Решение проблемы Рашевского Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2009, Том 11, выпуск 4, С. 63-69

УДК 512.552.32+514.146.7

РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ РАШЕВСКОГО И. А. Хубежты

Дано описание бесконечной проективной плоскости Тоз, в которой конфигурационная теорема 8з выполняется проективно, называемой плоскостью Рашевского, и доказана муфанговость этой плоскости, тем самым положительно решена проблема Рашевского: «Не муфангова ли плоскость то!?».

Ключевые слова: характеристика проективной плоскости, муфангова плоскость, плоскость Ра-шевского.

Рассмотрим частный случай теоремы Дезарга, а именно следующую конфигурационную теорему (рис. 1).

Если для трехвершинников 12 3 и 1' 2' 3' существует центр 4 перспективы, стороны одного инцидентны вершинам другого и точки 5, 6, 7 пересечения сходственных сторон инцидентны одной прямой, то (4, 5, 6, 7).

Эту теорему, имеющую ранг 7 и состоящую из 10 точек и 10 прямых, обозначим через ¿(7; 10; 10) = Ь7 [4].

Выясним связи между ¿7 и нижеследующими конфигурационными теоремами Рашевского 83 и 134 [2].

Теорема 1 (К. Теорема 83 (рис. 2) [2]). Если В, С, О — точки одной прямой, перспективно связаны с точками В', С', О' другой прямой, то после круговой подстановки над В', С', О' перспективное соответствие сохраняется.

4

Рис. 1. Рис. 2.

Теорема 2 (К. Теорема 134 (рис. 3) [2]). Если для точек В, С, В', С' общего положения и точек А = [В, С] П [В',С'], Р = [В, С'] П [В', С], Q = [А, Р] П [С, С'], о = [В'^] п [С, В], о' = [В^] п [В',С'], к = [о,С'] п [С,о'], р = [С, С'] п [В, В'], М = [С, О'] П [В, С'], N = [С, В'] П [О, С'] выполняются инциденции (О,О',Р,Р),

© 2009 Хубежты И. А.

(В,В',Е,В), (Р,<,Е,Л), (Л,М^,В), (В, В', ), то выполняется и замыкающая (В,В',<<,М) (рис. 3).

В [2] доказано, что 83 проективно эквивалентна 1З4, а конфигурация 1З4 есть полное свободное расширение 83, т. е. плоскость над <В(3).

Теорема 3 [4]. В проективной плоскости теорема ¿7 эквивалентна теореме 1З4 и, следовательно, теореме 83.

< Доказательство теоремы 3 разобьем на четыре леммы.

Лемма 1. 1З4 ^ ¿7 (рис. 1, 3).

< Рассмотрим два трехвершинника АС 'С и В В В' с инциденциями ВI [С, С'], В1 [Л, С], В' I [Л, С'], М = [Л, В] п [С', В] п [С, В'], В' = [Л, С'] П [В, В], В = [Л,С]П [В, В'], < = [С, С'} П [В, В'] и докажем (М,В,В',<), исходя из 1З4. С этой целью выберем в ¿7 следующие четыре точки общего положения В, С, В', С' и построим 1З4 по вышеуказанной таблице инциденций. Тогда в силу выполнения 1З4 в плоскости в ней имеет место инциденция (М,В',В,<) ^ ¿7. Отсюда следует также, что ¿7 вложена в

1З4. >

Лемма 2. ¿7 ^ 1З4.

< Докажем, что из ¿7 следуют все инциденции 1З4. С этой целью рассмотрим в 1З4 шесть пар трехвершинников:

(I) = {ВВ '<; С'С Л}, (II) = {СС'Р; В'ВЛ},

(III) = {МС'С; ВВ' В}, (IV) = {ЫС'С; В В 'В},

(V) = {СС'М; РЕВ}, (VI) = {СС'М; ЕРВ}.

