О бесконечной плоскости Фано Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Алимов Ш.А., Ашуров Р.Р., Пулатов А.Г. // Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. М., 1989 г. Т. 42. С. 7-104.

4. Кочарян Р.С. // Изв. вузов. Математика. 1968. № 4 (71). С. 48-53.

5. Джваршейшвили А.Г. //Тр. Тбилисск. матем. ин-та. 1963. Т. 29. С. 147-167.

Ростовский государственный строительный университет 5 сентября 2005 г.

УДК 512.552.32+514.146.7

О БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛОСКОСТИ ФАНО

© 2005 г. И.А. Хубежты

It is given a description of an infinite plane Phano G2. It is proved that a ternar of an infinite plane G2 is a weakly distributive body with reversible enough multiplication and there are algebraic requirements of dezarguish plane G2.

Доказано, что тернар бесконечной плоскости Фано представляет слабо-дистрибутивное тело характеристики 2 с вполне обратимым умножением посредством исследования его конфигурационных свойств и найдены достаточные алгебраические условия дезарговости плоскости Фано.

Бесконечную проективную плоскость Фано будем описывать путем исследования ее конфигурационных свойств.

Конечная плоскость Фано изучена Глисоном [1]. Он доказал, что конечная плоскость Фано дезаргова.

В бесконечной плоскости Фано имеют место, кроме 73, нижеследующие конфигурационные теоремы, геометризующие характеристику 2.

К.Теорема D* 1. (рис. 1). Если для точек (3,6,1'),2',4 бесконечной плоскости Фано выполняются следующие инциденции: [1,3] п [4,2'] = 2 , 37 = [6,2'] п [3,4], 5 = [2,3] п [1,3 Ч,

1 = [17,4] п [27,5 ], 7 = [1,27] п [1,2],

то будут выполняться и инциденции (5,6,7) и (3,3',7).

Очевидно, что D8 = D(8; 10, 10) Ф D8 в плоскости Фано содержит замыкающиеся конфигурации 73{1 2 3 4},72{1'2'3'3},73{1?34},74{11227},

75(1' 3 57} и что D8* = 73(172Г 3} и {4,2,1} = {1,2,3,3,5,6,7,4}.

2 = [4,27] п [6,3], 1 =[4,1]п [2,3] п [7,2]} .

Поскольку D8 содержит все инциденции D9 (рис. 2) и инциденцию (7,3,4), то она - частный случай D9 в плоскости Фано. Выяснены связи между D8 и 73.

Рис. 1 (О) Рис. 2 (Од)

Теорема 2. В плоскости Фано 02 из 73 следует О*.

Доказательство. (1) Пусть выполняются все инциденции О8 (рис. 1), кроме (5,6,7) и (3,3',7), тогда, применив 73 к четырехвершинникам 1'32 '4 и 3 2'3'1', заключаем

(I = [Г,4] П [3,2'], 2 = [1',3] п [2',4], 7' = [1',2'] П [3,4] О (1,2,7')), ( 5 = [3,2'] П [1',3], 6 = [3,1'] П [2',3'], 7 ' = [3,3'] П [1',2'] О (5,6,7')), (7 = 7' = [1',2'] П [3,3',4] П [1,2] = 7' ^ (3,4,7) и ( 5,6,7)),

(2) Пусть О8 (рис. 1) задается точками: 7,4,(6,2,1' ), таблицей инци-денций: 1 = [7,2] П [1' ,4], 2' = [4,2] П [7,1' ], 3 = [6,2] П [1,2'], 5 = = [1,2']П[6,7], 3' =[1 ',5]П[4,3] и замыкающими инциденциями (2',3',6) и (7,3,3' ), тогда, применив 73 к 1 1'2 2 ' и 1' 3 5 7, получим 73 : {11' 2 2'3 = [1,2'] П [1',2], 7 = [1,2] П [1',2], 4 = [1,1'] П [2,2'] ^ (3,4,5); 73 : {1' 3 5 7}^ 6 = [1',3] П [5,7], 2' = [1',7] П [3,5], 3' = [1',5] П [3,7] О (2',3',6).

