Об утверждениях, используемых при оценке константы Лебега классического оператора Фурье Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2017, том 60, №5-6_

МАТЕМАТИКА

УДК 591.65

И.А.Шакиров, Ю.Х.Хасанов* ОБ УТВЕРЖДЕНИЯХ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ПРИ ОЦЕНКЕ КОНСТАНТЫ ЛЕБЕГА КЛАССИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА ФУРЬЕ

Набережночелнинский государственный педагогический университет, Российско-Таджикский (Славянский) университет

(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 24.03.201

В работе приведены определения и свойства некоторых классов функций, которые и шзу-

ются при исследовании фундаментальных характеристик операторов Лагранжа и при поении нижней и верхней равномерных оценок константы Лебега классического оператора Фурье.

Ключевые слова: оператор Лагранжа, норма оператора Фурье, константа Леб ая монотон-

ная вариация, оценка константы Лебега.

В работе сначала приведём определения классов функций, которые использовались в [1]-[3] при исследовании фундаментальных характеристик операторов Лагранжа. Они также с успехом применяются для более детального изучения свойств константы Лебега

~ 1 г 2л. . 2 рл.2 Ып(2п + 1)И

=л /.А«и = -кЭпйпг^ (п(1)

Г>«И' —±г^-^ с

)в могут быть полезными при решении за

Обобщения этих классов могут быть полезными при решении задач, связанных с приближением сложных объектов более пр остыми агрегатами в различных функциональных пространствах.

Определение 1. Строго монотонную функцию (р = (р(п) (п е D = D(ф) с К) дискретного

аргумента, имеющую малое изменение 8 области значений К(ф), назовём функцией, имеющей малую монотонную вариацию, и класс таких функций обозначим через У'д , где знак плюс используется * > / \

в случае возрастания функций в области D , минус - при их убывании, где

■N

Малую вариацию имеют все функции, участвующие в утверждениях данной работы, и даже у самой «худшей» из них вариация будет меньше, чем 1/5. Из таких функций (последовательностей) и

состоят классы Уд , У8 . Они имеют определяющее значение в ходе доказательства большинства ут-

имеют о]

работы.

1. Для непрерыв

верждении данной ]

Замечание 1. Для непрерывных продолжений

р — р(п) (n е D — (inf D, sup D) с с R)

Адрес для корреспонденции: Хасанов Юсуфали. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. М.Турсунзаде, 30, РТСУ. E-mail: yukhas60@mail.ru

дискретно определённых функций р = р(п) (п е d с N ) формулировка и суть определения 1 полностью сохраняются. Они позволяют использовать методы дифференциального исчисления в ходе доказательства некоторых лемм.

Замечание 2. Функции из классов У+ и У обладают тем замечательным свойством, что относительно большие изменения (вариации) их областей значений происходят при первоначальных значениях аргумента п ( п = 1 V п = 1, 2 V п = 1,3) с последующей «стабилизацией» этих последовательностей около вполне определённых асимптот. Данное свойство используется для получения более тонких оценок как для константы Лебега (1), так и её различных интегральных представлений.

В рамках данной работы приведём результаты, которые в дальнейшем будут использованы при получении нижней и верхней равномерных оценок константы Лебега класси Фурье.

Лемма 1. Функция дискретного аргумента

Лебе] га клш

сическсгс

v А • V'

ап = а(п) = l/[(2n + l)sin(^/(4n + 2))] (a: D ^ R, D = Д v D2 cN)

и её линейная комбинация

(0 = 0.8726542994 •••- const)

ж

cpi =^(n) = — 0an

принадлежат классу У8 ; при этом для образа ния, зависящие от выбора области определения

(2)

(3)

я Д либо Д: => К(р) = (в, |в] с (0.872654, 0.91384

— < ^ Кр) = (в,Т4^ТП^в7Г4)]с(0872(

ательство. Последовательность (2) пред<

а = 2Г /(4п + 2 п = Д ж/(4п + 2)

О •

перь принадлежность (2) к классу У5 с

ёты пок

риации S(^1) верны следующие соотноше-

Д = N

Д = {3,4,5,6, •••} Доказ

42), « 0.041187; (4)

.872654,0.880022), 8(р1) « 0.007367. (5)

дставим в виде V1

(п е N).

