О дезарговой геометризации характеристики тела Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Июпь-септябрь, 2001, Том 3, Выпуск 3

УДК 512.552.32+514.146.7

О ДЕЗАРГОВОЙ ГЕОМЕТРИЗАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТЕЛА

И. А. Хубежты

В настоящей работе содержатся: 1) дезаргова геометризация характеристики р 5 поля, в виде конфигурационной теоремы Кр, содержащей пару перспективных р-вершинников с центром S и осью I, где S ЭС I; 2) дезарговы геометризации характеристик 2 и 3 тел, в виде конфигурационных теорем Dg (1 2 3; V 2' 3') и L7(12 3; V 2' 3') соответственно; 3) доказательства теорем: «Lio Кр», «7з =>• Dg», «L~¡ 83» и « Кр р = 0 ».

В настоящей работе содержатся: 1) дезаргова геометризация характеристики р ^ 5 доля, в виде конфигурационной теоремы Кр, содержащей дару перспективных р-вершиддиков с центром Б и осью /, где Б /; 2) дезарговы геометризации характеристик 2 и 3 тел, в виде конфигурационных теорем £)|(1 2 3; 1'2'3') и Ь7( 12 3;1'2'3'), соответственно; 3) доказательства теорем: «¿ю =>■ Кр», «7з =>■ «Ь7 -ФФ 83» и «Кр -ФФ р = О».

Эти результаты отличаются своей дезарговостыо от результатов Фадо [1], Рашевского [2], Цадда [3] и Картеси [4] о геометризациях равенств 1 + • • • + 1 = п = 0, где п натуральное число.

Сначала найдем дезаргову геометризацию характеристики р > 3 доля в виде конфигурационной теоремы Кр, содержащей перспективные р-вершиддики и представляющей некоторый обобщенный аналог малой теоремы Дезарга (Ью).

i

\ ^^^ i- 1

/i+2¡ 1-2

в. 1 \ \ \ \ V / í\i+3 i-3

B

B,, в., i+1 i+2

"B3 Bi-2

г-З

Рис. 1.

© 2001 Хубежты И. А.

Конфигурационная теорема 1 (рис. 1). Пусть для точек 1.2.....р общего положения, где р — простое натуральное число, выполняются следующие тщилеишш:

г7 = [г -ФФ-1, г + 2] П [г 4^2, г + 1] , г = 3,... ,р,р + 1,р + 2,

В1 = [г, гТТ] П [г7, V + 1] , г = 1,... ,р, {гН = г}, [г, г7] ф \К,Щ при i ф К,

г7#5' = [1,Г]П[2,27]П---П[Р,Р7], (>'. .....•//;+,.....Нр).

Тогда выполняется и замыкающая инцнденцня

(Б, . . . , 1, Вг, ■ ■ ■ , Вр).

Теорема Кр состоит из Зр + 1 точек и Зр + 1 прямых и имеет ранг 4.

Теорема 2. Некоторым ограниченным квазитождеством конфигурационной теоремы Кр является равенство р = 0 (р > 3).

< Пусть образующие точки в папповой плоскости имеют следующие координаты:

Р 44-г = (2р«Ф»2г, 1 + ••• + (г + 1)) = (2р 2_1(г + 2) (г + 1)), г = 0,... ,р 44-1,

{Р = (2р,1),Р4^1 = (2р 44-2,1 + 2), Р 44-2 = (2р 4^4,1 + 2 + 3),... 2 = (4,р(р 4^1) ■ 2"1),Т= (2 ,р(р + 1) • 2"1), 3 = (6, (р 4^1 )(р 44-2) • 2"1)}. Тогда, пользуясь аксиомами поля, получаем:

Вр^ 2 = [Р 44-2, Р 4^1] П [Р, Р 44-3] = [у = хт + га] П [у = хт + га'] = I П I',

Р 44-2 эе I 44- 6 = (2р 44-4) • ш + га ,

_ , 1 7 > => 3 = 442т => т = 443 • Т

1> .=.1 ^е /' з = (;1р -=-2) • т - V

V = 4=-(2/; 4=-2) (4=3 • 2~1) = 3 — 3 • 2~1 (2/; <=-2) = Зр => [Р^2, Р^Т] = [у = 443 • 2_1ж + Зр];

Р эе ¿2 1 = 2рш' + га' , , , г

т =443-2 ,

/>.=,•; ^е /•_> 10 = (2р 44-6)т' + га'

га' = 1 44-2р • (443 • 2-1) = 1 + Зр,

[у = (443 • + (1 + Зр)] = [Р, Р 44-3],

Вр^2 = (443 • 2"1) эе 1С

Вр-3 = [Р 44-3, Р 44-2] П [Р 44-4, Р 44-1] = [у = 442ж + 5р44-2] П [у = 442ж + п]

[Вр-2, Вр^з] = loo-

(442),

Bp = [Р, 1] П [2, Р 44-1] = [y = xf + t]n[y = xf1 + t1],

_ р2 44-р 44-6 р2 + р 44-2

h - 4(3 44-р) ' 1 ~ 4(1 44-р) '

/ = h & 5р = 5р 4^ Bp эе Zoo.