С учетом выполняющихся инциденций следует 3' = [2 ' ,6] П [1' ,5] П П [3,7] = 3' и, следовательно, (7,3,3' ).

(В силу строения О8 аналогичными рассуждениями доказывается выполнение ее замыкающих инциденций при любом другом наборе ее образующих точек). Теорема 2 доказана.

К.Теорема Ь8 3. (А). Пусть в плоскости Фано для точек 7,4,2 ',3,1 (рис. 3) выполняются инциденции: 1' =[4,1] п[2',3], 3 ' = [4,3]п[2',7], 5 =[1,2] п [4,7], 6 = [4,7] п [1,3], 2 =[3,7]п[4,2]. Тогда будут выполняться инциденции (1,3,6) и (1,2,5,3') или, другими словами, (А1): пусть для точек (5,3,1' ),4,2 имеют место инциденции [5,3] п[4,2] = 2',

[5,2] п [4,1'] = 1, [5,4] п[ 2,3] = 7, [2',7] п [3,4] = 3', [1,3] п [1',3'] = 6. Тогда будут иметь место и инциденции (4,5,6) и (1,2,3').

Теорема и* содержит все инциденции Ь9(123; 1'2'3') (рис. 4) и инци-денцию (1,2,3') и поэтому она есть частный случай ¿9.

Связи между и* и 73 выясняет

Теорема 4. В плоскости Фано из 73 следует и*.

Доказательство. Пусть в плоскости Фано 02 выполняются все инциденции и* (см. (А1)), кроме (4,5,6) и (1,2,5,3'). Тогда, применив 73 к че-тырехвершинникам: 5234 и 5 1 3 4 , получим (1): 3' = [2,5] П [3,4], 2' = = [2,4] П [5,3], 7 = [5,4]П [2,3]^ (2',3',7),{(3,3',4), (3',2',7)} ^ 3' = = [3,4] П [2' ,7] = 3' [2,5,3' ] П [2,5,1] = [ 1,2,3' ,5] и (2) [5,1] П [3,4] = [5,2,3' ,I] П [3,4,3' ] = 3' , [5,3] П [1,4] = I', [4,5] П [1,3] = 6' ^ (3', 1',6'). Учитывая (А') и 6 =[1,3]П[1 ',3'], получаем 6 = 6' и (4,5,6). Теорема 4 доказана.

Теорема 5. Теорема Б* проективно эквивалентна теореме и*.

Доказательство. Сначала заметим, что в плоскости характеристики р Ф 2 теорема Б9 (рис. 2) эквивалентна теореме ¿9 (рис. 4). В самом деле

теорему ¿9(12 3; 1' 2' 3'), в которой 4 = [1,1 '] П [2,2'] П [3,3'], (1',2',3),

(4,6 = [1,3] П [1',3'], 7 = [2,3] П [2',3'], 5 = [1,2] П [1',2'])» (4,5,6,7),

можно представить в виде теоремы £>9(7 2'5;3 4 1): 2 = [7,3]П[4,2']П

П[5,1],(5,2',3),(5,7,4), (3' = [7,2']П[3,4], 6 =[7,5]П[3,1], 1 = [5,2']П

П[4,1'], причем (3',6,1') I 2).

Рис. 3 (й) Рис. 4 (и)

Поскольку ¿8(1 2 3;1' 2' 3' ) и £>|(7 2'5;3 4 1) суть соответственно теоремы ¿9(1 2 3;1'2'3' ) и £9(7 2'5;3 4 1) с инциденцией (1,2,3' ), т.е.

каждая ¿8(1 2 3;1' 23') представима в виде 7 2'5;3 4 1), то Ь* проек-

тивно эквивалентна Б* Теорема 5 доказана.

