CC BY
17
© И.А. Шакиров УДК 591.65
О НЕУЛУЧШАЕМОЙ ДВУСТОРОННЕЙ ОЦЕНКЕ КОНСТАНТЫ ЛЕБЕГА КЛАССИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА ФУРЬЕ
И.А. Шакиров
Набережночелнинский государственный педагогический университет, г. Набережные Челны, Россия
iskander@tatngpi.ru
Резюме. Рассматривается константа Лебега классического оператора Фурье. Изучается асимптотическое поведение остаточного члена, содержащего параметр в аргументе его главной логарифмической части. Указаны значения параметра из вполне определенного промежутка, обеспечивающие строгое убывание соответствующих им остаточных членов. На этой основе для константы Лебега получена неулучшаемая двусторонняя равномерная оценка через логарифмическую функцию, содержащую вполне определенный сдвиг ее аргумента. Изучено влияние сдвигов на качество двусторонней оценки.
Ключевые слова: оператор Фурье, константа Лебега, асимптотическое равенство, остаточный член константы Лебега, двусторонние неулучшаемые оценки.
ABOUT NOT IMPROVED BILATERAL ASSESSMENT OF A CONSTANT OF LEBESGUE OF THE CLASSICAL OPERATOR FOURIER
I.A. Shakirov
Naberezhnye Chelny State Pedagogical University, Naberezhnye Chelny, Russia
iskander@tatngpi. ru
ABSTRACT. Here the constant of Lebesgue of the classical operator Fourier is considered. The asymptotic behavior of the residual member containing parameter in an argument of his main logarithmic part is studied. The values of parameter from a quite certain interval are specified, providing strict decrease of the residual members corresponding to them. On this basis for Lebesgue's constant not improved bilateral uniform assessment through the logarithmic function, containing quite certain shift of its argument is received. Influence of shifts on quality of bilateral assessment is studied.
Keywords: Fourier operator, a constant of Lebesgue, asymptotic equality, the residual member of Lebesgue constant, the bilateral not improved estimates.
ВВЕДЕНИЕ
Частичные суммы ряда Фурье
(X; О =1Г - ^ О = 1> п ) • (1)
Л 0 281П(Г /2)
рассматриваемые в пространстве непрерывных и 2л -периодических функций, порождают оператор Бп: С2л ^С2л (С2л = {х е С[0, 2л]| х(0) = х(2л)}). Число
Ьп = Ь(п) = ||£п|| называют константой Лебега, и для нее верны формулы
12^ n 1 Ж к 16 ^<» 1 ^(2и+1)к 1 л
n = 2П7Г+Ж^к=1 ktg2П7Г' n =Ж^Чк2^!^ mr' (2)
Они получены соответственно Л.Фейером [1] и Г. Сёге [2] в начале двадцатого века, используя при этом интегральное представление
L =1 flAn(tp = - [Ж-2 lsin(2n+1)tdt (ngN), l0 = 1. (3) ж j0 ж*0 sint
Исследованием свойств (1)-(3) в первой половине прошлого столетия также активно занимались Г. Харди, Ж. Литтельвуд, Г. Ватсон, А. Зигмунд, а во второй половине - советские математики С.М. Никольский, С.Б. Стечкин, Н.И. Ахиезер, С.А. Теляковский, Ю.Н. Субботин, П.В. Галкин, Г.И. Натансон и их многочисленные ученики.
Известно, что при исследовании равномерной сходимости сумм (1) к исходной функции x(t) константа Лебега имеет принципиальное значение. Однако, формулы (2) сложны для практических расчетов, особенно при больших значениях аргумента n . Установление простых приближенных формул, позволяющих с достаточно малой погрешностью вычислить константу Ln при произвольно выбранных натуральных n, всегда оставалось актуальной задачей теории приближения функции. Для ее решения необходимо последовательно улучшать известные двусторонние равномерные оценки или каким-либо способом установить неулучшаемую двустороннюю оценку для l . Ниже приведем сведения, имеющие
непосредственное отношение к данной проблеме.
