Об одной экстремальной задаче, связанной с асимптотической формулой для константы Лебега Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №1_

МАТЕМАТИКА

УДК 591.65

И.А.Шакиров, Ю.Х.Хасанов* ОБ ОДНОЙ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ, СВЯЗАННОЙ С АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ФОРМУЛОЙ ДЛЯ КОНСТАНТЫ ЛЕБЕГА

Набережночелнинский институт социально-педагогических технологий и ресурсов, Россия, Душанбинский филиал национального исследовательского университета "МЭИ"

(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 29.11.2013 г.)

Для константы Лебега, соответствующей интерполяционному полиному Лагранжа, впервые получена достаточно строгая двусторонняя оценка. На основе этой оценки для рассматриваемой константы решена актуальная экстремальная задача, связанная с асимптотической формулой.

Ключевые слова: тригонометрический полином Лагранжа - интерполяционная характеристика -асимптотическое равенство - верхняя и нижняя оценки константы Лебега.

На практике в качестве приближённого выражения функции х(^) е С2я = С[0,2^] часто используют полином Лагранжа

2 2и-1 | 2(1 ( \

П k=0 П k=1

ф;(X t) =1 ^ x(tk)D*(tk -t) =1 ^x(tk)D*(tk -1) D*(u) = , (1)

^ 2tg0,5u J

определённый в чётном числе N = 2n узлов вида = пк / n (к = 0,2n — 1 v к = 1,2n, n е N) . При этом норма отклонения полинома (1) от заданной функции оценивается согласно фундаментальному неравенству ||x — Ф*2 <(1 + ЯИ*)£И(х) ( Ф* : Cn ^ Cn ), где константа Лебега имеет вид:

1 n 2£ +1 1n 2к -1 ..Т Л = - Е ctg -~r~ n= - Е ctg -~Г~ n (N = 2n). (2)

n к о 4 n n к i 4 n

Формула (2) была декларирована в работе немецких математиков Элиха и Целлера [1]. В [2, с.43-46] она доказана с некоторыми издержками, то есть без установления достаточного условия экстремума соответствующей (2) функции Лебега Я* (t) . В работе [3] проведено полное доказательство формулы (2) с использованием производных до второго порядка включительно от безмодульного выражения функции X*(t) (см. также [4]).

Первоначально интерполяционная характеристика (2) оценивалась сверху как Я* < O(ln n) либо Я* <A + Blnn , например Я* < 4 + lgn [5], Я** < 8 + (4/n)lnn [6]. Затем коэффициенты

Адрес для корреспонденции: Хасанов Юсуфали. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Мирзо Тур-сун-заде, 82, Душанбинский филиал Московского национального исследовательского университета "МЭИ". E-mail: [email protected]

A, B многократно уточнялись, например в [7, с.106] верхняя оценка для константы Лебега Я* < 4/ж + (2/ж)1п(4п/ж) установлена на основе формулы (2). В [8, с.215] приведено представление = (2/ ж)1пn+2(1 — 1 / ж)#и (вп е (0,1) ) , содержащее некоторое уточнение поведения неопределённой константы O(1) в асимптотическом равенстве

Я* = (2/ ж) ln n + O(1) (N = 2n, n ^да) . (3)

Отметим, что в (3) до сих пор не определено конкретное значение константы O(1), которое сохраняло бы хорошую близость его левой и правой частей при произвольно взятых значениях параметра n . В связи с этим в данной работе ставится и решается следующая

Задача. Определить наименьшее значение AA неопределённой константы O(1) в (3) так, чтобы для всех натуральных значений параметра n было выполнено неравенство Я* <AA + (2/ж)lnn (n е N), и оценить допущенную при этом погрешность s* = sup{A* + (2/ n)lnn —Я* n eN} .

Определение. Строго монотонную функцию р = p(n) (n е D(p) с N) дискретного аргумента, имеющую малое изменение 5 (Se (0, 0.1)) области значений R(p), назовём функцией, имеющей малую монотонную вариацию, и класс таких функций обозначим через Vg (« + » - в случае возрастания функции в D(p) и «-» - при её убывании).

Функции из классов Vg и Vs имеют определяющее значение при доказательстве всех лемм и теорем работы, а также при решении поставленной во введении задачи.

1 ж

Лемма 1. Функция дискретного аргумента an = a(n) = — cos ec— (n > 2) принадлежит

n 2n

классу V— , а для её образа R(an) справедливо включение

R(an) = (2/ж, >/2/2] с(0.636,0.708).

