CC BY
8
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2018, том 61, №2_
МАТЕМАТИКА
УДК 519.65
И.А.Шакиров, Ю.Х.Хасанов*
О НЕКОТОРЫХ ОЦЕНКАХ НОРМЫ КЛАССИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА ФУРЬЕ
Набережночелнинский государственный педагогический университет, Российско-Таджикский (Славянский) университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан ЗХ.Рахмоновым 16.11.2017 г.)
В работе получено новое и более простое интегральное представление для константы Лебега, выраженное через интегралы Римана от тригонометрических функций со сдвигами аргумента, и на этой основе определены более точные нижняя и верхняя границы для остаточного члена константы, соответствующего фиксированному значению параметра.
Ключевые слова: ряд Фурье, норма оператора Фурье, константа Лебега, нижняя и верхняя границы, оценка константы Лебега, точные значения константы.
Если ряд Фурье непрерывной, 2ж -периодической функции х = х(?) является её равномерно сходящимся разложением, то частные суммы этого ряда
5.х)=1 ¡о" ф)о„ о — ^ (о„ (о=) (1)
ж*0 2б1п(Г /2)
служат приближённым выражением для исходной функции [1, с.191], [2, с.85]. Соответствующий полиному (1) оператор Фурье
5 : В ^ НТп с В, В = С[0,2ж] V Ц [0,2ж] , (2)
действующий в В, имеет минимальную норму среди всевозможных линейных проекторов Рп :В ^ Нтп с В ([3, с.482], [4, с.191]). Другими словами, при любых натуральных значениях параметра п справедливо неравенство ||Рп||В ^ ||5п||В = ■% =■%.), согласно которому среди упомянутых
проекторов наибольшего внимания заслуживает норма оператора (2). Она является основной характеристикой процесса приближения исходной функции полиномами (1), участвует при оценке погрешности приближения в неравенстве Лебега (фундаментальном неравенстве)
||х—5пх|| <(1 + Д%)Ет(х) (х е В, п еК), где Ет(х) - наилучшее приближение функции )
тригонометрическими полиномами порядка не выше п (п е К); п = 0 соответствует тривиальному
случаю.
Используя интегральное представление
%=1 ¡;|(,= 1 ¡;2 (Я еК), (3)
Ж*0 ЖЖ0 Б1П ^
Адрес для корреспонденции: Хасанов Юсуфали. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. М.Турсунзаде, 30, РТСУ. E-mail: [email protected]
в начале прошлого века Л.Фейером [5] для константы Лебега (3) было получено асимптотическое равенство
%°=%n) = (4/ж2)1п n+O(1), n -^оо (n eN^ = (4/ж2)1п n + On).
Затем им же в работе [6] и Г.Сёге [7] найдены формулы для вычисления точного значения константы (3) вида ( n eN, Xo = 1)
%= 1 + ly n 1, жк %=» ( 1 у к1) 1 ) " 2n +1 ж^k=1 k* 2n + Г " ж2 ^k 4k2-1 ^m=1 2m-1
где O(1), On - неопределённые числа из некоторого ограниченного интервала,
On = O(n) = J%- (4/ж2)1п n ( n eN)
- классический вариант остаточного члена константы (3), соответствующий фиксированному значению параметра neN .
Для константы Лебега в работе [8] Г.Харди получил интегральные формулы
% „<•<*>tanh((2n + 1)t) dt % 4 г® sinh((2n + 1)t) , r , „ „ ^ ч-, ,
= 4Ío-1 h t -ГГТ7, ^"Ti 0 - h , • 4ctgh((n + 0.5)t)]dU (4)
J 0 tanh t ж + 4t ж J 0 sinh t
не содержащие модуля в подынтегральном выражении. Они сложны для теоретических исследований и приближенных расчетов, так как представлены через несобственные интегралы от сложнейших рационально-гиперболических и гиперболическо-логарифмических функций. Следовательно, к числу нерешённых проблем можно отнести установление более простых, чем формулы (4), интегральных представлений для константы (3).
