О КЛАССЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В R𝑛 Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 14. № 4 (2022). С. 73-79. УДК 517.55

О КЛАССЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В Rn

A.B. ЛУЦЕНКО, И.Х. МУСИН, P.C. ЮЛМУХАМЕТОВ

Аннотация. При помощи некоторого семейства H раздельно радиальных выпуклых в Rn функций определено пространство G(H) 2^-периодических по каждой переменной бесконечно дифференцируемых в Rn функций с заданными оценками на все частные производные. Получено описание пространства G(H) в терминах коэффициентов Фурье. Найдены условия на семейство H, при которых функции из G(H) допускают продолжение до функций, голоморфных в трубчатой области в Cn. Получено внутреннее описание пространства таких продолжений. Рассматриваемые нами задачи имеют прямое отношение к работам П.Л. Ульянова конца 1980-х годов, в которых ему удалось полностью охарактеризовать классы 2^-периодических функций типа Жевре на числовой прямой не только через скорость убывания коэффициентов Фурье, но и через наилучшие тригонометрические приближения. Полученные в работе результаты являются новыми как для случая многих переменных, так и для случая одной переменной. В частности, новизна достигается за счет наложения условия ¿4) на семейство %.

Ключевые слова: ряды Фурье, коэффициенты Фурье, наилучшее приближение тригонометрическими полиномами, целые функции, выпуклые функции.

Mathematics Subject Classification: 42В05, 42А10

1. Введение

Пусть С2ж (Rn) — пространство 2^-периодических по каждой переменной непрерывных в Rn функций / с нормой II/II = max |/(ж)Пусть С£(Rn) = С2ж(Rn) П C~(Rn).

Каждой функции / е С2ж(Rn) ставим в соответствие ее ряд Фурье:

/(ж) ~ ^ /аег{а,х), ж е Rn,

ав Z"

где коэффициент Фурье /а задается формулой

/а / /(ж)е-г<а,х>^ж.

[0,2^]"

Установление связей между разностными, дифференциальными свойствами функций из различных подпространств пространства С2ж (Rn) и свойствами их коэффициентов Фурье — одна из основных задач в теории рядов Фурье. На этом ее направлении выделяются тонкие результаты П.Л. Ульянова |1| |3|. полученные им в конце 1980-х. В частности, ему удалось полностью охарактеризовать классы 2^-периодических функций типа Жевре на числовой прямой не только через скорость убывания коэффициентов Фурье, но и через наилучшие тригонометрические приближения (см., например, [3, Теорема 3, Теорема 4]). Эти исследования П.Л. Ульянова послужили мотивацией для рассмотрения в данной заметке

A.V. Lutsenko, I.Kh. Musin, R.S. Yulmukhametov, On a class of periodic functions in 1".

(c) . In hi.пк"о A.B., Мусин И.Х., Юлмухаметов P.C. 2022.

Работа первого и третьего авторов поддержана Российским научным фондом (проект 21-11-00168), работа второго автора выполнена в рамках реализации программы развития Научно-образовательного математического центра Приволжского федерального округа (соглашение № 075-02-2022-888).

Поступила 19 сентября 2022 г.

следующей основной задачи — выделить подпространства функций из (Rn) с оценками на частные производные, допускающие описание в терминах коэффициентов Фурье, С этой целью введем пространство G(H) следующим образом. Пусть H = [hv— семейство выпуклых функций hv : Rn ^ [0, го) с hv (0) = 0 таких, что для любого v E N ii) hv (x) = hv (|xi|,..., |жга|), x = (xb... ,xn) E Rn;

г2) lim v. ( ) = +го;

г 3) hv (x) ^ hv+1(x) для любо го x E Rn, приче м lim (hy (x) — hv+1(x)) = +го; i4) сходится ряд

"v V

e К (ln+ |«i|,...,ln+ |a„|)-fe;+1(ln+ |«i|,...,ln+ |«n|)

«=(«1 ,...,a„ )GZn

где

h*(x) = sup((a,x) — hv(a)), x E Rn,

aeZ"

и, как обычно, ln+i = lni для t^ 1, ln+i = 0 для 0 ^ t < 1, Далее, для каждого v E N введем нормированное пространство

G(K ) = {fEC£ (Rn): ||/||„ = sup l№7(!()X)l < ro}.

В силу условия i3) пространство G(h,+1) вложено в G(hv) вполне непрерывно. Отметим, что G(h,+1) — собственное подпространство пространства G(hv), Действительно, если предположить, что G(hv+1) = G(hv), то при некотором Cv > 0 должно быть справедливо неравенство

II/II,+i ш,, fEG(hv).

В частности, для функций е г(т>х) с т = (га1,..., тп) E Zn будем иметь

К|,..., 1п+ Ы) ^ (1п+ |тх|,..., 1п+ Ы) + 1пС,.

