О ПРОСТРАНСТВАХ ГЕЛЬФАНДА-ШИЛОВА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 15. № 3 (2023). С. 91-99.

УДК 517.55

О ПРОСТРАНСТВАХ ГЕЛЬФАНДА-ШИЛОВА

A.B. ЛУЦЕНКО, И.Х. МУСИН, P.C. ЮЛМУХАМЕТОВ

Аннотация. В работе, следуя схеме построения пространств Гельфанда-Шилова Sa и , с помощью семейства М = {Mvраздельно радиальных весовых функций Mv в Жп определены два пространства быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций в Мга. Одно из них — пространство Sm — внутренний индуктивный предел счетно-нормированных пространств

5м, Н / е C™(Rn) : H/lk* = sup ^дТ/il^ < т G Z+

хекп,рег+, Mv (р )

aeZ+:\a\<m

Аналогичным образом, исходя из нормированных пространств

& = if £C~(M«):,w (/)= sup (1 + M)"'^)W| < «А ,

где т Е Z+, вводится пространство

Sm.

Показано, что при определенных естественных условиях на весовые функции преобразование Фурье устанавливает изоморфизм между пространствами Sm и $м ■

Ключевые слова: пространства Гельфанда-Шилова, преобразование Фурье, выпуклые функции.

Mathematics Subject Classification: 46F05, 46А13, 42В10

Введение

В середине 1950-х годов были введены в рассмотрение семейства пространств типа S бесконечно дифференцируемых функций в Rn, ставшие, наряду с пространством Шварца, одним из центральных объектов теории обобщенных функций, теории дифференциальных уравнений в частных производных и нашедшие значительные применения в теории псевдодифференциальных операторов, частотно-временном анализе. Их изучение началось с работ Г.Е. Шилова [1], U.M. Гельфанда и Г.Е. Шилова [2]-[4]. Они характеризовали пространства типа S в терминах преобразования Фурье функций и затем полученное описание применили для исследования единственности задачи Коши дифференциальных уравнений в частных производных и их систем.

Существенное развитие теория пространств типа S получила в работах М.А. Соловьева в ходе изучения проблем нелокальной теории поля. В частности, им было получено [5, раздел 4] описание образа преобразования Фурье пространства Sb(Rn), состоящего из

A.V. Lutsenko, I.Kh. Musin, R.S. Yulmukhametov, On Gelfand-Shilov spaces.

(с) Луценко A.B., Мусин И.Х., Юлмухаметов P.C. 2023.

Работа первого автора поддержана Российским научным фондом (проект 21-11-00168), работа второго автора выполнена в рамках реализации программы развития Научно-образовательного математического центра Приволжского федерального округа (соглашение № 075-02-2023-950), работа третьего автора выполнена в рамках государственного задания Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (код научной темы FMRS-2022-0124).

Поступила 31 марта 2023 г.

функций f Е С-(Rra), удовлетворяющих при не которых С > 0 и р > 0 зависящих от f и а Е Z+, неравенствам

(Daf)(х)1< Са»Щщ, х Е Rra, /3 Е Z

где, как обычно, для мультииндекеа ¡3 = ..., 0п) Е Z+, Ift| = /31 + • • • + /Зп, при условии, что монотонно неубывающая последовательность (bk)-=0 чисел bk > 0 удовлетворяет условию: существуют числа В > 0 и h > 0 такие, что

bk+1 < Bhkbk, k = 0,1,....

Одна из целей данной заметки — обобщить этот результат на более широкий класс пространств Гельфанда-Шилова такого типа,

1. Пространства Sm и Sм. Основные результаты.

Пусть М = {Mu}-= — произвольное семейство функций Mu : Z+ ^ R таких, что для любого v Е N:

г1) существуют числа а1 = а1(ь/) > 0 а2 = а2(и) > 0 такие, что

Mv(а) > а^1?1, а Е Z+;

. . М+1(д)

г2) lim =

ИMv(а)

Определим пространство Sm, следуя схеме построения пространства Гельфанда-Шилова Sa [3, Глава 4]. Для любых v Е N и m Е Z+ пусть

