Решение проблемы Аргунова --- Глисона Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал апрель-июнь, 2007, Том 9, Выпуск 2

УДК 512.552.32+514.146.7

РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ АРГУНОВА - ГЛИСОНА И. А. Хубежты

Получено полное описание бесконечной плоскости Фано, представляющее собой положительное

решение проблемы Аргунова — Глисона.

Ключевые слова: Плоскость Фано, альтернативное тело, конфигурационная теорема, проблема

Аргунова — Глисона.

Введение

Паппову плоскость изучали Штаудт, Штейнер, Шаль, Гильберт, Глаголев, Гуревич и др. Дезаргову плоскость впервые описал Гильберт в [1]. Проективную плоскость, в которой выполняется проективно малая теорема Дезарга D10 ^ Lio, изучали Руфь Муфанг [10], Скорняков [11], и др. (эти плоскости называются муфанговыми). Проективную плоскость, в которой проективно выполняется конфигурационная теорема Фано 7з, изучал Глисон [6]. Он доказал, что конечная плоскость Фано дезаргова и, следовательно, паппова. Бесконечную плоскость Фано изучали Глисон, Рашевский [10], Скорняков [11], Аргунов [2]. Аргуновым и Глисоном была поставлена следующая проблема: «Не дезаргова ли бесконечная плоскость Фано?». В настоящей работе получено полное описание бесконечной плоскости Фано и, следовательно, решение проблемы Аргунова — Глисона.

1. Необходимые сведения

Определение 1.1 [3]. Классическая алгебраическая система A(+, ■), в которой имеют место аксиомы

(1) A(+) — абелева группа,

(2) a(-)\{0| есть IP-лупа,

(3) (a + b)c = ac + bc (a, b, c),

(4) a(b + c) = ab + ac (a, b, c), называется альтернативным телом.

Теорема 1.1 (Линник) [4]. Всякое альтернативное тело характеристики 2 ассоциативно.

Конфигурационная теорема Фано 1.1 (7з) [6]. Пусть для точек 1, 2, 3,4 общего положения выполняются инциденции: 6 = [1,4] П [2, 3], 5 = [1, 2] П [3,4], 7 = [1, 3] П [2,4]. Тогда будет выполняться и инциденция (5, 6, 7).

Определение 1.2. Проективная плоскость, в которой проективно выполняется теорема 7з, называется плоскостью Фано.

© 2007 Хубежты И. А.

Определение 1.3 [2, 7]. Конфигурационная теорема К1, содержащая все инциденции теоремы К2 и еще хотя бы одну дополнительную инциденцию каких-то элементов К2 в плоскости Ор характеристики р, называется частным случаем теоремы К2, в плоскости О*. Конфигурационные теоремы К и К в плоскости О* называются эквивалентными проективно-алгебраически, если они или их частные случаи К» и К» соответственно даже при отсутствии К и К или одной из них в плоскости О* в своем исходном виде, имеют одну и ту же совокупность локальных алгебраических эквивалентов.

Определение 1.4 [7]. Совокупность всех общих и ограниченных квазитождеств теоремы К и ее следствий К» в плоскости Ор, называется проективным алгебраическим эквивалентом теоремы К в тернаре плоскости Ор.

Определение 1.5 [7]. Классическая алгебраическая система А(+, ■), в которой выполняются следующие условия:

1) А(+) — абелева группа,

2) А(-)\{0> — лупа,

3) а(Ь + 1) = аЬ + а (V а, Ь,)

4) (а + 1)Ь = аЬ + Ь (V а, Ь),

5) уравнения х = Ьх + с и Ьа = ЬЬ + с, а = Ь, однозначно разрешимы относительно ж и Ь называется слабо-дистрибутивным телом.

2. Решение проблемы Аргунова — Глисона

В бесконечной плоскости Фано имеют место, кроме 7з, нижеследующие конфигурационные теоремы, геометризующие характеристику 2.

Конфигурационная теорема 2.1 (О*) [7]. Если для точек (3,6,1'), 2', 4 бесконечной плоскости Фано выполняются следующие инциденции:

[1', 3] п [4,2'] =2, 3' = [6,2'] п [3,4], 5 = [2', 3] п [1', 3'], 1 = [1', 4] п [2', 5], 7 = [1', 2'] п [1,2],

то будут выполняться и инциденции (5, 6, 7) и (3, 3', 7).

