СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА К ВЕСОВЫМ ПРОСТРАНСТВАМ ЛОКАЛЬНО ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 13. № 4 (2021). С. 115-125.

УДК 517.968.72

СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА К ВЕСОВЫМ ПРОСТРАНСТВАМ ЛОКАЛЬНО ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

P.C. ЮЛМУХАМЕТОВ

Аннотация. В статье рассматриваются интегрально весовые L2 пространства на выпуклых областях Мга и исследуется задача описания сопряженного пространства в терминах преобразования Фурье - Лапласа.

Пусть D — ограниченная выпуклая область в Мга и р — выпуклая функция на этой области. Через L,2(D,p) обозначим пространство локально интегрируемых функций на D, для которых конечна норма

II/II2 :=J\f(t)\2e-W>dt.

D

При некоторых ограничениях на весовую функцию р доказано, что целая функция F представляется в виде преобразования Фурье - Лапласа функции из L2(D, р), то есть

F(X) = У etX-2^JJt)dt, f е L2(D, р),

D

для некоторой функции f е L¡2(D, р) тогда и только тогда, когда

IIFII2 := í detG(p,x)dydx< ж,

J & (z)

где G(p, x) — матрица Гессе функции р,

К (X): = Ц5ХЦ2, X е Cn.

В качестве примера показано, что для случая, когда D — единичный круг и p(t) = (1 — \í|)а, то пространство преобразований Фурье - Лапласа изоморфно пространству целых функций F(z), z = х + гу е C2, для которых

Г 1 Р о

IIFII2 := \F(х + гу)|2е-2|ж|-2(а^^(а+1)|ж|^ (1 + \ж|)^dxdy < ж,

где а = .

Ключевые слова: весовые пространства, преобразование Фурье - Лапласа, целые функции.

Mathematics Subject Classification: 32А15, 42В10

R.S. Yulmukhametov, Dual spaces то weighted spaces of locally integrable functions. © юлмухаметов Р.С. 2021.

Работа выполнена в рамках реализации Программы развития Научно-образовательного математического центра Приволжского федерального округа (соглашение № 075-02-2021-1393). Поступила 25 августа 2021 г.

1. Введение

Пусть Д — ограниченная выпуклая область в Мп и <р — выпуклая функция на этой области. Через Ь2(И, ф) обозначим пространство локально интегрируемых функций на И, для которых конечна норма

и

Система функций егх, где Ь = (^^..фф), X = (Ах,...,Ап) € Сп и ЬХ = ^Фк=1 tкХк, полна в гильбертовом пространстве Ь2(И, ф).; поэтому преобразование Фурье - Лапласа

С : Б ^ Б(Фх), X € Сп,

отображает сопряженное пространство Ы*(0, на некоторое проетранетво Ь2(И, ф) функций на Сп, В силу самосопряженности гильбертовых пространств это пространство Ь2(И, ф) состоит из функций вида

Т(Х) = I / € Ь2(В,ф,

и

в частности, Ь2(0,ф) является подпространством пространства целых функций. Пространство Ь2(0,ф) гильбертово относительно наведенного скалярного произведения

(1д) = (1,д)-

Заметим, что точечные функционалы 6\ : Р ^ Р(А) непрерывны в пространстве Ь2(И, ф) при любом А € Сп, Функцию

К(Х):= М2, А € Сп,

называют функцией Бергмана,

В данной статье рассматривается вопрос о весовом описании наведенной нормы в этом пространстве, В одномерном случае вопрос полностью решен в работе [2], в окончательной формулировке из работы [1] ответ выглядит следующим образом.

Пусть И — интервал вещественной оси и <р выпуклая функция на этом интервале, тогда пространство Ь2(И, ф) изоморфно пространству целых функций Р, удовлетворяющих условию

Ф)| < СК(г), г € С,

^||2 :=! Ау(Ш'+(х) < Будем считать, что ф € С2 а строго выпукла,

2. Выпуклые функции

В этом параграфе введем понятие регулярности и изложим некоторые его свойства. Пусть К — выпуклая область, ф € С2 (К) — строго выпуклая функция и

(I о)

у1 и^п

— градиентный вектор, а

с""л) = (Й « )!*=1

— матрица Гессе функции ф в точке Ь € К.

