, имеет конечное число порождающих. Пусть 1) = (С^^, ..., ) - его порождающие (I = 1,..., в).

Теорема 4.1. Уравнение Р(0)£ = д разрешимо в А^(П) для д Е Агн(П) тогда, и только

V

тогда, когда ^ Qf\D)gi = 0 I

г=1

1,...,s.

Доказательство теоремы 4.1 основано на нижеприводимой теореме Л. Хёрмандера [23] и проводится по стандартной схеме (см., напр., [24]). Обозначим через М[р х д\ множество

Теорема 4.2. Для данной системы, Р Е М[р х д] существует целое число N такое, что для, плюрисубгармонических в Сп функций р и — 1п с1 'таких, что 0 < d < 1, <1(г + С,) < 2(1((), если | Ре1 < 1, 11 < 1 Ц = 1,.. .,п); \<р(г + С) — Р«)1 < Со, если \гз\ < ¿1(0 (] = 1,... ,'п), и всех и Е (А(Сп))9 найдется V Е (А(Сп))я с Ри = ру и / \\vfe¿\ < К / \\Ри\\2е-* ¿\, где (г) = ф) — N 1пф) + N 1п(1 + \\г\\2), К не зависит от и, р, с1.

Доказательство теоремы 4.1 проводится по стандартной схеме (см., напр., [24]). Отметим лишь, что в качестве функции с1 можно взять функцию й(г) := ( Рп + \\г\\)-п, где Рп - достаточно большое положительное число. Тогда можно пользоваться как теоремой 4.2, так и следствием 2.4.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Р.С. Юлмухаметов. Пространство аналитических функций, имеющих заданный рост вблизи границы // Матем. заметки. 32:1, 41-57 (1982).

2. Б.А. Державец. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами в пространствах аналитических функций многих комплексных переменных: Дис. ... канд. физ,-мат. наук., Ростов-на-Дону: Ростовский-на-Дону университет, 1983.

3. Е.М. Дынькин. Псевдоаналитическое продолжение гладких функций. Равномерная шкала. Сб. Математическое программирование и смежные вопросы. Труды седьмой зимней школы. Дрогобыч (1974). Москва, С. 40-74. 1976.

4. Р.С. Юлмухаметов. Квазианалитические классы, функций в выпуклых областях // Матем. сб. 130(172):4(8), 500-519 (1986).

5. I.Kh. Musin. Spaces of functions holomorphic in convex bounded domains of and smooth up to the boundary, Advances in Mathematics Research. Nova Science Publishers. New York. P. 63-74. 2002.

6. К.В. Трунов, P.C. Юлмухаметов. Квазианалитические классы Карлемана на, ограниченных областях // Алгебра и анализ. 20:2, 178-217 (2008).

7. Р.А. Гайсин. Универсальный критерий квазианалитичности для жордановых областей // M а гс.м. сб. 209:12, 57-74 (2018).

8. Р.А. Гайсин. Критерии квазианалитичности типа Салинаса-Коренблюма для областей общего вида // Уфимск. матем. журн. 5:3, 28-40 (2013).

9. А.В. Абанин, Т.М. Андреева. Аналитическое описание сопряженных с простра нет вам и голоморфных функций заданного роста в областях Каратеодори // Матем. заметки, 104:3, 323-335 (2018).

10. А.В. Абанин, C.B. Петров. Минимальные абсолютно представляющие системы экспонент в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью // Владикавк. матем. журн. 14:3, 13-30 (2012).

11. C.B. Петров. Существование абсолют,но представляющих систем экспонент в пространствах аналитических функций // Изв. вузов. Сев.-Кавк. per. Естеств. науки. 5, 25-31 (2010).

12. К.П. Исаев. Представляющие системы экспонент в проективных пределах весовых подпространств ¡I Изв. вузов. Матем. 1, 29-41 (2019).

13. И.Х. Мусин. О пространстве функций, голоморфных в ограниченной выпуклой области и гладких вплоть до границы, и его сопряженном // Владикавк. матем. журн. 22:3, 100-111 (2020).

14. M. Nevmark. On the Laplace transform of functionalIs on classes of infinitely differentiable functions 11 Ark. math. 7, 577-594 (1969).

15. B.A. Taylor. Analytically uniform spaces of infinitely differentiable functions // Commun, on pure and appl. mathematics. 24:1, 39-51 (1971).

16. Il'dar Kh. Musin, Polina V. Yakovleva. On a space of smooth functions on a convex unbounded set in admitting holomorphic extension in Cn // Central European Journal of Mathematics. 10:2, 665-692 (2012).

17. Ж. Себаштьян-и-Сильва. О некоторых классах локально выпуклых прост,ра,нет,в, важных в приложениях ¡I Математика. 1:1, 60-77 (1957).

18. В.В. Жаринов. Компактные семейства ЛВП и пространства FS и DFS 11 УМН. 34:4, 97-131 (1979).

19. Н. Komatsu. Projective and injective limits of weakly compact sequences of locally convex spaces // J. Math. Soc. Japan. 19, 366-383 (1967).

20. A. Grothendieck. Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires // Mem. Amer. Math. Soc. 16 (1955).

21. В.В. Напалков. Уравнения свертки в многомерных пространствах // М.: Наука. 1982.

22. R. Meise, D. Vogt. Introduction to Functional Analysis // Clarendon, Oxford. 1997.

23. L. Hôrmander. An Introduction to Complex Analysis in Several Variables // North Holland; 3rd edition, 1990.

24. Б.А. Державец. О системах уравнений в частных производных в пространстве функций аналитических в шаре и имеющих заданный рост вблизи его границы, // Сиб. матем. журн. 26:2, 91-97 (1985).

Анастасия Владимировна Луценко, Институт математики с ВЦ УФ! III РАН, ул. Чернышевского, 112, 450077, г. Уфа, Россия E-mail: Lutsenko . AV@yandex. ru

Ильдар Хамитович Мусин,

Институт математики с ВЦ УФИЦ РАН,

ул. Чернышевского, 112,

450077, г. Уфа, Россия

E-mail: musin_ildar@mail.ru