В работе [3] Л. Фейер частично решил задачу приближенного представления константы Лебега через логарифмическую функцию, установив асимптотическое равенство
L = L(n) = (4/ж2)1пn + O(1) (n ^да). (4)
Здесь особый интерес представляет поведение остаточного члена
O = O(n) = Ln -(4/ж2)1пn (O = L =1 + — = 1,43599112••• ) (5)
3 ж
при конечных значениях аргумента n . Ограниченные величины O(1) и O (n g N), содержащиеся в формулах (4) и (5), оценивались снизу, сверху, с двух
сторон в различных метриках многими математиками [1 -8] и монографии [9-15]. Например, в монографии Н.И. Ахиезера [12, С. 255-258] для остаточного члена приводится двойное неравенство вида
1/3 < L - (4/ Ж2)1п n < 3 (n gN) , (6)
которое является усилением известного результата
0 < Ln - (4/ж2)1п n < 3 (n gN) .
Установленное Г. Ватсоном [4] асимптотическое равенство
Ln/2 =4М« + 1) + ^ + O1) (^= ЛZhjT^ + ^(ln4+ У) = 0,98943127•••), (7) л n л k=l 4k -1 л
где у - известная константа Эйлера, позволило П.В. Галкину [7] подробно исследовать поведения остаточных членов вида
Ln/2- (4/л2)1п(п +1), Ln/2- (4/л2)1п(п + 2) (n = 0,1,2,-). (8) В итоге была получена более строгая, чем (6), оценка
1 < 4 - (4/л2)1п(п +1) <1.8724 (n = 0,1,2, •••) . (9)
На допущенную в (9) техническую ошибочную было указано в монографии В.И. Жука и Г.И. Натансона [15, C. 183], где верхняя оценка заменена на 1.2706. Несколько позднее в работе [8] Г.И. Натансон исследовал непрерывные аналоги остаточных членов (8) вида
L(y)- (4/л2)1п(y +1), L(y)- (4/л2)1пy (y e[1, ю)). (10)
Из результатов упомянутых работ следует, что в одних случаях остаточные члены строго возрастают, в других - строго убывают. В соотношениях (4)-(10) различны аргументы логарифмов, и каждый раз различными являются области определений и значений остаточных членов из (5)-(6), (8)-(10). Поэтому с целью получения неулучшаемых двусторонних оценок для константы Лебега (2) целесообразно ввести в рассмотрение более общий параметрически определенный остаточный член
O(a) = O(n;a) = Ln -(4/л2)1п(п + a) (a e R+ = [0, + ю), n eN) (11)
и провести его детальное исследование как функцию, зависящую от дискретного аргумента n и непрерывного параметра a .
В работе получены следующие новые результаты:
- установлено предельное равенство
lim O(n; a) =а0 (а0 = с0 + (4/л2)1п2 = 1,27035324 ••• ), (12)
где константа с0 определена в (7), параметр a принимает любые неотрицательные действительные значения;
- доказано, что для всех значений a e[0, 1/2] ^ R+ остаточные члены (11) строго убывают;
- используя некоторые характеристики строго убывающих остаточных членов из множества М = {On(a)| n eN = No>{+ro}, a e[0, 1/2]} , для константы Лебега получена неулучшаемая двусторонняя равномерная (дискретная) оценка
4 4 3 4 —
а0+— 1n(n + 0.5) < 4 < L--2 + 0.5) (n eN), (13)
ж ж 2 ж
где равенства в верхней и нижней оценках достигаются соответственно при n = 1 и n = e N, константы 4 и (Х0 определены в формулах (5) и (12).
1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Вначале приведем определения классов функций, которые использовались в работе [16] для изучения свойств фундаментальных характеристик операторов Лагранжа. Ниже их с успехом применим для детального исследования поведения остаточного члена (11).
Определение 1. Строго монотонную функцию q = (p(n) (n e D = D(q) с N) дискретного аргумента, имеющую малое изменение 5 = 5(q) области значений R(q), назовем функцией с малой вариацией; класс таких функций обозначим через Vg, где знак плюс используется в случае возрастания функции в области D, минус
- при ее убывании; 5 =5(q) = sup{q(n)| n e D} - inf{q(n)| n e D}, 0 <5 < 1/2.