(1)

-Bi = [I? 2] П [Р, 3]

3G Zoo 44- 4 Далее, имеем:

П

У

iE,

4'

р2 2

I ^р = 2р^р = 0^В1 = (0).

В.

р — г

в,,

[Р 44-г, Р 44-(г 4^1)] П [Р 4^(г 4^2), Р 4^(г + 1)] эе 1С

jp—i = [у = xtïii + ni] П [у = xm2 + п2]

= [у = 44ж • 2_1(г + 1) + 2_1(г + 1)(2 + 2р 44-г)] П [у = 4<г + 1) • 2-1ж + 2^(44г2 + г + 2рг + 2р + г)] = (442^ + 1))

При г = 0 из (1) и (2), в силу (Pi,..., Вр, S), имеем:

В,,

Вг.

1 1

р2 44-р 44-6\

-J-7—— J (/^=-3)^ = 0. р # 3, р = 0,

р2 + р 44-2 \

4(1 4»р) ) = Р#1, Р = 0;

(Р 44-г) =[Р 44-(г 4^1), Р 4^(г + 2)] П [Р 4^(г + 1), Р 4^(г -ФФ-2)] =[у = xrii + По] п [у = хгпг + ш0] =[у = 4<г + 2)2-1 • ж + 2^(44г2 44-г + 2рг + 4р + 4)]

П [у = 4<г + 1)2-1 • ж + 2^х(44г2 + г + 2p¿ + 2р + 4)] =(2р 44-2г, y(p_j)/),

(2)

(3)

г =0,... ,р 44-1 =г- xp-i = = 2р 44-2г 44- [Р 44-г, (Р 44-г)'] П 1С

■.[у = 2р 44-2г] П /оо = (оо) = [Р, Р'] П [Р 4^1, (Р 4^1)'] П • • • П [I,

S.

Итак, из выполнения всех инциденций конфигурационной теоремы Кр следует, что р = 0 в тернарном кольце папповой плоскости, для любого простого числа р. Доказательство же соотношения «р = 0 =>■ Кр» осуществляется обратным ходом выкладок, проведенных выше, опираясь на систему образующих

точек К

/>= (0. 1). />■=■/ = (>й/\(/-2)(/- 1)2-1)..... 3 = (6,1),

2 = (4, 0). Т= (2.0). / = 1.....>

Теорема 3. Для точек Р -ФФ-г = (х-^ц, //-рту) и (Р ^У = (-''ттту- • при

указанном в доказательстве теоремы 2 наборе координат образующих точек

Кр, имеет место:

Пут—у = ~ 1 • « = 0,1,...,р^1. < В силу (3) имеем:

Ур- = 2_1(г + 2) (г + 1) = 2^2 + Зг + 2),

г + 2

^(р^)7 = х(Р^у -П1 + п0 = ' 2(р ^) + п0

= 2"1 [-Ф42(г + 2)(р -ФФ-г) -ФФ-г2 -ФФ-г + 2рг + 4р + 4] = 2^х(-фф2гр + 2г2 -ФФ-4р + 4г -ФФ-г2 -ФФ-г + 2рг + 4р + 4) = 2^х(г2 + Зг + 4) = ур^ + 1, Уг = 0,...р^1. >

Теорема 4. Если в папповой плоскости выполняются все инциденции теоремы Кр, то точки пересечения соответствующих диагоналей ее р-вершпннпков 1... Р и 1'... Р' будут лежать на оси перспективы р-вершиппиков.

< В силу доказательств теорем 2 и 3, имеем:

Р^к = (2р -ФФ-2&, 2^(к + 2)(к + 1)), (Р&к)' = (2р -ФФ-2&, 2^(£;2 + + 4),

11 = [Р -ФФ-&, Р -ФФ-г] = [у = хт + г],

/> •==• /,: ^е /; -Ф=- 2~1 (/,: - 2) (/,: - 1) = 2(р^)-ш + ^ эе ^ «Ф» 2_1(г + 2)(г + 1) = 2(р ^г) • т + ^ + 2)(£ + 1) «»(г + 2)(г + 1)) = 2(р ^ ^р + г)ш,

■пг = + г + 3),

1>. = [(р к)', (Р = [у = хп + 6'],

(Р<=>к)' ЭЕ I■ «Ф 2^\к2 + Зк + 4) = 2(р ^А;) • п + г (Р&ъУ ЭЕ 1[ <=> 2^г{12 + Зг + 4) = 2(р -п + г 2^2(к2 + 3(к ф>1)) = 2(г <=>к)п => п = ^2(к + г + 3) = пг.

