CC BY
11
9. The Arity/Prolog Language reference manual. Concord, Massachusetts, 1988.
10. Крицкий С.П. // Компьютерное моделирование. Вычислительные технологии. Ростов н/Д, 2003. С. 67-90.
Ростовский государственный университет 4 сентября 2006 г.
УДК 512-552-32 + 514-146-7
КОЛЛИНЕАЦИИ В ПЛОСКОСТЯХ НАД СЛАБО-ДИСТРИБУТИВНЫМИ СИСТЕМАМИ
© 2006 г. И.А. Хубежты
In this work projective planes over some just-distributive systems are investigated for the presence of colliniations in them.
Определение 1 [1, 2]. Алгебраическую систему B(+,) [3], операции которой подчиняются условиям:
1) В( + ) - абелева группа; 2) В(-) \ {0} есть лупа; 3) a(b +1) = ab + a, V a, b ; 4) (a + 1)b = ab + b, V a, b ;
5) уравнения ax = by + c и ya = yb + c, a ф b , однозначно разрешимы относительно х и у соответственно, назовем слабо-дистрибутивным телом. Определение 2 [1, 2]. Если в системе B(+,•) имеют место 1), 2), 3)
(или 4)), 5) в опр. 1 и aa- = a~la = 1, то ее будем называть правой (левой) слабо-дистрибутивной ^VW-системой C (+, •) (C2 (+, •)).
Определение 3 [3, 4]. Система X(+;-), в которой имеют место: 1) X(+) -абелева группа; 2)X(-)\{0} - лупа; 3) (a + b)c = ac + bc (a(b + c) = ab + ac), Va, b, c ; 4) уравнение xa = xb + c (ay = by + c), a ф b , однозначно разрешимо относительно х(у), 5) a • 0 = 0 (0 • a = 0), называется левой (правой) Веблен-Веддербарновой или VW-системой.
Определение 4 [1, 2]. Левую (правую) VW-систему, в которой
aa= a~la = 1, Va ф 0, будем называть левой (правой) IPoVW-системой Xj(+, •) (X2(+, •)).
Определение 5 [1, 2]. Систему Д(+, •) (A2(+, •),) в которой операции
сложения и умножения связаны одним слабым {a(b + 1) = ab + a)} (или (a + 1)b = ab + b)} и одним общим {(a + b)c = ac + bc (или a(b + c) = = ab + ac), Va,b,c} дистрибутивными законами и имеют место: Д (+)-
абелева группа, Д (•) \ {0} - лупа и aa-1 = a_1a = 1, назовем соответственно левой (или правой) ^VW-системой с a(b + 1) = ab (или a(b + 1)b =
= ab + b).
Примеры систем вида B, Ab A2, Q и С2 построены на основе нижеследующих теорем Холла и Цассенхауза.
Теорема (Холла) 1 [4]. Пусть F - поле, f (z) = z2 - rz - s - многочлен, неприводимый над F. Тогда множество B = {a + bu| a,b e F, u g F} составляет левую VW-систему относительно следующих операций:
(1) z © w = z + w, z = z1 + z2u, w = w1 + w2u , z1, z2, w1 w2 e F, u g F,
(2) (a + bz)q = q(a + bz) = qa + qbz , q,a,b e F, z g F,
(3) (c + bz) o z = ds + z(c + dr), c,d,r e F, z g F.
Теорема (Цассенхауза) 2 [4]. Пусть F - конечное поле и fz) = z2 -
- rz - s - неприводим над F. Тогда множество B' = {la + b|a,b e F,l g F}
представляет специальную правую VW-систему относительно следующих операций:
(1) (la1 + b1) + (la2 + b2) = l(a1 + a2) + (b1 + b2), a,,bi e F,
(2) q(z + w) = qz + qw = (z + w)q, q e F, z, w g F),
(3) (la + b)(lc + d) = l(ad - bc + rc) + bd - a_1c(b2 - br - s).