Малую вариацию имеют все основные функции, участвующие в утверждениях данной работы, но даже у самой «худшей» из них вариация будет меньше чем 0.5. Из таких функций (последовательностей) и состоят классы Vg , Vs . Они имеют
определяющее значение в ходе доказательства основных теорем работы.
Замечание 1. Для непрерывных продолжений
q=q(n) (n e D = (inf D, supD) с R) дискретно определенных функций q=q(n) (n e D cN), имеющих малую вариацию, формулировка и суть определения 1 полностью сохраняются.
Замечание 2. Функции из классов Vg и Vs обладают тем замечательным свойством, что относительно большие изменения их областей значений (вариации) происходят при первоначальных значениях аргумента n (n = 1 V n = 1,2 V n = 1,3 ) с последующей «стабилизацией» этих последовательностей около вполне определенных асимптот.
В пункте 2 используем следующие известные свойства константы Эйлера:
7 = lim ym = 0,57721566 ••• (ym =У™ 1 - ln m, m eN ), (14)
R[(/m)] = 7, 1], 5 =S[(ym)] = 0.42278433 • • • ; (ym )e V5 .
Лемма 1 (см. [17]). Разность двух расходящихся числовых рядов ^ 2/(2k — 1), j1/ k является сходящимся рядом, и для его суммы S верна формула
s = lim Sm = 1п4 (Sm = Y¡ 1 № (2k — 1)], m eN), (15)
m—± cd =1
причем Я[(^)] = [1, 1п4], )] = 0.38629436•••; (^) еГ; .
Доказательство. Вначале известное разложение функции у = 1п(1—?) (? е [0, 1)) в ряд Маклорена представим в виде
--2 1п(1 — / ) = 1 +— / + — / + — / Н----(/ е (0,1)) . Применяя затем формулу
интегрирования по частям к несобственному интегралу в левой части равенства
Г1 1 2 Г1 1 2 1 4 1 6 — 1п(1 — / ')& = (1 + ~^ + ~^ + ~^ Н----и проведя некоторые
вычисления, найдем его значение, равное 1п 4. В правой части равенства получим ряд ^^ 1/[к (2к — 1)], последовательность частичных сумм которого, очевидно,
принадлежат классу V/, что полностью завершает доказательство леммы 1.
Приведем еще две леммы, которые являются усилениями вспомогательных результатов работы [7], т.е. полученные ниже неравенства являются более точными (тонкими), чем их аналоги из указанной работы. Леммы имеют принципиальное значение в ходе доказательства основных теорем работы.
Лемма 2. Для функции /(х) = 1/ X выполняется неравенство
(• V
1/(у —1/2) <Г (1/х^ (у = 2,3,4, •••). (16)
J V—1
Доказательство. Справедливость неравенства (16) обеспечивается выпуклостью вниз функции 1/ X [7], что и завершает доказательство леммы 2.
Заметим, что в [7] применяется несколько грубый вариант неравенства (16) 1 г v+1
вида 1/ V <— I (1/x)dx (V = 2, 3, 4, •••) . Его использование продиктовано тем,
что в работе [7] в процессе исследования поведения остаточных членов (8) с самого начала применяется обобщенный вариант константы Лебега вида
Т 16 да . 1 -^-л(и+1)к 1 ^
п/2 = 4к2 —1 ^ 2т — 1) .
Лемма 3. Зависящая от параметра а функция двух переменных
(р(п,к;а) = Х12П+1)2 ^ — 1п(п + а) (п,к еИ, а еК) (17)
при значениях а е [0,1/2] является строго убывающей функцией аргумента п
равномерно относительно второй переменной к .