Очевидно, что О* = О(8; 10,10) = О в плоскости Фано содержит замыкающиеся

конфигурации 73{1234}, 73{1'2'3'3}, 73{1'2'34}, 7|{11'22'}, 73{1'357} и что О* = 7з{1'2'3'3} и {4,2,1} = {1', 2', 3', з, 5,6,7,4}. 2 = [4,2'] п [6,3], 1 = [4,1'] п [2', 3] п [7,2]}.

Поскольку О* содержит все инциденции Од (рис. 3) и инциденцию (7, 3,4), то она есть частный случай Од в плоскости Фано.

Теорема 2.2 [7]. В плоскости Фано О2 из 73 следует О*.

Конфигурационная теорема 2.3 (£*) [7]. (А) Пусть в плоскости Фано для точек 7,4, 2', 3,1 (рис. 2), выполняются инциденции:

1' = [4,1] п [2', 3], 3' = [1, 3] п [2', 3], 5 = [1', 2'] п [4, 7], 6 = [4,3] п [1', 3'], 2 = [3,7] п [4,2'].

Тогда будут выполняться инциденции (1, 3, 3) и (1, 2, 5, 3'), другими словами, (А'): пусть для точек (5, 3,1'), 4, 2 имеют место инциденции [5, 3] п [4, 2] = 2', [5, 2] п [4, !'] = 1, [5,4] п [2, 3] = 7, [2', 7] п [3,4] = 3', [1, 3] п [1', 3'] = (3. Тогда будут иметь место и инциденции (3, 5, 3) и (1, 2, 3').

Теорема Ь* содержит все инциденции Ьд(123; 1'2'3') (рис. 4) и инциденцию (1, 2, 3'), и поэтому, она есть частный случай Ьд.

Связи между Ь* и 73 выясняет следующая

Рис. 1. (А|)

Рис. 2. (Ь|)

6 7 5

Рис. 3. (Ад)

Рис. 4. (Ьа) 2

12 1

Рис. 5. (п;) Рис. 6. (7з)

Теорема 2.4 [7]. В плоскости Фано из 7з следует Ь|. Теорема 2.5. Теорема проективно эквивалентна теореме Ь\.

Сформулирована необходимая для дальнейшего исследования, конфигурационная теорема с двумя замыкающими инциденциями, содержащая пары перспективных трехвершинников.

Конфигурационная теорема 2.6 (П£) (рис. 5). Пусть в плоскости Фано заданы точки 1, 3, (2,4, 6) и выполняются инциденции: 7 = [1, 6] П [3,4], 8 = [1, 2] П [3, 6], 5 =

[4,8] п [1,3], 9 = [5,7] п [2,3], 9 = [7,7] п [7,3], 10 = [3,7] п [7,2], 11 = [2,7] п [4,7], 12 = [10,11] П [1, 3]. Тогда выполняются и инциденции (10,11,12, 6) и (7, 7, 7,12). Теорема 2.7 [7]. В плоскости Фано из следует П7 проективно. Нахождению аксиоматики тернара бесконечной плоскости Фано посвящена следующая основная теорема.

Теорема 2.8. Некоторыми квазитождествами теоремы 7з являются:

1) а + (а + к) = к, д + (с + р) = с + (р + д) (Ус,р, д);

2) а + Ь = Ь + а (Уа,Ь);

2') а + (Ь + с) = (а + Ь) + с (Уа, Ь, с);

3) а • т о ат = ат + ат = 0 (Уа, т);

4) а • т о Ь = ё ^^ а • т о d = Ь (Уа, Ь, ё, т);

5) д • п о д = дп + д (Уд, п);

6) а • т о (ат + ат • т) = ат • т (Уа, т);

7) а(г + 1) = аг + а (Уа, г);

8) аа-1 = а-1а = 1 (Уа = 0);

9) 1 • д о д = 1 • с о д (Ус, д);

{(1) 5 • р о (^ + ас) = 5 + в • р о ас (Ув,р, с, а);

(2) р • / о (с • / о ё) = с • / о (р • / о ё) (Ур,/,ё,с)