Доказательство. Функция ап = cc(n) (n > 2) является дискретным аналогом равномерно убывающей на промежутке [2, + да) непрерывно дифференцируемой функции y = (1 / х) cos ес(ж / 2 х), имеющей малое изменение области значения R (y) =

= (2/ж, >/2/2] с (0.636, 0.708) . Следовательно, aneVs и 5=5(ап) = >/2/2 — 2/ж< 0.071.

Лемма 2. Нижеследующие функциональные зависимости pk =рк(n) (n > 2), выраженные через ап = а(n), имеют малую монотонную вариацию:

рх=ап- (1 + cos^ / 2n )) eV+, R(p ) = [1/2 + >/2/2, 4/ж) с (1.207,1.274);

(= — lnan е Vg , R(р) = [— -ln2, — — lnж) с (—0.288, — 0.220); ж ж ж 2

Рз =

Ра =■

9 -^2 8

л/2-1 4

Р

, Я(р3) = Г(7 + 8>/2)/16, (9->/2)/(2ж))с(1.144, 1.208);

ек;, я(р4) = Г1 /8, (>/2 -1)/ж) с [0.125, 0.132).

Доказательство. С целью исследования поведения функции ((п) при помощи производной непрерывно продолжим её на область О = [2, + ю) с Я, где она к тому же является гладкой функцией, то есть ( (п) е С'[1, + ю).

Покажем, что производная функции ( = ((п) положительна в области О, определим её образ и оценим вариацию 5 = 5(():

((п) =

1 + соб(ж / 2п) п бш(ж / 2п)

= 1 -^(ж/4п) I =

п

ж(1 - (2п / ж)бш(ж / 2п)) 4п3 б1п2(ж/4п)

ж г л2

=т~ к)

4п

1-

бш(ж / 2п) ж / 2п

>

0 V п е О; Я(( ) = [1/2 + ^2/2, 4/ж), 5 = 5(( ) < 0.067.

Следовательно, рхеУд . Согласно лемме 1 имеем ; поэтому на основании свойства

логарифма р2 (п) = (2 / ж)1п«и также принадлежит этому же классу и имеет соответствующий образ. Справедливость остальных утверждений леммы 2 не требует дополнительных комментариев. Лемма 3. В области О = [2, + ю) для нижеследующих функций верны соотношения:

Р5(п) = 1 -Р(п) -Р2(п) еУ5 , К(Рз) =

1 ->/2 К 1 4 2, ж

-+ — 1п2, 1--+ — 1п —

2 ж ж ж 2

Л

с (0.013, 0.015);

Рб(п) = + (5 (п) е У5+ , ^(Рб ) =

5-4>/2 1 , „ , 5-42 2, ж

-— + — 1п2, 1--— + — 1п —

8 ж ж ж 2

с (0.138, 0.147).

Доказательство. Функцию р5 = р5 (п) непрерывно продолжим на область О = [2, + ю), где изучим поведение её производной:

(Р5)'=-| - 1пК I -

ж

' Л

1 + соб(ж /2п) ^ _ 2б1п(ж / 2п) - (ж / и)соб(ж / 2п) ж

п б1П(ж / 2п)

жп б1п(ж / 2п)

2п

+

б1п(ж / 2п) + б1п(ж / 2п) соб(ж / 2п) - (ж / 2п) соб(ж / 2п) - (ж / 2п) соб2(ж / 2п)

п2 б1П2(ж / 2п)

1

2жп3 бш2 (ж / 2п)

[4п2 бш2(ж / 2п) + 2ж п бш(ж / 2п) - ж2 (1 + соб(ж / 2п) ] =

—(К)2 2п

бШ(ж / 2п) ^ БШ(Ж / 2п)

ж / 2п

ж / 2п

- соб(ж / 2п) > > 0 ^е О,

1 г-х г

так как разложение Тейлора — — + о

901 2п )

-I

2п )

Л

функции в фигурных скобках имеет только по-

ложительные значения для любых п е О . Следовательно, ( = ( (п) монотонно возрастает в рассматриваемой области;

Я(() =

1 -42 К 1 4 2. -

-+ — 1п2, 1--+ — 1п —

2 - - - 2

Л

„ _ Л 1 + 42 4 1 —

, 5 = 5(() =-----+ —1п— < 0.001

2 - - 8

и поэтому ((п) е У+ .

Функция ( = ((п) (п е О) принадлежит классу Уд как линейная комбинация функций из этого же класса.