Доказательство. Оценим сверху приращение
Арпк (а) = р(п +1, к; а) — р(п, к; а) функции (17) по первому аргументу, используя
при этом неравенство (16) и полагая v = (2п + 1)к + т (в нашем случае v>4, т.к. п, к, те N):
«о=ЕТ mr -ln(n+1+а)] - Emr ¿г -|п(и+0)1=
= ^(2«+r)k+2k--+ |n (n + a) - |n(n + a +1) =
-¿_J„=(2n+1) k+1 „ — 1/2
E2k 1 , n + а + 1 ^2k r(2«+l)k + m 1 n + а +1
--In-<7 — dx — In-=
m=1 (2n +1). + m —1/2 n + а ^m=1 J(2n+1)k+„-1 x n + а
f(2n+3). 1 n + а +1 , (2n + 3)(n + а) , 2n2 + 2na + 3n + 3а
= 1 -dx- In-= In—---— = In—^- (n eN, а e R+).
J(2n+1)k x n + а (2n + 1)(n + а +1) 2n + 2nа + 3n + а +1
Видно, что полученное строгое неравенство выполняется равномерно относительно второго аргумента k . Поскольку мы изначально оцениваем приращение Афпк (а) сверху, потребуем выполнение неравенства
2n2 + 2na + 3n + 3а „ .
In^^---7 < 0 (n eN, а e R+ ). (18)
2n + 2na + 3n + а +1
После некоторых упрощений можем утверждать, что неравенство (18) имеет
место лишь для а e [0, 1/2] ^ R+, причем равномерно относительно аргумента n .
В итоге при более жестких требованиях на первый параметр для приращения функции (17) получили двойную верхнюю оценку вида
ч . 2n2 + 2na + 3n + 3а Л ,, ,
Aq„k (а) < In—г----- < 0 V а e[0,1/2] (n, k e N). (19)
2n + 2na + 3n + а +1
Другими словами, для произвольно взятых из отрезка [0,1/2] значений параметра а выполняются строгие неравенства
(p(n +1,k;а) - (p(n,k;а, b)< 0 Vne N (keN), т.е. функция (17) при указанных
в лемме 3 ограничениях на k и а принадлежит классу Vs по аргументу n . Лемма доказана.
2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Ниже последовательно докажем утверждения (см. (12), (13)), приведенные в конце введения данной работы, опираясь в основном на результаты предыдущего пункта.
ТЕОРЕМА 1. Для остаточного члена (11) равномерно относительно параметра а имеет место предельное равенство (12), т.е.
Iim O(n; а) = а0 = 1,27035324 • • • (а e R+ ).
Доказательство. Используя константу Лебега (2), равенство 1/(4£2 —1) = 1/2 и формулы для конечных сумм ут, из (14), (15) соответственно, преобразуем выражение для остаточного члена (11):
О«о=TST2b)- ^«Ь)>(n+o)=
=T^=14^ • m1 -ln(n+а)] =
* Y— _J--[«y(2«+1)^_^_ _y(2«+1)k 1) + «y(2«+1)k 1 _ ln + 1)) +
т Yk-14k2 _1 VYm-1 2m _ 1 Ym-1 m Ym-1 m « ))
, ,4 1/ M 8 v^- 1 rv^(2«+1)k 1 . , . 2n +1-,
+ln k(2n + 1) _ ln(n + o)] = — Y^TT^T ■ [Ym=1 -n +f(2"+1)k +ln k +ln-] =
t ^k-14k _1 ^m-1 m(2m _ 1) ( ) n + а
8 ln k 8 1 4 , 2 +1/n XT +
= TY-=14kn_1 + T82=14kM■ [^(2n+1)k+^(2n+1)k] + T2 2+1/П (neNае^•
В полученном равенстве перейдем к пределу слева и справа по переменной n , используя при этом формулы (14) и (15), позволяющие непосредственно вычислить пределы lim S,2n+1)k и lim y,2n+v.k равномерно относительно переменной k :
limO(n;а) Y- + -4(ln4+7)+ ^ln2 = с0 +-4ln2 = а0 = 1,27035324■■■. (20)
т k-14k _1 т т т
Коэффициенты c0, (см. также формулы (7), (12)) введены Г.Ватсоном в его работе [4]. Из проведенных выше расчетов видно, что значения параметра а (а е R ) не влияют на итоговое значение предела (20). Теорема доказана.