2

Строгая выпуклость функции ф равносильна положительной определенности ее матрицы Гессе:

(и,С(фф, t)u) > 0, ш e Rra, |М| = 1, teD. В частности, отображение Уф(£) инъективно при каждом t e К. Функция

ф(т) = sup(tr — фф(Ь)) гек

называется преобразованием Юнга, В общем случае преобразование Юнга ф — выпуклая функция в некоторой выпуклой области К. Если супремум достигается во внутренней точке области К, то, как следует го теоремы об обратной функции, ф дифференцируема в точке т, причем Уф(Уф(т)) = т. Дифференцируя это тождество, получим, что матрицы Гессе удовлетворяют равенству

С(ф, Щ(г))С(ф, t) = Е, teD,

где Е — единичная матрица. Область

Е (ф, ta, р) = {teD : (t — to)Gty, to)(t — ta) < p]

будем называть р-эллипсоидом функции ф в точке ta.

В окрестности любой точки ta Е К функция ф e С2, представляется по формуле Тейлора

ф(t) = <p(to ) + V<fi(to)(t — h) + 1(t — to)G(<p, h)(t — ta) + a(t0,t — t0)\t — t0\2,

где a(ta, e) ^ 0 при £ ^ 0. Положим для положительного p

П(ф, ta, p) = {teD : ф(t) — ф( ta) — ^(ta)(t — ta) < p],

тогда т(ф, ta,p) — некоторая выпуклая окрестпость точки ta, Рассмотрим условие: существуют числа q > 1, р > 0 такие, что

■1(t — ta)G^, ta)(t — ta) < \ф($ — ф^) — Уф(ta)(t — ta)\ ■ q

< 2 (t — ta )G^, ta)(t — ta), teE (ф, ta, p).

(2.1)

Лемма 2.1. Пусть р Е С2 — строго выпуклая функция в ограниченной выпуклой области, Б и \р{^)\ ^ при сИв^) ^ 0. Если р в точке х Е Ега удовлетворяет условию (2.1), то

Е(р,х,~) С П(р,х,р) С Е(р,х, Ц2р),

и

(W , 1 < mР)\ < Сп /W)f .

\qj v/detG('.p,x) v/detG('.p,x)

где через \A\ обозначен объем множества А, через d ist(t) — расстояние от m очки teD до границы D, а через сп — объем единичного шара в Rra.

Доказательство. Докажем, что П(р,х, р) С Е(р,х, 4q2p), Не уменьшая общности, будем считать, что х = 0, Возьмем t" e дт(р, 0,р):

р(т') — $(0) — Vp(0) т" = р.

Если т" e E(р, 0, р), то отрезок, соединяющий точку т" с точкой 0, пересекает границу эллипсоида Е(р, 0,р) в некоторой точке т' e m(p, 0,p):

т'G(p, 0)т' = p.

По условию (2,1)

1 V

ф(т') — ((0) — V((0)t > °)т' = Yq

Функция ((t) — ((0) — V((0)t выпукла по t, поэтому

р = ф(т") — m — vmr" > ({т,) — m,— vmr' и > р |г

|г'| 1 1 " 2q И

следовательно, |т''| < 2q|т'| и

.//12

т"С(!р, 0)т" = ^т'С(ф, 0У < Ц2р, |г |2

то есть т" € Е(<р, 0,4q2p) и требуемое вложение доказано.

Докажем включение Е(ф, 0, 2) С 0, р). Пусть т" € дЕ(ф, 0, 2):

т" С(ф 0)т" = Р-,

и предположим, что т" € Ф, 0,р)'.

$(т") — $(0) — Уф(0)т" > р. Отрезок, соединяющий точку т" с точкой 0, пересекает границу П(ф, 0,р) в некоторой

По условию (2,1)

значит,

((т') — ((0) — V((0)t' = р.

t'G((, 0)т' > 2(((т) — ((0) — V((0)T') = —,

Г) \т"\2 \т"\2 2г>

I = т" G((, 0)т" = y^T'G^, 0)т' > f^^

Я 1г'|2 1г'|2 Я

то есть |т"| < |г'| и т" € П(ф, 0,р). Получили противоречие, доказывающее включение

Е(Ф,X, 2) С р).

