УДК 517.5
О ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССУ Бр НЕКОТОРЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА1
И. С. Кипень
В работе получены необходимое и достаточное условия принадлежности аналитических функций специального вида классу Бр в случае р=1 и достаточное условие в случае 0<р<1.
Ключевые слова: аналитические функции, единичный круг, характеристика Р. Неванлинны, класс Бр .
Классом Бр назовем множество всех аналитических в единичном круге функций, удовлетворяющих условию
1
1
V
\\T (f )\\LP = \ J ( (1 - г )TP (f, г )dr
< +¥
(1)
1 Г + <
где Т(/, г) =- I 1п /(гег<) d< - характеристика Неванлинны (см. [1]), ю - положительная на
2ж J
-ж
(0;1] функция из £1(0; 1) .
В случае р=1 класс Бр обозначим через Бт.
Обозначим символом Б множество всех положительных на (0:+ю) функций (О е £1(0, А) для произвольного А>0, для которых существуют числа т(, М(, д(, причем тю, е (0,1), Мт > 0 такие, что
т (1 х)
m £
<Мт при х > 0, l е [qa,1].
т — , ч ю
(Ю ( х)
Учитывая результаты работы [2], можно доказать, что если юеБ, то найдутся измеримые ограниченные функции £(х), ^(х) такие что
(О (х) = exp jh (х) + J ^^ dt
х>0,
(2)
при этом
1п тю .. 1п Мю
-ю < е(^ <-ю, Г>0. (3)
1п — 1п —
Чю Чю
Без ограничения общности можно считать, что ^(х)=0- Для удобства обозначим
„ _ 1п тю о _ 1п М ю ию , ■> Рю 1 •
1п Чю
Чю
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ:№09-01-97517 Лемма 1. Если юе5", то при 0<х<1 справедлива оценка
ха°> < ю(х) < X-Ью .
Доказател ьство.
Из соотношений (2), (3) получаем, что при 0<х<1
1 1 Г 1
w(x) = exp j J ^ dt j < exp J J j j = exp j lnl j
= x
(4)
С другой стороны,
W (x) > exp J -aa J у j = exp J -aa ln 1
= x
Следовательно, неравенство (4) имеет место.
Отметим также, что из доказанного соотношения следует, что ощ>-1.
Лемма 2. Пусть юе<% 0®е(0;1). Тогда при 0<^<2<ю имеет место оценка
( \aw
_L
V t2 0
^ t ^ 2
W(t2) < fflft) < -f • W(t2).
V tl 0
Доказател ьство.
Используя представление (2) и неравенство -аю<е(()<Ью, можем записать
w (tl) w (t2)
= exp
j u
> exp
-aw
• du
и
= exp J-aw ln"
f \aw
V t2 0
f \aw
n
V t2 0
Значит, w> — • w(t2) . С другой стороны,
w (ti) w (t2)
< exp
ßw i
du
= exP i ßw
Л ößw
V ti 0
Г t ößw
Отсюда w (t1) < — • w (t2).
V ti 0
Лемма 3. Пусть weS, ßwe(0;1). Тогда имеют место следующие соотношения
lim tw (t) = 0,
t ®0
(5)
i w (t )ln1 dt
< +¥ .
(6)
Доказател ьство.
Соотношение (5) непосредственно вытекает из оценки (4). Используя эту же оценку и 1
.в.., 1 „ (
1 i
сходимость интеграла [tbw ln—dt при bwe(0;1), устанавливаем (6).
J t
о
Следующая лемма установлена в [3].
ж
Лемма 4. Пусть 0<]<+<х>, | в |<-. Тогда при всех t, ре(0;1) имеет место оценка
4(7 +1)
Г1 - / .в У+\ Л
Re
Р t
- + e
>
Теорема 1. Пусть weS, bwe(0;1), g>1+ow, и функция f представима в виде
f (z) = exp
k=1 (rk - z)
где rk X 1. Тогда справедливы следующие утверждения.
g+1
(7)
a) Если выполнено условие
Z\ck
k=1
w (rk -1)
(rk - 1)'-1
< +¥ ,
где ск - комплексные числа (к=1,2,...), то функция/?) принадлежит классу Бю .
ю •
Ь) И обратно, если ск - действительные числа (к=1,2,...) и с>0, при этом функция /?) принадлежит
ю,
классу Sw, то
k=1
w (rk -1) (rk -1)
У-1
< +¥ .