ТЕОРЕМА 2. Для произвольно взятых значений параметра а е [0, 1/2] С R остаточные члены (11)
- являются строго убывающими функциями аргумента n (n е N),
- имеют зависящую от выбранного значения а вариацию 0(а) = ö(On (а)),
т.е. O (а) eV_ (5=5(а) = L _ (4/T2)ln(1 + а) _ а0).
Доказательство. Использованные в ходе доказательства леммы 3 и теоремы 1 обозначения позволяют записать приращение АОи (а) = Ои+г(а) _ Ои (а) остаточного члена (11) в следующем виде:
АОп(а) -[L+1 _ (4/ т2)ln(n +1 + а)]_[Ln _ (4/ т2) ln(n + а)] =
8 ^-i — , 1 -^-*(2n+3)k 2 Л 8 .-^-i — 1
т2 Yk-1 (4k2^1 Ym-1 ) _ т2 (Yk=~
8 ^-i — . 1 ^-i(2n+1)k 2 Л 8 ^ — 1
T2 Yk-1 (4k2 _1Ym-1 2m _ 1 ^ " T
=T -air* ^„ь _ ^+1+а)] ^„ь - Mn+а)]}=
=[" Y— Y(2n+3)_ (Y— )ln(n+1+а)]_
V Yk-1(4k2 _1Ym-1 2m _ 1) T2^Yk-14k2 _1) ( )]
8 ^ — 1 ^-i(2n+1)k 2 8 — 1
_ [T82imn) _ TT2(Yk=1ikM)ln(n+а)]=
8 00 1 8 00 1
= ^2 21=1 ■ [<^п +1'к а) — ^к а)] = 2=1 ■А^,к (а) (п е N).
Сумма полученного ряда в условиях теоремы 2 имеет только отрицательное значение, т.к. выражения Афпк(а) (к £N5 а е [0,1/2]) согласно (19) отрицательны для любых натуральных значений аргумента п . Другими словами, выполняются неравенства Ои+1(а) < Ои (а) (п еN, а е[0, 1/2]) , и первая часть теоремы 2 доказана.
Строго убывающаяся последовательность (Оп (а)иеК согласно теореме 1 имеет
своим пределом величину а0 независимо от выбранного значения параметра а е[0, 1/2] . Следовательно, для ее области значений и вариации (см. определение 1) верны формулы
Я(Оп(а)) = («0, Ох(а)] = («0, 1 + — —+ а)] (ае[0,1/2]), (21)
3 ж ж
1 2/3 4
5(а) = 8(Оп (а)) = - + —----1п(1 + а) — « (а е [0,1/2]); (22)
3 ж ж
этого достаточно для обоснования второй части теоремы.
ТЕОРЕМА 3. В условиях теоремы 2 для константы Лебега верна неулучшаемая двусторонняя оценка вида
4 4 4 3 —
— 1п(п + 0.5) +«< 4 1п(п + 0.5) + 4--^ 1п- (п е N), (23)
ж ж ж 2
причем равенства в верхней и нижней оценках достигаются лишь при п = 1 и п = +®еN соответственно, где
«0 = 1,27035324 ■■■, 4 — (4/ ж2)1п(3/2)=1.27166230 ■■■ .
Доказательство. Согласно результатам предыдущей теоремы, произвольно взятым значениям параметра а из отрезка [0, 1/ 2] соответствуют вполне определенные характеристики (21) и (22) для остаточного члена (11). Вторая из них, рассматриваемая в системе координат аО8, является строго убывающей функцией своего аргумента, так как для ее производной имеет место строгое неравенство д'(а) = — 4/[ж2(1 + а)]< 0 Vа е [0,1/2]. Следовательно, наименьшее значение функции 8 = 8(а) (а е [0,1/2]) достигается на граничной точке а =1/2 области ее определения. Этому значению параметра соответствует вполне определенный остаточный член Ои(0.5) = 4 — (4/ж2)1п(п + 0.5) (п е N , принадлежащий множеству строго убывающих остаточных членов
М=(4 — (4/ж2)1п(п + а) п ей а е[0, 1/2]}.