Из доказанных включений следует, что

Е fax,^

< |П((,x,р)1 < |Е((,x, 4pq2)l

Если А — положительно определенная матрица, то полуоси эллипса хАх < р, равны

,--" п

л/л^' Г'П,е ~ собственные числа матрицы А. Объем эллипса будет равен сп ^^...х , где сп — объем единичного шара в Мп, а А = \1...\п. Таким образом,

(Л2 1 М^ (4ря2)

П

В работе [1] введено понятие «объемного расстояния». Оно определяется по индукции по размерности пространства.

Пусть Е — некоторая выпуклая облаеть в Мп, х € Е. Если п = 1, то положим

У(1(х, Е) = т£||ж — y| : у € Е}

— обычное расстояние от точки х € Е до границы Е. Пусть величина ь(!(х, Е) определена в пространстве К" и Е С Кп+1, Возьмем точку х0 € дЕ такую, что

Ы||ж — y| : у € Е} = ф — Хо|.

Если таких точек на границе больше одной, то возьмем любую из них. Через точку х0 проходит единственная опорная гиперплоскость, ортогональная отрезку, соединяющему точки х и хо- Пусть Р — гиперплоскость, параллельная этой опорной гиперплоскости и проходящая через точку х. Размерность выпуклого множества Е1 = Р Р| Е равна п их € По допущению индукции величина ьс1(х,Е1) уже определена. Положим

у(1(х, Е) = ь(1(х, Е1)\х — х0|.

Например, для эллипса Е в Мп с полуосями а1,...,ап и с центром в начале координат, как легко видеть, ьй(0,Е) = а1...ап.

Лемма 2.2. Пусть р € С2 — строго выпуклая функция в ограниченной выпуклой области, Б и \р(1)\ ^ при сИв^) ^ 0. Если р в точке х € Еп удовлетворяет условию (2.1), то

\2 д п )

(¿еЬС(р,х))-2 < у^х, О(р,х,р)) < (4д2р)п(д^еЬС(р,х))-2

С

начало координат, и Н(х) — опорная функция этого множества, то

1

V (1(0,С)

< / е -н(х)(1х <

(2 п) п

V(1(0, С)'

По лемме 2,1

Е

- С О( ^f,х, р) С Е (р,х, 4Р д ).

(2.2)

х = 0 Н( )

О = О(р, 0,р), Н— Н+ — опорные функции эллипсоидов, соответственно, Е- = Е(р, 0, |) и Е+ = Е(р, 0, 4рд2). В силу последних двух соотношений

(2п)-пу(1(0, Е-) < V(1(0, О) < ус1(0,Е+). Как уже отмечалось выше, V(1^0,е(^р, 0, равна произведению полуосей эллипса, то есть (А1...Ап)-2, где А1,..., Хп — собственные числа матрицы Гессе С(р, х), при этом

С(р, х) = А1...Ап

□

Теорема 2.1. Пусть р € С2 — строго выпуклая функция и \р(1)\ ^ при

(Ив^) ^ 0. Если р в точке х € Еп удовлетворяет условию (2.1) с р = 1, то для А € Сп, х = КеА

(п9 2 < К (А) < е2(4п2д )п(1 + п\)у^Щ&х)е2^х).

е(1 + п!)

Доказательство. По неравенству Коши для Р = / € Ь2(Б,р)

\ *х(Р )\2 =

И

< II п2 е2хЛ

х = А,

И

причем в этой оценке равенство достигается на функции £ \(Ь) = еТаким образом,

К( А)

Же м-

Ае Сп

И

2

В [1, Теорема 2] показано, что

- \- е 2 К*) < [ е2*<-2Ф) dt < е2(1 + п)(2пТ еw*) х е R.