(3) ад • к о (ад • д о ас) = ад • д о (ад • к о ас) (Уа, д, к, с);

11) а • т о Ь = ат + Ь (Уа, т, Ь);

12) а(к + ак) = ак + а • ак (Уа, к);

13) а • а-1с = с (Уа = 0, с);

14) а(а-1с + с) = с + ас;

15) са • а-1 = с (Уа = 0, с);

15') са • (а-1 + с) = с + са • с; а(а-1 + Ь) = 1 + аЬ;

16) (а + 1)к = ак + к (Уа, к);

17) (ё + ^ = (И + (И • 4 (Уй, 4);

18) а-1(аЬ + (Ь + с)) + а-1 (ас + (Ь + с)) = Ь + с;

19) а(с + ё + (а + 1)-1(с + аё)) = ас + аё + а • (а + 1)-1 (с + аё),

а • (а + 1)-1Ь = а(а + 1)-1 • Ь = (1 + (а + 1)-1)Ь, а(а + 1)-1 = (а + 1)-1а, Ь(а + 1)-1 • а = Ьа • (а + 1)-1 = Ь • (а + 1)-1а = Ь • (а + 1)-1 а = Ь(1 + (а + 1)-1);

20) а(ё + т) = аё + ат (Уа,т = ^>(а,ё));

21) (т + ё)а = та + ёа (Уа,т = ^>(а,ё));

22) (а + Ь)с = ас + Ьс (Уа,Ь,с);

23) а(Ь + с) = аЬ + ас (Уа,Ь,с);

24) а • Ьс = аЬ • с.

< 7з ^ 1)-17) доказаны в работах [7, 8]. Приведем ключевые моменты этих доказательств.

1): Следует из П? : {5 = (0, с + р), 3 = (то), 1 = (0,р + д), 2 = (д,р + д), 4 = (с, с + р)} (рис. 5).

2): Следует из П? : {1 = (0,а), 2 = (а, а), 3 = (то), 4 = (Ь, Ь), 5 = (0,Ь)} (рис. 5). 2'): следует из 1) и 2).

3): Следует из : {7 = (т), 4 = (то), 3 = (0,ат), 2' = (а, ат), 1 = (ат, ат + ат)} (рис. 2).

4): Следует из 7з{(а, ё), (0, ё), (то), (т)}.

5): Следует из 7з{0,сп), (1), (то), (с, 0)}.

6): Следует из ¿8{4 = (то), 1 = (0, 0), 7 = (0), 3' = (ат, ат), 2 = (а, (ат) • т)}.

7): Следует из ¿|{7 = (0, 0), 4 = (то), 2' = (аг, аг), 3 = (а, аг), 1 = (г + 1)}.

8): Следует из {3 = (а, 1), 7 = (0, 0), 2' = (1,1), 4 = (то), 1 = (а-1 + 1)}, где а-1 есть решение уравнения ха = 1.

9): Следует из 7з{(0, 0), (то), (д), (1, с)}.

10): (1) Следует из 7з{А = (0,ас),В = (1), С = (р), В = (0, в • р о (в + ас))}, {р = 1}. 10): (2) Следует из 7з{(то), М), (р,ё), (/)}, Ь = р.

10): (3) Следует из 7з{(0, ас), (то), (к), (ад, ад • д о ас)}.

11): Следует из В|{1 = (0,р), 1' = (то), 2 = (1), 2' = (ад, ад • д о р), 3' = (а, ад • д о р)}.

12): Следует из ¿|{7 = (0, 0), 4 = (то), 1 = (д), 2' = (1,ак), 3 = (а,ак)} (рис. 2).

13), 14): Следуют из ¿8 {7 = (0, 0), 4 = (то), 2' = (1,с), 1 = (а-1с + с), 3 = (а, с)}.

15), 15'): Следуют из ¿8 {3 = (са,с), 2 = (0, 0), 2' = (1,с), 4 = (то), 1 = (а-1 + с)}.

16): Следует из Р^{7 = (то), 4 = (0), 1 = (а + 1, 0), 2 = (1,ат), 7' = (а,т)}.

17): Следует из = (0), 7 = (то), 2 = (й,ат), 7' = (ас, ас), 1' = (0, 0)}. Докажем теперь соотношения: 7з ^ 18)-24).