SrnM* = < f Е Ст(Жп): \\fW^ = sup ^(.D.aPR)(X)l <

xexn,^ezrJr, Mlv (р )

aezrj_:\a\<m —

Положим Smv := П SmMv.K,n ас с Smv - непустой: он содержит финитные функции

т=0

с носителем в [—а2, а2]п. Снабдим Smv топологией, определяемой семейством норм \\ • \m,v (т Е Z+), В силу уеловия i2) пространство Smv непрерывно вложено в Smv+1 для каждого

оо

v Е N Положим Sm := U $mv- С обычными операциями сложения и умножения на

u=1 v

комплексные числа Sm ~ линейное пространство, Наделим Sm топологией внутреннего индуктивного предела [6, с, 589] пространств Smv-

Определим пространство Sм. По v Е N т Е Z+ введем пространство

Л f Е C-R): ^(Л = sup (1 + ^ < Л

I хешп,аещ Mu (а) I

Эквивалентная топология в S^!^v может быть введена с помощью норм

№ (Ра1 )(х)| дт,иЛ) = йир ————.

хелп,аех+, (а)

Очевидно, нормированное пространство непрерывно вложено в 5м. Пусть

оо

Sм := Р| 5м". Наделим пространство Sм топологией, определяемой семейством

т=0

норм рт>и (т Е Z+)■ Ввиду уело вия г2) 5м непрерывно вложено в S м+1. Положим

оо

£М := и £В Sм введем топологию внутреннего индуктивного предела пространств

и=1

S м". Пространство Sм построено то аналогии с пространством Гельфанда-Шилова S13 [3, глава 4].

Будем придерживаться следующего определения преобразования Фурье f функции f Е 'S(Rn):

f (х) = -^-i f (0ег{х'° d£, x Е

(у ¿'К)п jRn

Справедлива следующая

Теорема 1.1. Пусть семейство М таково, что для, любого и Е N: г3) существует число dv > 0 такое, что для всех а Е Z+, ß Е Z+ П [0,1]га

Mv(а + ß) < dvМ

г4) каково бы, ни было т Е N существует число dv,m > 0 такое, что

п

Mv+г(а) > dv>mMv(а) JJ(1 + ak)т, а = (аи... ,ап) Е Z+.

к=1

Тогда, отображение Т : f Е Sm ^ f устанавливает изоморфизм между пространствами sm и

м

Следствие 1.1. В предположениях Теорем,ы, 1.1 преобразование Фурье устанавливает изоморфизм между пространствами

Sm и sm-

Замечание 1.1. Если (bk)'=0 "" монотонно неубывающая последовательность чисел, bk > 0 таких, что при некоторых В > 0 и h > 1, bk+l < Bhkbk для, всех к Е Z+, то семейство {hvn^a^b\a\}''=l удовлетворяет уеловиям г1) — i4). В этом случае пространство sm совпадает с пространством Sb(Rn).

Замечание 1.2. Если, монотонно неубывающая последовательность (bk):=0 чисел,

bk > 0 такова, что lim (bb^1)k = 1, то семейство {(а — 2-vУа\Ь\а\}'=1, где а > 0, удовле-к—V /

творяет условиям г1) — г4).

Далее, пусть Н — произвольное семейство неотрицательных функций hv в Ша таких, что для любого v Е N:

#i) hv(х) = hv(|xi|,..., lxnl), х = (xi,... ,xn) Е Rra; H2) существуют числа Q1 = Ql(u) > 0 Q2 = Q2(v) > 0 такие, что

x

Q

hu (ж) < Xj ln + Q2,x = (xi,...,xn) Е [0, <x)n;

l<j<n:xj=0

H3) lim (hv(x) — hv+i(x)) =

x

Отметим, что функции Mv(а) = a\e-hv(a\ а Е Z+, где hv Е Н, удовлетворяют требованиям г1) и i2), предъявляемым к функциям семейства М. Таким образом, если М = {a\e-hv}U£N, то пространство sm состоит го функций f Е C(Rra), для которых при некотором и Е N для любого а Е Z+ найдется число Ка > 0 такое, что

lxß(Daf)(ж)|< Kaß\.e-hv(ß), х Е Rra, ß Е Z+,

а пространство Sм — из функцнй f Е С:(Мга), для которых при некотором и Е N для любого ß Е Z+ найдется чиело Lß > 0 такое, что для всех а Е Z+

lxß(Da f )(ж)| < Lßa\e-hv(a), x Е Rra

Чтобы выделить этот частный случай семейства М пространство sm будем обозначать через S-н, пространство Sм" — торез S(hu), пространство Sм — через SH. Тогда из Теоремы 1.1 имеем еще одно следствие.

