О ПРОСТРАНСТВЕ ФУНКЦИЙ, ГОЛОМОРФНЫХ В ОГРАНИЧЕННОЙ ВЫПУКЛОЙ ОБЛАСТИ И ГЛАДКИХ ВПЛОТЬ ДО ГРАНИЦЫ, И ЕГО СОПРЯЖЕННОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2020, Том 22, Выпуск 3, С. 100-111

УДК 517.982.3

DOI 10.46698/ t9892-7905-1143-o

0 ПРОСТРАНСТВЕ ФУНКЦИЙ, ГОЛОМОРФНЫХ В ОГРАНИЧЕННОЙ ВЫПУКЛОЙ ОБЛАСТИ

И ГЛАДКИХ ВПЛОТЬ ДО ГРАНИЦЫ, И ЕГО СОПРЯЖЕННОМ

И. Х. Мусин1

1 Институт математики с вычислительным центром УФИЦ РАН

Россия, 450077, Уфа, ул. Чернышевского, 112 E-mail: [email protected]

Девяностолетию Юрия Фёдоровича Коробейника посвящается

Аннотация. В работе рассматривается локально выпуклое пространство функций, голоморфных в ограниченной выпуклой области многомерного комплексного пространства и гладких вплоть до границы, с топологией, определяемой счетным семейством норм, образованных при помощи семейства M логарифмически выпуклых последовательностей положительных чисел специального вида. Благодаря условиям на указанные последовательности данное пространство является пространством Фреше — Шварца. Изучается задача описания сильного сопряженного для этого пространства в терминах преобразования Лапласа функционалов. Интерес к ней связан с исследованиями Б. А. Державца классических проблем теории линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, А. В. Абанина, С. В. Петрова и К. П. Исаева современных проблем теории абсолютно представляющих систем в различных пространствах функций, голоморфных в выпуклых областях комплексного пространства, с заданной граничной гладкостью, при решении которых важную роль сыграли полученные ими теоремы типа Пейли — Винера — Шварца. Основной результат работы, полученный в теореме 1, утверждает, что преобразование Лапласа линейных непрерывных функционалов устанавливает изоморфизм между сильным сопряженным к рассматриваемому функциональному пространству и некоторым пространством целых функций экспоненциального типа в Cn, представляющим собой внутренний индуктивный предел весовых банаховых пространств целых функций. Отметим, что в рассматриваемом случае удалось получить аналитическую реализацию сопряженного пространства при меньших ограничениях на семейство M по сравнению с работой автора 2002 г. Основу доказательства теоремы 1 в настоящей работе составляют схема, предложенная М. Наймарком и Б. А. Тейлором, и ряд предыдущих результатов автора.

Ключевые слова: преобразование Лапласа, целые функции, логарифмически выпуклая последовательность.

Mathematical Subject Classification (2000): 32A10, 46E10.

Образец цитирования: Мусин И. Х. О пространстве функций, голоморфных в ограниченной выпуклой области и гладких вплоть до границы, и его сопряженном // Владикавк. мат. журн.—2020.— Т. 22, вып. 3.—С. 100-111. DOI: 10.46698/t9892-7905-1143-o.

1. Введение

1.1. О задаче. Пусть Q — ограниченная выпуклая область в Cn, Ac(Q) — пространство функций, голоморфных в Q и непрерывных на О — замыкании области Q. Для каждого m € Z+ через ACm) (П) обозначим пространство голоморфных в Q функций f, все частные

© 2020 Мусин И. Х.

dl а | f(z)

производные которых (Daf)(z) := g^i Qz<*n (если a = (0, 0,..., 0), то (Daf)(z) := f{z)) до порядка m включительно допускают непрерывное продолжение на Q. Таким образом, А0)(П) = АС(П). Пространство ACm)(П) наделим нормой

qm(f)= sup |(Df)(z)|, f € (П).

zeQ, |a|^m

Пусть А«(П) — проективный предел пространств ACm)(n).

Обозначим через V множество возрастающих числовых последовательностей )«=о с то = 1, удовлетворяющих условиям:

¿i) (т| ^ mk-imk+i) (Vk € N) (логарифмическая выпуклость); ¿2) (3Qi,Q2 > 0) (Vk € Z+) (mk > QiQkk!).

В работах [1-4] (в [3, 4] при n = 1) рассматривалась задача описания сопряженного в терминах преобразования Лапласа функционалов для пространства Фреше Аэд(П) функций, голоморфных в выпуклой ограниченной области П С Cn и гладких вплоть до ее границы, представляющего собой проективный предел построенных по семейству M = {M(m)}«=о определенных последовательностей M(m) = (M"km))«=о € V нормированных пространств

Am(n) = {feA°°(n):pm(f)= sup <°°1, meZ+.

