Об инвариантных оценках двукратных осцилляторных интегралов с полиномиальной фазой третьей степени Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.518.5

раздел МАТЕМАТИКА

ОБ ИНВАРИАНТНЫХ ОЦЕНКАХ ДВУКРАТНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ С ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ФАЗОЙ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ

© И. А. Икромов, А. Р. Сафаров*

Самаркандский государственный университет Республика Узбекистан, 140104 г. Самарканд, ул. Университетский бульвар, 15.

Тел./факс: +99 (893) 727 04 28.

*Email: safarov-akbar@mail.ru

Многие задачи гармонического анализа, аналитической теории чисел и математической физики связаны с тригонометрическими (осцилляторными) интегралами с полиномиальной фазой. Заметим, что форма осциллирующих интегралов не меняется при линейных преобразованиях переменных. В. П. Паламодов предположил гипотезу о поведении тригонометрических интегралов, когда вектор коэффициентов его фазовой функции состоит из инвариантных функций в зависимости от коэффициентов. В этой статье рассмотрено решение задачи Па-ламодова, когда фазовая функция является однородным полиномом третьей степени. Получены инвариантные оценки осцилляторных интегралов и эти оценки улучшают результаты работ автора Д. А. Попова. Показана точность полученных оценок.

Ключевые слова: осцилляторный интеграл, фазовая функция, амплитуда, инвариант, дискриминант.

§1. Введение

Осцилляторным интегралом с фазой f и амплитудой у будем называть интеграл по Я" вида ./» = ¡к„еа? ¥(х)<к. (1.1)

Здесь /: Яп ^ Я, у: Яп ^ С - гладкие функции, причем ^ имеет компактный носитель, X — большой вещественный параметр. Ниже рассматривается семейство фаз и амплитуд, зависящих от дополнительных параметров.

Как известно, многие задачи гармонического анализа, математической физики и аналитической теории чисел сводятся к исследованию осцилляторных интегралов. Во многих работах исследованы равномерные оценки осцилляторных интегралов [1—3].

В данной работе рассматриваются осцилля-торные интегралы, фазовая функция которых является однородным полиномом степени три от двух переменных

Р3 (х, у) = а0 х3 + 3ахх 2 у + 3а 2 ху 2 + а3 у3. (1.2)

Мы исследуем поведение интеграла (1.1) в случае, когда коэффициенты многочлена Р3 стремятся к бесконечности. Получим оценки осцилляторных интегралов через инварианты группы движений евклидовой плоскости. Как известно, дискриминант полинома Р3

обозначаемый через Б и определяемый формулой:

2 2 2 2 2 2 D = 3а1 а2 + 6а0а1а2а2 - 4а0а2 - 4а1 а2 - а0 а3

является инвариантом группы БЬ(2, С). Однако, если Р3 имеет кратный линейный множитель, то Б = 0. Это утверждение следует из теоремы Гильберта [7] о нуль-формах, утверждающей: если однородная форма степени п от двух переменных имеет линей-

группы БЬ( 2, С) на этой форме обращаются в нуль. Следовательно, инварианты группы БЬ(2, С) не достаточны для получения оптимальных оценок. Мы также используем инварианты ортогональной группы О2, которая является подгруппой группы движений евклидовой плоскости.

Предложение 1.1. Следующие функции: N = а? + За? + За? + а?, М = а? + а? - а0а2 - аха3 являются инвариантами ортогональной группы 02.

В работе [4] также получены инвариантные оценки осцилляторных интегралов с полиномиальной фазой, содержащей кубические, квадратичные и линейные слагаемые. В этой работе доказано следующее неравенство:

I J

сН\И

где

11ж](,й2)

2 ' \о \3

норма пространства Соболева

(Я2). В работе [5] получена аналогичная

оценка, которая может быть записана в виде:

11

и<

) N

3

ньш множитель порядка k>—,

то все инварианты

при некоторых дополнительных условиях на фазу более общего вида. Наши результаты уточняют оценки работ [4] и [5] в случае, когда фаза является однородным полиномом.

§2. Формулировка основных результатов

Теорема 2.1. Для интеграла (1.1) с фазовой функцией (1.2) справедлива следующая оценка:

2

С И г!

\D\ 6

где D дискриминант полинома Р3.

