О проективных плоскостях над слабо-дистрибутивными телами и ip_{0}vw-системами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Апрель-июнь, 2000, Том 2, Выпуск 2

Юрию Леонидовичу Ершову к его шестидесятилетию

УДК 512.552.32+514.146.7

О ПРОЕКТИВНЫХ ПЛОСКОСТЯХ НАД СЛАБО-ДИСТРИБУТИВНЫМИ ТЕЛАМИ И /Р0У1¥-СИСТЕМАМИ

И. А. Хубежты

в работе представлен обзор результатов полученных автором в [3-7] о существовании слабо-дистрибутивных алгебр, почти-алгебр, тел, I Р^УШ-систем и их некоторых обобщений. Полученные результаты указывают на существование новой области исследований в теории алгебраических систем.

Сначала приведем формулировки теорем Холла и Холла - Цассенхауза.

A. Теорема Холла [1]. Пусть Р - поле действительных чисел, ¡(г) = г2 -ФФ-гг -ФФ-з — многочлен, неприводимый над Р. Тогда множество В = {а+ Ьи \ ч . I) (г /•'. и $ /•'}■ составляет УШ-систему относительно следующих операций:

(1)г®ю=г + ю, г = + г2и, ш = шх + т-> Р. и $ Р),

(2) (а + Ьг)д = д(а + Ьг) = да + дЬг (д, и. Ь С- /•'. г ^

(3) (с + г!г) о г = г1з + г(с + йг) (с, ¡1. г. н с- /•'. г ^ /•').

B. Теорема Холла — Цассенхауза [1, 2]. Пусть Р — поле, отличное от поля (Л-'('2к). и /(;) = г2 -ФФ-гг -ФФ-з — неприводим над Р. Тоща множество М = |А(/ — 1> ч. 1> (г /•'. А ^ /•'}■ представляет специальную правую УШ-систему относительно следующих операций:

(1) (Аах + Ъг) + (Аа2 + Ь2) = А(ах + а2) + {Ъг + Ь2) (а*,к е Р),

(2) д(г + т) = дг + дт = (г + и))д, д С- /•' (гт 0 .Р),

(3) (Аа + Ь)(Ас+ б?) = А(аб?-ФФ-Ьс+ г с) + Ьб?-ФФ-а^ф2 ^Ьг^в).

Перейдем теперь к раскрытию темы.

1. О некоторых слабо-дистрибутивных алгебрах и почти-алгебрах

1. Определение [3]. Алгебраическую систему В(+, •), операции которой удовлетворяют условиям

(1) В(+) — абелева группа,

© 2000 Хубежты И. А.

(2) £?(•) — группоид с единицей е,

(3) а(е + Ь) = а + аЬ (Уа, Ь),

(4) (а + е)Ъ = аЬ + Ь (\/а, Ь), назовем слабо-дистрибутивным кольцом (а если выполненно только одно из условий (3) или (4), то слаб о-дистрибутивным почти-колъцом).

2. Определение. Линейное пространство, оснащенное структурой слабодистрибутивного кольца, назовем слабо-дистрибутивной алгеброй. Слабодистрибутивную алгебру с обратимым умножением, в которой уравнения ах = Ь. ус = а, аг = Ьг + с и Ьа = Й + с, а ф Ь. однозначно разрешимы относительно х, у, г и назовем слабо-дистрибутивным телом.

3. Теорема [3]. Пусть в условиях теоремы Холла /•' = 67-'(22,''+|) и /(г) = г2 + г + 1. Тоща система Н\ = {а + Ьи\ а,Ь е /•'. и ^ /•'}• со следующими операциями сложения и умножения:

(1) (аг + а2и) + (Ьг + Ь2и) = (аг + Ьг) + (а2 + Ь2),

(2) (г + = гд + шд = ^(г + ад) (<? е .Р),

(3) (с + г!г) о г = 1 + г(с + б?) (с, г! е Р) будет слабо-дистрибутивной алгеброй.