Теорема 1. Для константы Лебега (2) справедлива следующая двусторонняя оценка: 5-72

4

(1 + соб —) + — 1паи+ — 1пп <Х* < ап (1 + СОБ —) + — 1паи + — 1пп Vп > 2 . (4)

2п -

-

2п -

-

Доказательство. Оценим константу Лебега сверху и снизу, используя при этом геометрические свойства определённого интеграла и котангенса:

1 -А и--/2п 1

Л, =~Ъ —=-

п Гц 2 -

- I -- / 2п А - Х, -- / 2п

~сХ8Л—г-+ -

п 2 п 2

1 -

<- сХ8~ + п 4п

+

1 г- Х . 2соб2(-/4п) 2 - 2,

I =-:—--- + — I сХ^йХ =ап (1 + соб—)+—1п

¿Ь 2 77" * -2и ?И ТГ

- 2

п

-

п бш- / 2п) - ■

2п - п бш- / 2п)

2 2

= аи (1 + соб(- /2п)) +— 1паи +— 1п п

- -

1 ж

—с1%—=а (1 + соб(- / 2п) I; п 4п

1 3 - ^ -

Яп =~и—+

- 4 п 4п

1 - - А - Х, -- / 2п

---сХя--+ > — сХя—-

4 п 4п п 2

>

1 3- -

>—\— ^— +

- 4п 4п

- -. 1 - 3- 1 г- х 1 (— сХ8—) •- + (— сХ8—) •-+ I сХ^йХ 4п 4п 2 4п 4п 2 1 2

3 - 1 - 1 - 4соб2(- /4п) - 3 2

= — сХя--1--сХя--1--сХя---^----1--

4п 4п 8п 4п 8п 4п 3 -4б1п2(-/4п) -

2 г-'2

— I сХфаХ

77" * -/2п

>

(

>

7 3 - 242

Л

1 - 2, 2, 5-42 с'8--1— 1пап +— 1п п =-

-

п 4п -

-

ап (1 + соб—) +— 1пап + — 1пп,

2п -

-

где при проведении нижней оценки дополнительно использовано неравенство

4соб2(- /4п) - 3 3 - 4б1п2(- /4п)

> 3-242 , п > 2 .

Замечание 1. Значению параметра п = 1 в формуле (2) соответствует тривиальный случай: X = 1, Х^) = 1 [3]. Если же в неравенстве (4) положим п = 1 , то противоречия не получим, а имеем лишь его нестрогий вариант: (5 — >/2) /4 < X < 1.

Л *

Результат теоремы 1 позволяет за точное значение константы X* с небольшой погрешностью взять полусумму её верхней и нижней оценок, заменённую затем с некоторой погрешностью выражением ¡лп = ¡л (п) = 1 + (2 / ж) 1п п (п > 2) , то есть

^ * 1 к * 2

( с ЯЛ i+

5-42Л Л хЛ 2, 9-V2 Í хЛ

V 4 У

a J 1 + cos— 1 +— lna + — ln n =-al 1 + cos— 1 +

2n J х n х 8 n V 2n J

2 2 2 2 н— 1па„н— 1пп =((п) + р3(п)н— 1пп * 1н— 1пп = ¡л* (п > 2). ж ж ж ж

п

Теорема 2. Асимптотическое равенство (3) при А = 1 и произвольно выбранных значениях параметра п ведёт себя как неравенство

X* <1 + (2 / ж) 1п п =лл, п еК (« X* * л*, п еК) , (5)

а для допущенной при конкретных значениях n погрешности sn = ¡лп— Ап равномерно относительно параметра верна оценка:

s* = sup{s* I п е N} = sup{^* — А*\ п е N} < 0.147 . (6)

Доказательство. Если значение параметра п = 1, то в неравенстве (5) левая и правая его части совпадают, то есть, имеем случай X* = ¡л* = 1.

-»—Г /-к *

Пусть теперь п > 2. Тогда для оценки, допущенной в (5), погрешности £* в (4) вычтем всю-

ду = 1н—ln n и после некоторых преобразований получим: ж

5 ->/2 ж 2 п о,-, Ж 2 -а (1 + cos—)Н— lna -1 < А* -и* < а (1 + cos—)Н— lna -1 о

4п \ rs ' п п ' п п v г\ ' п

2n ж 2n ж

1 /1 жч 2 п п жч 2 л/2 -1 жч

0 1 - а (1 + cos—)--lna < и* -А* < 1 - а (1 + cos—)--lna--а (1 + cos—) о

П \ rs У П 'П П П \ rs У П » П \ rs У

2n ж 2n ж 4 2n

01 -^(n)- p2(n) <s** < 1 -^(n)-p2(n) + ((>/2- 1)/4)p1(n) (n > 2).