Таким образом, прямые и пересекаются в точке (-Ф42^2(А;+г + 3)) прямой /ос-оси перспективы р-вершиппиков 1... Р и 1'... Р'. [>

Примечание 1. Теорема 2 доказана пока лишь для иаииовой плоскости характеристики р. Аналогичным образом ее можно доказать и в дезарговой и муфапговой плоскостях характеристики р.

примечание 2. Как известно из [4], геометрическое представление (Тп) равенства 1 + - • -+1 = п = 0, где п — любое натуральное число, не содержит пар перспективных р-вершиппиков. Теорема же Кр состоит из двух р-вершиппиков 1... Р и 1'... Р', имеющих ось / и центр Б перспективы, причем Б ЭЕ I.

О дезарговом содержании теоремы Кр гласит следующая

Теорема 5. В плоскости Ср, р ф 2, справедлива импликация Ью =$> Кр.

3'

Рис.2.( 110)

4

7

<1 Рассмотрим рис. 1 и 2. Расширим Кр диагоналями ее р-вершиппиков 1... Р и 1'... Р' и рассмотрим пары перспективных трехвершиппиков:

{12 3; V2>W}, {13 4; РЗ7!7}.....{ТР^2Р^1; I7 (Р е>2)' (Р ^1)'}, {ТР^1 Р;

1' (Р -ФФ-1)' Р'}, в каждой из которых в силу теорем 2 и 4 выполняются условия теоремы Ью, (рис. 2). Применив к каждой из них в указанном порядке теорему Рю, мы убедимся в выполнении всех ипципдепций теоремы Кр (выкладки опускаем). [>

Ввиду проективного выполнения Ью в муфапговой плоскости справедливо

Предложение 5 (1). В муфанговой плоскости характеристики р ф 2 теорема Кр выполняется проективпо.

Так как в плоскости Ср, р ф 2, теорема проективпо эквивалентна Ию (см. [8]), и кроме того, Ью 44- £>ю, и Ью =$> Кр (см. теорему 5), то справедливо

Предложение 5 (2). В плоскости Ср. р ф 2, из Ь9 следует Кр.

примечание 3. Характерной особенностью Кр является то, что при некоторых р ее можно образовать из р-Ф4-1 точек. Например, можно образовать из четырех точек: 5, 5', В$ и В4, следуя таблице ипцидепций вида (рис. 3)

5 = [5, б7] П [Б4, В5], Т = [В5, 5] П [б7, Щ, 4 = [5, В4] П [Щ, б7], I7 = [Т, 5] П [б7, Щ,

в2 = [В4, В5] П [Т, 4], 3 = [б7, В4] П [5,17], З7 = [3, 5] П [Т, 4], 2 = [5, З7] П [3, Щ,

г7 = [2, 5] П [Т, 4], В2 = [2,5] П [3,4], Вх = [1,2] П [I7, г7], I7 = [4, 5] П [5, З7],

и замыкающим ипципдепциям (51, В2, Вз). При этом остается справедливым соотношение «КГу ^5 = 0». В самом деле, следуя указанной таблице ипципдепций и замыкающей ипципдепции при 5 = (0), 5' = (0,1), = (0, 442), В4 = (441, 0), получаем:

I = (443, 442), 4 = (0, 0), В2 = (443 • 4"1, 442^), 3 = (3, 4), I7 = (0, 4),

З7 = (З^1 • 2), 2 = (оо), г7 = (443 • 2"\ 4Й), Вз = (442), Вх = (443, 446), ¥= (442-З^1), (I7, 5, В4) 44- 5 = 0.

В,

В,

В

Рис. 3.(К5)

В3 В!

2

Для дезарговой геометризации характеристики 3 тела сначала дадомдим, что конфигурационная система Д^б1,/), где Б ЭЕ I, есть конфигурационная теорема Ь7 [5] (рис. 4).

1'

5

Рис. 4 (Ь7)

Теорема 6 (рис. 4). Имеет место следующее соотношение

¿7^1 + 1 + 1 = 0.