(9)
Следствие. Пусть юе<% 0®е(0;1), ]>1+аю и функция / представима в виде (7). Тогда
следующие утверждения эквивалентны: а) / е ^;
b) Z
, w (rk-1)
k=1 ' (rk -1)7-1
< +¥ ,
где ск - положительные действительные числа (к=1,2,...)
Замечание. Достаточность условия (9) для принадлежности функции / классу Бю в случае ю(^) _ Iа (о>-1) была установлена М.Н. Шереметой в статье [4].
Доказательство теоремы 1.
1
Пусть выполнено условие (8). Оценим сверху интеграл I _ ^ю(1 — г)Т(/, г. Функцию
о
/?) запишем в виде
f (z) = exp
k=1(rk - z)g+1
= exp
k=1
g+1
у+1
1--z
V rk 0
= exp Jz
ck P k
g+1
k=1 (1 -Pk
g+1 '
(10)
где
Рк _-, Рк Т1 при гк ^ 1. Для функции/имеем
1 Г I ¥
T(f ■ r) = ^ JJZRe
ck Pk
g+1
1 Г I ¥
dj < £ Lfen
2Г I k= (1 - Pkrej )
ij\g+1
:|Pk
g+1
Pkre
ij 17+1
Щ =
1 ¥ ^ H Ckl Pk g+1 _( ~1
dj
i!1 - Pkreij \g+1
Учитывая оценку
J H
dj
-T!1 - Pre
ij a+1
<
c(a)
(1 - r P )
a '
r
k
справедливую при а>0, будем иметь
Ыpk7+1 =cЫPk \ck\
T (f, r) < c =C1 (y)Z <C1 (Ж
k=1(1 - Pkr)g k=1 (rk - r)g k=1 (rk - r)g
где pk = — . Тогда
rk
I < c,(g ¿i Cki
k=1 0 (rk r)
После замены переменной получим
dr .
_ /-„ „ЛУ k=1 0
I < c1 (g) Y \ck IГ ((t) dt. (11)
¿Г k|J(rk -1 + t)g
f ((t) dt < const ((rk-1), . (12)
J(rt -1 +1 / (rk -1)g-1
(14)
Докажем справедливость оценки
1
o (rt -1 +1)7 (rk - 1У
Имеем
f ((t) dt = "f ((t) dt + 1 -(t)-A . (13)
¿('k - 1 +1 )' 0 (rt -1 + t )g ¿(^ - 1 + t У
Рассмотрим вначале первый интеграл
rk-1 ((t) 1 rk-1
f -—-dt <- f a(t)dt.
J0 (rk -1 + t)r (rk - 1)r J0
Интегрируя по частям и применяя соотношение (5), получим
rk -1 rk-1 J ((t)dt = (rk -1)((rk -1) + J a(t)e (t)dt.
0 0
Отсюда
rk -1
J a(t)(1 -e (t))dt = (rk - 1)a(rk -1).
0
Учитывая неравенства e(f)<fta и р(е(0;1), получаем
rk-1 1
J a(t)dt < —— (rk - 1)a(rk -1)
0 1 Pa
и,значит, из(14)следует
rk -1
J W(t) dt < W(rk-1) 1 . (15)
1 (rk -1 +1)g (1 - Bw)(rk -1)g-
о (гк — 1 +1у (1 — Ью )(Г — 1)7—1-' Оценим теперь второй интеграл в (13).
ю(0 Г ю(0.
1 W(t) dt < 1
^ - 1 + 0" ¿1
Снова интегрируя по частям, получим
Значит,
1 w(t)dt = w(rk-1) 1 f w(t)e(t)dt.
rk-1 t7 (g - 1)(rk - 1)7-1 g - 1 ,J_1 tГ
1 w (t) f1 + e (t) d = w(rk -1)
f
J, tg
dt =
/_1 tg V g -10 (g - 1)(rk -1)7-1 '
Поскольку e(t)>-a w,
f1 - a^l 1 wOdt=.
V g - tg
w (rk-1)
V g -10 ¿1 tg (g - 1)(rk -1/"1'
И, следовательно, при g>1+aw
1
[ w^t <-w^-. (16)
rk -1 t ' (g -1 - aw )(rk -1) ^ 1 '
Подставляя оценки (15), (16) в соотношение (13), получим требуемую оценку (12). Используя ее, из неравенства (11) будем иметь
I _ |ю(1 — г)Т(/,т)йт < с(«ю,Ью,7)!Ы ю{Гк 1—Д . (17)
0 к _1 (гк—1)
Следовательно, при выполнении условия (8) и 7>1+«ю функция/принадлежит классу Бю .