' J

zen,aez+ M(

Решение этой задачи имеет важное значение при исследовании проблем теории дифференциальных операторов [1], теории абсолютно представляющих систем [3-5] в пространстве Аэд(П). При условии, что граница области О является С2-гладкой, семейство ({Т (т) \1 » / т (т) \т (т) М(т) - „

\\ к )к-0)т-0 послеД°вательностеи )к-0 чисел ^к = к\ ПРИ Л1°ООМ т, € удовлетворяет условиям:

Д) последовательность (Ь(т)) является возрастающей и логарифмически выпуклой;

/?2) вирГ^)* < +оо;

кс.N V Ми /

keN VMk

1

f(m) \ к

/ M(m> \ k

в4) lim

k^«

и функции

QkM (m+i>

&) ,lim 9 Jm) = 0 (VQ>0);

k Mk

Ь(т)

Ьт(х) = Ы —^—хк~1, х > 0, те Ъ+,

к&+ к!

удовлетворяют условию

^т+1(ж)

¡зир^г;—ГТ < °°> 171 ^

х>0 х2кт(х)

Описание сопряженного было получено Б. А. Державцом [1] с помощью метода псевдоаналитического продолжения [6]. Условие С2-гладкости границы области О было снято в [2], при этом не требовалось выполнение условия ,01 )• В [3, 4] эта задача изучалась с точки зрения возможных применений в теории рядов экспонент, развитой А. Ф. Леонтьевым [7], и теории абсолютно представляющих систем Ю. Ф. Коробейника [8]. В частности, К. П. Исаев в [4] рассматривал последовательность М = (Мк)£=0 из V такую,

чт0 1 м^! < доопределял ее для отрицательных индексов, полагая = 1 для к € М, и решил указанную задачу при п = 1 для случая, когда семейство М состоит из

последовательностей M(m) = (Mkm)) ~ _0 (m € Z+), где M^m) = Mk-m. Отметим, что в этом случае от последовательностей семейства M не требуется выполнение условия ,01 ) и они не обязаны удовлетворять тем или иным из условий ^^Ai)-

В данной заметке по последовательности M = (Mk)^=о из V, удовлетворяющей условию

ôs) последовательность ^ Мщ1 ) возрастает и неограниченна,

строится семейство M = {M(m)}„=0 последовательностей M(m), определяемых так же, как и в работе [4], и для пространства Аэд(^) в разделе 3 описывается сопряженное в терминах преобразования Лапласа функционалов. В разделе 2 приводятся вспомогательные сведения и результаты, используемые при доказательстве теоремы 1.

1.2. Обозначения и определения. Для а = (а1,..., an) € Z+, z = (z1,..., zn) € Cn

полагаем

g\a\

\a\ = ai +... + an, al = ail • • • an\, Da = •

Для u = (u1,..., un), v = (v1,..., vn) € Cn

(и, v) = «i^i + ... + unvn, ||U|| = \j\ui\2 H-----h \un\2, \u\n = maxiscj^\щ\.

Пространство голоморфных в области O С Cn функций с топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах O обозначаем H(O).

Для локально выпуклого пространства X через X' обозначаем пространство линейных непрерывных функционалов на X, через X* — сильное сопряженное пространство-Преобразование Лапласа T функционала T € (Aœ(Q))*(AM(^)) определим по формуле T(z) = T(e<A'z>), z € Cn Пусть Hn(z) = supAeQ Re(A,z), z € Cn.

Всюду далее семейство M состоит из последовательностей M(m) = (Mkm))£=0, m € Z+, определяемых по последовательности M = (Mk)£=0 € V, удовлетворяющей

r(m) _ Л/Г. „„„ h ^ m Л/f(m)

условию ¿3), по правилу: М^ ; = Мк-т для к ^ т, М^ ; = 1 для к < т.

С каждой последовательностью М(т) ассоциируем корректно определенную в силу ¿2) функцию -шт по правилу:

к

r

Wm(r) = sup In-—у, Г > 0; №m(0) = 0.

kez+ M(m)

1.3. Основной результат- Пусть

Рш = {f € Я (С1) : ||F||m = sup -fTJ „ , ^ < 00 } , m € Z+.

zee» exp(Hn(z) + Wm(|z|n))

Ясно, что банахово пространство Рт непрерывно вложено в Рт+1 для каждого т € Через Рм обозначим индуктивный предел пространств Рт.