те

Но это неравенство невозможно ввиду условия г4), Положим теперь С(Н) = П ),

Наделим С(Н) локадьно выпуклой топологией с помощью семейства норм || • ||, (у Е М), С этой топологией С(Н) является пространством Фреше,

В разделе 2 работы показано, что пространство функций С(Н) допускает описание в терминах оценок на коэффициенты Фурье (Теорема 2,1), Представляется интересным нахождение условий на семейство Н, при которых функции из С(Н) допускают продолжение до функций, голоморфных в трубчатой области в Сп, и описание пространства таких продолжений. Эта задача рассматривается во втором разделе данной заметки (Теорема 3,1),

2. Эквивалентное описание пространства С(Н)

В формулировке основного результата работы — Теоремы 2,1 — участвует пространство С(Н), Введем его следующим образом, Для каждого и Е N пусть С(Ь,,) — пространство, состоящее из функций / Е Сж (^п), коэффициенты Фурье которых /а при некотором аV(/) > 0 удовлетворяют оценке

|!о\ ^ av(/)е-к*(1п+ |о1|-1п+ оа = («1, Е %п.

Так как (благодаря условию г2)) для любого и Е N

1- ЬV (х)

11Ш ,, ,, = + ГО,

х^те ||х||

то функции из С(hv) бесконечно дифференцируемы. Наделим С(hv) нормой

Ри( /) = sup (|Ulеh*(ln+ «^ К|)).

a=(ai,...,a„)eZ"

Далее, поскольку h* (х) ^ h**+1 (х) для любо го х Е Rn, то pv (/) ^ pv+1(f) для произвольной функции f Е С(h^), Значит, пространство С(h,+1) вложено в С(hv) непрерывно. При этом, С(hy+1) — собственное подпространство пространства С(hv). Действительно, имеются функции из С(hv), те принадлежащие С(hiy+1). Например, такова будет функция

U(х) = ^ е -hi(ln+ |«i|'...'ln+ г<а'х\ х Е Rn «ez™

Для нее pv (fv) = 1, a pv+1( fv) = поскольку благодаря условиям г2) и г3)

lim (h*^) - h*(х)) = (2.1)

Определим теперь пространство С(Н) как пересечение пространств С(hv). Наделим С(Н) локально выпуклой топологией с помощью семейства норм pv.

Напомним еще, что преобразование Юнга-Фенхеля функции g : Rn ^ есть

функция д : Rn ^ определяемая по формуле

д(х) = s^fo у) — g(y)), х Е Rn yeRn

При доказательстве Теоремы 2.1 понадобится следующее утверждение.

Предложение 2.1. Пусть д : Rn ^ R — выпуклая функция такая, что

V 9(х) lim ---- = х^те уху

Тогда, д(а) = (д*)(а), а Е Zn.

Доказательство. В силу условия на д выпуклые в Rn (по определению) функции д* и Tj принимают конечные значения. Значит, д* и Tj непрерывны в Rn, Так как

д(а) ^ (х, а} — д*(х), а Е Zn, х Е Rn,

то д( а) ^ (д *)(а) для любо го а Е Zn, Далее, напомним, что д = д согласно формуле обращения преобразования Юнга-Фенхеля [4], то есть

д(х)=вир((х,О — Ш), х Е Rn.

а Е Zn найдем точку £(а) Е Rn такую, что д(а) = (а, £(а)} — д(£(а)). Теперь, пользуясь этим равенством и тем, что д*(х) ^ д(х) для х Е Rn, имеем

(?)(а) ^ д(а) = (а, £(а)} — д(£(а)) ^ ( а, £(а)} — д*(£(а)) ^ (д*)(а).

Следовательно, д(а) = (д *)(а) для любо го а Е Zn, □

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.1. Пространства G(H) и С(Н) совпадают.

Доказательство. Пусть f Е G(H). Покажем, что f Е С(Н). Так как f Е G(hv) для любого V G N, то

l(Dß/)(х)| ^ \\f\\veh"(ß), х Е Rn, ß Е Z+.

Отсюда и из представлений

fa(iа)3 = ^ I (D3f )(x)е-^dx, а E Zn, ß E Z—,

n

[0,2^]

получим, что для любых а = (а1,..., ап) E Zn, ß = (ß1,..., ßn) E Z—

ehv(3)

1 fal ^ llfl (|а1|+)31 ... (Ы+)3- , где для t ^ 0 t + = max(i, 1), Следовательно,

ehv(3)

|fa| ^ Ц/Ц, inf -——3--—-г-, а = (а1 ,...,an) E Zn.