Пример IP-справа левой IPoVW-системы с a(b +1) = ab + a построен в теореме 3.
Теорема 3 [1, 2]. Для F = GF(22k+1) и трехчлена f (z) = z2 + z +1, неприводимого над F, множество M = {a + bu, a,b e F,u g F} относительно операций (+) и (◦), определенных в теореме 1, составляет левую IP0VW-систему B5 = A1, в которой:
(0) z o (1 + t) = z + z o t; (1) z o z- = z- o z = 1, z ф 0;
(2) (coo z ) o z = o0 (z o z ), Vo,z ; (3) (coo z) o z- = o, z ф 0;
(4) z- o (z o z) = z, z ф 0 .
Пример IP-слева правой IP0VW-системы с (1 + a)b = b + ab построен в теореме 4.
Теорема 4. Пусть в условиях теоремы 2: F = GF (23), fx) = x2 + x + 1, тогда B (+, o) будет представлять IP-слева правую IPoVWi-систему B6 (+,•) = A2(+,o), в которой (1 + b) o c = c + b o c и a o (a o b) = (a o a) o b [2, теорема 3.9].
Примеры других слабо-дистрибутивных систем построены в теореме 5.
Теорема 5 [1]. (1) Прямая сумма тел А1 и А2, т.е. система В5 © В6 = = {,У ^х,- e B5,y, e B6} = B7 = A + A2 c операциями (*): (xbyx) • (X2,У2) =
= уу), к(х, У) (кх, ку), где к - скаляр, (хь уг) + у) = (*1 + Хг, У + >"2), представляет слабо-дистрибутивное тело В(+,•);
(2) [1, 2] Система А1 © Х2 (А2 © Х1) представляет правую (левую) слабо-дистрибутивную 1Р0У^-систему с равенствами: аа- — сГ1а — 1, а • аа — аа • а, а — а• аа — аа • а, Ус Ф 0 , т.е. систему С1 (+, •) (С2 (+, •)).
Исследуем плоскости над вышеуказанными слабо-дистрибутивными системами методом Холла [4] на существование в них коллинеаций.
Теорема 6. В проективной плоскости над слабо-дистрибутивным телом В(+, •) характеристика 2 следующие преобразования (теорема 3):
(1) (х, у) ^ (х +1, у + й), (да) ^ (да), (да) ^ (да) ,
(2) (х, у) ^ (х, у + х), (да) ^ (да +1), (да) ^ (да)
являются коллинеациями.
Доказательство.
(1). А = (р, д) эе I = [у = хт + /] = [(да), (0, /)] » д = рт + /, (да) ^ (да), (эе -знак инцидентности).
(0, 0 ^ (1, / + й) (р, д) ^ (р + 1, д + й) А', I ^ Г = [(т), (1, / + й)] = [у = = хт + ( + й + т], А' эе Г » д + й = (р + 1)т + / + й + т »
рт + t = (р + 1)т + t + т » (р + 1)т = рт + т (*)
В виду выполнения (*) в В(+, •), преобразование (1) сохраняет инцидентность точек и прямых, и поэтому оно есть коллинеация. Поскольку А, А'] п [В, В] п [С, С] = [(р, д), (р + 1, д + й)] п [(0, /), (1, / + й)] п [(1, 0), (0, й)] = = [у = хт1 + п[у = хт2 + ^]п[у = хт3 + /3] = (й), и [А,В]п[А',В'],[А,С]п п[ А', С'] и [В, С ] п [В', С'] коллинеарны, то преобразование 1) есть ((й), О — коллинеация.
Очевидно, что коллинеации вида (1) образуют абелеву группу, каждый элемент которой имеет порядок 2:
а1 : (х,у) ^ (х + 1,у + й1), (т) ^ (т), (да) ^ (да); а2 : (х,у) ^ (х + 1,у + й2) , (т) ^ (т), (да) ^ (да);
а1а2 : (х,у) —^^(х +1,у + 4) —(х +1 +1,у + ^ + й2) = (х,у + й3);
а2 — а2 аа.