Теорема 1. Отображение Ь : Т € АМ(^) ^ Т устанавливает топологический изоморфизм между пространствами АМ(^) и Рмщ-

Доказательство теоремы основано на идеях М. Наймарка [9] и Б. А. Тейлора [10] и использует ряд результатов из [2] и [11], приведенных в разделе 2.

2. Вспомогательные сведения

Пусть

Em = \Fe Я(С") : Nm(F) = sup < оо| , m € Z+.

t zeC" (1 + INI)mexp(Hn(z)) J

Через E обозначим индуктивный предел пространств Em.

Теорема 2. Отображение L : T € (A^(Q))* ^ T устанавливает топологический изоморфизм между пространствами (A^(Q))* и E.

Теорема 2 получена в [2] (см. теорема 1). В предположении C2-гладкости границы области Q теорема 2 доказана Б. А. Державцом [1].

Теорема 3. Пусть O — область голоморфности в Cn, h — плюрисубгармоническая функция в O и ф — плюрисубгармоническая функция в Cn такая, что при некоторых cv > 0 и v > 0

\<p{z) — tp(t)\ ^ с<р, если \\z — t|| ^

(1 + РИГ

Пусть функция Б € Н(Сп х О) удовлетворяет неравенству

г € Сп, ( € О,

и Б ((, () = 0 для ( € О. Тогда существуют функции Б1,... ,Бп € Н (Сп х О) такие, что:

a) Б (г, С) = £П=1 Б (г,( )(г3 - 0), (г, С) € Сп х О;

b) при некотором т > 0, не зависящем от Б,

Г Б (г, С )\2

J e2(^(z)+h(C)+m ln(1+H(z,C)H))

Cnx O

dX2n(z,() < TO, j = 1,...,n.

Теорема 3 доказана в [11] (см. лемма 11).

Напомним, что пространство, представимое в виде проективного предела последовательности нормированных пространств Бп, п € М, относительно линейных непрерывных отображений дтп : Бп ^ Бт, т < п, таких, что дп,п+1 вполне непрерывно для каждого п, называется пространством (М*) [12].

Лемма 1. Пространство Лэд(П) —пространство (М*).

Доказательство леммы 1 почти дословно совпадает с доказательством леммы 6 в [2]. Надо лишь в соответствующем месте воспользоваться условием 5з) вместо условия ¿4) из [2]. Таким образом, пространство Фреше Лэд(П) является пространством Фреше — Шварца [13, п. 1.5].

Лемма 2. Пусть числа т € М, с > 0 таковы, что для Т € ЛМ(^)

\Т(/)\ < срт(/), / € ЛШ(П). Тогда функционал Т может быть представлен в виде:

Т(/)= £ Та(Ба/), / € ЛШ(П),

где Та € Л*(0), причем для норм ИТ«Иа*(п) функционалов Та справедливо неравенство

Доказательство этой леммы проводится по стандартной схеме [10, предложение 2.11, следствие 2.12] с использованием по существу условия ¿3).

Лемма 3. Для любого т € N имеем -шт(г) = т 1п г + -ш0(г) для г ^ 1, -шт(г) = 0 для г € (0,1).

< Пусть т € N произвольно. Вначале отметим, что адт(0) = -Шо(0). Для г > 0 имеем

и)т(г) = вир 1п —= вир 1п —-= вир 1п

к&+ М^ Мк-т М

т 1у±р

= т 1п г + тах < вир 1п —, — 1п г,..., —т 1п г

У реж+ Мр

Отсюда получаем, что -шт(г) = т 1пг + -ш0(г) при г ^ 1. Для г € (0,1), -ш0(г) = 0, следовательно, -шт(г) = 0. >

Замечание. Пользуясь леммой 3 и теоремой Монтеля, легко показать, что для любого т € N вложения 7т>т+1 : Рт — Рт+1 вполне непрерывны. Поэтому Рш — пространство (ЬЖ*) [12] или, придерживаясь более современной терминологии, пространство БРБ [13].

Лемма 4. Для любого г € Сп функция /(А) = ехр((А, г)) принадлежит Аэд(П), причем для каждого т € N

Рт(/) ^ ехр(Яп(г) + ^т(|г|„)) < то. Лемма 5. Для любого Т € АМ(^) функция Т — целая.

Доказательство этой леммы совпадает с доказательством леммы 4 в [2] и по существу использует условие ¿2).