Сформулируем необходимую для дальнейшего исследования конфигурационную теорему с двумя замыкающими инциденциями, содержащую пары перспективных трехвершинников.

К.Теорема П* 6. (рис. 5). Пусть в плоскости Фано заданы точки 1,3,(2,4,6) и выполняются инциденции: 7 = [1,6]п[3,4], 8 = [1,2]п п[3,6],5 = [4,8] п [1,3], 9 = [5,6] п [2,3], 10 = [3,4] п [1,2], 11 = [2,3] п п[4,5], 12 = [10,11]п[1,3]. Тогда выполняются и инциденции (10,11, 12,6) и (8,9,7,12).

Выясним связи между теоремами Б* и П*.

Рис. 5 (п7)

Теорема 7. В плоскости Фано из Б8 следует П* проективно.

Доказательство (рис. 5). (1) Рассмотрим трехвершинники 1 7 10 и 3 811, для которых имеют место инциденции: (1,10,8), (7,10,3), I = [[1,7] П [3,8] = 6, 2 = [1,Щ П [3,11], 4 = [7,10] П [8,11]] = [6,2,4] - ось перспективы, 12 = [10,11] П [7,8] П [1,3] - центр перспективы, не лежит на оси I = [ 4,2,6]. В силу теорем 3, 4 и 7 заключаем, что 17 10 и 3811 порождают теорему Б* (рис. 1) с замыкающими инциденциями (4,6,2) и (6,10,11,12). Итак, из выполнения всех инциденций Б8 следуют и инциденции (10,0,12,6).

(2). Рассмотрим трехвершинники 38 10 и 5911 (рис. 5), для которых (9,П, 3), (5, П,8),[[3,8] П [5,9] = 6; [3,10] П [5,Й] = 4, [8,10] П [9,Й] = 2] = I -ось перспективы, [8,9] П [10,11] П [3,5] = 12 - центр перспективы, не ле-

жащий на оси I = [4,2,6]. В силу вышесказанного и эти трехвершинники

порождают Б* (3810;59П), в которой 10,11,12,6 и 12,8,9 . Из (1) и (2)

следуют (10,11,12,6) и (12,8,7,9). Теорема 7 доказана. Аксиоматику тернара плоскости 02 уточняет следующая Основная теорема 8. Некоторыми квазитождествами теоремы 73 являются:

1) а + (а + к) = к, q + (с + р) = с + (р + д); Vc, р, д ;

2) а + Ь = Ь + а, Va, Ь ;

2') а + (Ь + с) = (а + Ь) + с^а, Ь, с;

3) а • т о ат = ат + ат = 0 , Va, т ;

4) а • т о Ь = ё » а • т о ё = Ь, Va, Ь, ё, т;

5) д • и о д = ди + д, Vq, и;

6) а • да о (ат + ат • т) = ада • т, Va, т;

7) а(г +1) = аг + a,Va, г;

8) аа_1 = а_1а = 1, Va ^ 0;

9) 1 • д о с = 1 • с о д; Vc, д ;

(1) 5 • р о (^ + ас) = 5 + 5 • р о ас, Vs, р, с, а;

10) |( 2) р • / о (с • / о ё ) = с • / о (р • / о ё), Vp, /, ё, с;

(3) ад • к о (ад • д о ас) = ад • д о (ад • к о ас), Va, д, к, с;

11) а • т о Ь = ат + Ь, Va, т, Ь;

12) а(к + ак) = ак + а • ак, Va, к;

13) (а + ат)т = ат + ат • т;

14) а • а_1с = с; Va ^ 0, с;

15) са • а_1 = с^а ^ 0, с;

16) (а + 1)к = ак + к, Va, к.

Доказательство. Ввиду того, что доказательство теоремы Рашевского [2]: «Всякое натуральное тело проективной плоскости, в которой справедлива теорема Фано 73, образует по сложению абелеву группу» проводилось без учета отсутствия Б9 и П в своем исходном виде в плоскости Фано 02, мы сочли нужным провести доказательство 1), 2) и 2') при условии, когда в плоскости 02 нет Б9 и Пь но есть Б* и П*.