4. Примечание. Простейшим примером слабо-дистрибутивного кольца служит кольцо целых чисел.

5. Определение [4]. Линейное пространство, оснащенное структурой левого (правого) слабо-дистрибутивного почти-кольца, назовем левой (правой) слабо-дистрибутивной почти-алгеброй. Слабо-дистрибутивную почти-алгебру с единицей, в которой уравнения ах = Ь, уа = с, аг = Ьг + с, 1и = 1.1) —е.. а ф I). однозначно разрешимы относительно х, у, г, /. назовем слабодистрибутивным левым (правым) телом или слабо-дистрибутивной левой (правой) 1РоУШ-системой.

Построим примеры слабо-дистрибутивной левой почти-алгебры (теорема 6) и слабо-дистрибутивной алгебры (теорема 7).

6. Теорема [1, 4]. Пусть в теореме Холла f(z) = г2 -ФФ-гг -ФФ-з неприводим над полем Р ф СР(2к) и во множестве В2 = {а+Ьи а. Ь /•'. и ^ /'} умножение элементов определено следующим образом: ш о г = (с + г!г) о г = з + г(с + г!г), тогда I }•>(—. о) будет слабо-дистрибутивной левой почти-алгеброй.

7. Теорема [4]. Если в коммутативной неальтернативной эластичной алгебре над полем /•' = 67-'(2''') определить новое умножение по правилу: х о у = \/ху\/х, то она будет представлять некоммутативную и неэластичную правую почти-алгебру 1?з(+, о) в которой (у + 1) о х = у о х + х.

2. О некоторых слабо-дистрибутивных телах и /Ро^И^-системах

Докажем существование 1Р-справа левой //оШ'-спстемы В5(+,•), в которой а(Ь + 1) = аЬ + а и аЬ ■ Ь = а • 66.

8. Теорема [4]. Для /•' = С1-'{2'л'+1) и трехчлена ¡{г) = г2 + г + 1, неприводимого над /•'. множество М = {а + Ьи\а,Ь £ /•'. н. ^ /•'}• относительно операций (+) и (о), определенных в формулировке теоремы Холла, составляет УИг-систему, в которой имеют место условия:

(0) г о (1 + ¿) = г + г о

(1) г о г^1 = г^1 о г = 1, г Ф 0;

(2) (ш о г) о г = ш0(г о г) (Уш, г);

(3) (ш о г) о г^1 = ы, г 0:

(4) г^1 о (г о г) = г (Уг ф 0).

9. Для построения примера 1Р- слева правой / / о V 11;-сш:т(!мы И с,. в которой (а + 1)6 = аб + 6 для любых а, 6 и а • аб = аа • 6, мы воспользуемся теоремой Холла — Цассенхауза.

10. Теорема [5]. Пусть в условиях теоремы Холла — Цассенхауза /•' = 67-'(22,''+|). /(.г) = ж2+ж+1. Тогда1?(+,о) будет представлять 1Р-слева правую 1Р0УШ-систему, в которой (1 + 6) о с = с + 6 о с и а о (а о 6) = (а о а) о Ь, т. е. систему В6(+, о).

11. Теорема [5]. Не во всякой левой (правой) //'(Д'И-системе //(,(—. •) из тождества а(6+1) = аб + а следует тождество а(6 + с) = аб + ас (соответственно из (1 + а)6 = 6 + аб следует (а + Ъ)с = ас + 6с).

< Доказательство теоремы 11 следует из существования тел /!-,(—. •) и В6(+,-), см. 8 и 10. >

Из 8, 10 и 11 следует, что существуют право-альтернативные слабодистрибутивные тела, не являющиеся лево-альтернативными слабо-дистрибутивными телами.

О существовании слабо-дистрибутивных алгебр и почти-алгебр, в которых выполняются условия (Г1 а = шГ1 = 1, а • аа = аа • а, а = а^1 • аа = аа • а^1 (Уа 0), гласит следующая

12. Теорема [4]. (1) Система В5 (В Ве = {(.г,-. //,-). .г,- е /!-,• //; е /Д; }■ представляет слабо-дистрибутивную алгебру В7, в которой имеют место равенства

(а+1)6 = а6 + 6 и а(Ь+1)=аЬ + а (Уа,Ь).