Лемма 6. Существует постоянная С > 0 такая, что -щ^ ^ к € N.

< Отметим вначале, что -Шо(г) = 0 для г € [0, М1] и из условия ¿2) следует, что найдется число А > 0 такое, что

■ш0(г) ^ Аг, г ^ 0. (1)

Далее, пусть Ж(г) = тш {к £ Z+ : ъио(г) = 1п-щ-}, г > 0. Проверяется, что Ж(г) = к для г € (щ(Л € М), ЛГ(г) = 0 для г € (0,М1]. Положим ЛГ(0) = 0. Пользуясь равенством (см. [14, §67])

г

[ N(¿)

ги0(г) - гу0(1) = —^М, г> 1

£ 1

и оценкой (1), имеем N (г) ^ Аег, г ^ 0. Таким образом, каково бы ни было к € N для

Л = ЛГ(г) < Аег < Ае^р-. Отсюда, полагая С = Ае, получаем искомое утверждение. >

1 /Ттга иофтто^т.п, п ^ О пат,

Следствие 1. Для натуральных р ^ 2 ряд сходится.

Следствие 2. Для натуральных р ^ п + 1 ряд сходится.

3. Доказательство теоремы 1

< Очевидно, отображение Ь : Т € ЛМ(^) ^ Т линейно.

Прежде чем показать, что отображение Ь действует из ЛМщ(^) в Рм непрерывно, заметим, что топология пространства ЛМ(^) может быть описана следующим образом. Пусть Wk = {/ € ЛШ(П) : рк(/) < 1},

= {Е € ЛМ(П) : (/)| < 1 (V/ € Wk)}

— поляра в ЛМ(П) окрестности Wk, к € Пусть Ук = Уa>o(aWk) — векторное подпространство в ЛМ(П), порожденное полярой W¿0. Наделим Ук топологией, введя в Ук норму N(Е) = 8ир^(/)|, Е € Ук. Отметим, что пространство Ук непрерывно вложено в пространство Ук+1 и Лш(0) = иУк. Определим в Лш(0) топологию Л внутреннего индуктивного предела пространств Ук. Поскольку Лэд(П) — пространство (М*), то Лэд(П) — монтелевское, а значит и рефлексивное пространство. Но тогда сильная топология в ЛМ(П) совпадает с топологией Л [15, с. 699-700]. Пусть теперь Б € Ут, т € Тогда (/)| < ^т(Б), / € Wm. Отсюда следует, что |Б(/)| < Лп(Б)рт(/), / € ЛШ(П). Теперь, воспользовавшись леммой 4, имеем

< Лп(Б)ехр(Ип(г) + Wm(|z|n)), г € Сп

Итак, Б € Рм и, кроме того, ||5||т ^ ^т(Б). Таким образом, отображение Ь действует из ЛМ(П) в Рм непрерывно.

Докажем вначале, что отображение Ь сюръективно. Пусть целая функция Е € Рэд, т. е. при некоторых т € с > 0

(г)| < сехр(Яп(г) + Wm(|z|n)), г € Сп.

Так как

|Hn(z) - Hn(u)| < sup ||п|| ||z - u||, z,u € Cn, (2)

Vnen J

и при некотором bm > 0 для Т\,Т2 ^ 0 таких, что |r2 — ri| ^ 1 (см. доказательство леммы 1

в [16])

|Wm(r2) — Wm(ri)l ^ bm, (3)

то плюрисубгармоническая функция Hn(z)+wm(|Z|n), z,Z € Cn, удовлетворяет условиям следствия 15.1.4. из [17]. Поэтому существует функция U € H(C2n) такая, что U(z,z) = F(z) для любого z € Cn и для любых z,Z € Cn

\U(z,()\ < Cl(l + (|И|2 + ||С||2)|)4га+1ехр(Яп(^) + Wm(|C|„)),

где ci > 0 — некоторая постоянная. Пользуясь леммой 3, имеем

|U(z,Z)| < С2(1 + ||zH)4n+1 exp(Hn(z)+ Wm+4n+i(|Z |n)), z, Z € Cn, (4)

где C2 > 0 — некоторая постоянная. Разложим U(z, Z) в степенной ряд по степеням Z: U(z, Z) = Ua(z)Zа. Пользуясь неравенством Коши для коэффициентов степенного

ряда, неравенством (4), леммой 3, равенством (справедливым ввиду логарифмической выпуклости последовательности M)

