Научная статья на тему 'О ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССУ Swp НЕКОТОРЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА'

О ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССУ Swp НЕКОТОРЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
98
30
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ / ЕДИНИЧНЫЙ КРУГ / ХАРАКТЕРИСТИКА P. НЕВАНЛИННЫ / КЛАСС 4.JPG

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Кипень И. С.

В работе получены необходимое и достаточное условия принадлежности аналитических функций специального вида классу в случае p=1 и достаточное условие в случае 0

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «О ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССУ Swp НЕКОТОРЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА»

УДК 517.5

О ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССУ Бр НЕКОТОРЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА1

И. С. Кипень

В работе получены необходимое и достаточное условия принадлежности аналитических функций специального вида классу Бр в случае р=1 и достаточное условие в случае 0<р<1.

Ключевые слова: аналитические функции, единичный круг, характеристика Р. Неванлинны, класс Бр .

Классом Бр назовем множество всех аналитических в единичном круге функций, удовлетворяющих условию

1

1

V

\\T (f )\\LP = \ J ( (1 - г )TP (f, г )dr

< +¥

(1)

1 Г + <

где Т(/, г) =- I 1п /(гег<) d< - характеристика Неванлинны (см. [1]), ю - положительная на

2ж J

(0;1] функция из £1(0; 1) .

В случае р=1 класс Бр обозначим через Бт.

Обозначим символом Б множество всех положительных на (0:+ю) функций (О е £1(0, А) для произвольного А>0, для которых существуют числа т(, М(, д(, причем тю, е (0,1), Мт > 0 такие, что

т (1 х)

m £

<Мт при х > 0, l е [qa,1].

т — , ч ю

(Ю ( х)

Учитывая результаты работы [2], можно доказать, что если юеБ, то найдутся измеримые ограниченные функции £(х), ^(х) такие что

(О (х) = exp jh (х) + J ^^ dt

х>0,

(2)

при этом

1п тю .. 1п Мю

-ю < е(^ <-ю, Г>0. (3)

1п — 1п —

Чю Чю

Без ограничения общности можно считать, что ^(х)=0- Для удобства обозначим

„ _ 1п тю о _ 1п М ю ию , ■> Рю 1 •

1п Чю

Чю

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ:№09-01-97517 Лемма 1. Если юе5", то при 0<х<1 справедлива оценка

ха°> < ю(х) < X-Ью .

Доказател ьство.

Из соотношений (2), (3) получаем, что при 0<х<1

1 1 Г 1

w(x) = exp j J ^ dt j < exp J J j j = exp j lnl j

= x

(4)

С другой стороны,

W (x) > exp J -aa J у j = exp J -aa ln 1

= x

Следовательно, неравенство (4) имеет место.

Отметим также, что из доказанного соотношения следует, что ощ>-1.

Лемма 2. Пусть юе<% 0®е(0;1). Тогда при 0<^<2<ю имеет место оценка

( \aw

_L

V t2 0

^ t ^ 2

W(t2) < fflft) < -f • W(t2).

V tl 0

Доказател ьство.

Используя представление (2) и неравенство -аю<е(()<Ью, можем записать

w (tl) w (t2)

= exp

j u

> exp

-aw

• du

и

= exp J-aw ln"

f \aw

V t2 0

f \aw

n

V t2 0

Значит, w> — • w(t2) . С другой стороны,

w (ti) w (t2)

< exp

ßw i

du

= exP i ßw

Л ößw

V ti 0

Г t ößw

Отсюда w (t1) < — • w (t2).

V ti 0

Лемма 3. Пусть weS, ßwe(0;1). Тогда имеют место следующие соотношения

lim tw (t) = 0,

t ®0

(5)

i w (t )ln1 dt

< +¥ .

(6)

Доказател ьство.

Соотношение (5) непосредственно вытекает из оценки (4). Используя эту же оценку и 1

.в.., 1 „ (

1 i

сходимость интеграла [tbw ln—dt при bwe(0;1), устанавливаем (6).

J t

о

Следующая лемма установлена в [3].

ж

Лемма 4. Пусть 0<]<+<х>, | в |<-. Тогда при всех t, ре(0;1) имеет место оценка

4(7 +1)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Г1 - / .в У+\ Л

Re

Р t

- + e

>

Теорема 1. Пусть weS, bwe(0;1), g>1+ow, и функция f представима в виде

f (z) = exp

k=1 (rk - z)

где rk X 1. Тогда справедливы следующие утверждения.

g+1

(7)

a) Если выполнено условие

Z\ck

k=1

w (rk -1)

(rk - 1)'-1

< +¥ ,

где ск - комплексные числа (к=1,2,...), то функция/?) принадлежит классу Бю .