еф1 + п\)vd(Q(ip,x, 1)) J ~ vd(Q(<p,x, 1))

D

Остается воспользоваться леммой 2,2, □

Лемма 2.3. Пусть ф Е С2 — строго выпуклая функция в ограниченной выпуклой области, и \i(t)\ ^ при dist(t) ^ 0. Тогда, сопряженная, по Юнгу функция ф удовлетворяет условию Липшица

\ф(х) - ф(у)\ < sup\t\ • \х - у\, х,у Е in. te d

Если ф в точке х Е in удовлетворяет условию (2,1) с р = 1, то

det G(i, х) < (16q2d2)n, х Е in,

= sup e D | Доказательство. Пусть

ф(х) = хЪ* - ip(t*),

тогда

ф(х) - ф(у) < хЬ* - i(t*) - (yt* - t*)) = (х - у)t* < d\х - у\. х

Из липшицевоети следует, что множество Щ(ф,х, 1) при любом х Е in содержит шар радиуса ^ с центром в х. В самом деле, если \х - у\ < то поскольку ^ф(х) Е D, то

ф(у) - ф(х) - Vф(х)(у - х) < 2d\х - у\ < 1.

Следовательно,

\Щ(ф,х, 1)\ > Cn(2d)-n, х Е in Отсюда и по лемме 2,1 получим второе утверждение, □

Возьмем некоторое е > 0 и положим

р(х, е) = max(1, (det G(i, х)-£).

i Е С2 D

\l(t)\ ^ при, dist(t) ^ 0 и ф в каждой точке х Е in удовлетворяет условию (2,1) с некоторым q, не зависящим от х, и с р = р(х, е), кроме того, выполнено условие: для некоторого qi > 1

- < СЫ У\ < qi при УеЕ (ф,х, р(х)), х Е in (2.3)

qi detG^^)

Тогда,

Г Р 2 у t

У J^detG(i, y)dy х e2Kt), t Е D. i"

Доказательство. По теореме 2,1

det G(i, y)dy х f e2yt-2К^(у)л/detG(i, y)dy, t Е D,

2 у

J К (у)

i" i"

х = V i ( )

det G(ф, y)dy У f e2yt-2Ky)^&etG(i, y)dy, t = Vlp^) Е D,

e2*

К( )

Е(К,*,1)

И по условию (2,3)

/р 2уЬ Г

—- у)йу У ! е2уЬ-Ър(уЧу, г = Ч$(х) € Б.

К" Е(Ср,х,1)

Поскольку

у1 — р(у) — р(1) = — (р(у) — р(х) — V р(х)(у — х)) >—1, у € О(р,х, 1), (2.4) и из (2,2) это же верно для у € Е (р, х, , Тогда

1'

К( )

К"

и по лемме 2,1

е2уЪ-2<рЦ) ^ ___

С(р, у)йу У у det С(р, х)

Е {р,х,1[)

г = V р(х) € Б,

е2уг-2<р(г) ^

detG(р, у)с1уу 1, г€Б.

К( )

Перейдем к оценкам сверху. Положим х = Vр(t) и Е(р,х,р(х)) = Е(х) и оценим интеграл Е( х)

/р 2у^ Г

—-detG(P, y)dy^v/detG(P,х) е2у*-Му)¿у, г € Б. (2.5)

К( )

Е(х) Е(х)

По представлению в (2.4) и по условию (2.1)

у е 2у1-2ф{у)-2^¿у ^ J е-^(у-х)°(¥,х)(у-х)^у ^у е-^(у-х)С(&х)(у-х)^у. Е(х) Е(х) К"

Положительно определенная форма G может быть приведена к диагональному виду с помощью поворотов пространства. После соответствующих замен получим

Г е2уг-2т-2м ёу ^ (2я)^ Г е

J л/det G(р, х) J

Е(х) К"

detG(р, у)йу < 1, г€Б. (2.6)

Отсюда и из (2.5) следует оценка

Г е 2у1-2<р(1)

У К (у)

Е( х)

Для оценки интеграла по Кп\Е(х) воспользуемся ограниченностью det G(р, х), доказанной в лемме 2.3, и теоремой 2.1:

/ 2уЬ-2(р(Ь) г _

К {у) det G(P, у)Лу< у е2(уу/^кЩ^йу

Кп\Е(х) Кп\Е(х) ^ ^

^ У е2(у-^(у)-^))(1у, г € Б.