В системе координат пОу функция у = Ои (0.5) е V- (п еК) имеет характеристики
4 3 4 3
Л(у) = [«0, 4 — —1п-], 8 = 8(у) = 4--^1п- — «0 = 0.00130906••• ,
ж 2 ж 2
откуда получим следующие равносильные между собой двойные неравенства: а0< О(0.5)< О(0.5) (п еN) О «<4 — (4/ж2)1п(п +1/2) < 4 — (4/ж2)1п(3/2) О
(4/ж2)1п(п + 0.5) + « < 4 < (4/ж2)1п(п + 0.5) + 4 — (4/ж2)1п(3/2) (п е^. Теорема доказана.
Замечание 3. Двойное неравенство (23) геометрически (в системе координат пОу и с учетом замечания 1) можно трактовать следующим образом: график
функции 4 (п е^) находится в бесконечной полосе "шириной"
8 = 0.00130906 ■■■ , заключенной между двумя логарифмическими функциями
у = у (п) = (4/ж2)1п(п +1/2) + 4 — (4/ж2)1п(3/2), у = у2 (п) = (4/ж2)1п(п +1/2) +«, (24)
причем при п = 1 график Ьп имеет единственную общую точку с функцией у = у1 (п), а при п = +дае N - с функцией у = у2 (п). Для сравнения: указанное
значение 8 более двухсот раз меньше, чем аналогичный показатель в двойном неравенстве (9) с указанной поправкой 1.2706 в верхней оценке.
Пусть для остаточных членов Ои (а) еМ выполнены условия теорем 2, 3, и в формуле (11) положим а = 0 . Тогда
1) имеем классический вариант остаточного члена (5);
2) в системе координат пОу строго убывающая функция у = О = О (0) ( п еЫ) имеет характеристики К(О„ ) = [«0 , 4 ] ; 8 = 8(Оп) = 4 — а0 = 0.16563787 ■■■;
3) верны равносильные между собой двусторонние оценки
«0 <Оп < О (п е^ О (4/ж2)1пп + « < 4 < (4/ж2)1пп + 4 (п е^ О О (4/ж2)1пп +1.27035324■■■ < 4 < (4/ж2)1пп + 1.43599112■■■ (пеН). (25)
Участвующие в оценках логарифмические функции вида (4/ж2)1п п + Ь (классический случай) по аппроксимативным качествам явно уступают функциям (24), содержащим логарифмические функции со сдвигом а = 1/2 их аргументов п (см. (23), замечание 3). Для подтверждения сказанного достаточно сравнить вариации 80 и 8 , соответствующие значениям параметров а = 0 и а = 1/2 :
80 /8=(4 — а0 )/(4 — (4/ж2)1п(3/2) — а0) = (0.16563787•••)/(0.00130906■■■)«126.5.
Другими словами, наилучшая в классе М двусторонняя оценка константы Лебега (23) на два порядка лучше, чем классический вариант оценки (25).
Замечание 4. В работе автора [17] получена неулучшаемая равномерная двусторонняя оценка для константы Лебега Яп оператора Лагранжа. Некоторые
вспомогательные результаты, а также схемы доказательства теорем из [17] здесь с успехом использованы при решении аналогичной задачи для константы Лебега Ln оператора Фурье.
Литература
1. Fejer L. Sur les singularites de la serie de Fourier des fonctions continues, A.E.N.S., 1911. Pp. 28, 63-103.
2. Szego G. Uber die Lebesgueschen konstanten bei den Fourierchen reihen, Math. Z., 9, 1921. Pp. 163-166.
3. Fejer L. Lebesguesche konstanten und divergente Fourierreihen, J. reine und angew. Math., 138, 1910. Pp. 22-53.
4. Watson G.H. The constant of Landau and Lebesgue, Quart. J. Math., Ser. 1, 1930. Pp. 310-318.
5. Никольский С.М. О линейных методах суммирования рядов Фурье, Изв. АН СССР, Сер. матем., 12, 1948. С. 259-278.
6. Стечкин С.Б. Несколько замечаний о тригонометрических полиномах, Успехи матем. наук, 10, 1955. С. 159-166.
7. Галкин П.В. Оценки для констант Лебега, Тр. МИАН СССР, 109, 1971. С. 3-5.
