О ПРЕОБРАЗОВАНИИ ФУРЬЕ-ЛАПЛАСА ОДНОГО КЛАССА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 12. № 4 (2020). С. 80-91.

УДК 517.982.3

О ПРЕОБРАЗОВАНИИ ФУРЬЕ-ЛАПЛАСА ОДНОГО КЛАССА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ

И.Х. МУСИН

Аннотация. Рассматривается подпространство пространства Шварца бесконечно дифференцируемых быстро убывающих функций в неограниченной замкнутой выпуклой области многомерного вещественного пространства с топологией, определяемой счетным семейством норм, образованных при помощи семейства M логарифмически выпуклых последовательностей положительных чисел. Благодаря условиям на указанные последовательности данное пространство является пространством Фреше-Шварца. Изучается задача описания сильного сопряженного для этого пространства в терминах преобразования Фурье-Лапласа функционалов. Частные случаи этой задачи рассматривались Роевером в ходе исследования проблем математической физики, комплексного анализа в рамках развитой им теории ультрараспределений с носителями в неограниченном замкнутом выпуклом множестве, а таже П.В. Яковлевой (Федотовой) и автором. Основной результат работы, полученный в Теореме I, утверждает, что преобразование Фурье-Лапласа линейных непрерывных функционалов устанавливает изоморфизм между сильным сопряженным к рассматриваемому функциональному пространству и пространством голоморфных функций в трубчатой области вида К""+iC, где С - открытый выпуклый острый конус в К"- с вершиной в начале, с определенными мажорантами роста на бесконечности и вблизи границы трубчатой области. Данная работа также примыкает к исследованиям B.C. Владимирова, посвященным теории преобразования Фурье-Лапласа распределений медленного роста и пространствам функций, голоморфных в трубчатых областях. При доказательстве Теоремы I используются схема, предложенная М. Наймарком и Б.А. Тейлором, и ряд предыдущих результатов П.В. Яковлевой (Федотовой) и автора, относящихся к теоремам типа Пэли-Винера-Шварца для ультрараспределений.

Ключевые слова: преобразование Фурье-Лапласа функционалов, голоморфные функции.

Mathematics Subject Classification: 32А15, 42В10, 46Е22, 47ВЗЗ

1 15 И К. (Kl III к

1.1. О задаче. Пусть С - открытый выпуклый острый конус в К"" с вершиной в начале [1, глава 1, §4], b - выпуклая непрерывная позитивно однородная степени 1 функция на С - замыкании С. Пар а (b, С) определяет замкнутое выпуклое неограниченное множество

U(Ь,С) = (С е К™ : -(£,у) < Ь(у), Уу е С},

не содержащее целую прямую. Отметим, что внутренность U(Ь, С) непуста и совпадает с множеством

У(Ь,с) = (£ е : -((,у) <Ь(у), Уу е С},

I.Kh. Musin,On Fourier-Laplace transforms of a class of generalized Functions.

© Мусин И.Х. 2020.

Работа выполнена в рамках реализации программы развития Научно-образовательного математического центра Приволжского федерального округа, дополнительное соглашение № 075-02-2020-1421/1 к соглашению № 075-02-2020-1421.)

Поступила 3 сентября 2020 г.

а замыкание V(Ь,С) есть U(Ь,С).

Пусть M = {М(m)}meM _ семейство неубывающих логарифмически выпуклых последовательностей М(т) = М0т) = 1 таких, что для каждого m £ N

м(™1+1) nh sup +m) < +те, kez+ мк

м (rr+1) i2) lim к (rr) = 0, 2 м(кт)

. i f(rn)\ к

i 3). lim > 0.

к^-те V /

С каждой последовательностью М(т) свяжем функцию шт : [0, те) ^ [0, те) по правилу:

fc

Ыт(г) = sup ln—j-г , Г > 0; Шт(0) = 0.

kez+ М(т

Обозначая для краткости множество U(Ь, С) через U, а множество V(b, С) - через V, определим пространство Gm(U) следующим образом. Для каждого т £ N введём пространство Gm(U), состоящее из функций f класса Сте на U с конечными нормами

*.<л= sup |( м>т.

+ N

В силу условия г2) пространство Gm+i (U) непрерывно вложено в Gm(U) для каждого т £ N.

те

Положим Gm(U) = Gm(U). С обычными операциями сложения и умножения на комплексные

т=1

числа Gm(U) - линейное пространство. Наделим Gm(U) топологией проективного предела пространств Gm(U). Очевидно, Gm(U) - пространство Фреше, непрерывно вложенное в пространство Шварца S(U) быстро убывающих функций класса Сте на U.