Е(х)

Пусть у € дЕ(х), тогда по условию (2.1)

1

р(у) — р(V — х = р(У) — р(х) — VP(х)(У — х) > — (У — х)G(P,х)(У — х) = —,

2 2

значит,

р(у) — р(1) — хЪ > , у€Е (х), 2

тем самым, Кп \ Е(х) С Кп \ 0,((р,х, 2р^). Следовательно, из (2,7) следует

J у)*у < ! е2(У-*(У)-*(Щу, г € Б. (2.8)

Кп\Е(х) К"\П(ф,х, )

Из представления

те

у е ^т^тау = ! е-2¿ф)

К,п\0,(Ср,х, ) рМ

получим

е 2(уг-т-ч>т ¿у = е-^ +2 I а(1)е-2Чр. (2.9)

) рМ

По лемме 2.1

{р(х)\ - рМ , Сп . . - £М

4 < (2д)п лг-, ч(яж))2е 9

< (2д)п вирр?+1 е-? := (2д)п • М.

р

По неравенству Минковского для смешанных объемов функция (аф))« вогнута на поэтому

х)

или

п

п

■и<<"

По лемме 2.1 и по определению р(х) (р(х) > 1)

аф) < (2д)2п(р(х))-?+1Г < (2д)2пГ, при — п + - < 0.

2

Если — п + ^ > 0 то при Ь >

а(г) < (2д)2п(р(х))-5+1Г < (2д)+М+^, следовательно, в любом случае

те

2 ! а(Ь)е-2Чр<М1(д, е).

рм

2д

Отсюда и из (2.8)-(2.10) получим

Г е2у1-2<р(1) ^

У к {у) detG(^, У)а У^

К" \ Е(х)

С учетом (2.5), (2.6) имеем требуемую верхнюю оценку. □

п 1

3. Доказательство основной теоремы. Пространство функций конечного

порядка в круге

В этом параграфе мы намерены доказать основной результат данной статьи.

Теорема 3.1. Пусть ф Е С2 — строго выпуклая функция в ограниченной области И, \фф)\ ^ при, сИв1,ф) ^ 0 и ф в каждой точке х Е К1 удовлетворяет условию (2.1) с Р = р(х) и условию (2,3). Тогда, в пространстве Ь2(И,ф) норма

||Е|2 = / \Е(х + гу)\

2 det С(р, х)йхйу

К (х)

К" К"

эквивалентна исходной (наведенной из Ь*(0,ф)) норме.

Доказательство. Возьмем функцию Е е Ь2(И, ф), то есть для некоторой / е Ь2(И,ф)

Е(х + гу) = Т(х + гу) = I егу' ~](ф) сИ.

о

При фиксированном х Е Кга положим

д(ф) = е х-2 ^ 7(ф, 1еБ, и д(ф) = 0 при Ь Е И, Пусть — классическое преобразование Фурье функции д. Тогда

Е(х + гу) = д(-У), УЕ Г\

и по формуле Парееваля

[\Р(х + гу)\2(1у = ( е2х-4^) \уф)\2^.

Следовательно,

о

|2 1 detG(ф,х)

1|ЕII2 = I | I \Р(х + гу)\ ау 1 Кх ><Ъ

2 х

По теореме 2,2

У \¡т2еу КщdetG(íp,х)dх | ¿1.

1|ЕII2 \¡Ф)\2е

о

□

Замечание 3.1. Поскольку утверждение теорем,ы, 3.1 носит асимптотический характер, то будет верна, и следующая теорема.

Теорема 3.2. Пусть ф Е С2 — выпуклая функция в ограниченной области И и строго выпуклая в окрестности, границы И, \^ф(Ф\ ^ при, сИв1,ф) ^ 0 и ф в точках х Е К1

= ( х)

Тогда, в пространстве Ь2(И,ф) норма

||ЕЦ2 = / \Р(х + гу)\

2 det G(ф, х)йхйу

К( х)

К" К"

эквивалентна исходной (наведенной из Ь2(И,ф)) норме.