Учитывая, что в < I [С, С'], В1 [С, Л], В' I [С', Л], Р = [В', С] П [В, С'] П [Л,<], прямая [В, В'], где В = [В, В'] П [С, С'], В' = [В,<] П [С',Л], инцидентна Р, то заключаем, что для трехвершинников (I) выполняются условия ¿7 и, следовательно, выполняется и замыкающая инциденция (Р, В, В, В'), где В = [В',<] П [С, Л], или, другими словами, трехвершинники (I) в 1З4 порождают конфигурацию ¿7. Этот факт запишем так: (I) ^ (Р, В, В, В'). Аналогичными рассуждениями при учете (Р, В, В, В') устанавливаем, что (II) ^ (Р,Л,Е) и (В, Е, В, В'). Далее, сравнивая (Р,Л,<) и (Р,Л,Е), заключаем (Р, Л, <, Е). Если учесть, что в (III) ВI [С, С'], В' I [М, С], BI [М, С'] и точки Р = [М, С'] П [В, В'], Е = [М, С] П [В, В], < = [С, С'] П [В', В] лежат в силу (II), на одной прямой (оси перспективы), Л = [С', В'] П [С, В] лежит на оси, то заключаем, что (Л, В, М). Далее имеем, что (IV) ^ (Л, В, N). Сравнивая последние две инциденции, мы приходим к (Л, М, N, В). Опираясь на рассуждения, аналогичные предыдущим, заключаем, что (V) ^ (В,В'<^). Так как в (VI) ВI [С, С'], PI [С,Щ, ЕI [С',Щ, (<<,В',В), где < = [С',С] П [Р,Е], В' = [С,Щ П [Е,В], В = [С',Щ П [Р,В], М = [С, Е] П [С',Р] П ^,В] в силу предыдущих инциденций, то (В,<,М,В'). Итак, из ¿7 следуют все инциденции теоремы 1З4. >

Лемма 3. 83 ^ В7.

< Пусть трехвершинники 1 2 З и 1 2 З имеют центр 4, точками пересечения сходственных сторон будут точки 5, 6 и 7 и вершины одного лежат на сторонах другого. Докажем 83 ^ (4, 5, 6, 7). С этой целью рассмотрим в ¿7 пару коллинеарных троек 2З 5 и 7 2З' с центром перспективы в точке 1 . В силу 83 тогда пара 2З5 и 2З 7 также перспективна с центром в [2 , З] П [2, З'] =4. Следовательно, 83 ^ (4, 5, 7). Аналогичному этому,

из перспективности пары 4 1'1 и 362 с центром в 3 в силу 83 следует перспективность пары 4 Т'Т и 6 2'3' с центром в [!', 2'] П [2, э']. Итак, 83 ^ (4,6, 7). >

Лемма 4. Ь7 ^ 83.

< В ¿7 выделим пару коллинеарных и перспективных троек 2'3 5 и 7 2 3' (см. рис. 1) с центром 1' = [2 , 7] П [3,2] П [5, 3 ]. Так как в ¿7 точки 4, 5 и 7 коллинеарны, то тройки 2 3 5 и 2 3 7 перспективны с центром в 4 = [2 , 2] П [3, 3 ] П [5, 7]. Это значит, что 83, порожденная вышеуказанными тройками коллинеарных точек, замыкается. (Заметим, что доказательство импликаций ¿7 ^ 83 и 83 ^ ¿7 в силу результатов Рашевского 83 ^ 134, 134 ^ 83 могут быть опущены, как следствия из ¿7 ^ 134 и 134 ^ ¿7.) >

Теорема 4. Из 83 следует первая малая теорема Паппа.

< Пусть для точек 4, 6, 2 прямой ¿1 и точек 1, 3, 5 прямой ¿2 плоскости Рашевского выполняются инциденции:

7 = [1, 6 П [3,4], 8 = [3,6] П [2,1], [4, 8] П [1, 3] = 5, 9 = [5,6] П [3,2],

тогда выполняется и инциденция (7, 8, 9).

Докажем соотношение 83 ^ (7, 8, 9) (рис. 4).

Рис. 3.

Рис. 4.