ю •

Ь) И обратно, если ск - действительные числа (к=1,2,...) и с>0, при этом функция /?) принадлежит

ю,

классу Sw, то

k=1

w (rk -1) (rk -1)

У-1

< +¥ .

(9)

Следствие. Пусть юе<% 0®е(0;1), ]>1+аю и функция / представима в виде (7). Тогда

следующие утверждения эквивалентны: а) / е ^;

b) Z

, w (rk-1)

k=1 ' (rk -1)7-1

< +¥ ,

где ск - положительные действительные числа (к=1,2,...)

Замечание. Достаточность условия (9) для принадлежности функции / классу Бю в случае ю(^) _ Iа (о>-1) была установлена М.Н. Шереметой в статье [4].

Доказательство теоремы 1.

1

Пусть выполнено условие (8). Оценим сверху интеграл I _ ^ю(1 — г)Т(/, г. Функцию

о

/?) запишем в виде

f (z) = exp

k=1(rk - z)g+1

= exp

k=1

g+1

у+1

1--z

V rk 0

= exp Jz

ck P k

g+1

k=1 (1 -Pk

g+1 '

(10)

где

Рк _-, Рк Т1 при гк ^ 1. Для функции/имеем

1 Г I ¥

T(f ■ r) = ^ JJZRe

ck Pk

g+1

1 Г I ¥

dj < £ Lfen

2Г I k= (1 - Pkrej )

ij\g+1

:|Pk

g+1

Pkre

ij 17+1

Щ =

1 ¥ ^ H Ckl Pk g+1 _( ~1

dj

i!1 - Pkreij \g+1

Учитывая оценку

J H

dj

-T!1 - Pre

ij a+1

<

c(a)

(1 - r P )

a '

r

k

справедливую при а>0, будем иметь

Ыpk7+1 =cЫPk \ck\

T (f, r) < c =C1 (y)Z <C1 (Ж

k=1(1 - Pkr)g k=1 (rk - r)g k=1 (rk - r)g

где pk = — . Тогда

rk

I < c,(g ¿i Cki

k=1 0 (rk r)

После замены переменной получим

dr .

_ /-„ „ЛУ k=1 0

I < c1 (g) Y \ck IГ ((t) dt. (11)

¿Г k|J(rk -1 + t)g

f ((t) dt < const ((rk-1), . (12)

J(rt -1 +1 / (rk -1)g-1

(14)

Докажем справедливость оценки

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1

o (rt -1 +1)7 (rk - 1У

Имеем

f ((t) dt = "f ((t) dt + 1 -(t)-A . (13)

¿('k - 1 +1 )' 0 (rt -1 + t )g ¿(^ - 1 + t У

Рассмотрим вначале первый интеграл

rk-1 ((t) 1 rk-1

f -—-dt <- f a(t)dt.

J0 (rk -1 + t)r (rk - 1)r J0

Интегрируя по частям и применяя соотношение (5), получим

rk -1 rk-1 J ((t)dt = (rk -1)((rk -1) + J a(t)e (t)dt.

0 0

Отсюда

rk -1

J a(t)(1 -e (t))dt = (rk - 1)a(rk -1).

0

Учитывая неравенства e(f)<fta и р(е(0;1), получаем

rk-1 1

J a(t)dt < —— (rk - 1)a(rk -1)

0 1 Pa

и,значит, из(14)следует

rk -1

J W(t) dt < W(rk-1) 1 . (15)

1 (rk -1 +1)g (1 - Bw)(rk -1)g-

о (гк — 1 +1у (1 — Ью )(Г — 1)7—1-' Оценим теперь второй интеграл в (13).

ю(0 Г ю(0.

1 W(t) dt < 1

^ - 1 + 0" ¿1

Снова интегрируя по частям, получим

Значит,

1 w(t)dt = w(rk-1) 1 f w(t)e(t)dt.

rk-1 t7 (g - 1)(rk - 1)7-1 g - 1 ,J_1 tГ

1 w (t) f1 + e (t) d = w(rk -1)

f

J, tg

dt =

/_1 tg V g -10 (g - 1)(rk -1)7-1 '

Поскольку e(t)>-a w,

f1 - a^l 1 wOdt=.