В качестве примера рассмотрим функции p(t) = а(1 — |i|) 3, 3 < 0, в единичном круге В (0,1), Непосредственно вычислим

р(х) = |х| — ф|а, ж g Rra, где а = з3 и с = (а/3)'Р+2 (а + 1). Для простоты будем считать, что с = 1 и п = 2:

¡р(х) = |ж| — 1х1а, х G R2.

Проверим выполнение условий теоремы 3,1, В силу радиальности достаточно рассмотреть точки на луче ж = (t, 0), t > 0, Непосредственно вычислим градиентный вектор

V р(х) = (х^х- — аЖ*-2), х2(|х|-l — а^*-2)),

и матрицу Гессе

^ = х^х- — а^"-2 — а(а — 2)|х|a-4хl

= х1|х|-3 — а^*-2 — а(а — 2)|х|a-4хl (3.1)

g§) = —х^х- + а(а — 2М*-4). В точке х0 = (t, 0) имеем

V р(хо) = (1 — аГ-1, 0), = а(1 — а) ta-2,

= t-1 — аГ-2, (3.2)

д2Ихо) = 0 дх\дх2 '

Матрица Гессе в точке х0 имеет диагональный вид, следовательно, Л1(хо) = а(1 — а) ta-2, \2(хо) = t-1 + (1 — а)аГ-2 — собственные числа матрицы G(lp, х0) и при е = 2(г-а)

р(х0) х ¿"2 , t ^ <Х).

Проверим выполнение условий (2.1) и (2.3). Оцепим полуоси эллипса Е(<р,х0,р(х0))

, , РЫ) ,1_ а , , РЫ) ,1 + а

а1Ы = \1 ЛфГ) xt ' • a2{[T0) = iЛфГ) х 12+'

Л1(х0) ' у Л2(х0)

в частности, для х G Е(<р,х0,р(х0))

хt2+т, |х1| х |х0| = t, ^ — х0|х t. (3.3)

Пусть х G Е (<р,х0, р(х0)) и положим Ш = х = Уш + х0, и(у) = р(уш + х0), у > 0.

Из (3.3) получим

дх2 Ш ш1, дх2 ш2 Ш2. (3.4)

12 Поскольку х2 = ^ — х0|ш2l то

д2р(х)

-Ш1Ш2

х t-1u2.

дх1дх2

Отсюда и из (3.2), (3.4) имеем

шG(íp,х)ш X шG(íp,х0)ш.

х0 х

шG(íp,х)ш хшG(ífi,х0)Ш. (3-5)

По теореме о среднем

ф(х) - ф(хо) - Чф(хо)(х - хо) = (х - Xo)G(ф,х*)(х - хо),

где х* — точка на отрезке, соединяющем х0 с х. По соотношению (3,5)

ф(х) - ф(хо) - Vф(хо)(х - хо) х (х - хо^(ф,х*)(х - хо),

то есть выполняется условие (2,1),

В силу (3,2) det G(ф, х) х \х\а-3, поэтому условие (2,3) выполняется очевидным образом. Таким образом верна теорема.

Теорема 3.3. Если И = Е К2, Щ < 1 ф(Ь) = а(1 - Щ)-13, 3 < 0}, то пространство Ь2(И, ф) как нормированное пространство изоморфно пространству целых функций Е (х), х = х + г у Е С2, для которых

||F||2 := \F(х + гу)\2е-2\*\-2(^ß+1 («+DMß+1 (1 + \х\)^dxdy < ж

где а = .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. P.A. Башмаков, К.П. Исаев, P.C. Юлмухаметов. О геометрических характеристиках выпуклых функций и интегралах Лапласа // Уфимск. матем. журн. 2:1, 3-16 (2010).

2. В.И. Луценко, P.C. Юлмухаметов. Обобщение теоремы Пэли - Винера, на весовые пространства // Матем. заметки, 48:5, 80-87 (1990).

Ринад Салаватович Юлмухаметов, Институт математики с ВЦ УФ! Ii I РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]