(2) Система В5 ф А^, где .1/,. — тело Клейнермана, представляет левую 11>(,\ УУ-спсгему В$, в которой а(Ь + 1) = аЬ + а.

Очевидна следующая

13. Теорема. Всякое левое (правое) слабо-дистрибутивное почти-тело есть левое (правое) почти-тело. Всякое слабо-дистрибутивное ассоциативное тело есть ассоциативное тело.

14. Теорема [3]. Слабо-дистрибутивное тело В(+, ■), в котором выполняются условия аа = 1, (у ■ гу)х = (уг • у)х = у(г • ух) (Ух, у, г) и а~1 ■ аЬ = Ь = Ьа ■ аГ1, есть поле.

< В силу (а+1)с = ас+с, а(Ь +1) = аЬ + а, справедливых в В(+, •), имеем:

с(х + у) = с((ху^г + 1)у) = с((ху^г + 1) • с£) = (с(ху^г + 1) • с)£

= ((с • ху^1 + с)с)£ = (((с • ху~1)с + 1) • с)£ = ((с • ху~1)с + 1)£ = ((с • жу-1)с)£ + с^1 • с£ = с(жу-1 • с£) + £ = с(жу-1 ■ у) + с ■ ct = сх + су.

В силу 1)4 = (I ==>■ а = Ь(1. (1а~1 = Ь = г!а ==>■ а = г!Ь ==>■ ¡11) = 1x1 (Уа, Ъ, (!) в £?(+, •) выполняется равенство (а + Ъ)с = ас + Ьс и поэтому она, в силу теоремы Жевлакова [8], является полем. >

15. Теорема [4]. Слабо-дистрибутивная левая IРУШ-система, в которой выполняется аа = 1 для всех а, есть неассоциативное и коммутативное слабодистрибутивное тело.

В следующей теореме устанавливаются некоторые достаточные условия, при которых левая слабо-дистрибутивная //'о V И'-система является слабодистрибутивным телом.

16. Теорема. Слабо-дистрибутивная левая I Р0У\¥-система В(+, •) характеристики р ф 2, в которой имеют место условия

а^1 • аЪ = Ъ, Ш ЕС(В0)ПК(В0), а^г(аЬ^а+1) = 1 + а^1 (Уа ф 0),

есть слабо-дистрибутивное тело.

Доказательство опирается на теоремы (С) и (£)). Приведем формулировки этих теорем.

С. Теорема [5]. Левая I РоУШ-система, в которой выполняются условия

(0) 1 + 1 ф 0,

(1) аГ1 ■ аЬ = Ь (УафО,Ь),

(2) а(1 + 6) = а + а,Ъ (Уа,Ь), является альтернативным телом.

О. Теорема [5]. В левой 1Р$У1¥-системе Х\, в которой выполняются условия

(0)1 + 1 = 0,

(1) аГ1 ■ аЬ = Ь (УафО,Ь),

(2) a(b + 1) = ab + a (Va, 6), выполняется также a(b + с) = ab + ac (Va, b, с).

Примерами других слабо-дистрибутивных //^V И'-систем являются:

1) В5 ф Х7 = 1?ю, где Л'т — правая //'оV U-система:

2) В6 0 Л*. = В9;

3) е Л*, = В8 и т. д.

3. Коллинеации в плоскостях над некоторыми слабо-дистрибутивными телами и /Ро^^-системами

Легко показать, что в инцидентностной структуре над слабо-дистрибутивной алгеброй В, существуют:

(1) четыре точки общего положения;

(2) не соединяемые точки ([(a,i,bi) {//•_>- /'•_>)] = [у = жга + /] 1>\ ■<=■!>■> = а±га -ФФ-агш не всегда разрешимо относительно m);

(3) пара непересекающихся прямых (точка [у = Ь] П [у = хт] может не существовать, ибо хт = b может не иметь решения);

(4) 3-ткань прямых {[у = bj]},{[x = a,j}}, {[у = .г — l>j ■Ф^-а,-] }• пучков с центрами (0), (оо) и (1) соответственно.