В данной работе решены следующие задачи:
1) используя специфические узлы, получено новое и более простое интегральное представление для % (см. (5)), выраженное через интегралы Римана от тригонометрических функций со сдвигами аргумента по сужающейся при увеличении параметра n области (см. (5));
2) приведены другие равносильные интегральные представления для (3), составляющие которых строго оценены снизу и сверху;
3) на этой основе будут определены более точные нижняя и верхняя оценки для константы
Лебега % и решена одна экстремальная задача.
Теорема 1. Для константы (3) справедлива формула
%n= Io(n) + I (n) (%n= %n), n eN), (5)
где
T , . 2 rT sin(2n + 1)t , _ ж
Io0n) =-J0 \ / dt (T = 4 = ^ n e N); (6)
ж0 sin t 2(2n +1)
= 2 уn Г г [COSC2^ + sin(2n + fr d eN); (7)
w жУk=1 Lsin(t + t^) sin(t + t2kУ v w
*2к-1 =-t\ (2k -1) (k = 1ТП ), t2k = 2k (k = 1ГП ). (8)
4n + 2 4n + 2
Доказательство. На отрезке [0, ж /2] рассмотрим систему узлов
ж
2(2n +1)'
tj = ^^-~ j (j = 0, 2n +1) , образованную из нулей и экстремумов функции
у = ^1п(2п + 1Х| ^ е[0, ж/2]), которая разбивает рассматриваемый отрезок на N (Ж = 2п +1)
одинаковых частей. Пропуская крайние узлы, оставшуюся часть разобьём на два подкласса вида (8).
Далее константу Лебега (3) представим в виде суммы N интегралов и применим к каждому из них (кроме первого) формулу замены переменной. Соответствующим образом введённые и использованные в расчётах новые переменные и = t — t2k_l, V = t — (2к (и, уе[0,Т], к = 1, п) позволяют избавиться от модуля в формуле (3) и получить представление (5):
2 Г ж/2 + 2 у 2п рк+1 +
п ж г0 б1п г жу к=0 г ь б1п г
р ^1п(2п + | п ь ^1п(2п +1>|^ | ^1п(2и +1>|^]_ б1п t ж к = ¡2*—1 б1п t ¡^ к б1п I
= 2 г т 8т(2и+Гу<& + 2 у п гт М2п +1)и) ^ + Г т Ип(2п + 1)V)I^] =
ж3 0 б1П t ж^к=1 ^ Б1п(и + 1) -,0 slп(v+)
2 р т sin(2и +1> , 2^ п р т cos(2и +1> slп(2и + 1)t_1 , т.. т. . .
— ¡0 . + ^ + п=!¡0 [ , \ + . ^ ]dt = 10(п) + I(п) (п е К). ж 0 SlП t жк=и0 slп(t + slп(t + t2к)
Теорема 2. Для первой составляющей (6) константы Лебега (5) справедлива двусторонняя
оценка
в< 10(п) <^(п) V п еК (^(п) = (ж/2) вап), (9)
где функция ап определена в [9] (см. [9], лемма 1),
е=-Si (ж / 2) = у+ш-- -] = 0.872654299 ••• Six = Г Х sin x— |. (10)
ж k=0(2k +1)• (2k +1)!^2J ^ Г0 x J
Доказательство. В области (0, T] = (0, ж / (4n + 2)] рассмотрим следующие эквивалентные между собой двусторонние неравенства:
sin^/(4n + 2))t<sint<t^ sin(2n + 1)t ^ sin(2n +1)t ^ ж/(4п + 2) sin(2n + 1)t ^ц^ ж/(4n + 2) " t sint ~ sin^/(4n + 2)) t '
2k
л . Бт(2и +sm(2n + ГК
В точке t = 0 функции у =-, у =- доопределим через их правосто-
sin t t
ронние пределы, то есть имеем у(0) = у(0+) = 2п +1. Теперь неравенство (11) интегрируем по области [0, Т], предварительно умножив его на константу 2/ т, в итоге получим:
2 sin(2n +Ш , т , Л , . 2 sin(2n + 1)t ,
-I" —Ч--dt <Iо(п) < (т/2) а„ — Г —->-dt .