Хорошо известно, что для любого z £ Тс = R"" + гС функция fz(£) = ,z принадлежит пространству S (U) [1], [2]. Так же, fz £ Gm(U ) (Лемма 4). Поэтому для любого линейного непрерывного функционала Ф на S(U) (Gm(U)) в области Тс корректно определена функция Ф - преобразование Фурье-Лапласа функционала Ф, определяемая по формуле Ф(г) = (Ф, ,zz £ Тс-При дополнительных предположениях о семействе M пространство Gm(U) и сильное сопряженное к нему пространство G*M(U) изучалось Роевером (J. W. de Roever) [2] в связи с исследованием проблем математической физики (квантовая теория поля), комплексного анализа (разрешимость уравнений и систем уравнений свертки, теория интерполяции, Фундаментальный Принцип Паламодова-Эренпрайса) в рамках развитой им теории ультрараспределений с носителями в неограниченном замкнутом выпуклом множестве. В частности, он получил описание пространства GM(U) в терминах преобразования Фурье-Лапласа функционалов для случая, когда семейство M состоит го последовательностей М(т) гада (е^^Мк)£=o> гДе (£т)т=1 ~ произвольная убывающая к нулю последовательность положительных чисел ет, а М = (М&)£=o _ неубывающая логарифмически выпуклая последовательность положительных чисел с Мо = 1, удовлетворяющая при некоторых h > 0 и К > 0 условиям: i4) Мр+д < hP+МрМд, р, q £ Z+;

V t ММг ^Kp^h , р£ N

как некоторого подпространства пространства Н (Тс) голоморфных функций в трубчатой об-Тс

точно, из его результатов [2, Теоремы 2.21.Н, 2.24.Н] следует, что GM(U) изоморфно проективному пределу пространств Нс1>е (е > 0, С1 - конус, компактный в конусе С), где Нс1>е есть индуктивный предел пространств

нт = 1 f£H (Тс,): Mid = sup u [{(z)fnn, < те] , т £ N.

Заметим, что из условия 14) следует, что последовательность М удовлетворяет условию

iв). существуют числа Н1 > 1, Н2 > 1, что Мк+1 ^ Н\Н!^Мк, Ук £ Z+, а из г5) вкупе с логарифмической выпуклостью следует, что для М выполнено условие i7). при некоторых Qi > 0 и Q2 > 0 Мк ^ QiQ^k!, к £ Z+.

При тех же предположениях о виде семейства M теорема типа Пейли-Винера-Шварца для пространства Gm(U) была получена в [3] при меньших ограничениях на М. А именно, условия ¿4) и г 5) заменялись условиями г в ) и г 7). Таким образом, в [3] последовательность М могла быть и квазианалитической. Кроме того, учитывая, что определение пространств Gm(U) не зависит от выбора последовательности (ет)'=i> можно считать, что ет = Н-т {т £ N). И тогда семейство последовательностей {(е^Мк)'=0}meN удовлетворяет условию ii). С другой стороны, если (£m)"=l -произвольная убывающая к нулю числовая последовательность, М = (Мк)'=о — произвольная последовательность положительных чисел и семейство последовательностей {(e^mМк)'о}тем удовлетворяет условию ii), то последовательность М при некоторых Н1 > 1, Н2 > 1 удовлетворяет условию гв)).

Цель настоящей работы - описать пространство GM(U) в терминах преобразования Фурье-Лапласа функционалов в предположении, что семейство M состоит из неубывающих логарифмически выпуклых последовательностей М(т) = (М1(т">)'=о с М^т) = 1, которые помимо условий h), i2), h) удовлетворяют условию

гg). каково бы ни было т £ N для каждого к £ Z+ существует чиело I = 1(т,к) £ N такое,

м (т + 1)

J N+fc ^

ЧТ0 Ъ Um) <

Н^о м\а\

Отметим, что семейства {(e^mМк)'=0}тем го работ [2], [3] удовлетворяют условиям ii), i2), i3),

g)

1.2. Обозначения. Для а = (а1,..., ап) £ Z+, х = (хi, ..., хп) £ К™

д N

|а| = а1 + ... + ап, а! = а^. ■ ■ ■ ап\, Da =

дхЧ1 ■■■дх°

Для u = (ui,..., um) £ Rm(Cm),v = (v i,..., vm) £ Rm(Cm) полагаем

{u, v) =UiVi +-----hUmVm, ||u|| = J lu^2 +-----+ lUm^, Mm =max luj I.

i^j^m

Полидиск [х = (Х\,..., хп) £ Сп : \г\\ ^ 1,..., \хп\ ^ 1} обозначим через П. Для г > 0,г £ Ст пусть В (г, г) = {£ £ Ст : \\£ — х\\ ^ г}.