следует из хорошо известных свойств первого замечатель-

ного предела. Несложные расчёты показывают, что

R(an) = (2/ж, 2/3]c (0.636619, 0.666667) (п е Д); 1

Ж' 7sin(ж/14)

]c (0.636619, 0.641995) (п е D2).

Ясно, что умножение функции (2) на малую константу не нарушает её принадлежность к исходному классу, следовательно, ф е У6 . Выполнение соотношений (4), (5) для функции (3), а также (6) для функции (2) устанавливается на основе несложных вычислений.

Лемма 2. Для функции р2 = р2(п) верны соотношения:

4 1 л

ф = —1п[(2 + -К (1 + со^---)]е У (п е D = .

л п 4 п + 2

I 4 8 4 г

n е D, ^R(<2) — I —~ln—, —^ln(2 + V3)

4 8 4 1 л

n е D2 ^ R(<2) — ~ln , ~ln(""(cOS eC~ ^л л л 3 1

5(р2) « 0.060770.

Доказательство. Аргумент логарифма в (7) представим

Для обоснования справе, числения.

Лемма 3. Выраженный

1 1 Л

функций, то есть в виде (2 н—)ап + (2 н—)ап cos-

n n 4 n + 2

произведение двух функций из этого же класса, вторая также принадлежит Vs согласно [1] (см. [1] лемма 2), следовательно, сама сумма и её логарифм также принадлежат классу Vs .

принадлеж(

n + 2

<4 — <4(n) — -(1 " ~)ап COS-

л« А л л 4

сат классу V+ , и для них верны соотношет „е^Я(р) — 8 1-

8) и (9) достаточно провести несложные вы-

(9) функции n е D — D vD2).

л

(n е D)

4/

n е D2 ^ R(p3) —

(0.245035, 0.258013), 5(ръ) « 0.012977;

(10)

—cos ее л ctg л, -831с (0.255808, 0.258013), 8(ръ) « 0.002204; (11)

n е D1 ^R(p4) —

4>/Эл 2, 8

(1 —),—(1 —)

9л л л

л

с(0.089040,0.093757), 8(рА) « 0.004716; (12)

п е Д2 ^К(р4) =

2 .(1 _ 1)СозЖ Ж,-8г(1 -1) |с(0.092955,0.093757), 49г я- 14 14 г я- ^ (13)

Я(р4) « 0.000801.

Доказательство. С целью исследования функции р3(п) при помощи производной непрерывно продолжим её на недискретную область Д = Д1 V Д2 (Д1 = [1, + да), Д2 = [3, + да)) . Ясно, что она является гладкой функцией, то есть р3 еС(Д) . Вычислим её производную:

2

(3(п) =-

Ж

2ап (ап)' соэ-

Ж

2

= ~ап

Ж

4п + 2 (2П

ж СОБ(ж / (4п + 2)) _ (4п + 2) Б1П(ж / (4п + 2)) ' (2п + 1)3 Б1П2(ж/(4п + 2))

2 3

-ап

ж(2п +1) п

Ж(2П + 1)

2жсоБ2(ж / (4п + 2)) - 2(4п + 2)Б1П Ж

г

ап31 2ж_Ж81П2(Ж/

-2(2п

ж ж ,. _ч +—соэ--(4П + 2)

2 2П +1

"(2п1) [4 + 4С°32п-

ж(2п+1)

Б1П(ж / (2П +1) г / (2п + 1

(2п +1) 4!(2п +1)

т! - а 4 7 ]( 2п + 1 ) + 8!^ 4 9 )( 2п + 1

Полученный ряд Лейбница имеет положительные значения при любых натуральных значение Д с К. Функции р3 (п) и р4 (п) различаются лишь на константу, следовательно, (((П) > 0 Уп е Д с К. Теперь с учётом замечания 1 имеем:

ях аргумента, поэтому р

n (3 (п) > 0 Уп е но, р (п) > 0

(3(ПХ (4(

^ т "

ся без особых проблем.