18): 7з{р = (0,1), 4 = (то), 2' = (1,с), 7' = (а, ас)}, (*) А = [р, 4] П [3', 2'] = [ж = 0] П [у = жс] = (0, 0), В = [р, 2'] П [4, 3'] = [у = ж/ +1] П [ж = а],

2' I & с = / + 1, / = с + 1, В = (а, а(с + 1) + 1), С = [р, 7'] П [4,2'] = [у = же + 1] П [ж = 1] = (1,5 + 1), 3' I ^ ас = аз + 1, 5 = а-1 (ас + 1), С = (1,а-1(ас + 1) + 1), (А, В, С) ^ ВI [А, С] = [у = ж(а-1 (ас + 1) + 1)] ^

а-1 (а(с + 1) + 1) = а-1 (ас + 1) + 1, (18.1)

а(а(с + ас + аз) + аз + ас) = а-1 ■ аз + аз + ас, а(с + ас + аз) + аз + ас = а(з + аз + ас), ас + 1 = аз, 1 = а5 + ас,

а(з + а5 + ас) + а(с + аз + ас) = аз + ас. (18.2)

Если в (18.1) заменим 1 на 1 + с, то получим:

а-1 (а1 + 1 + с) + а-1 (ас + 1 + с) = 1 + с. (18.3)

Доказано соотношение 7з ^ 18).

19): Пусть образующие точки 7з имеют следующие координаты: Р = (0, с + (1 + а)-1(с + ай)) = (0, ¿о), 4(то), 2' = (1,с), 2' = (а, ас). Тогда получим:

7з{Р, 2, 2', 2'} ^ 2= [2,Р] П [2', 2'] = [ж = 0] П [у = жс] = (0, 0), 2 = [4, 2'] П [Р, 3'] = [ж = 1] П [у = ж/ + ¿о] = (1, / + ¿о), 3' I ^ ас = а/ + ¿о ^ / = а-1 (ас + ¿о), 2 = (1,а-1(ас + ¿о) + ¿о), [2, 2] _=_[у = ж (а-1 (ас + ¿о) + ¿о)],

2 = [2,3'] П [Р, 2'] = [ж = а] П [у = жр + ¿о] = (а, ар + ¿о),

2 = (а, а(с + ¿о) + ¿о),

(2,3, 2) ^ а(с + ¿о) + ¿о = а(а-1(ас + ¿о) + ¿о), (19.1)

а(с + ¿о) + ¿о = а(1 + а)-1 (с + ай) + с + (а + 1)-1(с + ай) =

-1 (19.2)

= с + (а + 1) ■ (1 + а)- (с + ай) = с + с + ай = ай,

3 = (а, ай).

Очевидны следующие выкладки: а■ (1 + а)-1(с + ай) = ((а + 1) + 1) ■ (1 + а)-1(с + ай) = (с + ай) + (1 + а)-1 (с + ай) = (1 + (1 + а)-1 (с + ай) = ((а + 1)(а + 1)-1 + (1 + а)-1 (с + ай) = а(1 + а)-1 ■ (с + ай).

Следовательно, получено следующее равенство:

а(1 + а)-1(с + ай) = а(1 + а)-1 ■ (с + ай). (19.3)

Продолжая алгебраизацию всех других инциденций 7з, получаем: 21 [2, 2] = [у = жй] ^ а-1(ас + ¿о) + ¿о = й ^ 2 = (1,й),

а(с + ¿о) + ¿о = ай, а-1 (ас + ¿о) + ¿о = й ^ а(с + ¿о) + а-1 (ас + ¿о) = ай + й ^ а ■ (1 + а)-1 (с + ай) + а-1 (ас + с + (1 + а)-1 (с + ай)) = ай + й ^ а(1 + а)-1 (с + ай) + ай + й = (1 + (1 + а)-1)(с+ай) + й+ай = с+ай +(1 + а)-1(с+ай) + й+ай = с+й +(1 + а)-1 (с+ай) ^ а-1 (ас + с + (1 + а)-1 (с + ай)) = с + й + (1 + а)-1 (с + ай),

а(с + ё + (1 + а)-1 (с + аё)) = ас + с + (1 + а)-1 (с + аё) = ас + с + (с + аё) + а(1 + а)-1 (с + аё) ^ а(с + ё + (1 + а)-1 (с + аё)) = (19.4) = ас + аё + а ■ (1 + а)-1 (с + аё).