<1 Если теорему Ь7 задать образующими точками 6,1, 4, 2, таблицей ипцип-дс1щий:_7 = [4,6]П[1, 2], I7 = [Т, 4]П[2, 6], 2? = [2, 4]П[4, 7], З7ЩП[Т, 2], 3 = [3', 4] П [1', 2], 5 = [1, 3] П [4, 6] и замыкающей идциддедцией (3, 5, 2'), то при следующих образующих точках: {6 = (0), 4 = (оо),1 = (0,0), 2 = (1,1)}, другие точки Ь7 будут иметь координаты: 7 = (1),1' = (0,1), 2' = (1,1 + 1),3' = (1 + 1,1 + 1),3 = (1 + 1,1), 5 = /ос П [у = хп] = (п). Далее, имеем: (1,3,5) «ф 1 = (1 + 1 )п, (г7,1,3, 5) «Ф 1 + 1 = 1 -п => 1 + 1 + 1 + 1 = 1 1 + 1 + 1 = 0. Обратным ходом рассуждений доказывается, что «1 + 1 + 1 = 0=^ Ь7». \> Выясним теперь геометрические взаимосвязи теорем Ь7,8з (рис. 5) и 1З4 (рис. 6). (Проективная эквивалентность 83 и 1З4 доказана Рашевским в работе [2]).

Рис. 5 (83)

Теорема 7 [5]. В плоскости характеристики 3 теорема Ь7 проективпо эквивалентна теореме 83.

<1 (1) 1З4 =>■ Ь7 (рис. 4 и 6). Рассмотрим два трехвершиппика АС С и ББВ' с ипципдепциями: Б эе [С, С], Б ЗЕ [А, С], (Б', ,4, С), М = [,4,Б]П [Б, С] п [С, Б'], В' = [А, С] п [Б, Б], Б = [Л, С] П [Б, Б»'], (} = [С, С] П [Б, Б'] и докажем (М, Б, Б'), исходя из проективного выполнения 1З4 в плоскости. С этой целью выберем в Ь7 следующие 4 точки общего положения: В, С, В', С' и построим 1З4 до вышеуказанной таблице идцидепций. Тогда, в силу выполнения 1З4 в плоскости, в пей имеет место ипципдепция (М, Б', Б, С}). Таким образом из 1З4 следует Ь7 в плоскости £3.

:;;;; ^7/

/ JD^

/

A В\ C D

Рис.6(134)

(2) L7 =>■ 1З4. Докажем, что из Ь7 следуют все инцицденции теоремы 1З4. С этой целью рассмотрим в 1З4 шесть пар трехвершиппиков:

(I) {BB'Q-C'CA}, (II) {ССР: D'DA}, (III) {МСС: FD'В}, (IV) {NCC'-.FB'D}, (V) {CCM-PRF}, (VI) {CCN: RPF}. Учитывая, что в L7: (Q, С, С), (Б, С, А), В' Э£ [А,С},Р = [В', С] П [Б, С] П [A,Q], прямая [F, D'], где F = [В, В'} П [С, С], Б' = [B,Q] П [А, С'], ипципдепция Р, заключаем, что для трехвершиппиков (I) выполняются условия Ь7 и, следовательно, выполняется ее замыкающая ипципдепция (Б, F, D, D'), где Б = [Б', Q] П [А, С]. Таким образом, (I) =>■ (P,F,D,D'). Аналогичными рассуждениями при учете (Б, F, D, D') устанавливаем, что (11)=^ (Р, A, R) и (Б, R, В, В'). Далее, сравнивая (Б, A, Q) и (Б, A, R) заключаем (Б, A, R, Q). Если учесть, что в (III): (F, С, С), (Б', М, С), (Б, М, С) и точки Б = [Ai, С] П [F,D'],R = [M, С] П [F,B},Q = [С, С] П [Б, Б'] лежат, в силу (III), 11а одной прямой (оси перспективы) и точка А = [C,D'j П [В, С] лежит па оси, то заключаем, что (A, F, M). Далее имеем, что (IV) (A, F, N). Сравнивая две последние ипципдепции, мы приходим к (A, F, M, N). Опираясь па рассуждения, аналогичные предыдущим, заключаем: (V) (B,D',Q,N). Так как в (VI): (С, С, F), (Б, C.N), (R, С, N), (Q, В', D), Q = [С,С] Г) [Р, R], В! =

[С, Щ П [1?, Р], И = [С, Щ П [Р, Р], М = [Л, С] П [С, Р] П Щ в силу предыдущих идциддедций, то (Р, С}, М, В'). Итак, из Ь7 следуют все идциддедции теоремы 1З4.