V g - tg

w (rk-1)

V g -10 ¿1 tg (g - 1)(rk -1/"1'

И, следовательно, при g>1+aw

1

[ w^t <-w^-. (16)

rk -1 t ' (g -1 - aw )(rk -1) ^ 1 '

Подставляя оценки (15), (16) в соотношение (13), получим требуемую оценку (12). Используя ее, из неравенства (11) будем иметь

I _ |ю(1 — г)Т(/,т)йт < с(«ю,Ью,7)!Ы ю{Гк 1—Д . (17)

0 к _1 (гк—1)

Следовательно, при выполнении условия (8) и 7>1+«ю функция/принадлежит классу Бю .

Докажем обратное утверждение. Пусть выполнено (1). Сначала покажем, что условия

11

J w(1 - r)T(f, r)dr <+¥ и J w (1 - r 2 )T(f, r )dr <+¥

0

эквивалентны.

Для этого применим лемму 2 при ^=1-г2, ¿2=2(1-г):

f 1-r2

V 2(1 - r ) 0

((2(1 - r)) < a(1 - r2) < f2-ГгJ " • ((2(1 - r))

или

1 + r J f 2 J

— J • a (2(1 - r)) < a (1 - r2) <1 — J • a(2(1 - r)).

Г 2 1 Г1 + г 1 1 Поскольку при в®е(0;1) выполнено I -I < 2вт , при ою>0 I -I >-, а при

I 1 + г 0 I 2 0 2ар

Г 1 + г Гю ,

-1<аю<0 имеет место неравенство I - I > 1, то получаем оценку

c1a (1 - r2) < a (2(1 - r)) < c2a (1 - r2),

где с, = 2-в-, с2 "Р" > 0

[1 при -1 < ат < 0.

Применяя лемму 2 для функции юеБ при t,=p, t2=2p, получим неравенство

2-ар т (2 р) < т (р) < 2вт т (2р),

используя которое, можем записать

ср (1 - г2) < т (1 - г) < с2 т (1 - г2).

Следовательно, указанные условия эквивалентны.

1

Оценим снизу интеграл I = | т (1 - г2 )Т(/, г~)йг . Для функции / вида (7), используя

0

соотношение (10), получим

ж Г Яе(1 - ркге~< )7+11 +

T (f, r ) =

)=£ J is ck Pkg+'7Г

Pkre

ij |2(r+1)

dj.

Рассмотрим круг К = функции будем иметь

z:

1

z — 2

< — > . Тогда в силу неотрицательности подынтегральной

2 I

I>

4 a (1 - г 2) Ц ck Pk '}+ rdrdj.

1

Г

Если 1-z=pe' (z=re'^ то K будет совпадать с множеством тех рег , для которых р < cos в, | в \< — .

Действительно, по предположению

1

z--

2

< —. Значит, 2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

z -1 +1 -1 2

1

< —, то есть 2

1 P в 2 - ре

1

<— 4

1 2 1

или--р cos в + р <— . Отсюда следует неравенство p(p-cose)<0, которое выполнено при

р < cos в, \ в \<

Г

Производя замену переменной в правой части неравенства (18), получим

] Г wf!- 1 -реш 2lJ ZckPt* Re(1 -Pk + Pkj pdpM>

2p Р i V p Л k= \1 - Pk + р„ рев \2(g+1)

-в Ч/+1

. 4(g+1) cos^ A -4 j ¥

-L Jw f1 -1 - Pei )fe ck Pk

4(7+1)

y+1 Re(1 - Pk + PkPe~w )g+1

I1 - Pk + Pk Pe

iв 12(7+1)

Pdр^в . (19)

Так как

Re(1 - Pk + PkPe~-e )g+1 = (PkP)g+1 Re

1ZPL + e^

Pk P

\g+1

то используя лемму 4, получим

Re(1 - Pk + Pk P e~'в )g+1 р k P )g+1

(20)

при \ в \<

Г

4(g +1)

g > 0.

Далее

1-\1 - Pew \2 = 1 -(1 - 2 р cos в + р 2 ) = р (2 cos в - р).

Поскольку р<cosв и при \ в \<-, g > 0 выполнено cos в , то

4(g +1) 2

Л

1-\1 - Pel(> \2 > р cos в р .

V2

Применим лемму 2 при ^ = p , t2 = 1- 11 - pв'в |2 = p(2 cos в - p) :

f

a

V2

p I <(V2(2cose-p))Paa\1 -11 -pee

Т. к. при рше(0;1) выполнено (V2(2cos в - p)< (2>/2cos в)Pa < (2^2 )Pa , то

a I 1 -

1 - p е1в |2 J>( 2^2 )

ffi J

• a

v" p 0

■л

Снова используя лемму 2 при ^ = p , t2 = p , получим

a

V2

p I>(V2)-"" • a(p).