. exp(wo(r)) 1

mf-= тт, pe^i, 5

r>0 rP Mp + v 7

получим для целой функции оценку

н

По теореме 2 существуют функционалы € (Ате(О))* такие, что = Так как множество {М^ ^ Ц«}аейп ограничено в Е4га+1, а значит, ив Е, то в силу теоремы 2 множество В = {М^^4""^ограничено в (Ате(О))*. Но тогда существуют числа I € Ъ+ и сз > 0 такие, что

(6)

Н

Действительно, в противном случае для каждого j € N найдутся функционал МН +4П+1) € В и функция / € А~(П) такие, что

(/?•)! > • К'1

Определим функции ^'(¿О = ^ , г € Сга. Поскольку для любых т € и / € имеем дт(/) ^ 5т+1(/), то ^(ф^) — 0 при j — то. Таким образом, ф^- — 0 в при j — то и, значит, множество В = {ф^- }°=1 ограничено в Ате(О). Так как В — ограниченное множество в (Ате(О))*, то найдется число / > 0 такое, что В С /В°, где В° — поляра множества В в (Ате(О))'. Таким образом, для любых ¥ € В и ф € В имеем |¥(ф)| ^ Между тем, М|0?+4га+1)Да.(ф^-) — то при j — то, так как

" 7Ш) ^

Итак, неравенство (6) доказано. Отметим, что согласно ему при любом а € для всех / € Аэд(П) справедливо неравенство

М-(т+5га+1+2)

< сЗРт+5п+1+2(л 'а(':и+1) • ^

н

Положим теперь ^(/) = ^|а|^0 ), / € Ам(О). В силу неравенства (7) и след-

ствия 2 функционал ^ является линейным непрерывным на Ам(О). Очевидно, ^ = ¥. Таким образом, отображение Ь сюръективно.

Покажем, что отображение Ь взаимно однозначно. Пусть для Т € (Ам(О))' имеем Т = 0. Покажем, что Т(/) = 0 для любого / € Ам(О). Так как Т — линейный непрерывный функционал на Ам(О), то при некоторых т € N С4 > 0 имеем

|Т(/)| < С4Рт(/), / € Ат(О).

Воспользовавшись леммой 2, представим функционал Т в виде:

Т(/)= £ Т«(£а/), / € Ам(О),

где Та € Л*(П), причем для норм ||Та|функционалов Та имеем

н

Отсюда получаем, что Т(г) = £Та(г)га для любого г € Сп, причем, для целых функций Та справедлива оценка

С4б

-7—\—) " с

г(т) +

|Г«(*)| <-Ц-*-, (8)

н

Рассмотрим целую функцию Б (и, г) = £ а >0 Та(г)иа, г,и € Сп. Пользуясь неравен-

,а

/|а|>0

ством (8) и следствием 2, для (и, г) € С2п имеем

Ы|а|

№,г)| < с4ея«(г) ^ ^у < с4с5еНп(г)+и'т+"+1(Н"),

М (т) |а|>0 М|а|

М (т+п+1)

где Сб = —(т)—• Отметим, что Б(г, г) = 0 для любого г € Сга, и функции Яп и

wm+n+1 удовлетворяют условиям теоремы 3 (в силу неравенств (2) и (3)). Поэтому существуют функции Б1,... ,Бп € Н (С2п) такие, что Б (и, г) = £ п=1 б.; (и, г)(щ — гj) ((и, г) € С2п) и при некотором р € М, не зависящем от Б,

Г |Бj(и, г)|2

I е2(Яп (г)+™ т + п + 1 ( |и|п )+р 1п(1+||К*)||))

С2п

¿Л2п(и,г) < то, j = 1,... ,п.

Отсюда, пользуясь плюрисубгармоничностью функций Б(и, г)| в С2п, неравенствами (2) и (3), получаем, что при некотором Сб > 0

|Бj (и, г)| < Сб(1 + ||(и,г)||)р еНп(г)+адт+"+1(|и|п), (и, г) € С2п, j = 1,...,п. Следовательно, при некотором С7 > 0

|Бj (и, г)| < С7(1 + ||г||)р ея«(г)+адт+"+р+1(|и|"), (и, г) € С2п, j = 1,...,п. (9) Разложим Бj в степенной ряд по степеням и:

Бj (и, г) = Б.^)^, (и, г) € С2п, j = 1,...,п.

|а|>0

Пользуясь неравенством Коши для коэффициентов степенного ряда, неравенством (9) и равенством (5), получим

С7(1 + ||г||)р ея«(г)

|Б,>(г)| <

М (т+п+р+1)