емма доказана.

. Справедливость соотношений (10)-(13) для их образов и вариаций устанавливает-

и исследовании нижней и исследовании нижней

й оценки й оценки

константы Лебега используются функции из класса У_

поведения которых достаточно изучить лишь в области Д1 = N . Приведём сведения о них.

дискрет

Лемма 4. Функц

р5(п)=~4Г1п Ж

скретного аргумента

/о и Ж

(2 +—)аи соб-

v п п 4п + 2

р6(п) = — ап Бес(ж / (4п + 2)) (п еК) г

принадлежат классу У8 ; для их образов и вариаций верны соотношения

( 4 4 2 К() = [—1п-,—1п3

г

Ж Ж

:(0.097902394, 0.222625395), 8(р5) к 0.124723001;

К(Рб) =

2 4>/3

г

9г

(0.202642367, 0.245035065), 8(р6) к 0.042392697

Доказательство. Функция (2 +1/ П)ап соб(ж/(4п + 2)) принадлежит классу У 8 (см. [1], лемма 2). Так как логарифмирование функции и умножение на константу не нарушают её принадлежность к исходному классу, то р5 (п) е У_ . Для её образа и вариации верны приведённые в лемме 4 соотношения, которые легко получаются из [1] (см. лемму 2) с учётом упомянутых преобразований.

Входящие в состав р6(п) (п е№) сомножители ап (см. лемму ся функциями из класса У _ , следовательно, р6 (п) е У 5 . Соотношения д 8(р6) устанавливаются несложными расчетами. #

1. Шакиров И.А. О влиянии выбора узлов лагранжевой интерп значения констант Лебега. - Сиб. мат. журнал, 2014, т.55, №6, с.

2. Шакиров И.А., Хасанов Ю.Х. Об одной экстремальной з; мулой для константы Лебега. - ДАН РТ, 2014, т.57, №1

3. Шакиров И.А., Хасанов Ю.Х. Об оценках точных з: ных полиномов Лагранжа. - Изв. АН РТ. Отд.фи 50-57.

/ (4п + 2)) являют-вариации

гупило 27.03.2017 г.

а точные и приближенные 04-1423.

занной с асимптотической фор-

констант Лебега для интерполяцион-., геол. и техн. н., 2015, №1 (158), с.

И.А .Шакиров, ЮДДасанов*

ДАР БОРАИ ТАСДИЦОТ^ОЕ, КИ БАРОИ БА^ОДИ^ИИ ДОИМИИ ЛЕБЕГИ ОПЕРАТОРИ КЛАССИКИИ ФУРЙЕ ИСТИФОДА МЕШАВАНД

Донишго^и давлатии омузгории Набережние Челни, *Донишго^и (Славянин) Россияву Тоцикистон

Дар м

макола таъриф ва хосиятхои баъзе синфхои функсияхое оварда шудаанд, ки хангоми тадкики характеристикахои фундаменталии операторхои Лагранж ва баходихии мунтазами доимихои Лебеги оператори классикии Фурйе истифода бурда мешаванд.

Калима^ои калиди: оператори Лагранж, нормаи оператори Фурйе, доимии Лебег, вариатсияи мунтазами хурд, бауои доимии Лебег.

I.A.Shakirov, Yu.Kh.Khasanov* ABOUT OF THE ALLEGATIONS USED TO EVALUATE THE LEBESGUE CONSTANT OF CLASSICAL FOURIER OPERATOR

Naberezhnochelnins State Pedagogical University, *Russian-Tajik (Slavonic) University

The paper presents definitions of some classes of functions, that are used in the study of the fundamental properties of the Lagrange operators and obtaining of uniform lower and upper estimates of the Lebesgue constants of the classical Fourier operator.

Key words: Lagrange operator, norm of Fourier operator, Lebesgue constant, small monotonou estimation of Lebesgue constant.

sO

A ¿V V