Используя эту оценку, с учетом результатов работы [4], получим:

Теорема 2.2. Для интеграла (1.1) имеет место неравенство:

СИ Г

I-7Е 1 " "г-г'

N6 +1М |4 +1В |6 где с - некоторая константа.

При доказательстве теоремы 2.2 используется следующая оценка, которая выводится из результатов работы [4]:

С И г!

и | <—:-4е-г, (2.1)

111 N6 + \DX\4 +| Л | 4

где

Dx = «2 - «1«3

и Dy = ах - а0 а2

дР3

соответственно дискриминанты полиномов - и

дХ

ду •

Замечание 2.1. Если а^ = Аа^, _/ = 0,1,2,3, то В(а) = Я4В(а), М(а) = Я2М(а).

1. При этом если В(а) Ф 0, и а фиксированные параметры, то фаза имеет особенность типа

этом случае известно следующее асимптотическое соотношение [1]:

J = £^00) + 0(Л-г ^ (при я

Я3

где с — ненулевой коэффициент. Последнее

асимптотическое соотношение показывает

оптимальность полученной оценки в случае 1 1

| В |6 > С | М |4, где С — достаточно большое положительное число.

2. Если В(а ) = 0 и М(а ) Ф 0, то фазовая

функция имеет особенность типа , это так

называемая особенность типа Сирсма [2]. В этом случае мы имеем следующее асимптотическое соотношение

3 = + 0(Я-1), (при Я

Я2

причем с — ненулевой коэффициент, при условии, что у — неотрицательная функция и ^(0,0) > 0 .

1 1

Следовательно, если В = 0 и | М |2 > С | N |3, где С

— также достаточно большое положительное число. то оценка также неулучшаема.

3. Если же В(а ) = 0 и М(а ) = 0, то легко

з

показать, что фаза линейно эквивалентна Х1, а эту особенность назовьем особенностью типа А и, следовательно имеем:

2

3 = + 0(яЯ 3), (при Я ^

Я3

При этом ) Ф 0, если у — неотрицательная и ^(0,0) Ф 0.

Отметим, что во всех трех случаях В4, Вх и Л2х оценка (2.1) соответствует главному члену асимптотического разложения как только щ (0,0) Ф 0 и щ — неотрицательная функция.

§3. Некоторые вспомогательные утверждения

Сначала докажем аналог леммы Эрдейи. Ниже через с обозначается постоянные числа, которые могут менятся от строки к строке.

Лемма 3.1 Пусть а > 1, в >0, — <1 и

а

у0 е С1 гладкая функция с носителем в [0,Ъ]. Тогда для интеграла

J = ^ г во № справедлива следующая оценка

С к о (г)|| С1

i j |<-

ß

(3.1)

|Я|а

Доказательство леммы 3.1. Мы используем методы доказательства леммы Ван дер Корпута использованные в [3]. Так как при | Я |< 1 оценка (3.1) тривиально выполняется мы будем считать, что | Я |> 1. Предположим, Яга <1. Тогда для

интеграла

Jо /Гr в"У0 (r)dr

имеем оценку:

I Jо

1

j; va rв-у о (r)dr

Л а I I

- j0 rво (r)dH - тах о (т) х

ге[0,Л а ]

1

-

|оЯ г в '^сЬг = тах1 о (т )|

в

тах1 ко(г )| С 0 (г)||

те[0,Л а ]

С к о (г) и ^

Я « < о <

<

с1

в

вХа

|Я|<

где с - —.

Теперь допустим что, Хта > 1. Тогда для интеграла 3 — 30 мы можем использовать формулу интегрирования по частям и получим:

\3 - 3 о1=

¡Ь 1 е1Лг" г (г)йг

л а

г во (г) аг«

е

/аЯ

ь гь

-1- -I —1

л а л а

гв—>о (г)'

/аЯ

е'Лг" йг

\ V о (Я а )1 + V о (Ь)1 + а - р v

—-^--1--^--1--I-1— X

а

аЯ а

аЯа

х 1 |гв—а—Уо(г) + гв->'(г)|йг —

— \у о (Я а )\ + V о (Ь)\ + . (_) \ а - в х

—-+-— + тах \ (т) \-х

аЯ а

х ¡" 1 г в-а—1йг +

в _ аЯа '

тах \ V' (т)\

аЯ

1 г в-а йг —

А V о (г)|| с

аЯ ^ —1 в "

Л а Л а Я®

Лемма 3.1 доказана.