N

По теореме 2 существуют функционалы Ф^ € (Лте(0))* такие, что — Б.,«. Ввиду последнего неравенства семейство {Б-,)аМ|((т+п+Р+1)}j=1 п ограничено в Е. Значит (снова по теореме 2), семейство В = {м(т+п+Р+1)Ф.7>}аейп j=1 п ограничено

в (Лте(0))*. Но в таком случае (как было показано ранее) найдутся числа г € Ъ+ и С8 > 0 такие, что при любых а € и ] = 1,... ,п

(10)

N

Для а € с отрицательными компонентами, ] = 1,... ,п пусть Ф.,« — нулевой функционал из (Лте(0))*, ^«(г) = 0 для г € Сп. Тогда для (и, г) € С2п имеем

п

Б(и,г) = Е Е (^(«ь...,^ — 1,...,ап) (г) - ^ДФ.)и". .= 1 |«|^0

Отсюда в силу теоремы 2 получаем, что

д

,=1 4 4 ?

Тв(г) = Е .....^-х.....«„) (*) ~ ш (е^) )) , г € Сп.

Снова пользуясь теоремой 2, имеем

д

ТМ) = Е (г ........ I......,.(/) - Ф*« > / 6

Поэтому для / € Лэд(П)

Т(/) = Е Е ( ^(«Ь...,«,-!,...^)^/) - Ф^а (

|а|^0 ,=1 4

Для N € N и j = 1,... ,п определим множества

БИ = {а = (а1,..., а«) € Ъп : а1 ^ N.....ап ^ N}, = {а = (аь ..., ап) € Ъп : а1 < N.....а. = N.....ап < N}, определим функционал Т^ на Лш(0) по правилу

ТМ/) = Е Е (г.......- '....." " Ф^а

Тогда Т(/) = Иш^^те ТN(/), / € Лэд(П). Легко видеть (см. доказательство теоремы 2 в [11]), что

п д

.=1 вея^ 4 ?

Пользуясь по ходу неравенством (10), для любых / € Аэд(П) и в € имеем

тм/) = - Е Е /е«-

,-=1 . \дА? /

,=1вея^

<

вир к^^р/з/))^)) п итмм

Еу^ Аеп,|«Кг_^__ул ул РзКРМ\р\+г+1

,=1 вея^ м|в| ,=1 вея^ м|в|

М,^ +1 V- М в-г—1)

м(т+п+Р+1) 8 5 м(т+п+Р+1) '

|в|^ М|в| |в|^ М|в|

Положим теперь = тп + 2п + р + г + 3. При этом значении ряд Х,|/з|>о —(т+п+Р+1)

сходится (согласно следствию 2). Отсюда и из последнего неравенства следует, что для любого / € Ащ(О) Т^(/) — 0 при N — то. Таким образом, Т(/) = 0 для любого / € Ам(О).

Итак, Ь — линейное непрерывное взаимно однозначное отображение пространства АщЩ(О) на Рщ. По теореме об открытом отображении [18, теорема 3.2], [19, приложение 1, теорема 2] Ь осуществляет топологический изоморфизм между АщЩ(О) и Рщщ. >

Благодарность. Выражаю искреннюю признательность рецензентам за внимательное прочтение рукописи и ценные замечания.

Литература

1. Державец Б. А. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами в пространствах аналитических функций многих комплексных переменных: Дисс. на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук.—Ростов н/Д: РГУ, 1983.—102 с.

2. Musin I. Kh. Spaces of functions holomorphic in convex bounded domains of Cn and smooth up to the boundary // Advances in Mathematics Research.—New York: Nova Science Publishers, 2002.—P. 63-74.

3. Петров С. В. Существование абсолютно представляющих систем экспонент в пространствах аналитических функций // Изв. вузов. Сев.-Кавк. рег. Естеств. науки.—2010.—№ 5.—С. 25-31.

4. Исаев К. П. Представляющие системы экспонент в проективных пределах весовых подпространств A^(D) // Изв. вузов. Математика.—2019.—№ 1.—С. 29-41. DOI: 10.26907/0021-3446-2019-1-29-41.

5. Абанин А. В., Петров С. В. Минимальные абсолютно представляющие системы экспонент в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью // Владикавк. мат. журн.— 2012.—Т. 14, № 3.—С. 13-30.

6. Dyn'kin Е. М. Pseudoanalytic extension of smooth functions. The uniform scale // Amer. Math. Soc. Transl.—1980.—Vol. 115, № 2.—P. 33-58.

7. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент.—М.: Наука, 1976.—536 с.

8. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы // Успехи мат. наук.—1981.—Т. 36, № 1.—С. 73-126.