Следствие 1.2. Пусть семейство М состоит из функций (а) = где функции е% удовлетворяют дополнительным условиям:

Н4) для, любо го V е N существует ч, исло > 0 такое, что для, всех

X = (хг,...,хп) е [0,ж)п, у е [0,1]п

hy(х + у) - hv+i(x) ln(1 + xk) - ти;

(ж + у) - hv+i(x) _

k=l

Н5) для, любых u,m Е N существует ч,исло ту,т > 0 такое, что для, всех х =(xi,...,xn) Е [0, ж)п, у Е [0,1]n

n

h у (х) - h у+i(x) > ln(1 + Xk) - rv,m.

k=l

Тогда, отображение T : f Е S^ ^ f устанавливает изоморфизм между пространствами и SH.

Действительно, условие Н4) гарантирует выполнение условия г3), а условие Н5) — выполнение условия i4).

Следствие 1.3. Пусть семейство М состоит из функций Му(а) = a\e-hv(а\ а Е Z+, где неубывающие по каждой переменной на [0, ж)п функции hy Е % удовлетворяют условию Н5).

Тогда, отображение T : f Е ^ f устанавливает изоморфизм между пространствами S% и SH.

Представляется интересным рассмотрение случая, когда все функции семейства % удовлетворяют условию h у (х)

Н6) lim у = +ж (|Ы| — евклидова норма х Е Rn),

Дело в том, что в этом случае какова бы ни была функция f из Sn для любого е > 0 можно найти число c£(f) > 0 такое, что

l(Daf)(ж)| < cs(f)ена!, ж Е Rn, а Е Z+,

и, следовательно, f допускает (единственное) продолжение до целой функции в Cn, Через Ff обозначим указанное продолжен ие, а через А — отображе ние: f Е SH ^ Ff. Естественным образом возникает задача описания образа Sn при отображении А. Ее решение получено при дополнительных условиях на % (Теорема 1,2), Приведем ряд определений и обозначений, встречающихся в формулировке и доказательстве Теоремы 1,2, Для произ-

о(х)

вольной функции g : Rn ^ (-ж, +ж) такой, что lim -—- = + го через д* и д обозначим функции, заданные в Rn по правилу:

д*(ж) = sup ((а, х) - д(а)), х Е Rn,

aezn

д(х) = sup((x,y) - g(y)), х Е Rn

yew,™

Функция <7 называется преобразованием Юнга-Фенхеля функции д [7]. Теперь для каждого v Е N определим функцию ъ Rn, полагая

^у(х) = h**(ln+ \xi|,..., ln+ Ixnl), X = (xi,. . .,Xn) Е Rn,

где ln+1 = 0 при t Е [0,1) и ln+1 = ln t при t Е [1, ж) Так как выпуклая в Rn функция hy принимает конечные значения, то она непрерывна в Rn [8, §11]. Значит, функция <ру

непрерывна в Rn. Очевидно, те сужение на [0, <х>)п не убывает по каждой переменной. Ввиду условия Н2) при некото ром Q3 = Q3{y) > 0 справедливо неравенство

Qi п

<~Pv (х) > — Ixkl - Q3, X = (xi,... ,хп) е R. е

к=1

Благодаря условиям Н6) и Н3)

lim (h*v+i(x) — h* (ж)) =

Х^Х

Следовательно,

lim (yv+i(x) — (x)) = +x>. (1.1)

Далее, для произвольных и е N и т е Z+ введем пространство

Pmtev) = {f е Н(П : Pv,m(f) = sup lf ^ < ^ .

Очевидно, пространство Vm+i((pv) непрерывно вложено в Vm(tpv), Пусть V(<pv) есть пересечение пространств Vm(<pv), Снабдим V(tpv) топологией проективного предела пространств

Vm(tpv), В силу (1.1) пространство V( tpv) непрерывно вложено в V( <ßv+i). Обозначим сете

мейство {tpv}X=i через Ф. Пусть V(Ф) := (J V(tpv), Наделим V(Ф) топологией внутреннего

V =1

индуктивного предела пространств V ( tpV). В разделе 4 доказана следующая

Теорема 1.2. Пусть функции семейства % являются выпуклыми и, помимо условия Н6), удовлетворяют условиям:

Н7) каково бы, ни бы,л,о а > 0 существует число lV,a > 0 такое, что

hv+i(x + у) < hv(х) + Iv,a, х е [0, ж)п, уе [0, а]п;

Н8) для любог о и е N найдется чи ело ее N, что

^^ eK+s{a)-hv(а) < ^. \а\>0

Тогда, отображение А устанавливает изоморфизм между пространствами SH и V (Ф). В силу этих двух теорем справедливо следующее утверждение.