Хт - мера Лебега в £т, Тс =: К"" + гС, Ас (у) - расстояние от точки у £ С до границы С, й(х)

- расстояние от г = х + г у £ Т? до границы Тс-

Для локально выпуклого пространства X через X' обозначаем пространство линейных непрерывных функционалов на X, через X* - сильное сопряжённое пространство.

Всюду далее М - семейство неубывающих логарифмически выпуклых последовательностей М(т) = (М^)Ч=0 с М(т) = 1 (т £ удовлетворяющих условиям г\) — ), г8). 5(и) - пространство Шварца С^(и)-функций / таких, что для любого р £

\\пр>и = жр \(БаЛ(х)\(1 + \\х\\у < ж,

Бр(и) - пополнение 5(и) по норме \\ ■ \\ри.

С (К) - пространство непрерывных функций на компакте К С К™ с обычной топологией, Н (О)

- пространство голоморфных в области О Q Сп функций с топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах О.

1.3. Основной результат и организация работы. Для каждого т £ N определим нормированные пространства

> = {'£ НТ>: = + ^Г' < 4 '

оо

где z = х + г у, х g Rn,y s С. Пусть Нь,ш(Тс) = U Нь,т(Тс )• С обычными операциями сложе-

т=0

ния и умножения на комплексные числа Нь,ш(Тс) - линейное пространство. Наделим Нь,ш(Тс) топологией индуктивного предела пространств Нь,т(Тс). Основной результат данной заметки - следующая теорема.

Теорема 1. Преобразование Фурье-Лапласа устанавливает, изоморфизм пространств GM(U) и Нь,ш(Тс)•

Доказательство Теоремы 1 основано на идеях М. Наймарка [4] и Б.А. Тейлора [5], использует ряд результатов из [6] и приведено в разделе 3. Оно изложено в достаточно сжатой форме так, как проводится по той же схеме, что и доказательство Теоремы 2 в [3]. Можно также заметить, что в процессе доказательства Теоремы 1 показано, как устранить ряд пробелов в доказательстве Теоремы 2 из [3]. Раздел 2 посвящен вспомогательным результатам.

2. Вспомогательные результаты

Напомним, что пространство, пред ставимое в виде проективного предела последовательности нормированных пространств Sn, п g N, относительно линейных непрерывных отображений дтп : Sn ^ Sm, т < п, таких, что дп,п+\ вполне непрерывно для каждого п, называется пространством (М*) [7]. Пользуясь теоремой Арцела-Асколи и условием г2), легко доказать следующее уьверждение.

Лемма 1. Пространство Gm(U) - пространство (М*).

Таким образом, Gm(U) является пространством Фреше-Шварца [8].

Далее понадобится общий вид функционала из GM(U). В связи с этим введём пространство Сщ(и) как проективный предел пространств

Ст(и) = {f G С(U) : Pm(f) = sup |Дх)|(1 + ||х||)т < ж}, т g N.

хеи

По известной схеме (см. [5, Предложения 2.10, 2.11, Следствие 2.12]) с использованием условия 2)

Лемма 2. Пусть функционал Т g G'm(U), числа, с > 0 и т g N таковы, что

|(Т, /)| ^СРт(f), f G Gm(U). Тогда, найдутся функционалы Та g С'т(U) (a g Z+) т,а,кие, что

1(Та,/ )| < , f gСm(U),

U

(Т, /)= ^ (Та,Оаf), f gGm(U).

Лемма 3. Для любого т g N существует постоянная, q^ 0 такая, что

■т(г) + ln(1 + г) ^"Шт+1(0 + Q, Г ^ 0.

т g N > 0

rk+l rk+l М^

■Шт^+Ыг = sup ln~^ = suP ln (т+1)-+тГ

kez+ Мкт) kez+ Мк+т+1) Мкт)

гк+1 М^1 М^

^ йир 1п (т+1) + йиР 1п-Ъг ^ ™ш+1(г) + йиР 1п-+п)

кеъ+ мк++1) кеъ+ Мкт) кеъ+ мкт)

Отсюда, принимая во внимание условие ¿1), легко следует утверждение леммы. □

Лемма 4. Пусть Б е С'ш(и). Тогда Б е Нь,ш(Тс)•

Доказательство. Отметим вначале, что если z = х + iy Е Тс (х Е Rn,y Е С), то функция fz(£) = е1^'^ принадлежит пространству Gm(U). Действительно, для любого т Е N

Ы U )= + иг

СеУ'аещ М,

(т)

N

ыН

< sup —supexp(—({, y) + т ln(l +

+ H

= exp(wm(\z\n) + sup(-(£, y) + т ln(1 +

sup(-(Z, y) + т ln(1 + U\\)) < b(y) + dm + 3т l^l + ^yy) +2т ln(1 + \\y\\). (1)

/ i \:im

Prn(fz) < Ae"^3™^ 1 + ^yy) ,

(2)

Известно [3, Лемма 1], что найдётся число й> 0, не зависящее от у, такое, что

1

....... ' ^ """ ' ' 1 ас(у).