Теперь докажем следующее предложение,

которое представляет независимый интерес. Рассмотрим интеграл

гъ dx

J (Р, д):= /а

а I 3

х + рх + д\

а '

(3.2)

где 0 < 3 <1.

Предложение 3.1. Для интеграла (3.2) справедливы следующие утверждения:

1)Если 1 < § <1 то 3 2

|./( р, о) ^ с

(3.3)

33-1

|р|3 + о!^6

27 4 ,

2) Если 1 < § <1 то 2

/(р, д) < —

(3.4)

В

* 1ГI р I3 , д2 л

27 4

* = I 2

где ^ = — + — дискриминант полинома х3 + рХ + д 27 4

и сз некоторое положительное число, зависящее лишь от 8.

Замечание 3.1. Если £ то согласно

3'

лемме Ф. И. Риччи и И. М. Стейна [6] интеграл 3

ограничен. При этом § _1 и

3

исключительные точки. В этих точках оценки содержат логарифмические множители. Мы не будем исследовать 3 при этих значениях.

Доказательство предложения 3.1. Ради определенности предположим, что а = —1 и Ь = 1. Если р = q = 0, то искомая оценка тривиально выполняется.

Предположим 1 < § <1 и (рФ (0,0). 3 2

Теперь отдельно рассматриваются следующие случаи

тах-

тах

\р|3 ¿1 _\Р3

27 ' 4 [ 27

|рI3 о!

27 ' 4

4

(3.5)

(3.6)

Если выполняется условие (3.5), то применяя

1

линейную замену х = \р\2 у получим:

V (Р, ч >1= I

_ м -

-I р|-

\р\2

1

1 г|р|- 2

зг-1 I -1 \р\ 2 р| 2

и 2 У3 + |р|2 РУ + ч

ёу

у3 + (р>у + ч|р| 2

Рассмотрим интеграл

гН 2

р1(Р, я)\ = |Р V

dy

- р\ 2 \у3 + р)у + В

(3.7)

где В

3

\р\ 2

<—г=. Покажем что это интеграл 3^3

1

ограничен, при 3 <—. Если

> 2, то

1 1 5

1 + — + —

У У

* У

1 -1 1

Следовательно

V (р, ?) =

4 1273

dy

-2 'у3 + р) у + Б\

- + R(Б),

(3.8)

в

г

х

<

и

Л

2

2

Ч

3

|3

3

>

2

с

2 3*

Где Я(Б) некоторая ограниченная функция от

B е

2 2

3л/э'3л/э

Пусть

Jiol := £

dy

У + sgn( p) y + B

\S '

(3.9)

Допустим sgn(р) = 1. Тогда многочлен у + у + В не имеет кратных корней. Фактически для любого В он имеет один простой корень. Поэтому

р2 Су

•1-2 1, К

у3 + у + В

J о| = J-

с,

так как 8 < — < 1.

2

Допустим sgn(р) = -1. Тогда так как В лежит в компактном множестве, то достаточно получить соответствующую «локальную» оценку. Пусть е достаточно малое фиксированное положительный число. Для числа В рассмотрим два множества

Л =

в 2 -А

27

> g к Л2 =

B2 -А

27

< g

Сначала, рассмотрим оценку интеграла, когда В лежит в множестве А1. В этом случае уравнение

о

у - у + В = 0 имеет три различных корня

У1 (В), У2 (В), Уз (В), причем

| уу (В) - ук (В) |> А(я) > 0 при ] ф к. Так как 5 <1, то следующий интеграл

_±_(3.10)

J := [

1(У - У\ (B))(y - y2 (B))(y - y3 (B))\4

сходится. Так как В принадлежит компактному множеству А1, то интеграл (3.10) равномерно ограничен при 6 <1. Следовательно имеем:

1 2

И 5S-Tf ij 3 ii

\p\ 2 -р 2 |y - y + B\

dy

|P|

3 S-1

2

при В е А1. Теперь исследуем интеграл в случае, когда в е А,. Для определенности мы можем

считать, что

B -

Эл/3

< е где 0 < s <

1

6л/э

фиксированное положительное число. Заметим, что 1

У1 2 = критические точки функции

' л/3

Р(У) = У - У + В. Таким образом, число 2

В = В0 =—■:= для функции Г (у, В0 ) является 3л13

простым критическим значением. Исследуем поведение интеграла при |В - В0| < А, где А — достаточно малое фиксированноое положительное

число.