т0 ^ т0 ^
Интеграл, участвующий в двойном неравенстве, вычисляется точно:
- ГГ **ш(2п + 1)t dt = - ГТ [(2п +1)-1(2« +1)312 + 1(2п +1)514 - 1(2п +1)716 +••• = т1 о t тг10 3! 5! 7!
= 2 —1— 2 + —Т - —(Т)6 + ••• = у+ш_^_(т)2*
3• 3! 2 5• 5! 2 7• 7! 2 ^к=0(2к + 1)• (2к + 1)! 2
Получили быстро сходящийся знакопеременный ряд, сумма которого совпадает со значением (2/т)Si(ж / 2) (см. (10)). С учётом сказанного из последнего двустороннего неравенства для 10(п)
легко следует справедливость (9). Теорема 2 доказана.
Введём обозначения, позволяющие в следующих пунктах компактно записать формулы, получаемые с использованием основной теоремы 1:
У2к-1 = у^к-^ =—\—, у2к = у(Чк) = —^ (к =1, п); (12)
Sin 2£-1 2к
„( ) _ 4 уЯ _ 4 ^и 1 . (П) = т(2п +1) ^к=1 у2к = т(2п +1) ^ к=1 sin '
2 V« |*г ,^т(2п + 1)t cos(t + t2kч) cos(2n + 1)t ^^ + t2k)
(13)
I («) - 2 у« Г [ Sin(2n + 1)t coS(t + Ьк-1) со^2п + coS(t + Ьк) ]± . (14) Д } т(2п +1) ^к=110 1 яп2^ + sin2(t + ) ] ' ( )
I (п) = 2 у« гТ [cos(2n + 1)t (1 + + t2,-l)) | sin(2« + 1)t (1 + cos2(t + t2k))]dt (15) т(2п +1)2 ^к=1вт3^ + ^^^^^^^ + О )
где п еМ , узлы tj определены в (8).
Теорема 3. Для второй составляющей (7) константы Лебега (5) верны следующие представления:
I (п) = 5 (п) +11 (п) (п е М), (16)
I(п) = 5(п) + (п) - !2 (п) (п е М), (17)
где функции, входящие в их правые части, определены соответственно в (13), (14) и (15), а функция
, ч 2 2 Т
ср3(п) = —ап
т п 4п + 2
выведена и исследована в [9] (см. [9], лемма 3).
Доказательство. Преобразуем интегралы, входящие в (7), используя при этом формулу интегрирования по частям:
I (п) = - у" [ Г ^(2п +1> гт sin(2n + 1)t л ) 2у п {($1П(2п+1)^ 1 ) |Т + ^ ^ т^110 sin(t + ^2к-1) 10 ^ + ) П 2п +1 ^ + о
г т sin(2« + 1)t cos(t +12к_ 1) ^ ( cos(2n + 1)t 1 ч Т Г т cos(2n +cos(t + t2k)
i о
л + cos(2n +1)1 1 )Г rT cos<zn + i;¿cosy +dt } = (2n +1)sin2(t + t^) 2n +1 sin(t + t2k) o Jo (2n + 1)sin2(t + t2k)
sin(2n + 1)t cos(t + t2k_ 1) cos(2n + 1)t cos(t + t2k)
y» 2 у» Г r sin(2n + 1)t cos(t + t2k _1) cos(2n + 1)t cos(t + t2k) ]dt
л(2п +1)^4=1 л(2п +1)^¿=1jo sin(t + t2k_1) sin(t + t2k)
где значения функций yj определены в (12). Использование обозначений (13) и (14) в полученном
равенстве позволяет завершить доказательство первой части теоремы.