1) М3 4 2; 6 9 7} : (3,4, 7), (3, 2, 9), (2,4, 6), К = [3,6] П [2, 7] П [4,9], А = [2, 3] П [6, 7], В = [2,4] П [7,9], С = [9,6 П [3,4] ^ (А, В, С, К),

2) Рассмотрим точки 8 = [3, 6] П [7, 9] и 8 = [3, 6] П [4, 5] П [1,2] и докажем их совпадение нижеследующим образом:

(2.1) 83 ( 6 2 В) , [6,7] П [2, 3] П [В, С] = А ^ 6 С В ), [6,3] П [2, С ]П [В, 7] =

8', 8' = [3, 6] П_[В Д9], (2, С, 8'); (3, 6,8'); _ _ _

(2.2) 83 ( 7 9 8' ) , [4, 7] П [6, 9] П [2, 8] = С, ( 9 | 2 ) , [4, 9] П [6,8'] П [2, 7] = К; (6, 8', К), 8' = ]2, С] П_[3, 6] П [7, 9, В] П [6, К] ^ (К, 6, 3,8');

(2.3) 83 ( 7 К В ), [1,7] П [К, 3] П [2, В] = 6, К = [3,6] П [4,9], (К, 4,9),

С В К 2) , [7, В] П [1,К] П [2, 3] = 9, (9,1, К, 4), (1,4, 9);

4

(2.4) 83( 7 8 §) , С1' 7] П С3' 8'1 П С5' 9] = 6, ( Г 3 , [1, 9] П [7, 3] П [б', 5] = д,

4 = [Г, 9,4] П [3,7,4] = д ^ (5, 4,8'), 8' = [4, 5] П [7, 9] П [3, б], 8 = [3,6] П [4, 5] ^ 8' = 8 ^ (7, 8, 9). >

Следствие 4'. В тернарном кольце плоскости Рашевского операция сложения (+) подчиняется аксиомам абелевой группы, т. е. из 83 следует выполнение аксиом абелевой аддитивной группы. (Доказательство предложения 4' следует из теоремы 4 и теоремы Рашевского — Аргунова [1, 2] : «Из проективного выполнения первой малой теорема Пап-па (П1) следует выполнение аксиом аддитивной абелевой группы в тернаре плоскости».)

Теорема 5. £7 ^ а + а + а = 0 при любом а.

< Пусть образующие точки £7 имеют координаты: 1 = (0), 2 = (0, 0), 3 = (а, а), 4 = (то) (см. рис. 5), тогда:

Г' = [4, Г] П [2, 3]= П [у = ж] = (1), 2' = [4, 2] П [1, 3] = [ж = 0] П [у = а] = (0, а), 3' = [4, 3] П [Г, 2] = [ж = а] П [у = 0] = (а, 0),

5 = [Г, 2] П [Г', 2'] = [у = 0] П [у = ж + а] = (-а, 0),

6 = [1,3] П [Г , 3 ] = [у = а] П [у = ж — а] = (а + а, а),

7 = [2, 3] П [2', 3'] = [у = ж] П [у = Ж ■ f О а] = (Ж7,у7) = (Ж7,Ж7 ■ f О а) = (Ж7,Ж7), 3 ■ I ^^ 0 = а ■ f о а ^ —а = а^ а = — а^ а ■ f о (—аf) = 0 при любом а.

Рис. 5 (Ьт).

Отсюда

f = —1 и а(—1) = —а. (*.1)

(5,6, 7,4) ^^ же = ж5 ^^ —а = а + а = ж7 ^

а + а + а = 0. (*.2)

7 = (—а, —а) = (—а, (—а)(—1) о а) = (—а, а + а),

(—а) ■ (—1) о а = а + а = (а)(—1) + а, (*.3)

—а = а(—1) = а(1 + 1) ^^ а + а = а(1 + 1). > (*.4)

Теорема 6. 83 ^ а ■ т о Ь = ат + Ь при любых а, т, Ь.

< Пусть в 83 А' = (а, а ■ т о Ь), В' = (к, к + д), С' = (ат, ат + д), к = ат + д — Ь, д = а ■ т о Ь — а, В = (к, к + Ь), С = (ат, ат + Ь) (см. рис. 2'), тогда:

[В, В'] П [С, С'] = Г = (то), А = [У, А'] П [В, С] = [ж = а] П [у = ж + Ь] = (а, а + Ь),

АБС А' Б' С'

АБС

Б' С' А'

М = [А, Б'] п [Б, С'] П [С, А'],

[А, Б'] = [у = х ■ / о Ь] IА а ■ / о Ь — к ■ / о Ь ^^

а + Ь = а ■ f о Ь, Б' I ^^ к + д = к ■ f о Ь ^ а + Ь — к — д =

У а — Ув' = ат + Ь — а ■ т о Ь = а ■ f о Ь — к ■ f о Ь = р,

[А', С] = [у = х ■ fl о Ь1 ] I А' ^^ а ■ т о Ь = а ■ /1 о Ь1, 1С ^^ ат + Ь = ат ■ /1 о Ь1 ^