Поскольку

F

Г 1 Л

vV3 J

= 0,

то

F (У, Во ) =

Ч2/

У--

л/э J 1J + V3

. Следовательно,

F

1

где H = B -

У + ~г, B

у2 (у + л/3 )+ h, 2

у3 +Sy2--F= + в =

ъ4ъ

зТз

Рассмотрим следующий интеграл % dy

y2 (y + Т3)+ H|

i s'

(3.11)

где а >0 фиксированное достаточно малое

положительное число. Если —< 8 < —, то согласно

3 2

лемме Ф.И.Риччи и И.М.Стейна [6] интеграл (3.11) равномерно ограничен. Этим завершается доказательство первой части предложения 3.1.

Далее предположим, что 2 < 8 < 1. Применим

замену переменных z = у^ у + >/3 и обозначая обратную функцию через у = у{г), имеем:

1

dy

_ га2 У (z)dz _

y2 (y + S)+ H|

1

а о \с

1 z2 + H

= — Г

/тГ-

dz

сг:

: 2 Z^ ( z)dz

+ с| 2 , ' 4 ^ = J + J

Лз^ 2 + н|р ^у + н|

где ф — некоторая гладкая функция, <г 1 и а2 определяются из условий у(с1) = -а, у(р,2 ) = О". В интегралах и J2 сделаем линейную замену г = \И\1/2 Г . Тогда

J1 =

1

-1/2

dt

ц H

S-1/2

2\H _

*l\H-1/2 |t2 ± 1 ^

(3.12)

Легко показать, что интеграл (3.12) равномерно ограничен относительно Н, при 2 < £ < 1. Отсюда получим:

I -А ^ "

н

^-1/2

Теперь рассмотрим интеграл /2. Он оценивается следующим образом:

Г2 _ Г2/н1/2 я|1/2 гцг ^

J 2 = С!

z2 + H

=

\Ht2 + H

1

2

— CT

—CT

2

2

С

<

i

2

1/2

с |-^2/h1/2 t^(| H1/2t)dt Cj |-|h|

H'

-1Í

t2 ± 1

H0

1 f

t1-M dt + -

H s

■CH-12- I

2 - 2 S 12

|H|-

H

= ^^ [h «-1 - 22-25 < C,

ттд-1 0 L J ттд-1

справедливость последнего неравенство следует из условия 5 < 1. Таким образом, интеграл /2 равномерно ограничен. Суммируя полученные оценки, имеем:

еа dy С

y

\у + 4ъ )+ H|

H

S-1/2 •

Таким образом при выполнении условий (3.5) и < 8 <1 получим оценку:

J (p. q) =

dx

x + px + q

-<-

1

3 s -1

IP I "Г

B -

W3

3S -1

IPl 2

q 2

(- p)3/2 - W3 2

q+(- á )3'

lá1

ID" 2

s -D 2

Л |3

Já.+r

27 4

2 3S

V

Теперь предположим, что выполняется условие (3.6). В этом случае применим замену

переменных х = У1/3 z для интеграла (3.2). Тогда

J (p q^-^т f Q 3-1

i i „i—

i

¡1?l 3

dy

3 — Q 3 z + Az + sgn(q)

где |A|:

,2/3

34

Если Ae

3 J__

'44+e' 34 - *

(где e

достаточно малое фиксированное положительное число), то снова интеграл равномерно ограничен.

9

Случай

случаю

A2 -

316

< s рассматривается аналогично

B2 --4

27

< г. Предложение 3.1 доказано.

§4. Доказательство основной теоремы

Сначала докажем теорему 2.1. Доказательство теоремы 2.2 легко следует из теоремы 2.1 и результатов работы [4].

Без ограничения общности мы можем

считать, что | а0 |= шах{|аг |,г = 0,3}, в противном

случае вращением координатных осьей можем привести общий случай к рассматриваемому

случаю. Так как Б инвариант группы 81(2, С), то интеграл и оценка не зависят от выбора такой замены. Более того, норма амплитуды равномерно ограничена, ибо группа вращения компактна. Представим полином в виде:

(

P3 = "o

Л

3 3"i 2 3"о 2 3 x 3 +—1 x 2y +—2 xy 2 + — y 3

v "o "o "o /

-"o "0 "0

Сделаем замену переменных следующим

образом x1 = x + — y, yj = y. Так как a0

якобиан и норма преобразования равномерно ограничены, что важно в дальнейшем изложении. В результате получим:

( 3 2 3 I

Х1 + Pxi Yi + QY1) = Аоф

где 3a0a2 - 3a12 и g02a3 + 2а!3 - За0а1а2

Р 2 q 3 •

ao a0

Заметим, что | ^ |< 6, | q \< 6.