Теорема 1.3. Пусть функции сем,еи,ства, % являются, выпуклыми и удовлетворяет условиям Н5) — Н7). Тогда, отображение AT устанавливает изоморфизм между пространствами и V(Ф).

2. Вспомогательный результат

При доказательстве Теоремы 1.2 понадобится Следствие из следующего утверждения.

Предложение 2.1. Пусть функции сем,еи,ства, % удовлетворяют условиям Н6) и Н7), т е N произвольно и т = (т,... ,т) е Nra. Тогда, для, любого и е N

h**+i(x) > h*v(х) + (х,т} — lv,m, х е R+,

где Iv,m то же, что и в условии, Н7).

Доказательство. Пусть т е N и х е R+. Тогда

h*+i(x) = sup ((х, а} — hv+i(a)) = sup ((х, а} — hv+i(a))

aeZ" aez™

> sup ((ж, а} — hv+1(а)) = sup ((х, а + т} — hv+i(a + т)). a>m aez™

96

a.b. луценко, и.х. мусин, p.c. юлмухаметов

Далее, пользуясь условием Н7) на имеем

hl+1(х) > (x,m) + sup ({х,а) - hv(а)) - lu,m

аещ

= {х, m) + sup ({х, а) - hi (а)) - li,m = h** (х) + {х, m) - lVtm.

aeZ»

□

В условиях Предложения 2,1 справедливо Следствие 2.1. Для любых u,m Е N

<Pi(х) + mln(1 + ||х||) < ^1+1(х) + bi,m > 0, х е Кп, где bl,m = Il,m + 2mn ln 2.

3. Доказательство Теоремы 1.1

Покажем вначале, что отображение ^действует из Sm в SМ- Пусть g Е Sm- Тогда g Е для некоторого v Е N. Поэтому каково бы ни было m Е Z+ для всех 7 е Z+ с lfl < m, ß Е Z+, х Е Кп справедливо неравенство

|х^Л)(х)| < Mm,iMi (ß). (3.1)

Покажем, что g Е Sм. Пусть £ Е Кп, а = (а1,..., ап), ß = (ß1,..., ßn) Е Z+ произвольны. Положим ks := min(as, ßs) для s = 1,... , n и к := (к1,... , кп). Так как

( %)ß(Dag)(0 = t^i Е °ß(Dß-9)(х)(^(гx)a)e> d:х, W2K)nJк» j&n:j<K

то

(Dag)(OI< Е tfj №-*9)т&(ха)1 dx. (3.2)

(V ) jEZ+:j< к Rn

Согласно [5], если u E S(in), то при любых E Z+ справедливо неравенство

J |JDj'(x/i)||u(x)| dx <V2 J H|(Dju)(x)| dx. (3.3)

i" i" Пользуясь им, из неравенства (3.2) получим, что

(Dag)(OI< Е Cjf \xa(Dl3g)(x)| dx. (3.4)

(V ) jeZ+:j<K i"

Продолжим оценку (3.4), следуя [5, с. 371]. А именно:

1) представляем f lxa(D^g )(x)|dx в виде сум мы 2п интегралов по непересекающимся

i"

подмножествам 1п, описываемых п неравенствами вида lxk| < 1 ми lxk| > 1;

2) в интегралах по множествам, в описании которых участвует неравенство lxk| > 1, умножаем и делим подынтегральное выражение на xk■

Тогда из (3.4), пользуясь неравенством (3.1), получим, что

(л/2)3п+1

№(Dag)(OI < ^ткпг2 т\\9\\тsup М„(а + ш). Wn) .....

Z+.