3=(3x,...,3n)ez+ (|а 11+)3l ••• (|an|+)3"

То есть,

|/а| ^ ||/||,e-hi(ln+ |Ql|,-,ln+ K|), а = (аl,...,аn) E Zn. Таким образом, pv( f) ^ Hfllv, f E G(H). Ввиду произвольности v делаем вывод, что f E С(H) и вложение G(H) в С(H) непрерывно. Пусть теперь f E С(H). Тогда при любом k E N

|Д| ^ Pk(f)e-h*(ln+ |ai|,-,ln+ K|), а = (аl,...,аn) E Zn (2.2)

Следовательно, при любых а = (а1,..., аn) E Zn, ß = (ß1,..., ßn) E Z—

e hfc (3)

| M ^ Pk ( Я(|а1|+)31 ... (|on!+)3" .

Значит, f E С£(Rn), Покажем теперь, что f E G(H). Пусть v E N произвольно. Для x E Rn,ß = (ß1,... ,ßn) E Z— оценим свеpxv |(D3/)(x)|, пользуясь неравенством (2,2) и условием г3), Имеем

|(D3f)(x)| ^ £ |МЫ^ ••• (|on|+)3"

a=(«l,...,an)€Zn

^ Р— ( f) ^ e-h^+i(ln+ |ai|,...,ln+ |«"|)(|а1|+)31 ••• (КП3", x E Rn

(«l,...,an)eZn

Отсюда, полагая

= ^ gh* (ln+ |«i|,...,ln+ |a„|)-h*+i(ln+ |«i|,...,ln+ |a„ |),

a=(«l,...,an)€Zn

получим, что

sup (3i ln+ |«i|—-----—3„ ln+ |a„|-h*(ln+ |«i|,...,ln+ |a„|))

|(D3f)(x)| ^ rvp—(f). Тем более, справедливо неравенство

sup«3, i)-hj (i))

|(D3f )(x)| ^ TvPv+1 ( f)e— .

Отсюда, воспользовавшись Предложением 2,1, получим, что

|(D3f)^ ^ rvPv+1(f)eK(3), x E Rn, ß E Z—. E N

||/||, ^ rvPv+1(f).

Таким образом, f e G(H) и вложен ие С (H) в G(H) непрерывно.

Из доказанных утверждений следует, что пространства G(H) и С(H) совпадают как топологические пространства, □

3. о продолжении функций из G(H) до голоморфных в выпуклой трубчатой области

Для каждого v е N определим функцию uv ъ Rn, полагая

uv(ж) = hl(ln+ lx\l,..., ln+ lxn\), x = (x\,..., xn) е Rn.

Очевидно, функция uv непрерывна, неотрицательна, причем uv(0) = 0, и ее сужение на [0, <x>)n не убывает по каждой переменной. Ввиду (2,1) имеем

lim (ul+i(x) — uv(x)) = (3,1)

Всюду далее предполагается, что функции uv удовлетворяют условию

lim u^^ > 0, г/=1, 2,.... (3,2)

Определим теперь множество Bv = {у е Rn : uv(у) < то}. Очевидно, если

uv (x)

lim = v е N,

llxll

то В, = Мга, В силу (3.2) внутренность множества В, непуста. Так как функция и, — выпуклая в Мга, то В, — выпуклое множество. Так как и^+1(у) ^ и,(у) для любого у Е Кга, то В, СВ^+х (и=1, 2,...). "

оо

Пусть В = и В°, В — выпуклая область в Мга,

Отметим, что каждая функция $ Е С(Н) допускает продолжение до 2^-периодической по каждой переменной голоморфной в трубчатой области Тв = Кга + г В функции Ff, определяемой по правилу:

^(*)= Е ?ЕТв. (3.3)

«егп

Действительно, каково бы ни было и Е N для любо го г € Кга + г В°

г{а, х)

«егп «ей

^ |fallel{a'z)l ^ pv+i(f) ^ е -a,Im^

Бир (—и°(а) — (а,1тг)) .

^ тиРи+1Ц)еае1" = г,р,+1(/)еи°(-/тг)

= ър„+1 ( /)е^(1т^ < ж.

Таким образом, ряд в правой части в (3.3) сходится абсолютно и равномерно в области Тв° = Кга + гВ° при любом V Е N Значит, Ff голоморфна в Тв. Причем,

|Ff (г)1 ^ тири+1(/)е и°(1т*\ гЕ + гВ°°. (3.4)

Очевидно, указанное продолжение единственно.

Далее предполагаем, что для любого и Е N фупкция и, — выпуклая в Мга, Из этого предположения и того, что функция и, принимает конечные значения в Мга следует, что она будет непрерывна в Мга, Определим теперь пространство Н2ж(Тв°, и,), состоящее из 2п-периодических по каждой переменной голоморфных в Тв° функций F, для которых при некотором с, ( F) > 0

^(г)| ^ с,( F)еи°(1тХеТЩ. Наделим Н2ж (Тв° ,и,) нормой

\F (г)\

П, (F )=8Пр , F ЕЩЖ (Тв°° ,и, ).