Пользуясь этим неравенством и леммой 3, получаем окончательную оценку

3т

^с (уX

где А - некоторая положительная постоянная, не зависящая от г € Тс- Таким образом, /г € Ож(и) и если 5 € ), то на Тс корректно определена функция З(г) = (Б, Поль-

зуясь леммой 2 и условием г8), легко показать, что Б) € Н(Тс)■ Далее, найдутся числа т € N и с > 0 такие, что

)| < срт(/), / €Сш(и).

Отсюда и из (2), получаем

3т

^С (У),

Следовательно, € Нь,м(Тс)■ □

/ 1 V

\S(z)\ < cAeb(y)+M3m(lzln) ( 1 + J

Стандартные рассуждения с применением теоремы Монтеля и леммы 3 убеждают, что для каждого т Е N вложения jm : Н^,т(Тс) ^ Hbm+i(Tc) вполне непрерывны. Это означает, что Нь,ж(Тс) - пространство (LN*) [7] или, придерживаясь более современной терминологии, - пространство DFS [8].

В ходе доказательства Теоремы 1 при переходе от интегральных весовых оценок голоморфных функций в трубчаиой области Тс к равномерным будет применяться следующая лемма f6, Lemma

9]-

Лемма 5. Пусть К - открытый выпуклый конус в К™ с вершиной в начале. Пусть h -выпуклая непрерывная позитивно однородная, степени 1 функция на замыкании конуса К. Тогда, для, любого е > 0 существует постоянная As > 0 такая, что

\h(y2) - h(yi)\ < е\\yi\\ + е\\y2\\ + A£ для, любых yl, y2 Е К таких, что \\y2 — yl\\ ^ 1.

3. Описание пространства G*M(U)

3.1. Три важных результата. Приведем вначале три результата, играющих ключевую роль при доказательстве теоремы 1. Первый результат - это теорема Пейли-Винера-Шварца для пространства S(U), полученная в [3] по схеме из [1]. Она будет применяться при доказательстве биективности преобразования Фурье-Лапласа. Для ее формулировки определим пространство Vb(Tc) следующим образом. Для каждого т Е N определим нормированные пространства

( I f( z)\ р-ь(у)

v-'T"' - " ': N-"<=s a* ■!а г • -

,

где z = х + гу, х G Rn, у G С. Пусть Уь(Тс) = U00=о Уь,т(Тс)• С обычными операциями сложения и умножения на комплексные числа Уь(Тс) - линейное пространство. Наделим Уь(Тс) топологией индуктивного предела пространств Уь,т(Тс)•

Теорема 2. Преобразование Фурье-Лапласа F : S*(U) ^ Уь(Тс), задаваемое по правилу F(Т) =Т, - изоморфизм.

Для Ь(у) = аЦуЦ (а ^ 0) Теорема 2 доказана B.C. Владимировым [1, с. 170]. Второй необходимый нам результат установлен Роевером [2, Теорема 3.1]. Он будет использован при доказательстве сюръективности преобразования Фурье-Лапласа.

Теорема 3. Пусть линейное подпространство в Cn размерноети п — к задано с помощью линейных функций в1 = s1 (9k+1,..., вп),..., 9k = sk (&k+1,..., 9 n) или коротко w = s(z), w G Ck,z G Cn-k. Пусть Q1 С Q2 С Q - области голоморфности в Cn такие, что при некотором е > 0 £-окрестность Q1 по первым к координатам, в полукруговой метрике содержится в Q2, то есть,

{(91,..., On): 193 — 901 < £,j = 1,...,к; 93 = 9°,j = к + 1,...,п; 90 = (9°,..., ^) G Q1} С Q2. Пусть p плюрисубгармоническая функция, на, Q и для, 9 = (9-]_,..., 9n) G Q1 пусть pe(9) = max{p( 91 + ^1,..., 9n + & : | Cj I < e, j = 1,...,k}.

Пусть

Q' = {z G Cn-k : ( s(z), z) G Q}, Q = {z G Cn-k : ( s(z), z) G Q}, j = 1, 2.

Пусть p(z) = p(s(z), z), z G Q'.