Uj <2,j = 1,...,»

Отсюда, благодаря условию г3) на M, имеем

l£ß (Dag)(0l<C1lgllßli 2lßMi+2(a),

(V2)3п+1

где С\ = ((^п Но тогда для любого к Е Z+ можно найти постоянную С2 > 0

такую, что

(1 + №\)к\(Гад)(0\ < С\\д\\к,М+2(а), а е Z+. (3.5)

Следовательно, д Е Бм»+2, Итак, д е Бм. В силу неравенства (3.5)

рк,и+2(д) <С2\\д\\к,„, деЯм», кЕ Z+.

Отсюда следует, что отображение Т действует из вм в м непрерывно. Очевидно, линейное отображение Т действует из Бм в м инъективно. Покажем, что Т — отображение «на». Пусть Р Е Бм. Тогда Р Е Бм» для некоторого V Е N Поэтому каково бы ни было т Е Z+ для всех 7 е Z+, х Е Кп

(1 + \\х||)т\(ГР)(х)\ < рт>„(Р)М„(7). (3.6)

Положим ¡(х) := Р(—х), х Е Кп, Тогда для любых а = (а\,..., ап), [ = ([[\,..., [п) е Z' £ Е Кп

Ю13(Га/)(£) = 7—^ / Г3(Р(х)(гх)а)ейх.

(V 2п)п Jкп

То есть,

(—1)|

а|

(го3П№ = у-1)- £ С,(Г3-Р)(х)(Г(гх)а)е> ¿х, где к := (п,\,..., кп), к3 := шш(а8,[33) для ^ = 1,... ,п. Отсюда следует, что

Г (Оа№)\<-^~ £ С^\(Г3-Р)(х)\\Г(ха)\Ах. (у/2тг)п .. 1<К I

Пользуясь неравенством (3.3), имеем

Г (ОаЛ(0\<^2~ Е С3,[\(Г3Р)(х)\\ха \ Ах.

Отсюда получим, что

\£3 (оа! )(0\< £ с,! \(гзр )(х)\(1 + \\х

\\)ас1х.

Пусть т Е Z+ произвольно. Тогда для всех а Е Z+ с \а\ < т

-3(Га Ж£)\ < _^^ С [ \(Г3Р)(х)\(1 + \\х||)т+2п_

\е(га/ко < Е си \(гзР)(х)\(1 + \\

jeZ+:j<fí Кп Х[(1+х1)

к=1

Отсюда, воспользовавшись оценкой (3.6), имеем для любого а Е Z+ с \а\ < т

\е (Га1 т\<^( Я) Рт+2п,и (Р)М„ ([) £ С?3

< Рт+2п,и (Р )(т + 1)п(1 + [\)т ••• (1 + [пГМ„ ([3).

2

Наконец, пользуясь условием г4) па М получим, что при некотором С3 = С3(и, т) > 0 для а Е Z+ с \а\ < т и всех [ е Z+

(Га f )(0\ < С3рт+2п,и (Р )Ми+1([), £ Е К. (3.7)

Следовательно, f Е Зм1,+1 ■ Значит, f Е ¿м- Ясно, что / = Таким образом, отображение Т действует из Бм на &м ■ Оценка (3,7) означает, что

||/||т,г/+1 < С3 рт+2п,и , F е .

Из нее вытекает, что обратное отображение Т-1 непрерывно,

Т

8м и 5м.

4. Доказательство Теоремы 1.2

Пусть / е ¡3^, Докажем, что Ff е р (Ф), Пуст ь т Е произвольно. Пользуясь разложением Ff (г) (г = х + г у, х,у Е Кп) в ряд Тейлора в точке х и тем, что f Е ¡¡(к,) для некоторого V Е N имеем

п

(1 + иг^(г)\ < рт,„( /)(1 + мт Е(а) П(1 ^\+)а

М>о .?=1

Бир (¿1 1п+ |//11 +-----Кп 1п+ 1~у„1-К+в(4))

<в^Рт,„ (/)(1 + ||уц)тем*1,..,ое*» ,

где В^ := ^^ 5 — из условия Я8), Следовательно,

Н>о

(1 + И)т\Ff(¿)\ < В„,аРт„(/)(1 + |М|)те^+'(/тг е Сп Из этой оценки, пользуясь Следствием 1,1, получим, что при некотором К„,т > 0

(1 + М)т^(г)| < Ки,тРш,и(/)е^+«+1(/тг е Сп

То есть,

( Ff) < К

Ввиду произвольности т Е Ff Е V(<^+8+1). Таким образом, Ff Е V(Ф), Кроме того, последнее неравенство означает, что линейное отображение А непрерывно. Очевидно, А — взаимно однозначное отображение из ¡3^ в V(Ф),

д сюръективно. Действительно, пусть F Е V(Ф). Тогда F Е V) для некоторого V Е N Пусть т Е а = (а1,... ,ап) Е Пользуясь интегральной формулой Коши и неубыванием то каждой перемен ной на [0, ж)п, получим (действуя, например, как при доказательстве Теоремы 1 в [9]), что для любого К Е (0, ж)п и любо го х Е Кп

(1 + М)-^^ < М-НЩГ*-(К) .