Учитывая вышеизложенное, можем записать

a I 1 -

1 - p e I> ca ( p ) .

Подставляя оценки (20) и (21) в соотношение (19), будем иметь

(21)

Поскольку

4(g+1) cose

1 > * I Ja(p)pr*1 Ш

ck pk

2(g+1)

p 0

4(7+1)

pk + pk pe

ie |2(7+1)

p d p de .

|1 - pk + pkpeie |2 = (1 - pk )2 + 2pkp(1 - pk ) cos в + pk2p2 <

2 „2

< (1 - pk )2 + 2pk p (1 - pk ) + pk2p 2 = (1 - pk + pk p)2,

то

4(g+1) cose

I > P J J a(p)pg+1 p J J

0 0

: ckpk2(g+1)2 +1 k=1 (1 - pk+pk p )2(g+1)

p d p de >

>

V2 ¥ 2 ck J

a(p)pg+2 ^ c

-dp >

V2 ¥ 2

S ck J °(^P (22)

4(g+1) k= (r -1 + p f^ " " 22("2>(7 +1) Й V- p

Интегрирование по частям дает

p

л/2 2

w (P ) f1 + e (P )

-1 P

Ъ 1

d р = ■

g-10 g-1

w (rk -1)

(rk -1) 7-1

- w

и

r-1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Используя неравенство e(t)<Bw, получим

л/2 2

1+Д-l Г ®CP>dр>_L

g-10h Pg g-1

w (rk-1)

(rk -1) 7-1

- с

Отсюда, так как Bwe(0;1), g>1+aw и, значит, g-1+Вй>0, следует

л/2 2

[ ^р

J, Og g-1-

rk-1 P

Подставляя эту оценку в (22), будем иметь

g -1 + Bw

w (rk-1)

(rk -1) 7-1

- с

I > C (g, Bw )Z<

k=1

w (rk-1)

(rk -1) g-1

- C

Следовательно, если функцияfz) принадлежит классу Sw, то выполнено условие (9).

Рассуждая, как при доказательстве теоремы 1, получим достаточное условие принадлежности функции рассматриваемого вида классу Sjp и при pe(0;1).

Теорема 2. Пусть weS, Bwe(0;1), pe(0;1). Если выполнено условие

\р w(rk -1)

Z lcki

k=1

(rk -1)

g p-1

< +¥ ,

1 + «ю

где ск - комплексные числа (к=1,2,...), то функция/?) вида (7) при 7 >-

Р

СР Сю .

Доказател ьство. Используя оценку

(23)

принадлежит классу

T( f, r) < c1(g)Z

k=1 (rk- r У

установленную для функции вида (7) при доказательстве теоремы 1, и неравенство

f ¥ Y

Zak <Z<> ak > 0, k=1,2,...,

V k=1 0

k=1

c

k

верное при 0<p<1, получим

1 1 ¥ \c \Р ¥ 1 , (i _ r

I = J w(1 _ r)TP (f, r)dr £ Ci(7, p)J w(1 _ r)£ J )ypdr = Ci(g, p)£ Ck Г JJr

0 0 * - r r r r

После замены переменной будем иметь

mrt_rГ " Jo(r¿-r)7P

Г w(t)

I £ C1(7,p)SCk|p J

k=1 0(rk _1

7 P

-dt.

-1 +1) 1 + a со

Применяя к интегралу в правой части оценку (12), при g >- получим

c p w(rk _1)

1 £ CК,Pw, 7,Pk, ,

k=1 (rk _1)

7P

Следовательно, при выполнении условия (23) и 7 >-Ю функция/принадлежит классу

We obtain necessary and sufficient conditions for membership of analytic functions of the ad hoc type of class SW in the case p =1 and sufficient condition for the case 0 <p<1.

The key words: analytic functions, unit disk, characteristic of Nevanlinna, class SW .

¥

Список литературы

1. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции. М.: ГИТТЛ. 1941.

2. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. - М.: «Наука». 1985. С. 141.

3. Шамоян Ф.А. Факторизационная теорема М.М. Джрбашяна и характеристика нулей аналитических в круге функций с мажорантой конечного роста// Изв. АН Арм. ССР. Математика. 1978. Т. 13. № 5-6. С. 405-422.

4. Шеремета М.Н. О некоторых классах аналитических в круге функций// Изв. ВУЗов, математика. 1989. № 5. С. 64-67.

Об авторе

И.С. Кипень - канд., доц. Брянского государственного университета им. академика И.Г. Петровского, e-mail: kipen69@mail.ru.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.