Тогда, для, заданной функции f, аналитической в Q' существует функция F, аналитическая в Q1 такая, что F(s(z), z) = f(z), z G Q', и при некотором К > 0, зависящем только от, к и от, S1,..., sk,

l <*> ^-2k ^^ dxn-k (,),

где \n \n-k обозначают меру Лебега в Cn и Cn-k, соответственно. Если правая часть послед-

F , Q1, , p

Теорема 4. Пусть О - область голоморфности в Сп. Пусть к - плюрисубгармоническая функция в О и р - плюрисубгармоническая функция в Сп такая, что при некоторых с^ > 0 и 1У> 0

1({г) -((■£)! < с^, если \\г-Ц\ < (1 + . Пусть функция Б е Н(Сп х О) удовлетворяет неравенству

|3 ( ,г, 01 < е^(')+к(с), ге Сп, Се О,

и 3(С, С) = о для (еО.

Тогда, существуют функции Б1,..., Бп е Н(Сга х О) т,а,кие, что:

п

a) , О = ^, ()(^ - 0), (*, О е Сга х О;

3 = 1

b) при некотором т е Ш, не зависящем от Б,

Г Б(г, С)|2

J е2(^(г)+Ъ(С,)+т ln(1+П П)) €"хО

d\2n(z, О < ж, j = 1,...,п.

Теорема 4 доказана в [6] (см. Лемма 11). Она понадобится при доказательстве инъективности преобразования Фурье-Лапласа.

3.2. Доказательство теоремы 1. Вначале отметим, что в силу леммы 4 линейное отображение Ь : Б е СМт(и) ^ Б действует из ОМ(и) в Ньмш(Тс). Непрерывность Ь устанавливается точно так же, как и в [3, доказательство теоремы 2] .

Ь

Покажем, что Ь - сюръекция. Пусть Р € Нь,<т(Тс)• Тогда, Р € Щ,т(Тс) при некотором т € N.

Учитывая, что й(х) = Ас (у), имеем

I |р(г)12е~2(Ь(1т 1п(1+¿у)+(п+1)1п(1+||2:||2)) ^(^ < ^ ^

.'тс п

Пусть К = К™ х С. Положим в теореме 3 (с заменой п на 2п) О = 01 = 02 = К2"" + Ж- Очевидно, О = 01 = 0,2 = Сп х Тс- В качестве линейного подпространства в этой теореме рассмотрим подпространство

W = {(г, О € С2п : г1 = &,..., гп = £п}

п

О = 0[ = 0'2 = {х € Сга :(г, г) € 0 = Сга х Тс} = Тс.

Далее, в теореме 3 в качестве е возьмем 1, а в качестве р - функцию

12 р(г, 0 = 2(Ъ(!ш0 + шт(Ш + т 1п(1 + —) + (п + 1) 1п(1 + \\(г, ()||2)),

где х = х + гу € Сп, ( € Тс- Отметим, что р(х, () плюрисубгармонична в Сга х Тс и Ввиду (3)

12 р(г) = 2(Ь(1ш г) + шт(\г\п) + т 1п(1 + —) + (п + 1) 1п(1 + 2\\г\\2)), г € Тс.

а(г)

I 1Р(г)\2ей\п(г) < ж.

■)Тс

'Тс

Тогда по теореме 3 существует функция Ф € Н(Сга х Тс) такая, что Ф(х, х) = Р(г) для г € Тс и при некотором В > 0

Г \ф(г, 0\2е ^) а Г ( 2е_ф(,) а

к-хТс (1 + \\(г, 0\2)3га ( , Ц) ]тс ' У П У )

Здесь р1(г, () = т.&хр(% + ^, О- Так как

\ 1п(1 + х2) — 1п(1 + Х2)\ ^ \х2 — Х]\, х1,х2 € К, и при некотором Ьт > 0 для п, Г2 ^ 0 таких, что \Г2 — Т1\ ^ 1 [10, Лемма 1]

т(г2) — -т(г 1)\ ^ Ьт, (4)

то

\р1(г, О —р(г, 0\ < со, (г, () € С хТс, где с0 = 2(п + 1)у/П + 2Ьт. Таким образом,

Г \ф(г, 0\ е ^ а , ^ВеС0 [ \Р(г)\2еа\п(х). (5)

Ус-хтс (1 + \\(г, С)\2)3™ ( , Ц) !тс ^ ^ " ) К '

Правую часть этого неравенства обозначим через Вр. Положив для краткости

1

Ът(х, 0 = 2^Ь(1т()+шт(\г\п)+т ln\l + щjj , г€ Сп, (€ТС,

получим равномерные оценки на Ф( г, (). Пусть (г, () € Сп х Тс и К = шт(1, ). Отметим, что если (Ь ,и) € Сп х Тс принадлежит шару В ((г, (), К), то в силу леммы 5 при некотором Ае > 0

\Ь(!ши) — Ь(1шС)\ < 2е\\ 1ш+ А£ +е;

по неравенству (4) и, очевидно,

\шт(\г\п) — шт(\г\п)\ ^ Ьт,

\ 1п(1 + ,и)\\2) — 1п(1 + \\(г, 0\2)\ < 1;

1М 1 + I — 1п[1+ 1

а( и) а( )

< 5.