17. Теорема [6]. В инцидентностной структуре над П\ (см. теорему 3) без делителей нуля преобразования (при а • га о t = uni + I. ) :

(1) (а, с) —У (а + 1, с), (га) —(га),

(2) (а, с) (а, с + а) ; (m) (га + 1),

(3) (ж, у) —(ж + 1, yb + бГ), (m) (mb), где b Е К(В{)

являются соответственно ((0),1оо)-элацией, ((оо),[ж = 0])-элацией, и нецентральной коллинеацией.

О коллинеациях в проективных плоскостях над слабо-дистрибутивными телами и //'оШ'-спстемамп. гласят теоремы 18-26.

18. Теорема [7]. В плоскости В* над правой IP0VW-системой £?(+,•), в которой (1 + a,)b = b + a,b, преобразование (х, у) —(sxa + с, syb + d + (sxa, + c)d), (га) —(a^1 • mb + d) является коллинеацией при s E К (В), a E N(B), с = 1 +----h 1, b E K(b) и любом d.

19. Теорема. В плоскости В* над слабо-дистрибутивной левой IPqVW-системой £?(+,•) преобразования

(0) (ж, у) (ж + 1,2/ + 6);

(1) (ж, у) (-ФФж, -Ф4у), (m) (га);

(2) (ж, у) ->• (жа, yb), (m) ->• (а^1 • mb); a E N(B), b Е К(В) являются коллпнеацпямн.

20. Теорема [7]. Преобразование (ж, у) —(ж, xk + у -ФФ-yfc), (га) (га + /.: -ФФ-rafc) в плоскости над правой слабо-дистрибутивной IPqVW-системой В является коллинеацией при k = 1 + • • • + 1 Е К (В) П С (В).

21. Теорема. В плоскости преобразования:

(1) (а, с) —(а+ к, с + d), (га) (m),

(2) (а, с) (а, с + а), (ш) (m + 1),

(3) (а, с) (с, а), (m) (га^1), (оо) (0),

(4) (ж, у) —(sy6 + d, sxa + syb + d), (га) —(б^1 • m~1a +1), а, 6 e N(B), s e K(B), Vd,

(5) (а, c) (ya^1, жа), (m) (am"1 • а), а e N(B$) являются коллннеацнямп.

Справедлива и следующая классификационная

22. Теорема. Проективная плоскость В* над тернарным кольцом с условиями: 1 + 1 = 0 и сшГ1 = аГ1 a = 1, в которой существуют коллинеации:

(1) (ж, у) —(ж + а, у + Ь), (га) —(га),

(2) (ж, у) —(ж, у + х), (га) —(га + 1),

(3) (ж, у) ^ (ж, у), (т) ^ (га^1), (оо) ^ (0),

(4) (ж, у) —(ж, уб), (т) (габ), V6, представляет плоскость И?.

< Поскольку из существования (1) в В* следует выполнение всех аксиом левой //оШ'-спстемы. а из существования (2), (3) и (4) соответственно следуют тождества а(6 +1) = ab + а, Va, 6; ba • а~1 = b. Ун- ф 0.6 и са • b = с • ab =>■ сЪ ■ b = с • 66, то теорема доказана. >

23. Теорема. В плоскости ИЦ следующие преобразования являются коллннеацнямп:

т~1 '■ (ж, у) —(аж, а^ху), (ш) (а^1 • а-1га), а е N(Bq) П C(Bq),

72 : (ж, у) (ж, у + хк), (ш) (т +к), У к,

Тз ■ (ж, у) (ж, хк + у -ФФ-yfc), к е Nr П К(В6),

24. Примечание. Плоскость ПЦ характеристики 2 дезаргова, earn в ней существует коллииеация (3) в теореме 22, ибо (3) -ФФ- {6а • а^1 =6, (а + 6)с = ас + 6с}, а система Bq cba-ar1 =Ъ, есть альтернативное тело в силу следующей теоремы Мальцева:

E. Теорема [10]. Кольцо с единицей, в котором а-1 • ab = 6 = ba • а-1, есть альтернативное тело.

Следовательно, оно будет ассоциативным телом характеристики 2, в силу теоремы Линника:

F. Теорема [9]. Альтернативное тело характеристики 2 ассоциативно.

25. Теорема. В проективной плоскости В$ преобразование (*) : (ж, у) — (ж + р,р-1(у + 1)), р G С(В%) П К(В%), является нецентральной коллннеацпей.

4. О конфигурационных свойствах плоскостей над некоторыми слабо-дистрибутивными телами

Здесь установлены некоторые достаточные условия муфанговости или де-зарговости или же папповости некоторых слабо-дистрибутивных плоскостей.

26. Теорема. Если в плоскости В$ имеет место локальное выполнение теоремы Dio [Н]> соответствующее квазитождеству аГ1 • a,b = Ь, то она муфаи-гова.

< Доказательство соотношения D\o <=• г/ 1 -ч1> = Ь приводится в [1]. Тернар же В8 с аГ1 a,b = Ь, в силу (С) есть альтернативное тело. >

27. Теорема. Если в плоскости В* над левой IP0VW -системой £?(+, •) характеристики 2, в которой a(b + 1) = ab + a, Va, b, имеют место:

(1) локальное выполнение Dю, соответствующее соотношению ч~1 • ab = b;

(2) локальное выполнение теоремы Паппа П [11], соответствующее системе образующих точек 1 = (оо), 2 = (а, а), 3 = (1, а), 4 = (0, 0), 5 = (1, Ь), 6 = (Ь, //). то плоскость В* будет папповой. Если же в ней имеют место: (1) и

(3) локальное выполнение Dio, соответствующее квазитождеству ba - a^1 = I). Va ф 0. b. го плоскость В* будет дезарговой.

< I. Из Dю следует аГ1 • ab = Ъ (см. [1]) в тернарном кольце.

При указанной системе образующих точек П (см. [11]) справедливо «П ab = ba».

В силу теоремы Жевлакова [8], в условиях теоремы тернарное кольцо плоскости В* является полем. Первая часть теоремы доказана.

II. В условиях теоремы, из локальных выполнений Dio следует аГ1 • a,b = b ж ba • аГ1 = b в тернарном кольце.

В силу теоремы D в тернаре будет выполняться чЦ> + с) = ab + ас и поэтому он будет представлять кольцо с вполне обратимыми элементами. В силу теорем Мальцева Е и Линника F, такой тернар будет ассоциативным телом характеристики 2. Плоскость же над этим тернаром дезаргова. Вторая часть теоремы 27 доказана. >

Очевидна и следующая

28. Теорема. Если в проективной плоскости над слабо-дистрибутивным телом В характеристики 2 имеют место локальные выполнения условий (3) и (4) из теоремы 27, то плоскость В* дезаргова.

Справедлива следующая

29. Теорема [4, 5]. В плоскости М* над слабо-дистрибутивным телом имеют место локальные выполнения теоремы 1,\о и Бола В [12], соответствующие следующим системам их образующих точек: {4 = (0), 2' = (1, ш), 7 = (оо), 3 = (1 + 6,1),! = (0,0)} и {Ei = (0, ac), Q2 = (Ь, Ьс), А = (1 ),Е2 = (a,ac),Qi = (0, Ьс),В = (0, 0), С = (0)}.