Ус — Уа' = ат + Ь — а — а ■ т о Ь = ат ■ /1 о Ь1 — а ■ /1 о Ь1 = р,

(*.2)

[Б, С] = [у = х ■ /2 о Ь2] IБ ^^ к + Ь = к ■ /2 о Ь2, IС' ^^ ат + д = ат ■ /2 о ^ Уь — УС' = к + Ь — ат — д = к ■ /2 о Ь2 — ат ■ /2 о Ь2 ^^

ат — д — Ь + Ь — ат + д = 0 = к ■ /2 о Ь2 — ат ■ /2 о Ь2 ^ (*.3)

/2 = 0, [Б,С'] = [у = к + Ь] = [у = ат + д], Ув — Ус = 0, (*.4)

|(*.1), (*.2)} ^ а ■ / о Ь — к ■ / о Ь = ат ■ /0Ь1 — а ■ /1 о Ь1. (*.5)

Уравнение (*.5) при / = / =0 сводится к тождеству 0 = 0, уравнения (*.1) и (*.2) дают: р = ат + Ь — а ■ т о Ь = 0 ^^ а ■ т о Ь = ат + Ь. >

n (т)

Рис. 2' (8з).

С

Рис. 6.

Б'

Теорема 7. 83 ^ (—а — Ь)г = —аг — Ьг при любых а, Ь, г.

< Пусть в 83 Б' = (а,аг), С' = (Ь, Ьг), В' = (—а — Ь, (—а — Ь)г), С = (Ь,аг), В = (—а — Ь, (—а—Ь)г — Ьг+аг) (см. рис. 6), тогда: ^ = СС'ПВВ' = [х = Ь]П[х = —а — Ь] = (то), Б = ¥Б' П СВ = [х = а]П[у = хг — Ьг+аг] = (а, —аг — Ьг), М = Б 'С П С'В = [у = аг]П[у =

хД + Ь], С' I ^ Ьг = Ь/ + Ь ^ Ь = Ьг — Ь/, ВI (—а — Ь)г — Ьг + аг = (—а — Ь)/ + Ьг — Ь/,

(—а — Ь)г — Ьг + аг = (—а — Ь)/ + Ь.

(—а — Ь)г — Ьг + аг = (—а — Ь)/ — Ь/.

(*.1)

БВ' = [у = хр + Ь'], БI ^^ —аг — Ьг = ар + Ь', В' I ^^ (—а — Ь)г = (—а — Ь)р + Ь',

(—а — Ь)г + аг + Ьг = (—а — Ь)р — ар. (*.2)

{(*.1), (*.2)} ^ (—а — Ь)р — ар = (—а — Ь)/ — а/ ^ р = / ^ С'В П БВ' = М = (/), Б'С = [у = аг] = [у = х ■ 0 + аг] I (0), Б 'С П = (0), М = С'В П Б 'С П БВ' ^

[у = х/ + Ь] П [у = х ■ 0 + аг] П [у = х/ + Ь'] = (0) = (/) = (р). {(*.1) — (*.3)} ^ (—а — Ь)г = —аг — Ьг. >

Следствие 7'. Из теоремы 7 следуют:

(1) (—а)Ъ = (а + а)Ъ = аЪ + аЪ = —аЪ;

(2) (—а — Ъ)г = —аг — Ъг = (-а)г + (-Ъ)г ^ —а = к, —Ъ = р, (к + р)г = кг + рг при любых к, р, г.

Теорема 8. 83 ^ а(Ъ + с) = аЪ + ас при любых а, Ъ, с.