1) следует из П7: {5 =(0, с + р),3 = (да)Д =(0, р + д),2 = (д, р + д),

4 = (с, с + р) } (рис. 5);

2) следует из П*: {1 = (0,а), 2 =(а,а), 3 = (<»), 4 = (Ь,Ь), 5 =(0,Ь) } (рис. 5).

2') следует из 1) и 2);

3) следует из и*: {7 =(т), 4 = (да), 3 =(0, ат), 2 ' = (а, ат), 1 = = (ат, ат + ат) (рис. 3);

4) Имеем 73{(а,ё),(0,ё),(да),(т)} ^ Р =[(а, ё),(0, ё)] П [(»),(т)] = (0),

= [(а, ё),(да)] П [(0, ё),(т)] = [х = а] П[у = х • т о ё] = (а,а • т о ё), Р = [(а, ё), (т)] П [(0, ё), (да)] = [у = х • т о г] П [х = 0] = (0, г), (а, ё) I [ у = х • т о г]» ё = а • т о г , (4.1)

(Ръ Р2, Р3) » ((0, г),(а, а • т о ё),(0)) » г = а • т о ё = а • т о (а • т о г). (4.2) Доказано 73 ^ 4;

5) следует из 73{(0,си),(1),(да),(с,0)};

6) следует из ¿^{4 = (да), 1 = (0,0), 7 = (0), 3' = (ат, ат), 2 = (а,(ат) • т)};

7) следует из 1?8{7 = (0,0), 4 = (да),2' = (аг, аг ),3 = (а, аг ),1 = (г +1)};

8) полагая в и* (рис. 2): 3 = (а,1), 7 = (0,0), 2' = (1,1), 4 = (да).

1 = (а— +1), где а_1 - решение уравнения ха = 1, получаем 8):

1' = 1да П [у = 1] = (0),3' = [х = а] П [у = х] = (а,а),6 = [4,7] П [1,3] П [1',3'] = = [ х = 0] П [у = х •(а_1 +1) о г] П [у = а] = (0, а) = (0, г) ^ г = а, [1,3] = = [у = х•(а-1 +1) о а],

3 I [1,3] » 1 = а(а- +1) о а, 5 = [х = 0] П [у = 1] = (0,1),

2 = [у = х • (а-1 +1) °1] П [ х = 1] П [у = хк ] = (1,1 • (а^1 +1) °1). Отсюда в силу 5) получаем: к = 1 • (а— +1) о 1 = а _1,2 = (1, а—), (1,2,5,3') » 2 I [1,5] = [у = х •(а"1 +1) ° 1] ^

а= Ь( а"1 +1) о1 = а"1 +1 +1 = а"1,

3' I [1,5] » а = а • (а— +1) °1,{4)} ^ 1 = а • (а- +1) о а. (*)

В силу (4.2), 1), 2) и 5), (*) принимает вид: 1 = а(а_1 +1) + а = аа-1 + а + а + аа_1,3 I [2,7] = [у = ха_1] » 1 = аа"1 (**) Доказано соотношение 73 ^ 8);

9) следует из 73{( 0,0),(да),(д ),(1, с)}.

10) (1) следует 73{ А = (0, ас), В = (1), С = (р), Б = (0,5 • р ° (5 + ас))},{р Ф 1}; 10) (2) следует из 73 :{(да),(Ь, ё),(р,ё),(/)},Ь Ф р.

10) (3) следует из 73{(0, ас),(да),(к),(ад, ад • д о ас)} .