Докажем обратное утверждение. Пусть выполнено (1). Сначала покажем, что условия
11
J w(1 - r)T(f, r)dr <+¥ и J w (1 - r 2 )T(f, r )dr <+¥
0
эквивалентны.
Для этого применим лемму 2 при ^=1-г2, ¿2=2(1-г):
f 1-r2
V 2(1 - r ) 0
((2(1 - r)) < a(1 - r2) < f2-ГгJ " • ((2(1 - r))
или
1 + r J f 2 J
— J • a (2(1 - r)) < a (1 - r2) <1 — J • a(2(1 - r)).
Г 2 1 Г1 + г 1 1 Поскольку при в®е(0;1) выполнено I -I < 2вт , при ою>0 I -I >-, а при
I 1 + г 0 I 2 0 2ар
Г 1 + г Гю ,
-1<аю<0 имеет место неравенство I - I > 1, то получаем оценку
c1a (1 - r2) < a (2(1 - r)) < c2a (1 - r2),
где с, = 2-в-, с2 "Р" > 0
[1 при -1 < ат < 0.
Применяя лемму 2 для функции юеБ при t,=p, t2=2p, получим неравенство
2-ар т (2 р) < т (р) < 2вт т (2р),
используя которое, можем записать
ср (1 - г2) < т (1 - г) < с2 т (1 - г2).
Следовательно, указанные условия эквивалентны.
1
Оценим снизу интеграл I = | т (1 - г2 )Т(/, г~)йг . Для функции / вида (7), используя
0
соотношение (10), получим
ж Г Яе(1 - ркге~< )7+11 +
T (f, r ) =
)=£ J is ck Pkg+'7Г
Pkre
ij |2(r+1)
dj.
Рассмотрим круг К = функции будем иметь
z:
1
z — 2
< — > . Тогда в силу неотрицательности подынтегральной
2 I
I>
4 a (1 - г 2) Ц ck Pk '}+ rdrdj.
1
Г
Если 1-z=pe' (z=re'^ то K будет совпадать с множеством тех рег , для которых р < cos в, | в \< — .
Действительно, по предположению
1
z--
2
< —. Значит, 2
z -1 +1 -1 2
1
< —, то есть 2
1 P в 2 - ре
1
<— 4
1 2 1
или--р cos в + р <— . Отсюда следует неравенство p(p-cose)<0, которое выполнено при
р < cos в, \ в \<
Г
Производя замену переменной в правой части неравенства (18), получим
] Г wf!- 1 -реш 2lJ ZckPt* Re(1 -Pk + Pkj pdpM>
2p Р i V p Л k= \1 - Pk + р„ рев \2(g+1)
-в Ч/+1
. 4(g+1) cos^ A -4 j ¥
-L Jw f1 -1 - Pei )fe ck Pk
4(7+1)
y+1 Re(1 - Pk + PkPe~w )g+1
I1 - Pk + Pk Pe
iв 12(7+1)
Pdр^в . (19)
Так как
Re(1 - Pk + PkPe~-e )g+1 = (PkP)g+1 Re
1ZPL + e^
Pk P
\g+1
то используя лемму 4, получим
Re(1 - Pk + Pk P e~'в )g+1 р k P )g+1
(20)
при \ в \<
Г
4(g +1)
g > 0.
Далее
1-\1 - Pew \2 = 1 -(1 - 2 р cos в + р 2 ) = р (2 cos в - р).
Поскольку р<cosв и при \ в \<-, g > 0 выполнено cos в , то
4(g +1) 2
Л
1-\1 - Pel(> \2 > р cos в р .
V2
Применим лемму 2 при ^ = p , t2 = 1- 11 - pв'в |2 = p(2 cos в - p) :
f
a
V2
p I <(V2(2cose-p))Paa\1 -11 -pee
Т. к. при рше(0;1) выполнено (V2(2cos в - p)< (2>/2cos в)Pa < (2^2 )Pa , то
a I 1 -
1 - p е1в |2 J>( 2^2 )
ffi J
• a
v" p 0
■л
Снова используя лемму 2 при ^ = p , t2 = p , получим
a
V2
p I>(V2)-"" • a(p).
Учитывая вышеизложенное, можем записать
a I 1 -
1 - p e I> ca ( p ) .