Отсюда интеграл (1.1) имеет вид:

J = (x1, y1 )dx1dy1. (4.1)

Применим полярную систему координат xj = rcos6?, yj = rsin 6, тогда получим:

< 1, то

J = Г Г. Jo Jo

■2п «я ш„г3ф

.cosy ,sint

r щ(r cos в, r sin в)drdd. (4.2)

Для внутреннего интеграла (4.2) т.е. для

w ianr ф(cosy,sint

i"

■4 := Jc

применив лемму 3.1, получим:

I Jin I* ■

г у (r cos в, r sin в)dr

С W\Ic1

а0ф(cos в,sin в) |

Следовательно интеграл J имеет оценку:

С \v\|C1 f2n de

J \<-

(4.3)

\ a0

\ ф (cose ,sine) \3

где ф = cos3# + P cos&sin2^ + Q sin3í Введем следующий интеграл

_ r2n dd

>2 '

2

J2 := Jo

0 2 | ф(cos 0, sin в)| 3

- _ 3 д . 2 д , „ • 3,

(4.4)

где ф = cos3 о + P cos в sin2 о + q sin3 0.

Лемма 4.1. Для интеграла (4.4) справедлива следующая оценка

| J 2 1=

dd

\cos в + p cos в sin2 в + q sm3^ |3

3 2

где D(^) = ^ + ^.

27 4

Доказательство леммы 4.1. Заметим, что

-1/2

C

2

<

1/2

c

s -1/2

2

1

c

<

S-1/2

c

c

q

3

<

2

2

0

3

Jc

С

<

2

J2 =2JC

de

C 2

I cos3e+p cose sin 2e+q sin 3e|3

2( J2C + J21 ),

где

J 2 = Г 2-

2o Je

de

J2i = Jn

2o Je 2

lcos3e+p cose sin2e+q sin3e |3 dв

I cos3в + pcos вsin2в + qsin3в 13 Сначала рассмотрим интеграл г ¿ de

J2 = P-

2o 0

=Í

lcos3e+p cose sin2e + q sin3e |3

de

o 2

3 2 33

+2

\cos3e+p cose sin2e+q sin3e \ -

_de_

_ 2

4 \cos3e+pcosesin2e+qsin3e \3 Тогда в интеграле

J2 = Г4-

2o e

de

o Je 2

lcos3e+p cose sin2e+q sin3e |3 делая замену переменных tg6 = t, получим:

' _ ri dt

J2o " Jo 2 ■

(4.5)

I qt3 + pt2 +1|3

1

Пусть 11|< — так как \ p \< б, \ q \< б, то

3 б 2 б

\ qt \<—, \ pt \<—. Следовательно б4 1б

|3 2Ь 30 i 3 2i , 30 34

t3 + pt2 <— и 1l + qt + pt2 > l--= —.

I ^ I 64 I I 64 64

Тогда

J2 I = í1

2° Jo

dt

dt

o I J0 2 Jo 2

3 , „,2 , , ,3 I „,3 , Л

+ Il

1l

I qt3 + pt2 +1|3 I qt3 + pt2 +1|3 dt ri dt

4

I qt3 + pt2 +1

< 1 +11-

2 '

2 m 1 13

I qt3 + pt2 +1

2 -L 1 I 3

Заменой переменных x--последный интеграл

t

приводится к виду: 1 dt

Ji-

4 I qt3 + pt2 +1|3

= f

dx

2

(4.6)

I x + px + q 13 Очевидно, что выполняется равенство

jf_de_

Jn2 2

41 cos3e+pcosesin2e+qsin3e|3 dx

=JO

О 2

3

| х + рх + q |3 Таким образом, задача сводится к оценке интеграла вида

fN2

dx

2

(4.7)

| x 3 + px + q | 3

где Nj, N2 фиксированные числа. Наконец, искомая оценка интеграла (4.7) легко следует из предложения 3.1. Аналогично выполняется оценка

для интеграла j' . Что и завершает доказательства

2l

леммы 4.1.