Далее используем формулу интегрирования по частям в правой части (14):
I (п)= 2 уп {[ cos(2n + 1)t cos(t + t2k_1)] Г
1 л(2п +1) ^k=1 2n +1 ' sin2(t +12
_ CT cos(2n + 1)t [1 + cos2(t + t2k_1)] df _ Jo (2n + 1)sin3(t + t2k_1)
sin(2n +1)t cos(t +12k ) n T Г sin(2n + 1)t [1 + cos2 (t +12k )] . . _ 2n +1 sin2(t + t2k) o Jo (2n +1)sin3(t + t2k)
2 ^cost1 cost,nJ, . T . . 2cost1 T . .
=-7(-7j---t^n±l) _ I2(n) =-1-7 _ I2(n) =
л(2п +1)2 sin211 sin212n+1 2 ж[(2п + 1)sin t1]2 2
2 2 л
= —a„ cos--19(n)
n л , o 2 v /
л 4n + 2
Полученное равенство перепишем в виде
I1(n) =^3(n) _ 12 (n) (n
который и позволяет из формулы (16) получить равносильную ей формулу (17). Замечание. Для константы Лебега верны представления
Д%>= Io(n) + S(n) + I(n) (n eN),
Д%= Io(n) + S(n) +^з(п) _ I2(n) (n eN), которые являются следствиями теорем 1 и 3 (см. формулы (5), (16), (17)).
Поступило 22.11.2017 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. - М.-Л.: Гостехиздат, 1949, 688 с.
2. Зигмунд А. Тригонометрические ряды, Т.1. - М.: Мир, 1965, 616 с.
3. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. - М.: Физматгиз, 1960, 624 с.
4. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. - М.: Изд-во МГУ, 1976, 325 с.
5. Fejer L. Lebesguesche konstanten und divergente Fourierreihen. - J. reine und angew. Math., 1910, v.138, рр. 22-53.
6. Fejer L. Sur les singularites de la serie de Fourier des fonctions continues. - A.E.N.S., 1911, v.28, рр. 63-103.
7. Szego G. Uber die Lebesgueschen konstanten bei den Fourierchen reihen. - Math. Z. 1921, v.9, p.163-166.
8. Hardi G.H. Note on Lebesgues constants in the theory of Fourier series. - J. London Math. Soc., 1942, v.17, рр. 4-13.
9. Шакиров И.А., Хасанов Ю.Х. Об утверждениях, используемых при оценке константы Лебега классического оператора Фурье. - ДАН РТ, 2017, т.60, № 5-6, с. 218-223.
И.А.Шакиров, ЮДДасанов*
ОИД БА БАЪЗЕ БА^О^ОИ НОРМАИ ОПЕРАТОРИ КЛАССИКИИ ФУРЙЕ
Донишго^и давлатии омузгории Набережние Челни, *Донишго%и (Славянии) Россия ва Тоцикистон
Дар макола барои доимии Лебег, ки бо интеграли Риман аз функсиядои тригонометрй бо лагжиши аргумент ифода карда шудааст, тасвири интегралии нав ва нисбатан содда ба даст оварда шудааст ва тавассути ин натичадо сардаддои аники поёнй ва болоии аъзои бакиявии доимии мазкур муайян карда шудаанд.
Калима^ои калиди: цатори Фурйе, нормаи оператора Фурйе, доимии Лебег, саруадуои поёнй ва болой, бауои доимии Лебег, цимат^ои аници доимй.
I.A.Shakirov, Yu.Kh.Khasanov* ABOUT SOME ESTIMATES OF THE NORMS OF CLASSICAL FOURIERS
OPERATOR
Naberezhnochelnins State Pedagogical University, Russian-Tajik (Slavonic) University
In this paper a new and more simple integral representation for the Lebesgues constants, expressed through the integrals of Riemann from trigonometric functions with shifted argument has presented, and on this basis a more accurate lower and upper bounds for the remainder term constants corresponding to the fixed value of the parameter were determined.
Key words: Fourier series, norm of Fourier operator, Lebesgues constant, lower and upper bounds, estimation of Lebesgues constant, exact values of the constants.