Доказано: 7з ^ 19).

20): ¿8{4 = (то), 7 = (0, 0), 3 = (а, ас), 2 = (1,6 + с), 1 = (6)} ^ 5 = [1, 2] П [4, 7] = [у = ж6 + г] П [ж = 0] = (о, г);

2I ^ 6 + с = 6 + г ^ * = с, 2' = [3, 7] П [4,2] = [у = жс] П [ж = 1] = (1, с),

1' = [2', 5] П [4,1] = [у = ж/ + с] П = (/), 2' I ^ с = / + с ^ / = 0,1' = (0),

3 = [4, 3'] П [5,1'] = [ж = а] П [у = с] = (а, с),

6 = [1', 3'] П [4, 7] = [у = ас] П [ж = 0] = (0, ас),

6I [1,3] = [у = ж6 + г'], 31 ^ с = а6 + г' ^ ас = а6 + с,

(а + 1)с = а6 ^ с = (1 + а)-1 ■ а6 = ^>(а, 6),

(2, 3, 7) ^ 3I [2, 7] = [у = ж(6 + с)] ^ с = а(6 + с),

а-1с = 6 + с ^ с =(1 + а-1)-16 = ^(а, 6) = (1 + а)-1 а ■ 6,

(1, 2, 5,3') ^ 3' I [1,2,5] = [у = ж6 + с] ^ ас = а6 + с ^ с = а6 + ас, с = (1 + а)-1а6 = <р(а,6).

Таким образом, из ¿8 следует квазитождество а(6 + с) = а6 + ас, где с = ^>(а, 6) и потому оно есть правый слабый дистрибутивный закон.

21) Пусть образующие точки ¿8 имеют следующие координаты: {4 = (0), 7 = (то), 2' = (а, ат), 3 = (а + 6, а), 1' = (0,0)}. Тогда, следуя таблице инциденций, соответствущей данному набору образующих точек, получаем:

5 = [4, 7] П [1', 2'] = П [у = жт] = (т),

2 = [7,3] П [4,2'] = [ж = а + 6] П [у = ат] = (а + 6, ат), 3' = [7, 2'] П [4, 3] = [ж = а] П [у = а] = (а, а), 1 = [2,5] П [1',4] = [у = жт + г] П [у = 0] = (ж1,0).

21[2,5] ^ ат = (а + 6)т + г ^ г = ат + (а + 6)т, 0 = жт + г ^ ж = гт-1. 1 = ((ат + (а + 6)т)т-1,0) = (ж1,0),

6 = [1', 3'] п [4,7] = [у = ж] п = (1) I[1,3,6] = [у = ж + г'], 31 [1,6] ^ а = а + 6 + г' ^ г' = 6,

11[1,6] ^ 0 = ж1 + г' ^ г' = ж1 ^ 6 = (ат + (а + 6)т)т-1 ^ 6т = ат + (а + 6)т, (*) (1, 2, 5,3') ^ [1,2, 5] 13' ^ [у = жт + ат + (а + 6)т] ^ а = ат + (а + 6)т + ат ^ а = ( а + 6) т,

(1', 2', 3, 5) ^ [1', 2', 5] 13 ^ [у = жт] 13 ^

а = (а + 6)т ^ ат-1 = а + 6, а(1 + т-1) = 6, а = 6(1 + т-1)-1 = 6 ■ (1 + т)-1т (а + 6)т = ат + 6т = а, ат + а = 6т, а(т + 1) = 6т,

а = 6т ■ (т + 1)-1 = 6(1 + (т + 1)-1) = 6(1 + т)-1т.

Следовательно, (6 + а)т = 6т + ат не есть общий дистрибутивный закон, и тем самым доказана импликация ¿8 ^ 21).

22): Новый набор образующих точек имеющих координаты 7 = (то), 4 = (0), 1 = (6а + 6, 0), 2 = (6, 6а ■ т), 3' = (6а, 6т), приводит к получению квазитождества (р + = рк + дк, Ур, д, к.

В самом деле произведя алгебраизацию всех инциденций ¿8, получаем: 2' = [7,3'] П [4, 2] = [ж = 6а] П [у = 6а ■ т] = (6а, 6а ■ т).