4

Пользуясь этими неравенствами, имеем при любом е > 0

1М*,и) + (5п + 2)1п(1 + \\(*,и)\\2) - (кт(х, 0

+ (5п + 2) 1п(1 + \\(,г, 0)\\2)| « 4е\\ 1т(\\ + В£,т,

где В£,т = 2А£ + 2е + + 26т. Пользуясь плюрисубгармоничностью функции |Ф(£, и)|2 в Сп х Тс, неравенством (5) и последним неравенством, получим, что

|ф( г, £) 12 ^ ВР сНт(х,С)+(5п+2)\п(1+\\(х,а\\2)+4е\\ 1т С\\+В£,т .

^2п(Я)

Значит, для любого е > 0 найдется чиело С1 > 0 такое, что для (г, () е Сп х Тс

Ф(г С)| ^ С1еЬ(!т С)+"т(1^|п)+(т+2п)\п(1+^?у )+(5п+2) 1п(1+\\(г,С)\\)+2£|| 1т СУ ^

Так как Ф(г, () - целая по х, то, разлагая Ф(г, () по степеням х, имеем

Ф(г, 0= ^Са(0га, с е Тс, г е Сп.

По формуле Коши

Са(0 = ,0 \ п [ ... [ (, +1 ^ 1... йгп,

(2жг)п .]ы=д ,]1гп1=к г^1... г^1

где а е Ъ+, Я > 0 - любое. Отсюда следует, что Са е Н(Тс). Пользуясь (6), имеем

/ \ т+2п

С1((1 + у/пВ)(1 + \\С\\))5га+2еЬ(1т с)+2е|11тс\\+ш™(д) (1 + ^ )

|С«(0| < -дй-^-^- .

2>0

=> шт+Ъп+2(В) , / 1 \т+2п

1

~ВП е Тс

Шт+5„+2(Я) „ /1 \m+2n

|Са(С)1 < -еь(1т 0+*«Im<П(1 + ||С!)5п+Д 1 + , С G Тс.

( Ршт+Ьп+2(П)\ , /1 \m+2n

|Са(01 < ^2 6 дН ] еь(1т «+2£»Im(1 + ||СУ)5п+Д 1 + ¿у)

(7)

Отсюда, принимая во внимание равенство

gk>m + 5n + 2 1

inf--= —-.———-т- , к = 0,1,...,

r>0 fk м (m+5n+2)

каково бы ни было е > 0 для любых a G Z+, ( G Тс имеем

рь(1т С)+2е|| Im СП / 1 \m+2n

|С«(0| < =2 т (1 + ИГ" ( 1 + -щ-)

Н

Определив для каждого е > 0 функцию Ъ£ на С по правилу Ь£(у) = Ь(у) + еЦуЦ и пространство Уь£ (Тс) _ индуктивный предел нормированных пространств

' I f(z)I е-^

етс (1 + |H|)k(1 + д^у)

где к G Z+, z = х + гу, х G Rn, у G С, видим из последнего неравенства, что для любого a G Z+ функция Са принадлежит пространству Нь(Тс) - проективному пределу пространств Уь£(Тс)•

Ввиду оценки (7) множество "^М^+^+^С« j ограничено в каждом пространстве Уь£(Тс)•

Значит, оно ограничено и в Нь(Тс)• Так как пространство Нь(Тс) совпадает с пространством Уь(Тс) [3, Theorem D] (для случая, когда Ъ(у) = аЦуЦ с а ^ 0 этот факт установлен B.C. Владимировым [1, Глава 2]), то множество {м^+^+^С« j ограничено в Уь(Тс)• Далее, ввиду

изоморфизма пространств S*(U) и Уь(Тс) (Теорема 1) найдутся функционалы Sa G S*(U) такие,

Уь£,т(Тс) Ч / G Н(Тс) : Nk,£(f) = sup ^ , ^ , )k < ж

что Ба = Са, множество Л = будет ограниченным в 5*(и), а значит, и

слабо ограниченным. По теореме Шварца [1, глава 1, §5] найдутся числа Сз > 0 и р € N такие,

\(Р, Л\ < ^\\Л\р,и, Р €А, ¡€Б (и).