Очевидно, что для точек Я(р, 0) и Т = (а, 1), таких, что а Ф р + 1, нет в плоскости В* — коллинеации вида (1), переводящей Я в Т, а это означает, что В* не обладает свойством ((й ), Гда) — транзитивности.
(2). А = (р, д) эе Г = [у = хт + /] » д = рт + (0, 0 ^ (0, 0, А ^ А'(р, д + + р) эе Г = [у = х(т + 1) + Ц » д + р = р(т + 1) + / »рт + t + р = р(т + 1) + + t « р(т + 1) = рт + р.
Таким образом, (2) есть коллинеация, причем ((да), [ х — 0]) — элация.
Заметим, что ((да),[х = 0]) - коллинеации вида (2) образуют группу и, что для точек Q(a, Ь) и Р(а, д), таких, что д Ф а + Ь, не существует ((да),[х = 0]) - коллинеации, переводящей Q в Р. Следовательно, плоскость В * не ((да),[х = 0]) - транзитивна. Теорема 6 доказана.
Теорема 7. В плоскости над /Р-справа левой ГР0У^системой Д(+,0 = В5(+,•) с равенством а(Ь +1) = аЬ + а и{1 + 1 = 0} следующие преобразования:
(1) (х, у) —^ (яуЬ + ё, яха + с + яуЬ + ё), (т) —(ь-1 • шТ1а +1), а и Ь -элементы ядра N(А1) = {х | х • уг = ху • г, у • хх = ух • г, уг • х = у • 2х, V у, г е е А1}, я - из сердцевины К(А1) = {(а + я)Ь = аЬ + яЬ}, а(Ь + я) = аЬ + ая , s(a + Ь) = яа + яЬ , я е N(А1)};
(2) (а, с) —(а + к, с + ё), Vk, ё, (т) — (т), (да) — (да);
(3) (а,с) — (а,с + а), (т) — (т +1), (да) — (да);
(4) (а,с) о- (с,а),(т) о- (т-),(да) о- (0) ;
(5) (х,у) — (уа_1, ха),(т) о (ат- • а) ,(да) о (0), Vа Ф 0, а е N(Аг)
являются колинеациями.
Доказательство.
(1) А = (р,д) эе I = [у = хт +г] » д = рт +г, А' = (ядЬ + ё,яра + с + + ядЬ + ё), (0,г) —(я/Ь + ё,с + я/Ь + ё) эе Г = [у = х(ь-1 • т~'а +1) + г']
г' = с + я/Ь + ё - (я/Ь + ё) (Ь-1 • т-1 а +1) = с + я/Ь + ё + я/Ь • (Ь-1 • т-1 а) + +ё •(ь-1 • тГ1а) + я/Ь + ё = с + (я/ • Ь )(ь-1 • тГ1а) + ё •(ь• т~1а), {(я/ • Ь) •(ь-1 • тГ1а) = яг • Ь (ь-1 • т~1а) = яг • тГ1а}, г' = с + я/ • т_1а + ё(ь-1 • т_1а) ,
I — I' = [у = х( • тГ1а +1) + с + я/ • тГ1а + ё• тГ1а)] эе А' » яра + с + ядЬ + ё = (ядЬ + ё )(ь— • т_1а +1) + с + я/ • т~1а + ё (Ь-1 • т_1а) = = ядЬ •(ь- • т~1а) + ядЬ + ё (ь— • тГ1а) + ё + с + я/ • (т_1а) + ё (ь— • т_1а) » я • ра = я (д • т_1а) + я (г • т~1а) » я • ра = я (дт-1 • а - /т-1 • а) » ра = д • тГ1а + г • тГ1а » ра = (дт- + /т-1) а » р = дт- + /т-1 » р = (д + г)т-1 » рт = д + г » д = рт + г » А эе I.
Итак, преобразование (1) сохраняет инцидентность точек и прямых и поэтому представляет коллинеацию. Плоскость А* обладает свойством /„-транзитивности, как левая У^плоскость [1, 4].