Используя обозначения лемм 2 и 3, перепишем последнее неравенство в виде:

(P5(n) < < (Pe(n) ШпХ (Pe(n) ; n > 2) • (7)

Переходя в двойном неравенстве (7) к точной верхней грани по аргументу n (n > 2) и используя достаточно полную информацию о функциях ((n), (р6(n) из леммы 3, имеем:

0 < sup{/—Я„*| n > 2} < 1 - (5-V2)/ж + (2/ж)1п(ж/2)) < 0.147 .

С учётом замечания 1 и сказанного в начале доказательства теоремы 2 (n = 1 ^ Я =/* = 1 ^ s* = 0) последнее неравенство перепишем в виде 0 < sup{s* | n е N}<0.147, откуда и следует справедливость соотношений (5) и (6).

В координатной системе nOY графики монотонно возрастающих и непрерывно продолженных на промежуток [1, + да) функций y = /лп = ¡1 (n), y = Я* = Я (n) при значении аргумента

n = 1 имеют общую вершину M* = M*(1, 1) . Для остальных значений аргумента справедливо неравенство Я(n) < /л (n) (n > 2) (см. теорему 2).

Ясно, что вариация коэффициента A* перемещает вершину графика функции 2

y = ¡1 (n, A ) = A л— lnn по прямой n — 1 = 0 параллельно оси OY. Поэтому увеличение (A > 1) ж

коэффициента A* сохраняет строгий вариант неравенства (5), но одновременно увеличивает соответствующую погрешность s * (A*) вида (6); а его уменьшение (A* < 1) нарушает выполнение неравенства (5), но при этом погрешность £ (A ) может быть несколько уменьшена относительно установленной в теореме 2 погрешности s* из соотношения (6). Следовательно, A* = 1 в неравенстве (5) является единственным решением поставленной в работе задачи, то есть является наименьшим значением всевозможных констант, для которых справедливо неравенство (5).

Поступило 04.12.2013 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ehlich H., Zeller K. - Math. Ann., 1966, 164.

2. Дзядык В.К. Аппроксимационные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. - Киев: Наукова думка, 1988.

3. Шакиров И.А. - Изв. вузов. Матем., 2011, № 10, с. 80-88.

4. Шакиров И.А. - Изв. Саратов. ун-та. Серия Математика. Механика. Информатика. 2013, т. 13, вып. 1, ч. 2, с. 99-104.

5. Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения функций. - М-Л.: ГТТИ, 1934.

6. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. - М-Л.: Гостехиздат, 1949.

7. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1980.

8. Бабенко К.И. Основы численного анализа. - Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002.

И.А.Шакиров, Ю.Х.Хасанов

ОИДИ ЯК МАСЪАЛАИ ЭКСТРЕМАЛИЕ, КИ БО ФОРМУЛАИ АСИМПТОТИКИ БАРОИ ДОИМИИ ЛЕБЕГ АЛОЦАМАНД АСТ

Донишкадаи ицтимои-омузгории технология ва захира^ои Набережные Челны, Филиали Донишго^и милли-тадкцкртии ДЭМ филиал дар ш. Душанбе

Дар макола барои доимии Лебеги полиноми интерполяционии Лагранж бори аввал ба-хои дутарафаи катьй ёфта шудааст. Тавассути ин бах,ои дутарафа яке аз масъалах,ои мух,ими экстремалие, ки бо формулаи асимптотикй барои доимии Лебег алокаманд аст, тадкик карда шудааст.

Калима^ои калиди: полиноми тригонометрии Лагранж - характеристикаи интерполяциони - ба-робарии асимптотики - бауои анщи болои ва поёнии доимии Лебег.

I.A.Shakirov, Yu.Kh.Khasanov ABOUT EXTREME PROBLEM, THAT IS CONNECTING WITH THE ASYMPTOTIC FORMULA FOR THE LEBESQUES CONSTANT IS SOLVED

Naberezhnochelnins institute social-pedagogical technology and resource, Dushanbe branch of national-exploratory university "MEI" For the Lebesque's constant corresponding to the Lagrange interpolation polynomial rather strict bilateral assessment for the first time is received. On this basis then the actual extreme problem, that is connecting with the asymptotic formula for the considered constant is solved.

Key words: trigonometrically Lagrange polynomial - interpolational characteristic - asymptotic equality -the top and the bottom assessment of the Lebesque 's constant.