< Доказательство следует из соотношений: «Ью => (1 + b)m = т + Ът» [4] и «В => 6(1 -фф-с) = Ь -Ый-.» [31]. >

В силу работ Аргунова [11] и Скорнякова [12] легко доказывается

30. Теорема [4, 5]. В плоскости !Щ имеют место:

(1) локальное выполнение теоремы Бола, соответствующее системе образующих точек, указанных в теореме 29;

(2) локальное выполнение соответствующее системе образующих точек, указанных в теореме 29;

(3) локальные выполнения второй малой теоремы Наина (11 •_>) соответствующие следующим наборам ее образующих точек:

а) 1 = (а, а), 2 = (0.0). 3= (1,1), 4= (0),5 = (оо),

б) 6 = (0,0), 5_= (1, а), 7 = (а, а), 8 = (0),0 = (оо),

c) 5 = (а, аа), 6 = (оо), 7 = (1, аа), 8 = (0), 0 = (0, 0),

d) 5 = (а, а), 6 = (0), 7 = (1,1), 8 = (0, 0), 0 = (оо),

влекущим за собою, соответственно, квазитождества а-1 а = 1; а • аа = аа • а; аа ■ а^1 = а = а^1 ■ аа.

Очевидно, что в плоскости ПЦ теорема /. ю выполняется аффинно на прямой /оо и имеет локальные выполнения на прямой [х = 0], ибо И?, есть левая V И'-система, в которой ааГ1 = 1 = аГга, Ьа, • а~1 = Ь и а(Ъ +1) = ab + а, что в П? теорема 7з имеет локальное выполнение с квазитождеством 1 + 1 = 0 и, что плоскость /¿5 представляет некоторое обобщение муфанговой плоскости.

Что же касается плоскости ПЦ. то она представляет правую VW-плоскость, в тернарном кольце, в которой: ааГ1 = 1 = (Г1 а. аГ1 • аЪ = Ъ, (1 + а)Ь = Ь + ab и 1 + 1 = 0, т. е. она двойственна плоскости П?. В ней /. ю имеет локальные выполнения на [х = 0] и [у = 0].

Аналогичным образом изучаются конфигурационные свойства плоскостей над другими слабо-дистрибутивными телами и //о V И'-системами.

31. Примечание. Было бы интересным изучение слабо-дистрибутивных алгебр, почти-алгебр, тел, / 1\Л И'-систем и их обобщений и применение их к дальнейшему описанию инцидентностных структур В*.

Литература

1. Холл М. Теория групп.—М.: Мир, 1962.

2. Zassenhaus Н. Uberendliche Fastkorper // Abh. math. sem. Hamburg.—

1936,—V. 11. P. 187-220.

3. Хубежты И. А. Об инцидентностных структурах над алгебрами со слабыми дистрибутивными законами // Деп. в ВИНИТИ.—1989.—109-В89.

4. Хубежты И. А. О некоторых классах алгебр и инцидентностных структур.—

Владикавказ: Изд-во СОГУ, 1994.

5. Хубежты И. А. О некоторых почти-алгберах с обратимым умножением // Деп. в ВИНИТИ. 1993. 1357 В93.

6. Хубежты И. А. О коллинеациях в сверхслабых / V И'-плокостях // Между пар. науч. конф. по алгебре. Сб. тезисов, Красноярск.—1993.

7. Хубежты И. А. О V И'-плоскостях и их некоторых обобщениях.— Владикавказ: Изд-во СОГУ, 1992.

8. Жевлаков В. А., Слит,ко Л. А/.. Шестаков И. П., Ширшов А. И. Альтернативные алгебры.—Новосибирск, 1976.

9. Лиииик ДО. В. Кватернионы и числа Кэлли // Успехи мат. наук.—1949.— Т. IV, Вып. 5. С. 49-65.

10. Мальцев А. И. Алгебраические системы.—М.: Наука, 1970.

11. Аргунов Б. И. Конфигурационные постулаты и их алгебраические эквиваленты // Мат. сб.—1950.—Т. 26.—С. 425-456.

12. Скорняков Л. А. Проективные плоскости // Успехи мат. наук.—1951.— Т. VI, Вып. 6,—С. 112-154.

г. Владикавказ

Статья поступила 30 июля 2000 г.