Подставляя оценки (20) и (21) в соотношение (19), будем иметь
(21)
Поскольку
4(g+1) cose
1 > * I Ja(p)pr*1 Ш
ck pk
2(g+1)
p 0
4(7+1)
pk + pk pe
ie |2(7+1)
p d p de .
|1 - pk + pkpeie |2 = (1 - pk )2 + 2pkp(1 - pk ) cos в + pk2p2 <
2 „2
< (1 - pk )2 + 2pk p (1 - pk ) + pk2p 2 = (1 - pk + pk p)2,
то
4(g+1) cose
I > P J J a(p)pg+1 p J J
0 0
: ckpk2(g+1)2 +1 k=1 (1 - pk+pk p )2(g+1)
p d p de >
>
V2 ¥ 2 ck J
a(p)pg+2 ^ c
-dp >
V2 ¥ 2
S ck J °(^P (22)
4(g+1) k= (r -1 + p f^ " " 22("2>(7 +1) Й V- p
Интегрирование по частям дает
p
л/2 2
w (P ) f1 + e (P )
-1 P
Ъ 1
d р = ■
g-10 g-1
w (rk -1)
(rk -1) 7-1
- w
и
r-1
Используя неравенство e(t)<Bw, получим
л/2 2
1+Д-l Г ®CP>dр>_L
g-10h Pg g-1
w (rk-1)
(rk -1) 7-1
- с
Отсюда, так как Bwe(0;1), g>1+aw и, значит, g-1+Вй>0, следует
л/2 2
[ ^р
J, Og g-1-
rk-1 P
Подставляя эту оценку в (22), будем иметь
g -1 + Bw
w (rk-1)
(rk -1) 7-1
- с
I > C (g, Bw )Z<
k=1
w (rk-1)
(rk -1) g-1
- C
Следовательно, если функцияfz) принадлежит классу Sw, то выполнено условие (9).
Рассуждая, как при доказательстве теоремы 1, получим достаточное условие принадлежности функции рассматриваемого вида классу Sjp и при pe(0;1).
Теорема 2. Пусть weS, Bwe(0;1), pe(0;1). Если выполнено условие
\р w(rk -1)
Z lcki
k=1
(rk -1)
g p-1
< +¥ ,
1 + «ю
где ск - комплексные числа (к=1,2,...), то функция/?) вида (7) при 7 >-
Р
СР Сю .
Доказател ьство. Используя оценку
(23)
принадлежит классу
T( f, r) < c1(g)Z
k=1 (rk- r У
установленную для функции вида (7) при доказательстве теоремы 1, и неравенство
f ¥ Y
Zak <Z<> ak > 0, k=1,2,...,
V k=1 0
k=1
c
k
верное при 0<p<1, получим
1 1 ¥ \c \Р ¥ 1 , (i _ r
I = J w(1 _ r)TP (f, r)dr £ Ci(7, p)J w(1 _ r)£ J )ypdr = Ci(g, p)£ Ck Г JJr
0 0 * - r r r r
После замены переменной будем иметь
mrt_rГ " Jo(r¿-r)7P
Г w(t)
I £ C1(7,p)SCk|p J
k=1 0(rk _1
7 P
-dt.
-1 +1) 1 + a со
Применяя к интегралу в правой части оценку (12), при g >- получим
c p w(rk _1)
1 £ CК,Pw, 7,Pk, ,
k=1 (rk _1)
7P
Следовательно, при выполнении условия (23) и 7 >-Ю функция/принадлежит классу
We obtain necessary and sufficient conditions for membership of analytic functions of the ad hoc type of class SW in the case p =1 and sufficient condition for the case 0 <p<1.
The key words: analytic functions, unit disk, characteristic of Nevanlinna, class SW .
¥
Список литературы
1. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции. М.: ГИТТЛ. 1941.
2. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. - М.: «Наука». 1985. С. 141.
3. Шамоян Ф.А. Факторизационная теорема М.М. Джрбашяна и характеристика нулей аналитических в круге функций с мажорантой конечного роста// Изв. АН Арм. ССР. Математика. 1978. Т. 13. № 5-6. С. 405-422.
4. Шеремета М.Н. О некоторых классах аналитических в круге функций// Изв. ВУЗов, математика. 1989. № 5. С. 64-67.
Об авторе
И.С. Кипень - канд., доц. Брянского государственного университета им. академика И.Г. Петровского, e-mail: kipen69@mail.ru.