То, что преобразование (2) есть коллинеация, доказано в [2, 4]. Преобразование (3) есть коллинеация (см. доказательство теоремы 6).
(4) Т(р,д) эе [у = хт + г] = к » д = рт + /,Т' = (д, р) эе [у = хт-1 +
+/тТ1 ] = /'» р = дт-1 + /т-1 » д = рт + г » Т эе /. Очевидно, что (4) есть ((-1), [у = х])-гомология II порядка.
(5) Имеем: А = (с,ё) эе / = [у = хт + г]» ё = ст + г, А = (ёа_1,са) эе
/' = Ц^ада-1 • а),(/а_1,0) = |у = х(ат-1 • а) + / • ] » са = ёа-1 ат- • а) + г • тГ1а » са = ёа-1 • (а • т_1а) + / • т_1а » са = ё • тГ1а + / • тГ1а » са = ёт • а + /т- • а » са = (ёт- + /т-) а » с = ёт- + /т- » с = (ё + /)т- » ст = ё + / » ё = ст + / » А эе /.
Следовательно, (5) есть коллинеация, причем ((а), [у = ха] -коллинеация:
(1,1), (а"1, а)] = [ у = х (а) +1 + а ] = /1, /2 = (0,1), (а-, 0)] = [ у = х (а) +1],
/3 =|(т), (ат- • а)] = /да , £ = /1 I /2 I /да =( а), [х = 1] — [ у = а] ^ [ х = 1]п п[у = а] = (1, а) , [у = 1] — |х = а"1 ] ^ [у = 1] П [х = а"1 ] = (а_1д) , (1, а), (а_1,1 )] = [у = ха], [у = х] — [у = х • аа] [у = х] П [у = х • аа] =
= (0,0) эе [у = ха]. Теорема 7 доказана.
Теорема 8. В плоскости над 1Р-слева правой 1Р0У^-системой характеристики 2 с (а + 1)Ь = аЬ + Ь, т.е. над А2 = В6, в которой (1 + а)Ь = Ь + аЬ , следующие преобразования:
(1). (х,у) — (х,у + хк), (т) — (т + к), Vk ,
(2). (х,у) — (х, хк + у + ук), (т) — (т + к + тк), Vk Ф 1, к е ^(А2) п
п А),
(3). (х, у) — (ах, а_1у), (т) — (а-1 • а_1т), а е К(А2) п С(А2), С(А2) -центр А2(+, •),
(4). (х, у) — (х +1, у + ё), (т) — (т),(да) — (да) являются коллинеациями.
Доказательство.
(1). А — (р, д) эе [у — хт +1] — I » д — рт +1, А' — (р, д + рк) эе I' —
— [(т + к),(0,t)] — [у — х(т + к) +1] д + рк — р(т + к) +1 рт +1 + рк — р(т + к) +1» р(т + к) — рт + рк ,
д + рк — р(т + к) +1 » д + рк — рт + рк +1 » д — рда +1» А эе Г. Следовательно, (1) есть ((да),[х — 0]) -коллинеация.
(2). Поскольку I — [у — хт + г] — [(да), (0,0] ^ Г' — [(0, t + гк), (т + к + тк)] —
— [у — х(т + к + тк) + г'], А — (р,д) ^ А' — (р,рк + д + дк) эе Г' » рк + д + дк — р(т + к + тк) + г + гк » рк + д + дк — рт + р • тк +
+рк + г + гк » (д + рт + г)(1 + к) — 0, к Ф 1, д — рт + г » (р, д) эе Г, то преобразование (2) представляет коллинеацию, причем ((®),[у = х]-колли-неацию.
(3). А — (с,й) эе Г — [у — хт + г] » й — ст + г, (0,г) ^ (0,),
А' — (ас,а) эе Г' — [у — х• (а- • а_1т) + а] » а— ас• (а- • а-1т) + +а» {ас • (а-1 • а_1да) — ас • а-1 (а_1да) — са • а-1 (а_1да) — с • а~1т — са- • т —
— а1 • ст}, а1й — а1 • ст + а1 г » а1й — а1(ст + г) » й — ст + г » А эе Г.