Таким образом,

\(5« Л\ < ^2) \\Я,и, 1'€Б(и), а € 2+. (8)

N

Определим функционал Т на Ом(и) по правилу:

(Т, })= £ ( 5«, (—гЛ, } € Сш(и). (9)

Н^о

Покажем, что Т € О'ш(и). Пользуясь неравенством (8), имеем для / € Ом(и), а € натуральных чисел р

\(8«,ОаЛ\ < (т+5п+2) \(Ва+Ч)(х)\(1 + ЫТ

Н

Сз Рш+* (ЛМ^(1 + \\х\\Т

<

М(гп+5п+2) (1 + \\х\\)™+*

М (т+з) ^С3рш+8(Л М(т+5п+2) .

Н

М (т+в)

Пользуясь условием г8) выберем в ^ р так, чтобы сходился ряд ^ —(т+БпР+2) . Значит, каково

бы ни было / € Ом (и) ряд в правой части в (9) сходится абсолютно, причем при некотором с4 > 0, не зависящем от / € Ом(и),

\(т,л\ < сАрт+3(л.

Т

что Т = Р. Таким образом, отображение Ь сюръективно.

Покажем, что отображение Ь инъективно. Пусть для Т € О'ш(и) Т = 0. Найдутся числа т € N и С5 > 0 такие, что

\(Т, Л\ < с5рт(Л, ¡€Сш(и).

По лемме 2 найдутся функционалы Та € С'т(и) (а € 2+) такие, что

(Т, Л= Е (Т«,°аЛ, / €Ом(и),

ае%+

и

\(Та, д)\ ^-*рт(д), д € Ст(и). (10)

ЧУ

Отсюда для любого г € Тс имеем

Т(Л = ^ г1а1(Та, е^'х)). ае%+

Пусть V«(г) = г^а^(Та, е^^). Очевидно V« € Н(Тс)■ Пользуясь неравенствами (10) и (1), имеем

(1 \ 3т

1 + АЖ)) ^ (П)

где постоянная > 0 не зависит от г = х + г у € Тс и а. Рассмотрим функцию

Б(и, г)= ^ Va(z)иa, г€Тс, и € Сп.

Воспользовавшись оценкой (11), получим

/ 1 \3т I I Н

IS(и, z)l < ^ 1 + д^) (1 + INI)2" е^ £ Мп

{ 1 \6т

IS(и, z)l < С7еь(уМ 1 + -т-^ I (1 + MI)2»"(Ни) , V Ас (У)/

м (

дс|5т^о М|(ттг

М (т + и)

Пользуясь условием г в), выберем и е Ш так, чтобы сходился ряд ^ —|а(т) . Тогда

М^о м|а|

3т

(1 + II у||)2тр^т + и (| «|п)

А с (у),

(т + и)

где с7 = с6 £ —|а(т) . Отметим, что Б (г, г) = £ = 0 для любого г е Тс- Тогда по

Теореме 4 найдутся функции Б1,..., Бп е Н(€"" х Тс) такие, что

п

Б (*, 0 = Е Б (г, - о), * е €га, Се Тс,

3 = 1

и при некоторых св > 0 и к е Ш для любых ] = 1, 2,... ,п, z е €п, ( е Тс

(г, С)| < с8 ехр(^(|г|га)+Ь(1тС)+к 1п + +к 1п(1 + \\С\\)) . (12)

Разложим Б^- в ряд Тейлора по степеням г:

Б,(г, С) = Е ^«(ОЛ г е €га, С е Тс. |«|^о

Из (12) (действуя точно так же, как и про оценке функций Са) получим

|Б?,«(О| < свехр ( Ь(1тС) + к 1п + +к 1п(1 + \\С\\)) -^щ .

М|a|

Поскольку преобразование Фурье-Лапласа устанавливает топологический изоморфизм между Б*(И) и V(Тс), то найдутся функционалы ф^« е Б* (и)

такие, что 'фj,« — Б^,«. Из последней оценки следует, что множество {Б^М^}«^^ ограничено в V(Тс)• Но тогда множество

Ф = {М|(«г|)ф^,«}«е^+ ^=1,..,п ограничено в Б*(И). А значит, и слабо ограничено. По теореме Шварца [1, глава 1, §5] найдутся числа сд > 0 и р е Ш такие, что

|(*»| < С9|\\р\\|р,и, ^ е Ф, р еБ(И).