хе! по ^

Так как ^ uv (у) для любо го у G Rn, то

nv(F) ^ nv+i(F), F G Н2ж(ТБо+1 ).

Значит, пространство Н2ж (Твсо+1 ,uiv+1) вложено в Н2ж (ТВо , U,) непрерывно.

Отметим, что пространство Н27(ТВо+1 ,Uu+1) — собственное подпространство пространства Н2ж(ТВо ,Uiv), Действительно, если предположить, что Н2ж(ТВо ,tiv+1) = Н2ж(ТВо , U,), то при некотором cv > 0 должно быть справедливо неравенство

n„+i(F) ^ cunu(F), F G Н27(Тво,uv).

В частности, из выполнения этого неравенства для функций е^са = (а^..., ап) G Zn, будем иметь

sup ((а, у) - г^+1 (у)) ^ lncv + sup ((а, у) - uv(у)).

уево+i уево

Это неравенство можно записать так:

sup ((а, у) - iiu+1(y)) ^ ln cv + sup ((а, у) - U,(у)).

■уеК™

Теперь примем во внимание то, что для каждого v G N

sup ((а, у) - uv(у)) = sup ((а, у) - г^(у)) = sup ((а, у) - г^(у)) = и,(а). (3.5) уево уев^ уек«

Здесь на завершающем этапе использовалась формула обращения преобразования Юнга-Фенхеля [4]. С учетом этого равенства из предыдущего неравенства получим, что uv+1(а) ^ ln cv + uv (а) для любо го а G Zn, что противоречит (3.1).

Введем пространство Н2ж(Тв,H) как пересечение пространств Н2ж(ТВо, U,). Наделим Н27(Тв, H) локально выпуклой топологией, задаваемой системой норм nv.

Теорема 3.1. Пространства G(H) и Н2ж(Тв, H) изоморфны.

Доказательство. Пользуясь оценкой (3.4), имеем nv(F/) ^ TvPv+1(f) Для любого f G G(H), Это означает, что линейное отображение А действует из G(H) в Н27(Тв, H) и является непрерывным. Ясно, что отображение А инъективно.

Покажем, что отображение А сюръективно. Пусть F G Н2ж (Тв, H). Тогда, в частности, F G С2°7 (Rn), Следовательно,

F(х) = ^Faei{a'x\ х G Rn

Пользуясь аналитичностью и периодичностью Р, представление коэффициента Фурье Fa функции Р можно записать так:

Ра = / Р+ У€В°и.

[0,2^]"

Тогда для любого а С У1

I Ра| ^ ^ / |Р(* + ^у)|е<а,^> уеБ°. [0,2^]™

Так как Р € Н2ж (ТВо ) для любо го и € М, то из этого неравенства получим, что

|Ра| ^(Р)е"'"^е^>, у€Б°.

Следовательно,

| Ра | ^ ^ (Р)е.

о классе периодических функций в r

79

С учетом (3,5) имеем

Ы (и,(у) + (а, у)) = Ы (и,(-у) + (а, у)) = - вир((а, у) - и,(у)) = -и,(а). уев° Уев° Уев°°

Отсюда и из предыдущего неравенства получим, что

АI ^ п„(F)е-и°. (3.6)

Значит, F|rn е С(Н). Но тогда то Теореме 2.1 F|R« е С(Н). Очевидно, ) = F.

Итак, отображение А еюръективно. Отметим еще, что в силу оценки (3.6) и Теоремы 2.1 линейное отображение А-1 : F Е Н2ж (Тв, Н) ^ ^«действует из Н2ж (Тв, Н) в С(Н)

А

морфизм пространств С(Н) и Н2ж (Тв, Н). □

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. П.Л. Ульянов. О классах бесконечно дифференцируемых функций // Докл. АН СССР. 305:2, 287-290 (1989).

2. П.Л. Ульянов. О свойствах функций из классов Жевре // Докл. АН СССР. 314:4, 793-797 (1989).

3. П.Л. Ульянов. О классах бесконечно дифференцируемых функций // Матем. сб. 181:5, 589-609 (1989).

4. Р. Рокафеллар. Выпуклый анализ. М.: Мир. 1973.

Анастасия Владимировна Луценко, Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32,

450076, г. Уфа, Россия E-mail: Lutsenko . AV@yandex. ru

Ильдар Хамитович Мусин,

Институт математики с ВЦ УФИЦ РАН,

ул. Чернышевского, 112,

450077, г. Уфа, Россия

Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32,

450076, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Ринад Салаватович Юлмухаметов, Институт математики с ВЦ УФИЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450077, г. Уфа, Россия,

Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32, 450076, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]