Отсюда, пользуясь Следствием 1,1, имеем

Р <Р»+1(К)

\т\/ г^а ' 4 1 ' ^ ' '

(1 + ||х||)т\(0^)(х)\ < )-

Ка

Положим для краткости ^+1[е](г) := +1(еТ1,..., еГп), г = (г^^,..., гп) Е Кп, Тогда

р +1( д)

(1 + ||х||)m\(DaF)(х)\ < ек>™а\р„т^) 1п£

а

ке'(о,<х>)п К

ехр(вир((а, г) — <р„+1 [е](г))) ехр(вир((а, г) — ^+1[е](г)))

_еь"'та! р„,т(F)_

ехр( вир ((а, г) — к I+1(1п+ еГ1,..., 1п+ еГп)))

г=(г 1,...,г „)ек+

е к'та\Pv,m(F) eK'ma\pv,m(F)

exp(sup((^ r} — h**+i(r))) exp(sup(( а r} — h**+i(r))) reR+ reRn

= ек,та\Pv,m(F) exp(—hV+i(a))) = ebv,ma\Pv,m(F) exp(—hv+i(a)). В концовке этой оценки воспользовались тем, что в силу выпуклости функции hv+i h**+i(a) = hv+i(a) для любо го а е Zn согласно Предложению 1 из [10], Из полученной оценки вытекает, что

ßm,v+i (F\Rn) < ек,тpv,m(F), F е V(ifiv). (4.1)

Следовательно, Fr е S(hv+i). Итак, Fr™ е SH. Очевидно, A(F\Rn) = F и неравенство (4,1) гарантирует непрерывность отображения A-i. Таким образом, отображение А устанавливает изоморфизм между SH и V (Ф).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Г.Е. Шилов. Об одной проблеме квазианалитичности // ДАН CCCF. 102:5, 893-895 (1955).

2. U.M. Гельфанд, Г.Е. Шилов. Преобразования Фурье быстро растущих функций и вопросы единственности решения задачи Коши // УМН. 8:6(58), 3-54 (1953).

3. U.M. Гельфанд, Г.Е. Шилов. Обобщенные функции (Пространства основных и обобщенных функций). М.: Физматгиз. 1958.

4. U.M. Гельфанд, Г.Е. Шилов. Обобщенные функции (Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений). М.: Физматгиз. 1958.

5. М.А. Соловьев. Пространственно-подобная асимптотика вакуумных средних в нелокальной теории поля // ТМФ. 52:3, 363-37 (1982).

6. Г. Эдварде. Функциональный анализ. М.: Мир. 1972.

7. Г. Гокафеллар. Выпуклый анализ. М.: Мир. 1973.

8. B.C. Владимиров. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Наука. 1964.

9. I.Kh. Musin. On a space of entire functions rapidly decreasing on Rra and its Fourier transform // Concrete Operators. 1:2, 120-138 (2015).

10. A.B. Луценко, И.Х. Мусин, P.C. Юлмухаметов. О классе периодических функций в Rra // Уфимск. матем. журн. 14:4, 73-79 (2022).

Анастасия Владимировна Луценко,

ФГБОУ ВО «Уфимский университет науки и технологий», ул. Заки Валиди, 32,

450076, г. Уфа, Россия E-mail: Lutsenko . A¥@yandex. ru

11. ii>. lap Хамитович Мусин,

Институт математики с ВЦ УФИЦ РАН,

ул.Чернышевского, 112,

450077, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Ринад Салаватович Юлмухаметов, Институт математики с ВЦ УФИЦ РАН, ул.Чернышевского, 112, 450077, г. Уфа, Россия,

ФГБОУ ВО «Уфимский университет науки и технологий»,

ул. Заки Валиди, 32,

450076, г. Уфа, Россия

E-mail: [email protected]