9. Neymark M. On the Laplace transform of functionals on classes of infinitely differentiable functions // Ark. Math.—1969.—Vol. 7, № 6.—P. 577-594. DOI: 10.1007/BF02590896.

10. Taylor B. A. Analytically uniform spaces of infinitely differentiable functions // Commun. on Pure and Appl. Math.—1971.—Vol. 24, № 1.—P. 39-51.

11. Musin I. Kh., Yakovleva P. V. On a space of smooth functions on a convex unbounded set in admitting holomorphic extension in Cn // Central European Journal of Mathematics.—2012.—Vol. 10, № 2.— P. 665-692. DOI: 10.2478/s11533-011-0142-8.

12. Себаштьян-и-Сильва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // Математика. Сб. переводов.—1957.—Т. 1, № 1.—С. 60-77.

13. Жаринов В. В. Компактные семейства ЛВП и пространства FS и DFS // Успехи мат. наук.— 1979.—Т. 34, № 4.—С. 97-131.

14. Валирон Ж. Аналитические функции.—М.: Гостехиздат, 1957.—235 с.

15. Эдвардс Р. Е. Функциональный анализ. Теория и приложения.—М.: Мир, 1969.—1070 с.

16. Мусин И. Х. О преобразовании Фурье — Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций // Мат. сб.—2000.—Т. 191, № 10.—С. 57-86. DOI: 10.4213/sm516.

17. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 2. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами.—М.: Мир, 1986.—456 с.

18. Напалков В. В. Уравнения свертки в многомерных пространствах.—М.: Наука, 1982.—240 с.

19. Робертсон А. П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространства.—М.: Мир, 1967.— 260 с.

Статья поступила 8 мая 2020 г. Мусин Ильдар Хамитович

Институт математики с вычислительным центром УФИЦ РАН,

ведущий научный сотрудник

РОССИЯ, 450008, Уфа, ул. Чернышевского, 112

E-mail: [email protected]

https://orcid.org/0000-0003-2659-1147

Vladikavkaz Mathematical Journal 2020, Volume 22, Issue 3, P. 100-111

ON A SPACE OF HOLOMORPHIC FUNCTIONS ON A BOUNDED CONVEX DOMAIN OF Cn AND SMOOTH UP TO THE BOUNDARY AND ITS DUAL SPACE

Musin, I. Kh.1

1 Institute of Mathematics with Computing Centre UFRC RAS, 112 Chernyshevsky St., Ufa 450008, Russia E-mail: [email protected]

Abstract. A locally convex space of holomorphic functions in a convex bounded domain of multidimensional complex space and smooth up to the boundary is considered in the article. The topology of this space is defined by a countable family of norms constructed with a help of some special logarithmically convex sequences. Due to conditions on the indicated sequences this space is a Frechet-Schwartz space. The problem of description of the strong dual for this space in terms of the Laplace transforms of functionals is studied in the article. Interest in the problem is connected with the researches by B. A. Derjavets devoted to classical problems of theory of linear differential operators with constant coefficients and the researches by A. V. Abanin, S. V. Petrov and K. P. Isaev of modern problems of the theory of absolutely representing systems in various spaces of holomorphic functions with given boundary smoothness in convex domains of complex space with a help of obtained by them Paley-Wiener-Schwartz type theorems. The main result of the article is Theorem 1. It states that the Laplace transformation establishes an isomorphism between the strong dual for functional space under consideration and some space of entire functions of exponential type in Cn which is an inductive limit of weighted Banach spaces of entire functions. Note that in this case an analytic representation of the strong dual space is obtained under the less restrictions on the family M than in an article of the author published in 2002. In the proof of Theorem 1 we apply the scheme taken from M. Neymark and B. A. Taylor. Also some previous results of the author are essentially used.

Key words: Laplace transform, entire functions, logarithmically convex sequence.

Mathematical Subject Classification (2000): 32A10, 46E10.

For citation: Musin, I. Kh. On a Space of Holomorphic Functions on a Bounded Convex Domain of Cn and Smooth Up to the Boundary and its Dual Space, Vladikavkaz Math. J., 2020, vol. 22, no. 3, pp. 100-111 (in Russian). DOI: 10.46698/t9892-7905-1143-o.

References

1. Derjavets, B. A. Differencial'nye operatory s postoyannymi koefficientami v prostranstvah analiticheskikh funkcij mnogikh kompleksnykh peremennykh: Diss. na soiskanie uchenoj stepeni kandidata fiz.-mat. nauk [Differential Operators with Constant Coefficients in Spaces of Analytic Functions of Several Complex Variables], Thesis, Rostov-on-Don, RSU, 1983, 102 p. (in Russian).