< (рис. 6). Пусть в 8з В' = (0,0), С' = (—а, —а(Ъ + с)), В' = (а,а(Ъ + с)), В = (а, —аЪ — ас), С = (—а, 0), тогда: В = СС' П ВВ' = (ж), ВС = [у = хд + г] 1С ^ 0 — ад + г ^ г = ад, ВI ^^ —аЪ — ас = ад + г = д + а = —ад ^^ ад = аЪ + ас, ВС = [у = хд + ад], В = СВ П ВВ' = [у = хд + ад] П [х = 0] = (0, ад) = (0, аЪ + ас), М = В'С П С'В П ВВ' = [у = 0] П [у = х/1 + ¿1] П [у = х/2 + аЪ + ас], С' I ^—а(Ъ + с) = —а/1 + г1, ВI ^^ —аЪ — ас = а/1 + г1,

—а(Ъ + с) + аЪ + ас = —а/1 — а/1 = а/1, а = 1, /1 = 0, (*.1)

В' I ^^ а(Ъ + с) = а/2 + аЪ + ас,

а(Ъ + с) — аЪ — ас = а/2 ^^ при а = 1, /2 = 0, (*.2)

|(*.1), (*.2)}^ а/1 + а/2 = 0 Vа = 0. (*.3)

Тривиальное решение /1 = /2 = 0 уравнения (*.3) относительно /1 и /2 приводит к равенству

а(Ъ + с) = аЪ + ас. (*.5)

Таким образом, доказано, что 83 ^ а(Ъ + с) = аЪ + ас при всех а, Ъ, с. >

Следствие 8'. Очевидно, что из (*.5) и а + а + а = 0 при Ъ = с следует а(Ъ + Ъ) = а(—Ъ) = аЪ + аЪ = —аЪ.

Теорема 9. 83 ^ а • а-1Ъ = Ъ, а = 0.

< (рис. 6). Пусть в 83 С = (—а, 0), С' = (—а, —а • а-1Ъ), В' = (0,0), В' = (а, а • а-1Ъ), В = (а, —Ъ), тогда С В = [у = хф + г] IС ^^ 0 = —аф + г ^ г = аф, ВI ^^ —Ъ = аф + г = аф + аф = —аф ^

Ъ = аф, (*.1)

С В = [у = хф + аф] = [у = хф + Ъ], (*.2)

В = СС' П ВВ' = (ж), В = СВ П ВВ' = [у = хф + Ъ] П [х = 0] = (0, Ъ), М = СВ' П С'В = [у = 0] П [у = х/ + г'] = (хт, 0),

С' I ^^ —а • а-1Ъ = —а/ + г' ^ г' = а/ — а • а-1Ъ ВI ^—Ъ = а/ + г' ^ г' = —Ъ — а/

а/ — а • а-1Ъ = —Ъ — а/ ^^ +а/ + а • а-1Ъ = +Ъ ^^

а/ = Ъ — а • а-1Ъ, а = 1, / = 0, (*.3)

М^В' = [у = хв + Ъ] ^^ а • а-1Ъ = ав + Ъ, а = 1,5 = 0, (*.4) {(*.3), (*.4)} ^ Ъ = а • а-1Ъ — ав = а • а-1Ъ + а/ ^

ав + а/ = 0 V а = 0. (*.5)

Тривиальное решение в = / = 0 уравнения (*.5) относительно в и / приводит к равенству:

Ь = а ■ а-1Ь V а = 0, Ь. > (*)

В силу теорем 1-9 в тернаре плоскости Рашевского выполняются все аксиомы левоальтернативного и, следовательно [3], альтернативного тела характеристики р = 3. Тем самым получено положительное решение проблемы Рашевского: «Не муфангова ли плоскость в которой 83 выполняется проективно?» (Эту проблему Петр Константинович Рашевский поставил перед нами — его стажерами МГУ — в 1969 г.)

Литература

1. Аргунов Б. И. Конфигурационные постулаты и их алгебраические эквиваленты // Мат. сб.— 1950.-Т. 26(68), № 3.—С. 425-456.

2. Рашевский П. К. Проективная геометрия с новыми конфигурационными аксиомами // Мат. сб.— 1940.—Т. 8(50), № 2.—С. 183-203.

3. Скорняков Л. А. Проективные плоскости // Успехи мат. наук.—1951.—Т. 6, вып. 6.—С. 112-154.

4. Хубежты И. А. Теорема Ь7 // Геометрия инцидентностных структур и дифференциальных уравнений.—Смоленск, 1973.—С. 92-95.

Статья поступила 16 июля 2008 г.

Хубежты Исидор Антонович

Северо-Осетинский государственный университет

им. К. Л. Хетагурова, профессор кафедры алгебры и геометрии

РОССИЯ, 362040, г. Владикавказ, ул. Ватутина, 46