11). Пусть образующие точки конфигурационной теоремы Б* (рис. 1) имеют следующие координаты: 1 = (0, р), 1' = (да), 2 = (1), 2 ' = (ад, ад • д о р),

3' = (а, ад • д о р). Тогда, следуя таблице инциденций:

4 = [1,7] П [2,7 ], 3 =[1,7 ] П [7,2], 7 = [1,2] П [7,7 ], 6 = [7,3] П [7 ,7 ],

5 =[1,2']П[ 1' ,3 '] и замыкающим инциденциям: (7,6,5) и (4,3,3',7), получаем:

4 = [1,7]п[ 2,7 ] = [ х = 0]п[ у = х+г ] = (0, г),

2 ' I [2,2 ']» ад • д о р = ад + г ^

г = ад + ад • д о р = ад • д ° (ад + р),{5)}, ^ 4 = (0, ад • д о (ад + р)) = (0, г),

3 = [1,7 ] П [ 7,2] =[ у = х • / о р] П 4 = (/),

2 ' I [1,2 '] » ад • д о р = ад • / о р ^ / = д, 3 = (д), 7 = [1,2] П [ 1', 2 '] = [ у = х + р ] П [ х = ад ] = (ад , ад + р), 6 = [7,3 ] П [7 ,7] = /„ П[у = ад • д о р] = (0),

5 = [ 1, 2 '] П [ 1', 3 '] = [у = х • д о р] П [х = а] = (а, а • д ° р),

(7,3,4) » [4,3] = [у = х• д о г] I 7 »

ад + р = ад • д о (ад • д о (ад + р)) » {1)}, ад + р = ад + р;

[4,3] I 3 ' » ад • д о р = а • д о (ад • д о (ад + р)) » { 10).(2)} , ад • д ° р = ад • д о (а • д о (ад + р)) » р = а • д о (ад + р),{4)} » а • д о р = ад + р

(5,6,7)» 51 [6,7] = [у = ад + р] » ад + р = а • д о р .

12) следует из ¿8{7 = (0,0), 4 = (да), 1 = (д), 2 = (1,ак), 3 = (а,ак)}

(рис. 3); _ _ _ _ _

13) следует из ¿8{7 = (да), 4 = (0), 1' = (0,0),2 ' = (ат,ат • т), 3 = (а,ат)} (рис. 3); _ _ _

14). Полагая в Ь* (рис. 3)7 = (0,0), 4 = (да), 2 = (1, с), 1 = ( а_1с + с), 3 = (а, с), получаем

1 = [1,4] п [3,2] = (0), 3 = (а, ас), 6 = (0, ас), 5 = (0, с), 2 = [1,5] п [4,2] п п[3,7] = [ у = х( а^с + с) + с] п [ х = 1] п у = хк] = (1, к) = (1,1 • (а~1с + с) + с) = = (1, а_1с), к = а-1с, 2 = (1, а_1с),

3 = [1,6] п [ 2,7 ] = [ у = х(а Л + с) + ас ] п [ у = х • а 1с ] »

(а,с) = (а,а(а_1с + с) + ас = (а,а • а_1с) »

с = а ■ сГ1с (14.1)

с = а(а~хс + с) + ас » а(а_1с + с) = с + ас (14.2)

а • а_1с = а(а_1с + с) + ас » а(а_1с + с) = а • а-1с + ас (14.3)

{(14.2),(14.3)} »(14.1)

(1,2,5,3,) » 31 [1,5] = [у = х •(а-1с + с) + с]» (14.2), {(14.2),(14.3) » (14.1)} .

Заметим также, что из (14.2) при замене а на а~1 получаем а-1(ас + с) = с + а-1с . (14.4)

Итак, из 73 следует а4 ■ ас = а, У а ф 0, с;

15). Полагая в и* (рис. 3) 3 = (са, с), 7 = (0,0), 2 = (1, с), 4 = (да), 1 = (а-1 + с), получаем

1 = [1,4] п [3,2] = (0), 3 = [4,3] п [7,2] = (са, са • с),

6 = [4,7] п [1,3] п [1,3] = [х = 0] п [у = х(а-1 + с) + г]п[у = са • с] = (0,са • с), 31 [1,3]» с = са • (а— + с) + г » г = с + са • (а— + с) = са • с » 3 = [1,6] п [2,7] = [у = х(а-1с + с) + ас] п [у = х • а~'с] » са • (а-1 + с) = с + са • с, (15.1)