(3) 83 =$- Ь7. Пусть трехвершиддики 123 и 1'2'3' имеют центр 4, точками пересечения сходственных сторон будут точки 5, 7, 6 и вершины одного (рис. 4) из них лежат на сторонах другого. Докажем тогда, что (4,5,6,7). С этой целью рассмотрим в Ь7 дару коллидеардых точек 2'3 5 и 72 3' с центром перспективы в точке 1'. В силу 83 (рис. 5), тройки (рис. 4) 2'3 5 и 2 3'7 из Ь7 также перспективны и с центром в 4. Следовательно, 83 =>■ (4,5,7). Аналогично этому, из перспективности троек 4 1'1 и 3'6 2' с центром в точке 3, в силу 83, следует перспективность 4 1' 1 и 6 2' 3' с центром в точке 7 = [1', 2'] П [1, 3']. Итак, 83 => (4,6,7).

(4) Ь7 =>■ 83. В Ь7 выделим дару коллидеардых и перспективных троек точек 2' 3 5 и 72 3' (см. рис. 4) с центром 1 = [2', 7] П [2, 3] П [5, 3']. Так как в Ь7 точки 4, 5, 7 коллидеарды, то тройки 2', 3, 5 и 2, 3', 7 перспективны с центром в точке 4 = [2, г7] П [3, З7] П [5,7]. >

В заключение этой работы рассмотрим конфигурационную теорему

Теорема 8. (рис. 7). Пусть для точек (3, 6,1'), 2', 4 бесконечной плоскости Фано выполняются следующие ипципдепции:

[I7, 3] П [4, 2/] = 2, 37=[6,27]П[3,4], 5 = [г7, 3] П [Г, З7],

1 = [Т7, 4] П [27, 5], 7=[Г,27]П[Т,2], тогда будут выполнятся и ипципдепции (5,6,7) и (3,3', 7).

Рис. 7 (£>;)

Теорема состоит из 10 точек, 10 прямых и имеет ранг 8 (Р| ф В8). Выясним теперь связи между и 7з (рис. 8).

Теорема 9. В плоскости Фано С2 7з следует проективно.

<1 Пусть выполняются все ипципдепции (рис. 7), кроме (5,6,7) и (3,3', 7). Тогда, применив 7з к четырехвершиппикам 1'3 2'4 и 3 2'3'1', заключаем:

(1 = [1', 4] П [3, 2'], 2 = [1', 3] П [2', 4], 7* = [1', 2'] П [3, 4]) -фф (1,2,7 ),

(5 = [3,2*] П [I7, З7], 6 = [3,17] П [27, З7], 7' = [3, З7] П [Г, г7]) (5, 6, Т7),

(7 = 7* = [I7, г7] П [3, З7, 4] П [Т, 2] = Т7 (3, 4, 7) и (5, 6, 7)).

Аналогичными рассуждениями и выкладками доказывается, что при любом другом наборе образующих точек теоремы из 7з следуют все ипципдепции [>

2

ъ/

у \ \

// / / / / S^fC 1 \

/ / 1 / , \ > \ \ '

\ 1

Рис. S (73)

Поскольку Dg содержит все ипципдепции Dg и ипципдепцию (7,3,4), то она есть частный случай Dg в плоскости Фапо, и имеет дезаргово содержание. (Существуют и другие дезарговы геометризации характеристики 2 (см. в

И-))

Литература

1. Fano G. Sui postulati furidameiitali délia geometria proectiva // Giorri. Math.—1942.— V. 30.—P. 106-112.

2. Рашсвский П. К. Проективная геометрия с новыми конфигурационными аксиомами // Мат. сб.—1940.—Т. 8 (50), № 2,—С. 183-203.

3. Zappa G. Piano grafici a coracteructika // Arm. Math. Pura. Appe.—1960.—No. 49.— P. 157-160.

4. Картсси Ф. Введение в конечные геометрии.—M.: Наука, 1980.

5. Хубежты И. А. Теорема L~¡ // Геометрии инцидентностных структур и дифференциальных уравнений: Сб. науч. статей.—Смоленск, 1981.—С. 92-96.

6. Хубежты И. А. О теореме 73 // Деп. в ВИНИТИ, 2001.—№ 1101.—7 с.

7. Хубежты И. А. О некоторых классах алгебр и инцидентностных структур.— Владикавказ: Изд-во СОГУ, 1994.—392 с.

3

7

8. Moufang R. Die Schnittpunktsatze des proektiven speziellen Funfeckchetzes in ihrer An-handigkeit voneinander // Math. Ann.—1935.—V. 106.—P. 755-795.

г. Владикавказ

Статья поступила 23 сентября 2001