Применяя лемму 4.1 для интеграла (4.3), получим искомую оценку. Теорема 2.1 доказана.

Работа поддержана Госкомитетом Науки и техники Республики Узбекистан, грант № Ф-4-17.

ЛИТЕРАТУРА

1. Федорюк М. В. Метод перевала. М.: Наука, 1976. С. 363.

2. Арнольд В. И., Варченко А.Н., Гусейн-заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. М.: Наука, 1982-1984. ч.1 и II. С. 702.

3. Stein E. M. Harmonic analysis. Princefon Univ. press Princefon. 1993. P. 451.

4. Икромов И. А. Инвариантные оценки двумерных тригонометрических интегралов II Математический сборник. 1989. №8. С. 1017-1032.

5. Попов Д. А. Замечания о равномерных составных оценках осциллирующих интегралов с простыми особенностями II Изв. РАН. Сер. мат. 2008. Т. 72. №4.

6. Ricci F., Stein E. M. Harmonic Analysis on Nilpotent Groups and Singular Integrals. 1: Oscillatory Integrals II J. Funct. Anal. 1987. V. 73. P. 179-194.

7. Hilbert D. Üeber die vollen invarianten systeme II Math. Ann. 1893. V. 42. P. 313-373.

и

2

2

+

4

+

2

Поступила в редакцию 15.03.2013 г.

INVARIANT ESTIMATES FOR OSCILLATORY INTEGRAL WITH HOMOGENEOUS POLYNOMIAL

© I. A. Ikromov, A. R. Safarov*

Samarkand State University 15 University Blvd., 140104 Samarkand, Uzbekistan.

Phone: +99 (891) 530 60 96. *Email: safarov-akbar@mail.ru

In this work, we study Palamodov problem on the sharp behavior of trigonometric integrals when the phase function is homogeneous polynomial of third degree. The asymptotic expansion of the trigonometric integrals with smooth amplitude function, when

coefficients of the phase tends to infinite on some fixed direction a = Xa , a e S is fixed and 1 e R is large, is well-known. But behavior of the trigonometric integral may change dramatically due to the small change of a . So we come to the problem on uniform estimates for trigonometric integrals depending on both parameters a and 1. The main result of the paper is Theorem 2.2 which states that assuming only C1 smoothness on the amplitude y , the trigonometric integral J (a) can be estimated as

J! C(T) ! ,

N 6 + |M |4 +| D |6

where N and M are invariants of group of plane Euclidean motion and D is covariant of the order 2 of the plane affine group and C(^) depends only on C'-norm of y . Our estimate for J(a) agrees with principal part of asymptotic expansions for trigonometric

integrals with phase having coefficients of the form Aa , a e S . Depending on the vector a the asymptotic behavior can have the form o(l-1/3) (degenerate Airy-type singularity, o(l-1/2) (- type singularity), o(jT2/3) (- type singularity) as 1 ^ . In all cases our uniform estimates coincides with the principal part of the asymptotic expansion of the oscillatory integrals with smooth amplitude functions up to a constant. The results improve the estimates obtained by D. A. Popov for particular case when the phase function is a homogeneous polynomial. The results can be used to find the sharp summation exponent for trigonometric integrals.

Keywords: Oscillatory integral, phase function, amplitude, invariant, discriminant.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at bulletin_bsu@mail.ru if you need translation of the article.

REFEENCES

1. Fedoryuk M. V. Metod perevala [The Saddle-point Method]. Moscow: Nauka, 1976. Pp. 363.

2. Arnol'd V I., Varchenko A. N., Gusein-zade S. M. Osobennosti differentsiruemykh otobrazhenii [Features of Differentiable Mappings]. Moscow: Nauka, 1982-1984. ch.I i II. Pp. 702.

3. Stein E. M. Harmonic analysis. Princefon Univ. press Princefon. 1993. Pp. 451.

4. Ikromov I. A. Matematicheskii sbornik. 1989. No. 8. Pp. 1017-1032.

5. Popov D. A. Izv. RAN. Ser. mat. 2008. Vol. 72. No. 4.

6. Ricci F., Stein E. M. J. Funct. Anal. 1987. Vol. 73. Pp. 179-194.

7. Hilbert D. Math. Ann. 1893. Vol. 42. Pp. 313-373.

Received 15.03.2013.