Доказано, что (3) есть коллинеация.
(4). Есть ((й), Гда)-коллинеация. Но плоскость А2* не обладает свойством ((й), Гда) -транзитивности (см. доказательство теоремы 6).
Теорема 9. В плоскости над левой ГР0У^системой А1(+,^) с равенством а (Ь +1) — аЬ + а, У а, Ь, преобразование:
(х,у) ^ (х + р, р_1(у +1)), р Ф 0, (т) ^ (р~'т),(да) ^ (да), р е С(А1) п пК (А1) является коллинеацией. Доказательство. В условиях теоремы имеем: А — (с,й) эе Г — [у — хт + г]» й — ст + г, (0,г) ^ (р,р~'(г +1)), /' — [у — х(р~1т) + г'] эе (р,р_1(г +1)) » р_1(г +1) — р • (р_1т) + г' » {р-1 • рг — р • р"V — г, р е Ж}, г' — р_1г + р- - т , А' — (с + р,р_1(й +1)) эе Г' — [у — х(р~1т) + р_1г + р-1 - т] р-1 (й +1) — (с + р) • (р_1т) + р_1г + р-1 - т » р~1й + р-1 — с • р~1т + р • р_1т + + р-1 - т, р~хй — с • р_1т + р_1г » р~1(й - г) — с • р~1т » й - г — р(р-1 • ст) — ст » й — ст + г ^ А эе Г.
Теорема 10. В плоскости над левой слабо-дистрибутивной IP0VW-сис-темой С2 (+, •) преобразования:
(1) (х,у) ^ (х +1,у + с), (т) ^ (т); (да) ^ (да);
(2) (х, у)^(ха, уЬ), (т) а-1 • тЬ), а е N(С2), Ь е К (С2 ),
являются коллинеациями.
Доказательство. Преобразование (1) есть ((с), Гда )-элация (см. доказательство теоремы 6).
(2) Т — (р, д) эе Г — [у — хт + г] » рт + г — д, (т) ^ (а-1 • тЬ),
(0,г) ^ (0,гЬ), Т' — (ра,дЬ) эе Г' — [у — х(а- • тЬ) + гЬ] » дЬ —
— ра (а-1 • тЬ) + гЬ » дЬ — р • тЬ + гЬ » дЬ — рт • Ь + гЬ » дЬ — (рт + г)Ь »
д — рда + г » Т эе Г. Следовательно, (2) в плоскости С2* является коллинеа-цией. Теорема 10 доказана. Справедлива следующая
Теорема 11. В плоскости над правой слабо-дистрибутивной IP0VW системой С1 (+,•) характеристикир Ф 2 преобразование а:
(х,у) ^ (х, хк + у -ук), (т) ^ (т + к - тк), (да) ^ (да), к = 1 +...+ 1 е К(С0 является ((да),[у = х]-коллинеацией.
(Доказательство теоремы совпадает с доказательством (2) теоремы 8 при учете к — 1 +... +1 е К(С1), где К(СХ) — сердцевина С1 (+, •)).
Заметим, что в тернарах плоскостей над системами В — А1 © А2, С1 — А1 © Х2 и С2 — А2 © Х1, в силу веблен-веддербарновости систем А1, А2, Х1 и Х2, имеет место условие линейности (*): а • т о Ь — ат + Ь .
Литература
1. Хубежты И.А. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Приложение. № 10. 2003. С. 25—31.
2. Хубежты И.А. О некоторых классах алгебр и плоскостей. Владикавказ (Дза-уджикау), 2005.
3. Скорняков Л.А. // УМН. 1951. Т. 6. Вып. 6. С. 112—154.
4. Холл М. Теория групп. М., 1962.
Северо-Осетинский государственный университет 2 июня 2006 г.