Таким образом,

|(Ф№ /)| ^-^щУ^и, /еБ(И), а е з = 1,...,п. (13)

Для ] = 1,... ,пи а = (а1,..., ага) е хотя бы с одной отрицательной компонентой пусть Ф^« ~ нулевой функционал из Б*(И) и Б^°«(х) = 0, Уг е €п. Тогда

п

Б(*, 0 = ЕЕ (Бз,(«г,..„«3-1,...,«„)(0-Б,,«(00 )Л ге €п, (еТс.

3=1 |«|>о

Следовательно,

п

V«(О = Е(Б,(«,...,«,-!,...,«„)(0 - Б3,а(00), а е .

3 = 1

То есть

V« (0 = Е (фА(а1,..,а,-1,...,а^)(0 + i (ф*а, Щ (^, 0))) .

Это означает, что правая часть в последнем равенстве - преобразование Фурье-Лапласа функционала, действующего по правилу:

f € 5(и) ^ Е (ф„..^ Л + г (ф^ .

Значит,

(Та, Л = (—г)Н Е ( г (ф^, JLf) + (*3,(ai,...,aj_u..',an), Л) .

(T,f) = Е (—)Н Е (г J^~Daf) + UaU'..,a3_i,'..,an),Daf)) , f Е Gm(U). Ы ^Q i=i V V 0!;j J J

3=1^

Таким образом,

д

|«| ^о 3=

Для произвольного N € N определим множества

Ви = {а = (а1,...,ап) € Ъп : а1 ^N,...,аn }, Ям^ = {а1 =N,...,0^ ^N,а € 2+}, ] = 1,...,п,

и функционал Тм на Ом(и) по правилу

(Тм,1) = Е (—)Н £ (г (Ф*°, дт^)(*)) + (Ф]'(«1'-'«з-1'-'»п),ва1)) .

Тогда

Как и в [3] убеждаемся, что

(Т, Л= lim (ТМ, Л, f Е Gm(U).

N—s-oo

д

(ТN,л = Е Е (—)Hi(*^,ddr.Daf), fЕGш(u).

j=l aeRN,j

Отсюда, принимая во внимание (13), имеем V f Е Gm(U)

п

№, Л\ < Е Е sup (\(D(ai +Ъ''''Ч +Ъ + 1'''''а*+Ъ) Л(0\(1+ \\<е\)^)).

Каково бы ни было натуральное число v ^ р, для любого V f Е Gm(U) имеем

п М (v) п М(v)

\^N,л\ < Е Е -%)р»(f) sup (М < с9р„(Л Е Е .

7=1 с**,, Мй ^Кр (1 + Ш)"Р U ^ Мй

^ m(v). +1

Пользуясь условием г8), выберем v Е N так, чтобы сходился ряд —(+) • Тогда

м,

\(Тм, Л\ ^пс9р„(Л Е .

1«1>м М|«|

Отсюда следует, что (Тм, f) ^ 0 при N ^ ж. Значит (Т, Л = 0 У/ € Ом(и). Итак, отображение Ь

Ь 1

образом, Ь - топологический изоморфизм. □

а:

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979.

2. De Roever J.W. Complex Fourier transformation and analytic Junctionals with unbounded carriers. Amsterdam, Mathematisch Centrum, 1977

3. Мусин И.Х., Федотова П.В. Теорем,а типа Пэли-Винера, для ультрараспределений // Матем. заметки. 85:6, 894-914 (2009).

4. М. Nevmark. On the Laplace transform of functionalIs on classes of infinitely differentiable functions // Ark. math. 7:6, 577-594 (1969).

5. B.A. Taylor. Analytically uniform spaces of infinitely differentiable functions // Communications on pure and applied mathematics. 24:1 (1971), 39-51.

6. Il'dar Kh. Musin, Polina V. Yakovleva. On a space of smooth functions on a convex unbounded set in Rn admitting holomorphic extension in Cn // Central European Journal of Mathematics. 10:2, 665-692 (2012).

7. Себаштьян-и-Сильва Ж. О некоторых классах локально выпуклых прост,ранет,в, важных в приложениях // сб. пер. Математика. 1:1, 60-77 (1957).

8. Жаринов В.В. Компактные семейства ЛВП и пространства FS и DFS 11 УМН. 34:4, 97-131 (1979).

9. Эдварде Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1972.

10. Мусин И.Х. О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов на весовом простра нет ее бесконечно дифференцируемых функций // Матем. сб. 191:10, 57-86 (2000).

11. Робертсон А., Робертсон В. Топологические вект,орпы,е пространства. М.: Мир, 1967.

Ильдар Хамитович Мусин, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул.Чернышевского, 112, 450077, г. Уфа, Россия

Башкирский государственный университет, 3. Валиди, 32, 450076, г. Уфа, Россия E-mail: musin_ildar®mail .ru