5 = [4, 7] П [2,1, 3'] = П [у = х/ + г] = (/),

т^ т , ' + \ ^ Ьа • т + Ьт = Ьа • / + Ь/ ^ т = /, 5 = (т), 3' I ^ Ьт = Ьа • / + 4 ^ ^ "" v и

11 ^ 0 = (Ьа + Ь)/ + 4 ^ 4 = (Ьа + Ь)/ = (Ьа + Ь)т) ^ Ьт + Ьа • т = (Ь + Ьа)т. (* * *) (р + Ь)т = (Ь • Ь-1 р + Ь)т = (Ь • Ь-1р) • т + Ьт = рт + Ьт; 1' = [5, 2'] П [4,1] = [у = хт + г'] П [у = 0], 2' I ^ Ьа • т = Ьа • т + г' ^ г' = 0, 1' = (о, 0), 3 = [5,2'] П [4,3'] П [7,2] = [у = хт] П [у = Ьт] П х = Ь] = (Ь, Ьт),

6 = [4,7] п [1', 3'] = п [у = хв] = (в),

3' I ^ Ьт = Ьа • в ^ в = (Ьа)-1(Ьт) = ((а, Ь, т), У а, Ь, т, 61[1, 3] = [у = хв + г],

11 ^ 0 = (Ьа + Ь)в + г , , п п -= Т , , Ьт = Ьв + (Ьа + Ь)в ^

31 ^ Ьт = Ьв + г

(Ьа + Ь)в = Ьа • в + Ьв, Уа, Ь,т, в = ((а, Ь • т) ^ (***). Итак, из Ь^ следует 22).

23): Опираясь на 1)-22), в [7, 8, 9] было доказано, что в левой 1РУ^системе характеристики 2 из а(Ь +1) = аЬ + а следует а(Ь + с) = аЬ + ас, У а, Ь, с. Следовательно, из 73 следует 23).

24): Опираясь на теорему Линника 1.2 и 1)-23), заключаем, что тернар бесконечной плоскости Фано представляет собой альтернативное, и следовательно, ассоциативное тело характеристики 2.

Доказана импликация 7з ^ 24), а затем и теорема 2.8. >

Тем самым получено положительное решение проблемы Аргунова — Глисона: из вышеизложенного следует, что всякая проективная плоскость Фано дезаргова.

Литература

1. Гильберт Д. Основания геометрии.—М.: ГИТТЛ, 1948.—492 с.

2. Аргунов Б. И., Емельченков Е. П. Проективные и аффинные плоскости и их обобщения // Сб. науч. статей «Геометрия инцидентностных структур и дифференциальных уравнений».— Смоленск, 1981.—С. 3-30.

3. Мальцев А.И . Алгебраические системы.—М.: Наука, 1970.—392 с.

4. Линник Ю. В. Кватернионы и числа Кэлли // Успехи мат. наук.—1949.—Т 4, вып. 5.—С. 49-65.

5. Рашевский П. К. Проективная геометрия с новыми конфигурационными аксиомами // Мат. сб.— 1940.—Т. 8, № 50.—С. 183-203.

6. Gleason A. M. Finite Fano planes // Amer. J. Math.—1956.—V. 78.—P. 797-807.

7. Хубежты И. А. О некоторых классах алгебр и плоскостей.—Владикавказ: Изд-во СОГУ, 2005.

8. Хубежты И. А. О бесконечной плоскости Фано // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки.— 2005.—№ 11.—С. 69-77.

9. Хубежты И. А. Некоторое ослабление условий альтернативности IPoVW-системы // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки.—2004.—№ 4.—С. 13-17.

10. Moufang R. Die Sehnittpunktsatze des projektiven speziallen Funfeckchetzen in ihrer Anhandigkeit voneinander // Math. Ann.—1935.—№ 106.—P. 755-795.

11. Скорняков Л. А. Проективные плоскости // Успехи мат. наук.—1951.—Т. 6, вып. 6.—С. 112-154.

Статья поступила 29 сентября 2006 г.

Хубежты Исидор Антонович, д. ф.-м. н. Северо-Осетинский государственный университет, Владикавказ, 362015, РОССИЯ