2. Musin, I. Kh. Spaces of Functions Holomorphic in Convex Bounded Domains of Cn and Smooth up to the Boundary, Advances in Mathematics Research, New York, Nova Science Publishers, 2002, pp. 63-74.

3. Petrov, S. V. Existence of Absolutely Representing Systems of Exponentials in Spaces of Analytic Functions, Izvestiya Vuzov. Severo-Kavkazskii Region. Estestv. nauki [Bulletin of Higher Education Institutes. North Caucasus Region. Natural Sciences], 2010, no. 5, pp. 25-31 (in Russian).

4. Isaev, K. P. Representing Systems of Exponentials in Projective Limits of Weigth Subspaces of (D), Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat, 2019, no. 1, pp. 29-41 (in Russian). DOI: 10.26907/0021-3446-2019-129-41.

5. Abanin, A. V. and Petrov, S. V. Minimal Absolutely Representing Systems of Exponential Functions in Spaces of Analytic Functions with Given Boundary Smoothness, Vladikavkazskij matematicheskij zhurnal [Vladikavkaz Math. J.], 2012, vol. 14, no. 3 pp. 13-30 (in Russian).

6. Dyn'kin, E. M. Pseudoanalytic Extension of Smooth Functions. The Uniform Scale, Amer. Math. Soc. Transi., 1980, vol. 115, no. 2, pp. 33-58.

7. Leont'ev, A. F. Ryady eksponent [Rows of Exhibitors], Moscow, Nauka, 1976, 536 p. (in Russian).

8. Korobeinik, Yu. F. Representing Systems, Russian Math. Surveys, 1981, vol. 36, no. 1, pp. 75-137. DOI: 10.1070/RM1981v036n01ABEH002542.

9. Neymark, M. On the Laplace Transform of Functionals on Classes of Infinitely Differentiable Functions, Ark. Math., 1969, vol. 7, no. 6, pp. 577-594. D0I:10.1007/BF02590896.

10. Taylor, B. A. Analytically Uniform Spaces of Infinitely Differentiable Functions, Commun, on Pure and Appl. Mathematics, 1971, vol. 24, no. 1, pp. 39-51.

11. Musin, I. Kh. and Yakovleva, P. V. On a Space of Smooth Functions on a Convex Unbounded Set in Admitting Holomorphic Extension in Cn, Central European Journal of Mathematics, 2012, vol. 10, no. 2, pp. 665-692. DOI: 10.2478/s11533-011-0142-8.

12. Sebashtyan-i-Silva, Zh. Some Classes of Locally Convex Spaces that are Important in Applications, Matematika, Sbornik perevodov [Maths. Collection of Translations], 1957, vol. 1, no. 1, pp. 60-77.

13. Zharinov, V. V. Compact Families of Locally Convex Topological Vector Spaces, Frechet-Schwartz and Dual Frechet-Schwartz Spaces, Russian Math. Surveys, 1979, vol. 34, no. 4, pp. 105-143. DOI: 10.1070/RM1979v034n04ABEH002963.

14. Valiron, G. Analiticheskie funkcii [Analytic Functions], Moscow, Gostekhizdat, 1957, 235 p. (in Russian).

15. Edwards, R. E. Functional Analysis. Theory and Applications, New York-Toronto-London, Holt, Pineart and Winston, 1965, 781 p.

16. Musin, I. Kh. Fourier-Laplace Transformation of Functionals on a Weighted Space of Infinitely Smooth Functions, Sb. Math., 2000, vol. 191, no. 10, pp. 1477-1506. DOI: 10.4213/sm516.

17. Hormander, L. The Analysis of Linear Partial Differential Operators II. Differential Operators with Constant Coefficients, Berlin, Springer Verlag, 1983, 389 p.

18. Napalkov, V. V. Uravneniya svertki v mnogomernykh prostranstvakh [Convolution Equations in Multidimensional Spaces], Moscow, Nauka, 1982, 240 p. (in Russian).

19. Robertson, A. P. and Robertson, W. J. Topological Vector Spaces, Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1964, 158 p.

Received May 8, 2020 Ildar Kh. Musin

Institute of Mathematics with Computing Centre UFRC RAS,

112 Chernyshevsky St., Ufa 450008, Russia,

Leading Researcher

E-mail: [email protected]

https://orcid.org/0000-0003-2659-1147