8. Натансон Г.И. Об оценке констант Лебега сумм Валле-Пуссена, Геометрические вопросы теории функций и множеств, Калинин, 1986. С. 102-108.
9. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М.-Л., Гостехиздат, 1949.
10. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960.
11. Зигмунд А. Тригонометрические ряды, Т.1 М.:Мир, 1965.
12. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Мир, 1965.
13. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Изд-во МГУ, 1976.
14. Корнейчук И.П.Экстремальные задачи теории приближения (М.: Наука, 1976.
15. Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983.
16. Шакиров И.А. О влиянии выбора узлов лагранжевой интерполяции на точные и приближенные значения констант Лебега, Сибирский математический журнал, 2014. 55 (6), С. 1404-1423.
17. Шакиров И.А. О предельном значении остаточного члена константы Лебега, соответствующей тригонометрическому полиному Лагранжа, Изв. Сарат. ун-та, Нов. сер., Сер. Математика. Механика. Информатика, 16, Вып. 3, 2016. С. 302-310.
References
1. Fejer L. Sur les singularites de la serie de Fourier des fonctions continues, A.E.N.S., 1911. Pp. 28, 63-103.
2. Szego G. Uber die Lebesgueschen konstanten bei den Fourierchen reihen, Math. Z., 9, 1921. Pp. 163-166.
3. Fejer L. Lebesguesche konstanten und divergente Fourierreihen, J. reine und angew. Math., 138, 1910. Pp. 22-53.
4. Watson G.H. The constant of Landau and Lebesgue, Quart. J. Math., Ser. 1, 1930. Pp. 310-318.
5. Nikol'skii S.M. O lineinykh metodakh summirovaniya ryadov Fur'e, Izv. AN SSSR, Ser. matem., 12, 1948. P. 259-278.
6. Stechkin S.B. Neskol'ko zamechanii o trigonometricheskikh polinomakh, Uspekhi matem. nauk, 10, 1955. P. 159-166.
7. Galkin P.V. Otsenki dlya konstant Lebega, Tr. MIAN SSSR, 109, 1971. P. 3-5.
8. Natanson G.I. Ob otsenke konstant Lebega summ Valle-Pussena, Geometricheskie voprosy teorii funktsii i mnozhestv, Kalinin, 1986. P. 102-108.
9. Natanson I.P. Konstruktivnaya teoriya funktsii. M.-L., Gostekhizdat, 1949.
10. Timan A.F. Teoriya priblizheniya funktsii deistvitel'nogo peremennogo. M.: Fizmatgiz, 1960.
11. Zigmund A. Trigonometricheskie ryady, T.1 M.:Mir, 1965.
12. Akhiezer N.I. Lektsii po teorii approksimatsii. M.: Mir, 1965.
13. Tikhomirov V.M. Nekotorye voprosy teorii priblizhenii. M.: Izd-vo MGU, 1976.
14. Korneichuk I.P.Ekstremal'nye zadachi teorii priblizheniya (M.: Nauka, 1976.
15. Zhuk V.V., Natanson G.I. Trigonometricheskie ryady Fur'e i elementy teorii approksimatsii. L.: Izd-vo Leningr. un-ta, 1983.
16. Shakirov I.A. O vliyanii vybora uzlov lagranzhevoi interpolyatsii na tochnye i priblizhennye znacheniya konstant Lebega, Sibirskii matematicheskii zhurnal, 2014. 55 (6), Pp. 1404-1423.
17. Shakirov I.A. O predel'nom znachenii ostatochnogo chlena konstanty Lebega, sootvetstvuyushchei trigonometricheskomu polinomu Lagranzha, Izv. Sarat. un-ta, Nov. ser., Ser. Matematika. Mekhanika. Informatika, 16, Vyp. 3, 2016. P. 302-310.
Сведения об авторе
Шакиров Искандер Асгатович - кандидат физико-математических наук, доцент, Набережночелнинский государственный педагогический университет, проректор по дополнительному образованию.
Author of publication
Shakirov Iskander Asgatovich - Associate Professor, Vice-rector on Complementary Education, Naberezhnye Chelny State Pedagogical University.
Дата поступления 16.02.2017.