5 = [4,7]п[1,2] = (0,с), 2 = [1,5]п[4,2]п[3,7]= [у = х-(а4 + с) + с]п п[х = 1] п[у = хк] = (1,1 • (а_1 + с) + с) = (1, к) » к = а_1,2 = (1, а_1), 3 = [1,6] п [2,7] п [4,3] п [1,2] = [у = х(а_1 + с) + са • с] п [у = х • а"1] п

[х = са] п [у = с] = (са, с) = (са, са • а-1) = (са, са • (а-1 + с) + са • с) » с = са ■ а4 (15.2)

с = са •(а4 + с) + са • с » са •(а-1 + с) = с + са • с » (12.1)

са • а_1 = са •(а-1 + с) + са • с » са(а-1 + с) = са • а-1 + са • с (15.3)

{(15.1), (15.3)} »(15.2),

(1,2,5,3,) » 31 [1,5] = [у = х•(а+ с) + с] »(15.1).

Поскольку в силу (14.1) из (14.2) получаем а_1с + с = а_1(с + ас) » {а ^ са} , (са)-1с + с = (са)-1(с + са • с) (15.4) и равенство (15.1), в силу (14.1) и (15.4) сводится к (15.2): а-1 + с = (са)-1(с + са • с) = (са)-1 • с + с » а-1 = (са)-1с » са • а-1 = с, то доказано соотношение 73» 15;

16) следует из Z*8(7 = (ю), 4 = (0), 1 = (a +1,0), 2 = (1,am), 3' = (a,m)} (рис. 2).

Теорема 8 доказана.

Таким образом, в тернаре бесконечной плоскости Фано G2 выполняются аксиомы слабо-дистрибутивного тела R2 [3] характеристики 2 с a4 • ab = ba • a4 = b.

О достаточных условиях дезарговости бесконечной плоскости Фано гласит следующая

Теорема 9. Если в тернаре бесконечной плоскости Фано G2 имеет место тождество (b + c)a = ba + ca или a(b + c) = ab + ac, V a, c, или же a ■ bc, то проективная плоскость G2 дезаргова.

Доказательство. В силу теорем 8 и 1.13 в [3] в левой IPVW-системе характеристики 2 из a-1 • ab = b и a(b + 1) = ab + a следует a(b + c) = = ab + ac V a, b, c. В условиях теоремы в тернаре плоскости выполняется и равенство a(b + c) = ab + ac V a, b, c. Следовательно, в тернаре выполняются условия теоремы Мальцева [4], и поэтому тернар плоскости Фано будет представлять альтернативное тело характеристики 2, и, следовательно, в силу теоремы Линника [5] ассоциативное тело характеристики 2, плоскость над которым дезаргова. Теорема 9 доказана.

Литература

1. Gleason A.M. Finite Fano // Mat. 1956. Vol. 78. S. 797-807.

2. Рашевский П.К. // Мат. сб. 1940. Т. 8(50): 2.

3. Хубежты И.А. О некоторых классах алгебр и плоскостей. Владикавказ (Дза-уджикау), 2005.

4. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М., 1970.

5. ЛинникЮ.В. // УМН. 1949. № 4. Вып. 5. С. 49-65.

Северо-Осетинский государственный университет 28 сентября 2005 г.

УДК 681.3.06

АВТОМАТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦИКЛОВ ParDo В ПРОГРАММЕ

© 2005 г. А.М. Шульженко

A method for ParDo loops recognition is proposed. This method is based on the lattice graphs theory, so it can precisely recognize ParDo loops in every program from the linear class. It's suitable for use in automatic parallelization of programs.

Введение

Предлагается новый метод определения циклов ParDo, основанный на теории и методах построения решетчатых (минимальных снизу) графов [1-3]. Циклы, обладающие свойством ParDo, часто приходится опреде-